Теория вероятностей. Теоремы случайных событий

В этом уроке мы подробно обсудим три основные теоремы теории вероятностей. Их понимание необходимо для решения задач на вероятность сложного уровня на ЕГЭ по математике.

Но прежде чем приступать к этому уроку, нужно хорошо понимать, что такое классическая вероятность. Обязательно прочитайте, если не помните.

Чтобы легче все запомнить, у нас будет 3 волшебных слова, каждое из которых будет означать одну из теорем теории вероятности: «И», «ИЛИ», «НЕ».

Независимые и зависимые события

События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если на вероятность того, что произойдет событие \(A,\) никак не влияет, произошло событие \(B\) или нет. Пример независимых событий:

• Бросаем кубик 2 раза. Вероятность, что во втором броске выпадет тройка, никак не зависит от того, что произошло в первом броске;
• Бросаем монету 2 раза. Вероятность выпадения решки во втором броске никак не зависит от результата первого броска;
• Вероятность того, что при броске монеты выпадет орел, никак не зависит от того, идет дождь за окном или нет;

Примеры зависимых событий:

• Студенты тянут билеты на экзамене друг за другом. Вероятность вытянуть хороший билет напрямую зависит от того, какие билеты вытянули до вас;
• Достаем карту из колоды карт два раза подряд, первая вытянутая карта не возвращается в колоду. Тогда вероятность вытянуть за второй раз трефу зависит от того, что мы вытянули в первый раз;

Волшебное слово «И»

Теорема
Вероятность того, что одновременно произошли независимые события \(A\) и \(B\) можно посчитать по формуле произведения вероятностей: $$P(A\;и\;B)=P(A)*P(B).$$

Разберем на примерах:
Пример 1
Какая вероятность, что за два броска монеты оба раза выпадет орел?

Решение:
Первый бросок никак не влияет на второй, поэтому броски независимы. Вероятность, что при броске монеты выпадет орел: $$P(O)=\frac{1}{2};$$ Тогда по формуле произведения вероятностей: $$P(O\; и \;O)=P(O)*P(O)=$$ $$=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0,25;$$ Ответ: \(P(OO)=0,25.\)

Пример 2
Какая вероятность, что за три броска игрального кубика выпадет три четверки?

Решение:
Каждый следующий бросок никак не зависит от предыдущего. Броски независимы. Вероятность, что при броске кубика выпадет грань 4: $$P(4)=\frac{1}{6};$$ Воспользуемся формулой произведения вероятностей: $${ \small P(4\; и \;4\; и \;4)=P(4)*P(4)*P(4)=}$$ $${ \small =\frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6}=\frac{1}{216};}$$ Ответ: \(P(4\; и \;4\; и \;4)=\frac{1}{216}.\)

Противоположные события

Два события называются противоположными при условии, что первое событие происходит всегда, когда не происходит второе, и наоборот. Проще разобраться на примерах:

• За окном идет дождь. Противоположное событие - не идет дождь;
• Студент сдал экзамен или не сдал;
• Сейчас день или ночь;
• Монета упала орлом или решкой;
• На игральном кубике выпала грань с пятеркой или не выпала грань с пятеркой;

Примеров противоположных событий много. Но тут надо быть аккуратными: события, что на кубике выпала пятерка и что выпала тройка, не будут противоположными! То, что не выпала пятерка, не означает, что обязательно выпала тройка, могла же выпасть любая грань: единица, двойка, тройка, четверка или шестерка. Противоположным событием для выпадения пятерки, будет событие выпадения любой другой грани кроме пятерки.

В примере с монетой орел и решка являются противоположными событиями, так как, если не выпал орел, то больше вариантов нет: обязательно выпала решка.

Противоположные события характеризуются отрицанием - словом «НЕ».

Теорема
Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице.

Напомню, что вероятность некоторого события, равная единице, означает, что это событие точно произойдет.

Тогда доказательство этой теоремы интуитивное и следует из определения противоположных событий: если не произошло одно, то обязательно произойдет противоположное ему.

