Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Классическое условие задания на решение тригонометрических уравнений выглядит как-то так:
a) Решите тригонометрическое уравнение: $$4\sin^2(x)=tg(x).$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-\pi; 0].\)

Задание состоит из двух пунктов. Кроме того, что нужно просто решить уравнение, необходимо еще из найденных корней выбрать те, которые принадлежат указанному промежутку.

Эта задача не такая простая, как может показаться на первый взгляд. Все дело в том, что корнями тригонометрических уравнений, как правило, являются целые наборы решений, которые задаются при помощи периода.

Чтобы научиться отбирать нужные корни, необходимо хорошо разбираться, что это за такие наборы решений и что такое период тригонометрической функции. Очень часто студенты пишут решение тригонометрического уравнения «по инерции», даже не задумываясь, что скрывается за тем, что написано.

Поэтому прежде чем начинать отбирать корни, давайте кратко вспомним, что из себя представляет решение любого тригонометрического уравнения. Подробнее про это можно почитать в статье про простейшие тригонометрические уравнения.

Что обозначает корень тригонометрического уравнения

Рассмотрим простое тригонометрическое уравнение: $$\sin(x)=\frac{1}{2};$$ Решениями этого уравнения будут два набора решений: $$x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ Рассмотрим первый корень \(x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z,\) хотя правильно говорить корнИ. Потому что под этой записью, на самом деле, скрывается бесконечное количество решений.

Надпись \(n \in Z\) в конце означает один очень важный факт, что вместо буквы \(n\) можно подставлять абсолютно любые целые числа \((-1000,-12,-1,0,1,100,99999).\) Давайте в качестве эксперимента подставим \(n=0:\) $$x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n=$$ $$=\frac{\pi}{6}+2 \pi *0=\frac{\pi}{6};$$ Мы получили угол \(\frac{\pi}{6},\) синус от которого будет равен \(\frac{1}{2}.\)
Теперь подставим \(n=1:\) $${ \small x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n=\frac{\pi}{6}+2 \pi *1=}$$ $${ \small =\frac{\pi}{6}+\frac{12 \pi}{6}=\frac{13\pi}{6};}$$ Получили еще один угол \(\frac{13\pi}{6},\) синус от которого тоже будет равен \(\frac{1}{2}!\)
И подставим еще \(n=-1:\) $${ \small x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n=\frac{\pi}{6}+2 \pi *(-1)=}$$ $${ \small =\frac{\pi}{6}-\frac{12 \pi}{6}=-\frac{11\pi}{6};}$$

Так подставлять различные значения \(n\) я могу до бесконечности, и все время буду получать разные углы, синус от которых \(\frac{1}{2}.\) Значит, все эти углы - это корни нашего исходного тригонометрического уравнения и их бесконечно много. А ведь еще и во второй набор решений, в \(x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z\) тоже можно подставлять различные \(n\) и получить еще бесконечное количество углов - корней нашего уравнения. В общем, я пытаюсь донести очень простую мысль, что решениями тригонометрических уравнений, как правило, является бесконечное количество углов, которые мы записываем в виде правил \(x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z\). Подставляя в эти правила разные \(n,\) получаем разные углы, которые и будут корнями уравнения. К сожалению, этот простой факт понимают далеко не все, а это ключ к отбору корней.

А чтобы окончательно разобраться, как же так у нас существует бесконечное количество углов, синус от которых будет \(\frac{1}{2},\) нужно вспомнить, что функция синуса, да и любая тригонометрическая функция - это периодические функции. Это означает, что значения этих функций повторяются. И повторяются они с периодичностью \(2 \pi.\)

Например, синус от угла \(\frac{\pi}{6}\) равен \(\frac{1}{2}:\) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2};$$ Теперь прибавим \(2\pi\) к \(\frac{\pi}{6}:\) $$\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6};$$ А синус от \(\frac{13\pi}{6}\) тоже будет \(\frac{1}{2}:\) $$\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)=\frac{1}{2};$$ Можем еще прибавить \(2\pi\) к \(\frac{13\pi}{6}:\) $$\frac{13\pi}{6}+2\pi=\frac{25\pi}{6};$$ И синус от этого угла тоже будет \(\frac{1}{2}:\) $$\sin\left(\frac{25\pi}{6}\right)=\frac{1}{2};$$ Ну, надеюсь вы поняли, прибавляя \(2\pi,\) я все время будут получать углы, синус от которых \(\frac{1}{2}.\) \(2\pi\) называется периодом, а функция соответственно периодической.

