Задачи на кредиты. Аннуитетный платеж
Если человеку понадобились деньги, например, на покупку квартиры или машины, а у него их нет, то можно одолжить эти деньги у банка, или, говорят, взять кредит. Банк не раздает деньги всем налево и направо за бесплатно, он хочет заработать на этом. Поэтому, когда вы берете кредит, вы берете на себя обязательство вернуть банку ту сумму, которую вы у него одолжили, и плюс проценты к этой сумме, и сделать это надо за заранее оговоренный срок.
Как правило, долг возвращается постепенно, например, каждый год вы должны частично гасить свой долг до тех пор, пока полностью не рассчитаетесь перед банком.
Платежи, которые вы вносите в уплату долга, называются выплатами. Размер выплат не случаен, а строго рассчитывается банком и зависит от размера взятого кредита, срока кредита, процентной ставки по кредиту и от схемы, по которой вы планируете погашать долг.
Когда человек берет кредит, он сообщает банку, сколько ему надо денег и на какой срок. Банк в свою очередь озвучивает ему процент, под который он готов дать в долг этому человеку, и предоставляет ему график выплат. График выплат - это документ, в котором посчитано, сколько денег должен вносить в банк заемщик каждый год, чтобы, в конце концов, рассчитаться с банком.
Существует две основные схемы, по которым гасятся кредиты: это аннуитетные (равные) платежи и дифференцированные (разные) платежи. В случае аннуитетных платежей выплаты всегда равны, то есть каждый год заемщик платит банку одну и ту же сумму и так в течение всего срока кредита. А в случае дифференцированных платежей выплаты всегда разные и каждая следующая меньше, чем предыдущая. В этой статье мы поговорим про одинаковые выплаты.
Итак, аннуитет – это оплата кредита равными платежами. Разберем на реальном примере:
Пример 1
Афанасий в 2019 году хочет купить машину своей мечты, но ему не хватает \(S_0=1592500р.\) Он решается обратиться в банк за кредитом. Банк предложил Афанасию следующие условия: ставка по кредиту \(q=20 \%\) в год, срок кредита 3 года, а выплачивать его нужно 3-мя одинаковыми платежами в конце каждого года.
Поможем Афанасию посчитать размер выплат. Сразу обращаем внимание, в условии прямо сказано, что выплаты каждый год одинаковые, значит перед нами аннуитетная схема. Давайте обозначим выплаты буквой \(x.\)
Чтобы во всем разобраться, распишем, сколько будет должен Афанасий через 1 год. Что произойдет за 1 год? Во-первых, долг вырастет на \(20 \% :\) $${ \small S_0+S_0*\frac{20}{100}=}$$ $${ \small =1592500+1592500*0,2=}$$ $${ \small =1592500+318500=1911000p.;}$$ Ничего себе, теперь Афанасий должен банку на 318500р. больше, чем годом ранее. В самом конце года, после начисления процентов, Афанасий должен внести свою первую выплату \(x\) по кредиту, чтобы уменьшить свой долг перед банком. Тогда его долг \(S_1\) после начисления процентов и внесения выплаты будет: $$S_1=\underbrace{S_0+S_0*\frac{20}{100}}_{долг\;после\;начисления \; \%}-\underbrace{x}_{выплата}=$$ $$=S_0(1+\frac{20}{100})-x=$$ $$=1592500*(1+0,2)-x=$$ $$=1592500*1,2-x;$$ \(x\) мы пока не знаем, так и оставляем. И продолжим расписывать долг после 2-го года:
Аналогично, за второй год долг возрастает еще на \(20 \%,\) только теперь проценты начисляются не на первоначальный долг \(S_0,\) а на долг, который остался после первого года \(S_1.\) Мы ведь после первого года уже должны банку \(S_1.\) После начисления процентов вносится вторая выплата \(x,\) точно такая же, как и первая, и долг после этого будет: $$S_2=S_1+S_1*\frac{20}{100}-x=$$ $$=S_1(1+\frac{20}{100})-x=$$ $$=(1592500*1,2-x)*1,2-x;$$ И на третий год все повторяется: начисляются проценты на долг в конце второго года \(S_2,\) и вносится выплата \(x.\) Долг после 3-го года: $${ \small S_3=S_2+S_2*\frac{20}{100}-x=}$$ $${ \small =S_2*1,2-x=}$$ $${\small=((1592500*1,2-x)1,2-x)1,2-x}$$ Кредит был выдан всего на 3 года, и за 3 выплаты Афанасий должен был полностью погасить кредит, то есть после 3-й выплаты долг стал 0: $$S_3=0;$$ $${ \small ((1592500*1,2-x)1,2-x)1,2-x=0}$$ Получили уравнение с одной неизвестной \(x,\) которое можно решить:
Таким образом, Афанасию, чтобы расплатиться по кредиту за 3 года, нужно вносить ежегодно по 756000р.