Что-то из двух противоположных событий точно произойдет, поэтому, если сложить их вероятности, то сумма будет равна единице: $$P(A)+P(\overline A)=1;$$ где \(P(A)\) - вероятность некоторого события;
\(P(\overline A)\) - вероятность события противоположного \(A;\)

Обычно эту формулу записывают так: $$P(\overline A)=1- P(A);$$ Чтобы найти вероятность события противоположного \(A,\) нужно из единицы вычесть вероятность события \(A.\)

Разберем на примерах:
Пример 1
На устном экзамене по литературе 50 вопросов, Валера выучил только 36 из них. Какая вероятность, что Валере попадется невыученный вопрос?

Решение:
Найдем вероятность того, что Валере попался выученный вопрос. Для этого используем формулу классической вероятности: $$P=\frac{N_{то,\; что \; нужно}}{N_{общее\; количество}};$$ Нас устраивает 36 вопросов из 50: $$P(выучил)=\frac{N_{то,\;что \;нужно}}{N_{общее \;количество}}=$$ $$=\frac{36}{50}=0,72;$$ Но в задаче спрашивают вероятность противоположного события, что Валере попадется НЕвыученный билет: $$P(не\;выучил)=1-P(выучил)=$$ $$=1-0,72=0,28;$$ Ответ: \(0,28.\)

Несовместные события

Два события называются несовместными, если они НЕ могут произойти одновременно. Примеры несовместных событий:

• При броске монеты выпадение орла и выпадение решки будут несовместными событиями: одновременно при броске одной монеты не может выпасть и орел, и решка, выпадет что-то одно;
• При броске игрального кубика выпадение грани с единицей будет несовместным событием с выпадением грани с двойкой. Одновременно при броске одного кубика не может выпасть сразу две грани;
• События, что за окном ночь, и что за окном день, тоже не могут произойти одновременно;

Кстати, любые противоположные события несовместны. Но тут нужно быть внимательными: не любые несовместные события противоположны. Тут легко запутаться. Приведем пример с игральным кубиком, чтобы разобраться:

Событие, что на кубике выпала грань с тройкой будет несовместным с событием, что выпадет грань с пятеркой. Так как одновременно пятерка и тройка выпасть не могут. Но при этом эти два события не будут противоположными, так как то, что не выпала пятерка не означает, что выпала тройка, выпасть же может любая другая грань.

Волшебное слово «ИЛИ»

Теорема
Пусть у нас есть два события \(A\) и \(B,\) которые не могут произойти одновременно, то есть, они несовместны. Чтобы посчитать вероятность, что произойдет событие \(A\) или событие \(B\), нужно сложить вероятности этих событий по отдельности: $$P(A\;или \;B)=P(A)+P(B);$$

Разберем на примерах:
Пример 1
Найдите вероятность, что при броске кубика выпадет грань с единицей или двойкой.

Решение:
Выпадение единицы и выпадение двойки не может произойти одновременно при одном броске кубика. Тогда можно воспользоваться формулой суммы вероятностей несовместимых событий: $$P(1\;или\;2)=P(1)+P(2);$$ $$P(1)=\frac{1}{6};$$ $$P(2)=\frac{1}{6};$$ $$P(1 \;или \;2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=$$ $$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};$$ Ответ: \(P(1\;или\;2)=\frac{1}{3}.\)

Пример 2
На экзамене по физике студент тянет один вопрос. Вероятность, что ему попадется вопрос по теме электричество \(0,15,\) а вероятность, что попадется вопрос по теме кинематика \(0,12.\) Вопросов одновременно по двум темам нет. Какая вероятность, что студент вытянет билет на электричество или на кинематику?

Решение:
Так как в условии указано, что нет вопросов, которые могут быть одновременно на обе темы, то это означает, что события вытянуть билет по электричеству или билет по кинематике несовместны. Можем воспользоваться формулой суммы вероятностей: $${ \small P(Эл\;или\; Кин)=P(Эл)+P(Кин)=}$$ $${ \small =0,15+0,12=0,27;}$$ Ответ: \(P(Эл\;или\; Кин)=0,27.\)

Совместные события

События, которые могут произойти одновременно, называются совместными. Примеры совместных событий:

• События, что за окном идет дождь и Кристина читает книгу. Никто не запрещает Кристине читать книгу во время дождя?
• Достать случайным образом 7-ку из колоды карт и достать карту масти червы. Семерка вполне может оказать и червовой тоже;
• За два броска кубика выпала тройка и шестерка. Вполне может быть так, что выпало то и то: в первый бросок выпала тройка, а второй - шестерка;

Совместные и несовместные события удобно представлять при помощи кругов Эйлера. Несовместные события выглядят так:

Совместные события так:

Каждый круг представляет из себя вероятность некоторого события.