И это касается любой тригонометрической функции: у всех тригонометрических функций период \(2\pi.\)

Кроме этого, я могу не только прибавлять \(2\pi,\) но и вычитать: $$\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6};$$ И синус от этих углов тоже будет \(\frac{1}{2}:\) $$\sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{1}{2};$$

Кстати, если вы посмотрите на наборы решений практически любого тригонометрического уравнения: $$x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ То увидите, что именно этим всем мы и занимаемся, подставляя в них различные целые \(n\) - прибавляем и вычитаем \(2 \pi\) целое количество раз \(n.\)

Возвращаемся к отбору корней тригонометрического уравнения из данного промежутка. Существует несколько способов отбирать корни, но основных два: метод двойного неравенства и при помощи единичной окружности. Рассмотрим каждый из них.

Отбор корней методом двойного неравенства

Методом двойного неравенства удобно пользоваться, если нет окончательного понимания про периодичность тригонометрических функций. Этот метод достаточно прост в использовании, но требует внимательности и безошибочных расчетов на уровне 6 класса математики. Кроме этого, метод двойного неравенства достаточно емкий, и чтобы все посчитать, может потребоваться много времени. Зато все делается на автомате, по алгоритму, ни о чем думать, кроме как складывать дроби, не нужно.

Проще всего познакомиться с методом на примере. Возвращаемся к нашему уравнению: $$\sin(x)=\frac{1}{2};$$ Решениями этого уравнения будут два набора решений: $$x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$

Отберем корни из этих наборов, лежащие в промежутке от \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]:\)
По сути, мы должны найти такие углы, которые с одной стороны больше, чем \(-3\pi,\) но в то же время меньше, чем \(-\frac{3\pi}{2}.\) Можно записать эти соображения в виде двойного неравенства: $$-3\pi \le \frac{\pi}{6}+2 \pi n \le -\frac{3\pi}{2};$$

И задача сводится к нахождению таких целых значений \(n,\) при которых это неравенство будет верным. Нам остается просто его решить относительно \(n:\)
Перекинем \(\frac{\pi}{6}\) из центральной части неравенства в левую и правую части, при этом не забываем изменить знак перед слагаемым \(\frac{\pi}{6},\) так как мы его переносим через знак неравенства: $${ \small -\frac{\pi}{6}-3\pi \le 2 \pi n \le -\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6};}$$ Крайнюю левую и крайнюю правую части двойного неравенства приводим к общему знаменателю: $${ \small -\frac{\pi}{6}-\frac{18\pi}{6} \le 2 \pi n \le -\frac{9\pi}{6}-\frac{\pi}{6}}$$ $${ \small -\frac{19\pi}{6} \le 2 \pi n \le -\frac{10\pi}{6};}$$ Избавимся от множителя \(2\pi\) перед \(n.\) Для этого поделим все двойное неравенство на \(2\pi:\) $${ \small -\frac{19\pi}{6*2\pi} \le \frac{2 \pi n}{2\pi} \le -\frac{10\pi}{6*2\pi};}$$ Сокращаем: $$-\frac{19}{12}\le n \le -\frac{10}{12};$$ Вспоминаем, что \(n\) - это только целые числа. Другим словами, нам нужно найти целые значения \(n\) между дробями \(-\frac{19}{12}\) и \(-\frac{10}{12}.\) Для этого удобно найти число, кратное \(12\) и лежащее между \(-19\) и \(-10\). Очевидно, что это \(-12:\) $$n=-\frac{12}{12}=-1;$$ Целых значений \(n,\) удовлетворяющих двойному неравенству, может быть сколько угодно. Но у нас получилось только одно: \(n=-1.\)
Подставляем найденное \(n=-1\) в тот набор решений, для которого мы решали неравенство: $$x=\frac{\pi}{6}+2 \pi * (-1)=$$ $$=\frac{\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6};$$ Все, первый корень, лежащий в промежутке \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]\), мы нашли.