А сколько всего Афанасий отдал денег банку? Он внес 3 выплаты по 756000р.: $$В_{общ}=3*756000=2268000р.$$ Получается, что банк дал Афанасию 1592500р., а Афанасий вернул банку 2268000р. Можем посчитать переплату по кредиту: $${ \small ПЕРЕПЛАТА=2268000-1592500=}$$ $${ \small =675500р.}$$
Подведем итог по кредитам с аннуитетными выплатами:
- Все платежи всегда одинаковые;
- В любом кредите сначала начисляются проценты, только потом вносится выплата;
- Проценты всегда начисляются на «новый» долг, который остался после предыдущего периода;
- Чтобы составить уравнение, в задачах на аннуитетные платежи каждый год расписываем долг после начисления процентов и выплаты;
- После внесения последней выплаты долг приравниваем к нулю;
Аннуитет в общем виде
Пусть \({S}_{0}\) – сумма кредита, \(a\) – ежегодный постоянный платеж; \(q\) – годовые проценты по кредиту. Каждый год сначала начисляется процент \(q\), а потом вносится платеж \(a.\) Через год сумма задолженности поле начисления процентов будет:
$$ {S}_{0}*(1+\frac{q}{100}) $$ После этого вносится выплата, и долг станет: $$ {S}_{1}={S}_{0}*(1+\frac{q}{100})-a; $$ В задачах на кредиты удобно выражение в скобках обозначить за новую переменную: $$b=1+\frac{q}{100};$$ $$ {S}_{1}={S}_{0}*b-a; $$ Через 2 года сумма после начисления процентов и ежегодной выплаты (проценты в этот раз начисляются на долг, оставшийся после первого года \(S_1\)): $$ {S}_{2}={S}_{1}*b-a=$$ $$=({S}_{0} b-a)b-a={S}_{0} b^2-ab-a;$$ Через 3 года (проценты начисляются на долг после второго года \(S_2\)): $$ {S}_{3}=S_2*b-a=$$ $$=({S}_{0} b^2-ab-a)*b-a=$$ $$=S_0b^3-ab^2-ab-a. $$Если в задаче сказано, что кредит гасится тремя платежами, значит \({S}_{3}=0\). И задача сводится к решению уравнения:
$$S_0b^3-ab^2-ab-a=0;$$Проведя аналогичные рассуждения для \(N\) лет, можно вывести следующие формулы:
$$ {S}_{N}=b^N {S}_{0}-\frac{b^N-1}{b-1} a;$$ $$ a=\frac{b^N (b-1)}{b^N-1} {S}_{0}; $$ $$ {S}_{0}=\frac{b^N-1}{b^(N+1)-b^N} a; $$ $$ N={log}_{b}{\frac{x}{x-{S}_{0} (b-1)}}; $$Пример 2
31 декабря Николай решил взять в банке кредит на сумму \(5 000 000\) под \(12 \%\) годовых. Кредит выплачивается ежегодно одинаковыми платежами (аннуитет), после того, как банк начислит проценты на остаток 31 декабря (долг увеличится на \(12 \%\)). Какой ежегодный платеж должен производить Николай, чтобы расплатиться с банком за три платежа?
Решение:
Обозначим за \(a\) ежегодный платеж.
Через год долг вырастет на \(12 \%\) и будет составлять: $$ 5000000*(1+\frac{12}{100})=$$ $$=5000000*1.12$$ Сразу после этого Николай вносит на счет \(a\) рублей, тогда долг будет составлять: $$ {S}_{1}=5000000*1.12-a $$ Аналогичная операция после внесения второго платежа: $${ \small {S}_{2}=S_1*1.12-a=}$$ $${ \small =(5000000*1.12-a)*1.12-a;}$$ И после внесения третьей выплаты: $${ \small {S}_{3}=S_2*1.12-a=}$$ $${ \small =((5000000*1.12-a)1.12-a)1.12-a }$$ Согласно условию, Николай должен погасить долг за три платежа, значит после третьего платежа сумма долга должна равняться нулю:
Пример 3
Василиса взяла в банке \(S_0=7378000р.\) в кредит под \(q=12,5 \%\) в год. Кредит нужно гасить одинаковыми платежами в конце каждого года. Банк предложил Василисе два варианта погашения: либо за 3 года, либо за 2. На сколько общая сумма выплат кредита за 3 года больше общей суммы выплаты за 2 года?
Решение:
Задача распадается на две: нужно по отдельности расписать варианты, когда кредит гасится тремя выплатами за 3 года и когда двумя выплатами за 2 года.
Введем обозначения:
\(x_3\) - ежегодная выплата за 3 года;
\(x_2\) - ежегодная выплата за 2 года;
$$b=1+\frac{q}{100}=1+\frac{12,5}{100}=$$
$$=1+0,125=1,125;$$
Рассмотрим случай погашения за 3 года. Расписываем, как ведет себя долг в конце каждого года после начисления процентов и внесения выплаты.