Несовместные события, соответствующие двум непересекающимся кругам, не могут произойти одновременно, поэтому у кругов нет общих точек.

Совместные события могут произойти одновременно, поэтому круги пересекаются, а зона пересечения соответствует вероятности, что события произошли одновременно.

Если воспользоваться аналогией с кругами, то становится понятно, что пользоваться формулой суммы вероятностей для совместных событий так же, как для несовместных, ни в коем случае нельзя. Если вероятность - это площадь круга, то при сложении вероятностей двух пересекающихся кругов, общая заштрихованная область будет посчитана 2 раза. Чтобы избежать этого, мы должны ее один раз вычесть.

Пусть события \(A\) и \(B\) совместные события, тогда вероятность, что произойдет или событие \(A,\) или событие \(B,\) или они оба можно посчитать по формуле: $${ \small P(A\;или\;B)=P(A)+P(B)-P(AиB)}$$

Пример 3
По прогнозу погоды завтра с вероятностью \(0,3\) ожидается дождь, с вероятностью \(0,6\) ветер и с вероятностью \(0,2\) дождь с ветром. Какая вероятность, что завтра будет дождь или ветер, или то и другое?

Решение:
Дождь и ветер - это совместные события, они могут произойти одновременно. Воспользуемся формулой для вероятности совместных событий:

Теория вероятностей: коротко главное

• Классическая вероятность - это отношение количества того, что нам нужно, к общему количеству: $$P=\frac{N_{то,\;что\;нужно}}{N_{общее\;количество}};$$
• Противоположные события - если не произошло событие \(A,\) то точно произошло событие \(B:\) $$P(B)=1-P(A);$$
• Независимые события - вероятность одного события никак не зависит от наступления другого события. Вероятность, что независимые события \(A\) и \(B\) произошли одновременно: $$P(A\;и\;B)=P(A)*P(B);$$
• Несовместные события - события, которые не могут произойти одновременно. Вероятность, что произошло одно из несовместных событий \(A\) или \(B\): $$P(A\;или\;B)=P(A)+P(B);$$
• Совместные события - события \(A\) и \(B\), которые могут произойти одновременно. Вероятность, что произойдет или событие \(A,\) или \(B,\) или они оба:

Разбор задач на вероятность

Пример 1
Вася и Петя играют две партии в шахматы, при этом после первой игры они меняют цвет фигур. Если Вася играет в шахматы за белые фигуры, то он выигрывает с вероятностью 0.7, а если за черные, то с вероятностью 0.5. Какая вероятность, что Вася выиграет обе игры?

Решение:
Вероятность победы белыми фигурами: $$P(Б)=0.7;$$ Вероятность победы черными фигурами: $$P(Ч)=0.5;$$ Вероятность победы во второй партии никак не зависит от результата первой партии. Поэтому результаты в первой и второй играх - это независимые события.

Нас спрашивают: какая вероятность, что Вася выиграет первую партию И вторую - волшебное слово «И». Чтобы посчитать искомую вероятность независимых событий нужно перемножить их вероятности: $$P(Б\;и\;Ч)=P(Б)*P(Ч)=$$ $$=0.7*0.5=0.35;$$ Обратите внимание, что абсолютно не важно, в каком порядке они играют партии.
Ответ: \(P(Б\;И\;Ч)=0.35.\)

Пример 2
Вероятность, что лампочка бракованная 0.04. В магазине лампочки продаются в упаковках по две штуки. Найдите вероятность, что хотя бы одна лампочка в упаковке исправна.