Осталось рассмотреть второй набор решений \(x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Проделываем точно такие же шаги. Записываем двойное неравенство: $$-3\pi \le \frac{5\pi}{6}+2 \pi n \le -\frac{3\pi}{2};$$ Решаем: $${ \small -\frac{5\pi}{6}-3\pi \le 2 \pi n \le -\frac{5\pi}{6}-\frac{3\pi}{2};}$$ $${ \small -\frac{5\pi}{6}-\frac{18\pi}{6} \le 2 \pi n \le -\frac{5\pi}{6}-\frac{9\pi}{6};}$$ $${ \small -\frac{23\pi}{6} \le 2 \pi n \le-\frac{14\pi}{6};}$$ $${ \small -\frac{23\pi}{6}*\frac{1}{2\pi} \le \frac{2 \pi n}{2\pi} \le -\frac{14\pi}{6}*\frac{1}{2\pi};}$$ $${ \small -\frac{23}{12}\le n \le -\frac{14}{12};}$$ Получившемуся двойному неравенству не удовлетворяет ни одно целое значение \(n.\) Значит из набора решений \(x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z\) нет углов, лежащих в указанном промежутке.

Получается, из первого набора у нас один угол: \(-\frac{11\pi}{6}.\)
Из второго набора - нет корней.
Ответ: \(-\frac{11\pi}{6}.\)

Вот и весь отбор корней тригонометрических уравнений с помощью двойного неравенства. Частый вопрос: а сколько может быть корней из одного набора? Их может быть сколько угодно, либо вообще не быть ни одного. Важно внимательно считать, менять знак при переносе слагаемых через знак неравенства и доводить поиск корней до конца: нашли целые \(n,\) не забудьте подставить их в корни уравнений и найти сами углы. Кроме этого, помните, что двойное неравенство нужно решить для каждого решения, которое у вас получилось в уравнении.

Метод отбора с помощью единичной окружности

Метод отбора корней с помощью тригонометрической окружности более популярен. Я и сам им пользуюсь. Главный плюс в том, что отбор занимает мало времени, можно управиться меньше, чем за минуту. Но и главный недостаток - тут нужно хорошо уметь пользоваться единичной окружностью, знать расположение углов на окружности, быть в курсе, что тригонометрические функции - это периодические функции.

Тригонометрическая окружность - это один из самых главных инструментов в тригонометрии. Если вы добрались до этой темы, то, конечно, вы уже должны хорошо это знать. Если нет, то обязательно про нее почитайте.

Перед тем, как обсудить алгоритм отбора корней, рассмотрим, как выглядит периодичность тригонометрических функций на единичной окружности. И в этом нам поможет ассоциация окружности со спиралью (винтовой круглой лестницей).

Тригонометрический круг - это винтовая лестница?

Включаем воображение. Представьте высокую круглую башню, в которой вдоль стены вверх бежит по кругу винтовая лестница. Вы смотрите на эту лестницу ровно сверху вниз так, что видите только самый верхний этаж. Остальные, нижние этажи, мы не видим - они под верхним. Нам кажется, что перед нами идеальный круг, под которым скрыты от нашего взгляда много этажей (уровней). Действительно, если посмотреть на спираль строго сверху внизу, вы не увидите, что это спираль, будет казаться, что это просто кольцо. А сбоку отлично видно, что это спираль, и у нее есть множество уровней.

Тригонометрическая окружность - это и есть такая винтовая лестница (спираль), на которую мы смотрим сверху.

Теперь представим, что мы находимся в середине этой башни, для нас это будет точка отсчета - нулевой уровень. Что соответствует на единичной окружности точке \(A\) - углу \(0^o.\)

Давайте поднимемся вверх по винтовой лестнице на пару ступенек до тех пор, пока не повернем на угол \(30^o\) относительно начального положения. На единичной окружности это будет соответствовать точке \(\frac{\pi}{6}\) (отмечена красным).

Продолжим подъем и повернем на \(90^o.\) На окружности этот угол отмечен зеленым цветом (рисунок ниже);
Поднимаемся дальше и поворачиваем на угол \(180^o.\) Оранжевый цвет;
И еще выше на угол \(270^o.\) Фиолетовый цвет;
В конце концов, мы вернемся в точку \(A\) (синий цвет), вот только на винтовой лестнице мы не будем в точке \(A,\) мы будем ровно над ней - мы поднялись на один уровень. На окружности это соответствует одному полному обороту, и чтобы показать, что мы сделали полный круг, точка \(A\) теперь называется не \(0^o,\) а \(2\pi.\)

Если продолжить подъем, то мы на тригонометрической окружности будем проходить через те же самые точки, но вспомнив про винтовую лестницу, легко понять, что на самом деле мы находимся на уровень выше: идем не по нулевому, а уже по первому уровню.

