Линейные уравнения

В этом уроке мы подробно познакомимся с линейными уравнениями. Узнаем, что такое уравнение, какие бывают виды, научимся их решать и поговорим про равносильные преобразования. Уравнения - это одна из важнейших тем по алгебре в 7-м классе, она закладывает основы для будущего изучения алгебры в старших классах и институте. Без уравнений также не обойтись и при изучении точных наук, таких как физика, химия, информатика и т.д.

Что такое уравнения

Уравнение - это равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных переменных.

Разберемся на примерах:

1. $$1+2=3;$$ Перед нами верное равенство: левая часть от знака равно равна правой. Но здесь нет неизвестных переменных, одни числа. Поэтому это равенство не будет уравнением.
2. $$1+3=6;$$ Это тоже не будет уравнением, так как нет неизвестной. Тем более это неверное равенство. Левая часть не равна правой части.
3. $$1+x=5;$$ А вот это равенство уже можно назвать уравнением: есть переменная \(x\). И здесь уже непонятно, равна ли левая часть равенства правой или нет. Все зависит от того, что подставить вместо переменной \(x\). Достаточно легко догадаться, что если вместо \(x\) подставить число \(4\), то равенство будет верным: $$1+4=5;$$ $$5=5;$$ Если подставить любое другое число, то будет уже неверное равенство.
4. $$3(2x^2-6)-6x^2+7x=3+x;$$ Такое равенство тоже будет являться уравнением, так как есть неизвестная \(x\) и даже не одна. Вот только подобрать сходу число, которое нужно подставить вместо \(x\), чтобы равенство стало верным, не так то просто.

Научиться решать уравнения - значит при помощи математических правил находить такие значения переменной \(x\), чтобы при их подстановке в исходное уравнение получалось верное равенство. Значения переменных, при которых равенство становится верным, называют корнями уравнения.

Важно понимать, что корнями уравнения могут быть сразу много значений \(x\) или ни одного. Если невозможно найти такое значение \(x\), чтобы равенство стало верным, то говорят, что такое уравнение не имеет корней.

Именно этим мы и будем заниматься: изучать правила, которые помогут нам решать любые уравнения, находить их корни или доказывать, что корней нет.

Существует большое количество типов уравнений:

• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Рациональные уравнения
• Иррациональные уравнения
• Однородные уравнения
• Уравнения с модулем
• Показательные уравнения
• Логарифмические уравнения
• Тригонометрические уравнения
• Смешанные уравнения
• Уравнения с параметром
• Системы уравнений

Но начнем мы с самого простого типа: линейных уравнений.

Линейные уравнения

В самом общем случае уравнение называется линейным, если после преобразований сводится к виду:

$$ax+b=0;$$

где \(a\) и \(b\) это какие-то числа, а \(x\) - переменная, которую надо найти.

Примеры линейных уравнений:

$$2x+3=0;$$ $$5+x=4;$$ $$7-(2x+1)+4x=x-10;$$

А вот такие уравнения не будут линейными:

$$x^2=4;$$ $$\frac{4}{x}=2;$$ $$\sqrt{x}=5;$$

Обратите внимание, что глядя на некоторые уравнения, сразу и не скажешь, линейное оно или нет. Но после элементарных преобразований оно превращается в линейное. В большинстве случаев сказать, линейное ли перед вами уравнение или нет, довольно сложно. Например:

$$(x+4)^2-(2x+4)^2=-3x^2$$

Такое странное уравнение со степенями кажется совсем не линейным. Но на самом деле, после преобразований оно сводится к линейному.

Чтобы научиться преобразовывать уравнения, нужно знать, что такое элементарные равносильные преобразования:

Элементарные равносильные преобразования уравнений

Преобразование уравнения называется равносильным, если при этом не меняются корни уравнения. Не меняются значит, что их не становится больше или меньше, они будут ровно такие же, и их будет ровно столько же, как и у исходного уравнения.

Перечислим все такие элементарные равносильные преобразования, их будет всего три:

1. Можно прибавлять и вычитать к левой и правой частям уравнения одно и то же число (выражение).
2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же число (выражение), не равное нулю.
3. Можно менять местами левую и правую части уравнения.