Долг через 1 год: $$S_1=S_0*b-x_3;$$ Долг через 2 года: $$S_2=S_1*b-x_3=$$ $$=(S_0*b-x_3)*b-x_3;$$ Долг через 3 года: $$S_3=S_2*b-x_3=$$ $$=((S_0*b-x_3)b-x_3)b-x_3=0$$ Раскрываем скобки и решаем уравнение: $$S_0*b^3-x_3*b^2-x_3*b-x_3=0;$$ $$x_3=\frac{S_0*b^3}{b^2+b+1}=$$ $$=\frac{7378000*1,125^3}{1,125^2+1,125+1};$$ Чтобы упростить вычисления, рекомендую десятичные дроби представить в виде обыкновенной дроби: $${ \small x_3=\frac{7378000*\left(\frac{9}{8}\right)^3}{\left(\frac{9}{8}\right)^2+\frac{9}{8}+1}=}$$ $${ \small =\frac{7378000*\frac{729}{512}}{\frac{81}{64}+\frac{9}{8}+1}=\frac{7378000*\frac{729}{512}}{\left(\frac{217}{64}\right)}=}$$ $${ \small =7378000*\frac{729}{512}*\frac{64}{217}=}$$ $${ \small =7378000*\frac{729}{8*217}=3098250;}$$ Таких выплат было 3, значит всего банку отдали: $$В_{общ_3}=3*3098250=9294750p.;$$
Рассмотрим теперь случай погашения кредита за 2 года:
Долг через 1 год:
$$S_1=S_0*b-x_2;$$
Долг через 2 года:
$$S_2=S_1*b-x_2=$$
$$=(S_0*b-x_2)*b-x_2;$$
Так как в этот раз кредит будет погашен за 2 года, то \(S_2=0:\)
$$(S_0*b-x_2)*b-x_2=0;$$
$$S_0b^2-x_2*b-x_2=0;$$
$$x=\frac{S_0b^2}{b+1}=\frac{7378000*\left(\frac{9}{8}\right)^2}{\frac{9}{8}+1}=$$
$$=7378000*\frac{81}{64}*\frac{8}{17}=4394250p$$
Таких выплат было 2, тогда общая выплата:
$$В_{общ_2}=2*4394250=8788500p.;$$
В условии задачи нас просят найти разницу между общими выплатами за 3 года и за 2 года:
$$В_{общ_3}-В_{общ_2}=$$
$$=9294750-8788500=506250p.$$
Обратите внимание, что при выплате кредита за 3 года общая сумма выплат будет больше, но сами выплаты будут меньше, чем при выплате за 2 года.
Ответ: \(506250p.\)
Пример 4
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере \(S_0=4,2 млн. р.\) Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(r \%\) по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. р.
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите \(r,\) если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят \(6,1 млн. р.\)
Задание 17 (С5) ЕГЭ 2016;
Решение:
Эта задача отличается от предыдущих. Выделим главное: Размер кредита: \(4,2 млн.р.;\)
Проценты неизвестны: \(r\%;\)
После начисления процентов вносится выплата, причем первые три года гасятся только начисленные проценты, так как после выплат долг остается неизменным. Последние 2 года выплаты одинаковые (аннуитет). Общая сумма выплат \(6,1 млн.р.\) Нужно найти проценты \(r \%.\)
После первого года на долг начисляются проценты: $$S_0*(1+\frac{r}{100});$$ После начисления процентов следует выплата, и, согласно условию, мы гасим только начисленные проценты: $$В_1=S_0*\frac{r}{100};$$ Долг после выплаты остался \(S_1=S_0.\) Прошел второй год, опять начислились проценты, и мы гасим только эти проценты: $$B_2=S_0*\frac{r}{100};$$ Долг после выплаты остался \(S_2=S_0.\) И в 3-й год аналогично гасим проценты: $$B_3=S_0*\frac{r}{100}$$ Долг после выплаты остался \(S_3=S_0.\)
В оставшиеся 2 года мы вносим одинаковые выплаты \(x\) так, чтобы через 2 года полностью рассчитаться по кредиту. Теперь задача аналогична задаче с аннуитетными платежами, поэтому будем расписывать не выплаты, а долг:Для удобства введем новое обозначение: $$b=1+\frac{r}{100};$$ $$S_4=S_0*b-x;$$ $$S_5=S_4*b-x=$$ $$=(S_0*b-x)*b-x;$$ После 5-й выплаты долг станет 0: $$S_5=0;$$ $$(S_0*b-x)*b-x=0;$$ $$S_0*b^2-x*b-x=0;$$ $$4,2*b^2-x*b-x=0; \; (*)$$ В уравнении получилось 2 неизвестных - решить не можем. В условии задачи сказано, что общая выплата за весь срок кредита \(6,1 млн. р.\) Напомню, что первые 3 года мы выплачивали проценты, а последние два года выплаты были равны \(x:\)