То есть, совершив один полный оборот, мы перемещаемся на следующий уровень, каждая точка которого будет на \(2\pi\) больше, чем на предыдущем уровне. Например, поднявшись из точки \(A\) еще на пару ступенек, мы попадем не в точку \(\frac{\pi}{6},\) а в точку \(\frac{\pi}{6}+2\pi,\) кажется, что это одна и та же точка, но на самом деле они находятся на разных уровнях, одна под другой, и сливаются в одну.

Кроме этого, по нашей винтовой лестнице можно не только подниматься, но и спускаться. Вернемся опять на нулевой уровень в точку \(A.\) Из нее начнем спускаться. Аналогично движению вверх, сделав полный круг, мы окажемся в подвале на \((-1)\) этаже, и все точки тут будут отличаться от точек на нулевом этаже на \((-2\pi).\) Другими словами, при движении против часовой стрелки по окружности углы отсчитываются с знаком минус:

В итоге получаем, что тригонометрическая окружность - это спираль с бесконечным количеством уровней. На нулевом уровне мы находимся в промежутке \([0;2\pi];\)
На первом уровне: \([2\pi; 4\pi];\)
На втором уровне: \([4\pi; 6\pi];\)
На третьем уровне: \([6\pi; 8\pi];\)
На минус первом уровне: \([-2\pi; 0];\)
На минус втором уровне: \([-4\pi; -2\pi];\)
И т.д.

В заданиях на отбор корней наша задача понять, какой участок (на каком этаже) винтовой лестницы ограничивает указанный промежуток, и с этого участка выбрать те точки (углы), которые в него попадают.

Давайте будем разбираться на примере.

Пример 1
Рассмотрим уравнение: $$\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2};$$ Решениями этого уравнения будут наборы решений: $$x_1=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n \in Z;$$ Нужно отобрать из этих наборов углы, лежащие в промежутке: \([2\pi;3\pi].\)

Разберем алгоритм отбора по шагам:

• Рисуем единичную окружность;
• Отмечаем на окружности границы промежутка: \(2\pi\) и \(3\pi;\)

• Выделим дугу, соответствующую промежутку \([2\pi;3\pi].\) Тут надо быть внимательными: промежуток всегда отмечается против часовой стрелки и от меньшего к большему.

• Отмечаем корни тригонометрического уравнения \(x_1=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n \in Z;\) и \(x_2=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \; n \in Z;\) на окружности. Просто ставим точки, ни в коем случае пока не подписываем их.

• Замечаем, что нижняя точка, которая соответствует корням \(x_2,\) не лежит на закрашенной дуге. Это означает, что ни один угол из \(x_2\) не лежит в промежутке \([2\pi;3\pi].\) Больше его не рассматриваем.
• Точка \(x_1\) лежит на закрашенной дуге. Значит из набора углов \(x_1\) есть корень, который лежит в промежутке \([2\pi;3\pi].\) Осталось его найти.
• Чтобы найти корень, нужно из краев промежутка «довернуть» до нужной нам точки \(x_1\). Если вернуться к аналогии с винтовой лестницей, то, чтобы попасть из точки \(2\pi\) в \(x_1,\) нужно против часовой стрелке подняться вверх по лестнице на угол \(\frac{3\pi}{4}.\) Так как движение против часовой стрелки - это положительное направление, то к \(2\pi\) нужно добавить \(\frac{3\pi}{4}:\) $${ \small 2\pi+\frac{3\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};}$$

• Можно было получить этот же самый угол, двигаясь из правой границы промежутка \(3\pi.\) Для этого надо было спуститься вниз по часовой стрелке на угол \(\frac{\pi}{4}.\) При движении по часовой, мы двигаемся в отрицательном направлении, значит из \(3\pi\) нужно вычесть \(\frac{\pi}{4}.\) $${ \small 3\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{12\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};}$$ Получили ту же самую точку. Без разницы, как ее искать.

• Подписываем найденную точку на окружности. И записываем ответ:

Ответ: \(\frac{11\pi}{4}.\)

Пример 2 $$\sin(x)=\frac{1}{2};$$ Решениями этого уравнения будут два набора решений: $$x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ Нужно отобрать из этих наборов углы, лежащие в промежутке: \([\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].\)

• Строим единичную окружность и отмечаем на ней промежуток \([\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].\) Всегда от меньшего к большему против часовой стрелки.