Рассмотрим применение этих преобразований на примерах:

Пример 1 $$x+2=3;$$ Воспользуемся первым равносильным преобразованием и вычтем из левой и правой частей уравнения число \(2\):

$$x+2-2=3-2;$$

Выполним арифметические действия:

$$x+0=1;$$ $$x=1.$$

Посмотрите, мы решили уравнение - нашли корень. Если подставить найденный корень вместо \(x\) в исходное уравнение, то получим верное равенство:

$$1+2=3;$$ $$3=3.$$

Поздравляю, мы решили наше первое уравнение!
Ответ: \(x=1.\)

Пример 2 $$-5+x=7;$$ Опять воспользуемся первым преобразованием и прибавим к обеим частям уравнения \(5\). У вас может возникнуть вопрос, как я так ловко выбираю, что именно прибавлять или вычитать. Все очень просто: в таких уравнениях главное сделать так, чтобы слева от знака равно стоял просто \(x\), поэтому, для того, чтобы избавиться от \((-5)\) слева, нужно прибавить \((+5)\):

$$-5+x+5=7+5;$$ $$-5+5+x=7+5;$$ $$0+x=12;$$ $$x=12;$$ Ответ: \(x=12.\)

Пример 3 $$2*x=6;$$ Чтобы «освободить» переменную \(x\) от умножения на \(2\), нужно поделить на \(2\). Здесь нам поможет второе преобразование: поделим полностью левую и правую части уравнения на \(2\):

$$\frac{2*x}{2}=\frac{6}{2};$$

Левая и правая части ЦЕЛИКОМ делятся на \(2\), поэтому удобно написать деление в виде дробей. (Все помнят, что знак дроби и знак деления это одно и то же?)
Сократим дроби:

$$\frac{\not2*x}{\not2}=\frac{\not6^3}{\not2};$$ $$x=3;$$ Ответ: \(x=3.\)

Пример 4 $$-10*x=30;$$ Опять воспользуемся вторым преобразованием и поделим уравнение на \((-10)\):

$$\frac{-10*x}{-10}=\frac{30}{-10};$$ $$x=-3;$$ Ответ: \(x=-3.\)

Пример 5 $$-x=7;$$ Данное уравнение можно переписать в виде:

$$-1*x=7;$$

Делим на \(-1\):

$$\frac{-1*x}{-1}=\frac{7}{-1};$$ $$x=-7;$$ Ответ: \(x=-7.\)

Внимание! Все знают, что в математике делить на нуль запрещено, потому уравнение вида: \(0*x=5\) не будет иметь решения. Делить можно на все, что угодно, кроме нуля. Можно подставлять вместо \(x\) абсолютно любые числа, но при умножении на ноль, вы всегда в результате получите 0. Поэтому такое уравнение не имеет решений.

Пример 6 $$\frac{x}{5}=4;$$ Чтобы избавиться слева от деления на \(5\), нужно выполнить противоположную арифметическую операцию и домножить на \(5\):

$$\frac{x}{5}*5=4*5;$$ $$\frac{x}{\not 5}*\frac{\not 5}{1}=4*5;$$ $$x=20;$$ Ответ: \(x=20.\)

Пример 7 $$2*x+1=3;$$ Перед нами уже более сложное уравнение. Напомню, что наша цель оставить слева только \(x\). Будем поэтапно идти к этому. Сначала избавимся от \(1\) слева:

$$2*x+1-1=3-1;$$ $$2x=2;$$

Теперь поделим уравнение на \(2\):

$$\frac{2x}{2}=\frac{2}{2};$$ $$x=1;$$ Ответ: \(x=1.\)

Пример 8 $$\frac{4x-3}{6}=2;$$ Домножим уравнение на \(6\):

$$\frac{4x-3}{6}*6=2*6;$$ $$\frac{4x-3}{\not 6}*\frac{\not 6}{1}=2*6;$$ $$4x-3=12$$ Прибавим \(3\): $$4x-3+3=12+3;$$ $$4x=15;$$ И разделим уравнение на \(4\): $$\frac{4x}{4}=\frac{15}{4};$$ $$x=\frac{15}{4};$$ Ответ: \(x=\frac{15}{4}.\)

Решение простых линейных уравнений при помощи переноса слагаемых

При решении линейных уравнений удобно пользоваться правилом переноса слагаемых:

Правило №1
При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую, слагаемое меняет свой знак на противоположный.