Решение:
Лампочка бракованная и лампочка исправна - это два противоположных события. Найдем вероятность, что лампочка исправна: $$P(Ис)=1-P(Бр)=$$ $$=1-0.04=0.96;$$ Для того, чтобы хорошо разобраться в задаче, рассмотрим, какие варианты событий могут быть:

• 1-я лампочка исправна, 2-я бракованная;
• 1-я исправна, 2-я исправна;
• 1-я бракованная, 2-я исправна;
• 1-я бракованная, 2-я бракованная;

Обратите внимание, что все эти события неравновероятны.

Посчитаем вероятность каждого события.
Какая вероятность, что 1-я лампочка исправна И 2-я бракованная: $$P(Ис\;и\;Бр)=P(Ис)*P(Бр)=$$ $$=0.96*0.04=0.0384;$$ Вероятность, что 1-я исправна И 2-я тоже исправна: $$P(Ис\;и\;Ис)=P(Ис)*P(Ис)=$$ $$=0.96*0.96=0.9216;$$ Вероятность, что 1-я бракованная И 2-я исправна: $$P(Бр\;и\;Ис)=P(Бр)*P(Ис)=$$ $$=0.96*0.04=0.0384;$$ Вероятность, что 1-я бракованная И 2-я бракованная: $$P(Бр\;и\;Бр)=P(Бр)*P(Бр)=$$ $$=0.04*0.04=0.0016;$$ Из четырех вариантов нас устраивают три: $$ИсБр \; или \; ИсИс \; или \; БрИс;$$ В этих случаях как минимум одна лампочка исправна. Волшебное слово «ИЛИ» - складываем вероятности:

Кстати, эту задачу можно было решить проще, если заметить, что событие \(БрБр\) противоположно событию «хотя бы одна лампочка исправна»: $$P(ИсБр \; или \; ИсИс \; или \; БрИс)=$$ $$=1-P(Бр\;и\;Бр)=$$ $$=1-0.04*0.04=0.9984$$

Пример 3
Стрелок стреляет по мишеням. Вероятность попасть в мишень одним выстрелом \(0.8.\) Найдите вероятность, что стрелок попадет первые четыре выстрела, а последний промахнется.

Решение:
Промах - противоположное событие попаданию: $$P(Пр)=1-P(П)=$$ $$=1-0.8=0.2;$$ Нас устраивает такое развитие событий:
Попал И Попал И Попал И Попал И Промах.
Волшебное слово «И» - перемножаем вероятности: $$P(П \; и \; П \; и \; П \; и \; П \; и \; Пр)=$$ $${ \small =P(П)*P(П)*P(П)*P(П)*P(Пр)=}$$ $${ \small =0.8*0.8*0.8*0.8*0.2=0.08192;}$$ Ответ: \(P(П \; и \; П \; и \; П \; и \; П \; и \; Пр)=0.08192.\)

Пример 4
В колчан положили 10 стрел, из них 4 сделаны из орехового дерева и 6 - из ивы. Внешне их никак не отличить. Стрелой из ивы Авонэко попадает в яблоко с вероятностью 0.9, а стрелой из ореха - с вероятностью 0.6. Индеец Авонэко берет наудачу первую попавшуюся стрелу и производит выстрел. Какая вероятность, что Авонэко попадет в мишень?

Решение:
У нас два варианта развития событий:

1. Авонэко берет стрелу из ивы. Вероятность выбрать стрелу из ивы: \(P(Ива)=\frac{6}{10}=0.6;\)
2. Авонэко берет стрелу из ореха. Вероятность выбрать стрелу из ореха: \(P(Орех)=\frac{4}{10}=0.4;\)

Рассмотрим первый вариант, когда Авонэко берет стрелу из ивы: в этом случае он попадет в яблоко с вероятностью \(P=0.9.\) Тогда вероятность события, что Авонэко схватит стрелу из ивы И попадет, можно посчитать, как произведение вероятностей: $${ \small P(ПопалИва)=P(ива)*P(Попал)=}$$ $${ \small =0.6*0.9=0.54;}$$ Аналогично считаем вероятность, что он схватил стрелу из ореха И попал. Тут вероятность попасть стрелой из ореха \(0.6:\) $${ \small P(ПопалОрех)=P(Орех)*P(Попал)=}$$ $${ \small =0.4*0.6=0.24;}$$ Нас устраивает попадание стрелой из ивы ИЛИ из ореха - складываем вероятности: $${ \small P(ПопалИва\;или\;ПопалОрех)=}$$ $${ \small =P(ПопалИва)+P(ПопалОрех)=}$$ $${ \small =0.54+0.24=0.8.}$$ Ответ: \({ \small P(ПопалИва\;или\;ПопалОрех)=0.8.}\)