• Отмечаем точки, соответствующие решениям \(x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z\) и \(x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Не подписываем их. Сразу замечаем, что корни \(x_1=\frac{\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z\) не лежат на нужной дуге. Вычеркиваем эту точку, из нее не будет подходящих решений.

• Рассмотрим точку, соответствующую решению \(x_2=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Чтобы понять, какой угол из \(x_2\) лежит в нашем промежутке, достаточно заметить, что угол \(\frac{5\pi}{6}\) лежит на том же уровне, что и промежуток \([\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].\) Подписываем на окружности точку. Записываем ответ.

Ответ: \(\frac{5\pi}{6}.\)

Пример 3 $$\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$ Решениями этого уравнения будут два набора решений: $$x_1=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=-\frac{2\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ Нужно отобрать из этих наборов углы, лежащие в промежутке: \([-3\pi;—\frac{5\pi}{2}].\)

• Отмечаем промежуток \([-3\pi;—\frac{5\pi}{2}]\) на окружности. Тут будьте особенно внимательными: от меньшего к большему, против часовой стрелки;

• отмечаем точками \(x_1=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z\) и \(x_2=-\frac{2\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Сразу замечаем, что \(x_1=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z\) не лежит на заштрихованной дуге - вычеркиваем;

• Обозначим точку, соответствующую \(x_2,\) за точку \(K.\) Замечаем, что угол \(\angle{COK}=60^o=\frac{\pi}{3}.\) Чтобы попасть из точки \(-3\pi\) в точку \(K,\) нужно против часовой стрелки (в положительном направлении) прибавить угол \(\frac{\pi}{3}:\) $${ \small -3\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{9\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=-\frac{8\pi}{3};}$$

• Или можно было вернуться из точки \(-\frac{5\pi}{2}\) по часовой стрелке (в отрицательном направлении) на угол \(\angle{DOK}=30^o=\frac{\pi}{6}:\) $$-\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{15\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=$$ $$=-\frac{16\pi}{6}=-\frac{8\pi}{3};$$

Ответ: \(-\frac{8\pi}{3}.\)

В прошлых примерах у нас всегда при отборе получался всего один корень - это просто совпадение. На самом деле, корней может быть сколько угодно много. Более того, даже из одной единственной точки на окружности может появиться сразу несколько углов, но это возможно только при условии, что у вас промежуток с «нахлестом». Давайте будем разбираться, как такое может быть, на примере:

Пример 4 $$\cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$ Решениями этого уравнения будут два набора решений: $$x_1=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=-\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ Нужно отобрать из этих наборов углы, лежащие в промежутке: \([\pi;\frac{7\pi}{2}].\)

• Сразу замечаем, что промежуток какой-то большой, не такой, как раньше. Отметим его границы и сам промежуток на окружности. Ставим ручку в точку \(\pi\) и медленно начинаем вести против часовой стрелки: проходим точки \(\frac{3\pi}{2},\) \(2\pi\), \(\frac{5\pi}{2}\), \(3\pi\) - СТОП! Мы опять вернулись в точку, из которой начали движение, то есть, мы сделали полный оборот!
  И это еще не все, мы так и не дошли до правой границы промежутка. Продолжаем вести ручку, и вот, наконец, попадаем в точку \(\frac{7\pi}{2}.\)
  Получается, что наш промежуток - это полный круг плюс еще четверть.
  И обратите внимание, что третья четверть окружности два раза попадает в промежуток: \([\pi;\frac{3\pi}{2}]\) и \([3\pi; \frac{7\pi}{2}].\)

• Отмечаем теперь корни тригонометрического уравнения в виде точек. Обе точки лежат на заштрихованной дуге.

• Рассмотрим верхнюю точку \(x_1=\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Чтобы понять, какой именно угол из этого набора лежит в промежутке \([\pi;\frac{7\pi}{2}],\) можно против часовой стрелки к точке \(\frac{5\pi}{2}\) добавить угол \(\angle{BOK}=60^o=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}:\) $${ \small \frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{15\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}}$$ Либо другой вариант: вернуться из точки \(3\pi\) по часовой стрелке на \(\frac{\pi}{6}:\) $${ \small 3\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{18\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}}$$ Подписываем эту точку на окружности.