Правило является следствием из равносильных преобразований. Разберем, как обычно, при помощи примера:

Пример 9 $$x+3=7;$$ Перенесем число \(+3\) из левой части уравнения в правую, при этом не забываем поменять знак с \(+\) на \(-\):

$$x=7-3;$$ $$x=4;$$ Ответ: \(x=4.\)

Внимание! Знак перед числом всегда принадлежит этому числу, именно поэтому я сказал, что мы переносим \(+3\), а не просто \(3\).

Пример 10 $$x-5=3;$$ Теперь перенесем число \(-5\) из левой части в правую:

$$x=3+5;$$ $$x=8.$$ Ответ: \(x=8.\)

Правило №2
Переносим слагаемые с \(x\) в левую часть уравнения, а все числа в правую. Не забываем менять знак переносимых слагаемых на противоположный!

Пример 11 $$2*x+1=x-5;$$ Переносим \(+x\) из правой части в левую, а \((+1)\) из левой части в правую:

$$2*x-x=-5-1;$$

Приводим подобные слагаемые:

$$x=-6;$$ Ответ: \(x=-6.\)

Пример 12 $$5x-3=-2x+4;$$ $$5x+2x=4+3;$$ $$7x=7;$$ $$x=1;$$

Сложные уравнения, которые сводятся к линейным

Пример 13 $$\frac{3x-6}{2}=x+4;$$ Будем действовать постепенно. Для начала избавимся от деления на \(2\) в левой части уравнения:

$$\frac{3x-6}{2}*2=(x+4)*2;$$

Обратите внимание, что правую часть уравнения я взял в скобки, чтобы показать, что она вся умножается на \(2\). Запись \(x+4*2\) была бы неверной, так как тут на \(2\), согласно порядку действий, умножается только \(4\).
Раскрываем «фонтанчиком» скобки справа:

$$3x-6=2*x+8;$$ $$3x-2x=8+6;$$ $$x=14;$$ Ответ: \(x=14.\)

Пример 14 $$\frac{5x+7}{2}=\frac{2x-3}{3};$$ Домножим уравнение на наименьшее общее кратное \(2-ки\) и \(3-ки\): \(6-ку\).

$$\frac{5x+7}{2}*6=\frac{2x-3}{3}*6;$$ $$\frac{5x+7}{\not2}*\frac{\not6^3}{1}=\frac{2x-3}{\not3}*\frac{\not6^2}{1};$$ $$(5x+7)*3=(2x-3)*2;$$ Раскрываем скобки: $$15x+21=4x-6;$$ $$15x-4x=-6-21;$$ $$11x=-27;$$ $$x=-\frac{27}{11};$$ Ответ: \(x=-\frac{27}{11}.\)

Если произведение двух множителей равно \(0\), то хотя бы один из множителей обязательно тоже будет равен нулю.

Другими словами, если \(a*b=0\), то либо \(a=0\), либо \(b=0\).

Пример 14 $$(x-3)*(2x+8)=0;$$ Множителями здесь выступают выражения в скобках. Значит, чтобы произведение было равно нулю, необходимо равенство нулю одной из скобок:

$$x-3=0, \qquad либо \qquad 2x+8=0;$$

Решим получившиеся линейные уравнения:

$$x-3=0;$$ $$x=3.$$ $$2x+8=0;$$ $$2x=-8;$$ $$\frac{2x}{2}=\frac{-8}{2};$$ $$x=-4.$$

Получилось, что у уравнения будет два корня. Если любой из них подставить в исходное уравнение, получим верное равенство. Записываем ответ:
Ответ: \(x=3, \quad x=-4.\)

Пример 15 $$x*(5x-10)=0;$$ Здесь множителями будут: \(x\) и \((5x-10)\). Произведение равно нулю, а значит:

$$x=0, \qquad либо \qquad 5x-10=0;$$

Первое уравнение даже не нужно решать. А второе решим:

$$5x-10=0;$$ $$5x=10;$$ $$x=2;$$ Ответ: \(x=0, \qquad x=2.\)