Пример 5
В аэропорту стоят рядом два банкомата: синий и красный. Вероятность, что деньги закончатся в синем банкомате 0.3, а в красном 0.4. Вероятность, что деньги закончатся в обоих банкоматах 0.1. Найдите вероятность, что деньги останутся в обоих автоматах.

Решение:
Обратите внимание, что вероятность, что деньги закончатся в синем И красном банкоматах нельзя считать по формуле произведения вероятностей. Потому что произведение вероятностей не дает 0.1, как сказано в условии: $$P(з.Кр\;И\;з.С)=0.1 \neq $$ $$ \neq P(з.Кр)*P(з.С)=$$ $$=0.3*0.4=0.12;$$ Раз формула не работает, значит перед нами зависимые события.

Теперь вернемся к задаче.
Все варианты развития событий:

1. Деньги закончились в красном, деньги закончились в синем;
2. Деньги закончились в красном, деньги не закончились в синем;
3. Деньги не закончились в красном, деньги закончились в синем;
4. Деньги не закончились в красном, деньги не закончились в синем;

Так как деньги могут одновременно закончиться и в красном, и в синем банкоматах, то эти события совместные. Чтобы найти вероятность, что деньги закончатся в синем ИЛИ закончатся в красном ИЛИ закончатся в обоих, можно воспользоваться формулой суммы вероятностей совместных событий:

Пример 6
Алина бросает игральную кость два раза. Известно, что 5 очков не выпало ни разу. С учетом этого условия найдите вероятность, что сумма выпавших очков за два броска равна 7.

Решение:
Рассмотрим все варианты с выпадением 5 очков за два броска:
Если на первом кубике выпала 5-ка, то на втором может выпасть любая грань: $$5 \; 1;$$ $$5 \; 2;$$ $$5 \; 3;$$ $$5 \; 4;$$ $$5 \; 5;$$ $$5 \; 6;$$ И аналогично все варианты, если на втором кубике выпала 5-ка: $$1 5;$$ $$2 5;$$ $$3 5;$$ $$4 5;$$ $$5 5;$$ $$6 5;$$ Внимание! Вариант \(5\;5\) мы посчитали 2 раза, с учетом этого получается всего 11 вариантов, в которых выпадает грань с 5-кой.

А сколько всего вариантов при броске двух кубиков? $$1\;1 \quad 1\;2 \quad 1\;3 \quad 1\;4 \quad 1\;5 \quad 1\;6$$ $$2\;1 \quad 2\;2 \quad 2\;3 \quad 2\;4 \quad 2\;5 \quad 2\;6$$ $$3\;1 \quad 3\;2 \quad 3\;3 \quad 3\;4 \quad 3\;5 \quad 3\;6$$ $$4\;1 \quad 4\;2 \quad 4\;3 \quad 4\;4 \quad 4\;5 \quad 4\;6$$ $$5\;1 \quad 5\;2 \quad 5\;3 \quad 5\;4 \quad 5\;5 \quad 5\;6$$ $$6\;1 \quad 6\;2 \quad 6\;3 \quad 6\;4 \quad 6\;5 \quad 6\;6$$ 36 вариантов. Из них 11 вариантов - это варианты с гранью пять, которые по условию точно не выпали. Значит всего возможно \(36-11=25\) вариантов.

Теперь посчитаем варианты, когда в сумме выпало 7 очков: $$3\;4 \quad 4\;3 \quad 1\;6 \quad 6\;1$$ Всего 4 варианта.

Итак, может выпасть 25 вариантов, из которых нас устраивает 4. По формуле классической вероятности: $$P(7)=\frac{4}{25}=0.16;$$ Ответ: \(P(7)=0.16.\)