• Теперь разберемся с точкой \(x_2=-\frac{5\pi}{6}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Она как раз лежит на той четверти окружности, которая попадает в наш промежуток два раза - это значит, что из этого набора решений нам будет подходить сразу два угла, потому что, если идти из начальной точки \(\pi\) в конечную точку \(\frac{7\pi}{2},\) мы проходим через нее два раза. В первый раз мы в нее попадаем при повороте против часовой стрелки из \(\pi\) на угол \(\angle{COM}=30^o=\frac{\pi}{6}:\) $${ \small \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{6\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6};}$$ А второй раз ее можно получить, повернув против часовой стрелки уже из точки \(3\pi\) тоже на угол \(\frac{\pi}{6}:\) $${ \small 3\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{18\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}.}$$ Подписываем нижнюю точку на единичной окружности двумя найденными углами.

Записываем в ответ сразу три точки:
Ответ: \(\frac{7\pi}{6}, \; \frac{17\pi}{6}, \; \frac{19\pi}{6}.\)

Часто тригонометрическое уравнение сводится к нескольким простейшим. В результате получается больше двух наборов решений. Отбор в этом случае делается аналогичным образом:

Пример 5
Представьте, что сложное тригонометрическое уравнение свелось к двум простейшим: $$\sin (x)= \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\Downarrow$$ $$x_1=\frac{\pi}{4}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ $$x_2=\frac{3\pi}{4}+2 \pi n, \; n \in Z;$$ И $$\cos(x)=0;$$ $$\Downarrow$$ $$x_3=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z;$$ Нужно отобрать из этих наборов углы, лежащие в промежутке: \((-\frac{3\pi}{2};0].\)

• Отмечаем промежуток на окружности. Обратите внимание - скобка у левой границы круглая! Значит точка \(-\frac{3\pi}{2}\) выколотая и не может быть в ответе. На окружности мы ее отметим незакрашенным кругом. Подробнее почитать про круглые и квадратные скобки можно в статьях про неравенства.

• Отмечаем точками корни уравнений: \(x_1=\frac{\pi}{4}+2 \pi n, \; n \in Z;\) \(x_2=\frac{3\pi}{4}+2 \pi n, \; n \in Z;\) \(x_3=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.\) При этом набору \(x_3\) соответствует сразу две точки на окружности благодаря периоду \(\pi n.\) Получается четыре точки. Точка, соответствующая \(x_1=\frac{\pi}{4}+2 \pi n, \; n \in Z\) не лежит на закрашенной дуге - вычеркиваем, из нее нет решений. А другие точки подходят.

• Рассмотрим точку \(x_2=\frac{3\pi}{4}+2 \pi n, \; n \in Z.\) Чтобы найти угол, к левой границе промежутка \(-\frac{3\pi}{2}\) против часовой стрелки можно добавить угол \(\angle{BOM}=45^o=\frac{\pi}{4}:\) $${ \small -\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{6\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}}$$

• Теперь рассмотрим точки из набора \(x_3=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.\) Обратите внимание, что верхняя точка как раз попадает в границу промежутка \(-\frac{3\pi}{2}.\) Так бы и записали ее в ответ, но не забываем, что эта граница в круглой скобке по условию, то есть выколотая, верхняя точка тоже не дает корней - зачеркиваем. Остается точка внизу. Ее можно получить, добавив к \(-\frac{3\pi}{2}\) против часовой стрелки половину круга \(\pi:\) $${ \small -\frac{3\pi}{2}+\pi=-\frac{3\pi}{2}+\frac{2\pi}{2}=-\frac{\pi}{2};}$$ Подписываем найденные точки на единичной окружности.

Ответ: \(-\frac{\pi}{2}, \; -\frac{5\pi}{4}.\)

И рассмотрим уравнение с тангенсом.
Пример 6
$$tg(x)=-1;$$ $$\Downarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \; n \in Z;$$ Нужно отобрать углы, лежащие в промежутке: \([\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}].\)

• Рисуем окружность и отмечаем на ней промежуток:

• Отмечаем корни тригонометрического уравнения на окружности. Но опять, будьте внимательны: период \(\pi n\) говорит нам о том, что это решение дает две точки на окружности, отличающиеся на половину круга. Нижняя точка не лежит в промежутке - вычеркиваем.

• Чтобы найти оставшуюся точку, можно из \(\frac{5\pi}{2}\) против часовой стрелки повернуть на угол \(\angle{BOM}=45^o=\frac{\pi}{4}:\) $${ \small \frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{10\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};}$$ Подписываем:

Ответ: \(\frac{11\pi}{4}.\)