Иррациональные уравнения

1. Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=a;\)
2. Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=g(x)\)
3. Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x)\)
4. Иррациональные уравнения вида \(a*\sqrt{f(x)}=g(x)\)
5. Иррациональные уравнения вида \(a*\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x)\)
6. Решение иррациональных уравнений вида \(g(x)*\sqrt{f(x)}=0\)
7. Уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\)
8. Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+q(x).\)
9. Метод замены переменной
10. Иррациональные уравнения с корнями \(n-й\) степени

Что такое иррациональные уравнения

Уравнения, в которых есть арифметические корни или степени с дробным показателем от выражений, зависящих от переменной \(x\), называются иррациональными. Это одни из самых неприятных уравнений в школьном курсе математики. Но бояться их не стоит, просто нужно внимательно следить, чтобы в процессе решения не появились посторонние корни.

Как решать такие уравнения, и откуда берутся посторонние корни, мы разберем в этом уроке.

Нам понадобятся уверенные знания по темам:

• Линейные, квадратные и рациональные уравнения;
• Квадратный корень и корень степени \(n\);
• Степень с рациональным показателем;
• ОДЗ;

Для начала на примерах разберемся, какие уравнения называются рациональными, а какие иррациональными:

\(x^2+4x-5=0\) - это обыкновенное квадратное уравнение, в нем нет никаких корней и дробных степеней, значит это уравнение рациональное;

\(\frac{x}{x+3}-\frac{4x^2}{x^2-9}=1\) - здесь тоже нет ни корней, ни дробных степеней: уравнение рациональное;

\(\sqrt{x}+x=27\) - а здесь есть арифметический квадратный корень \(\sqrt{x}\), поэтому это уравнение будет иррациональным;

\(x^{\frac{1}{3}}+3=10\) - так как в уравнении есть дробная степень \(x^{\frac{1}{3}}\), то это уравнение тоже будет иррациональным;

\(\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}}+2x=19\) - иррациональное уравнение, так как есть корень третьей степени \(\sqrt[3]{x+3}\).

Существует несколько основных типов иррациональных уравнений. Начнем с самого простого.

Что, если в правой части иррационального уравнения будет стоять не число, а выражение, зависящее от \(x\). В общем виде такие уравнения выглядят так: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\).
Разберем подробно, как такое решать на примере:

Пример 4 $$\sqrt{12-x}=x;$$ Практически любое иррациональное уравнение с квадратным корнем решается путем возведения в квадрат всего уравнения. Давайте сделаем это: $$(\sqrt{12-x})^2=x^2;$$ И решим получившееся уравнение: $$12-x=x^2;$$ $$x^2+x-12=0;$$ $$D=1+4*12=49;$$ $$x_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{1*2}=\frac{-1+7}{2}=3;$$ $$x_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{1*2}=\frac{-1-7}{2}=-4;$$

Мы получили два корня, попробуем подставить каждый из них в исходное уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются корнями: $$\sqrt{12-x}=x;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{12-3}=3;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{9}=3;$$ Получилось верное равенство: корень из \(9\) действительно равен \(3\).
Проверим теперь второй корень \(x_2=-4\): $$\sqrt{12-x}=x;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{12-(-4)}=-4;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{16}=-4;$$ А вот тут нас ждет разочарование: корень из \(16\) не равен \(-4\). Поэтому \(x_2=-4\) вычеркиваем.
Ответ: \(x=3.\)

Теперь давайте разбираться, как же так произошло, что один корень подходит, а другой нет. Мы же все делали правильно, откуда взялся посторонний корень? Теперь всегда надо в иррациональных уравнениях делать проверку? А ведь корней может быть много, да и само уравнение может быть сложным, чтобы в него все подставлять. В простых иррациональных уравнениях, как в примере №4, можно и подставить, ничего страшного - такие задания обычно встречаются в первой части ЕГЭ по профильной математике.

А в более сложных уравнениях неплохо было бы понимать, откуда берутся посторонние корни.

Еще раз посмотрите на исходное уравнение: \(\sqrt{12-x}=x\).
Квадратный корень не может быть равен отрицательному числу, поэтому, если правая часть уравнения меньше нуля, то корней не будет. В правую часть вместо \(x\) можно подставлять абсолютно любые значения, значит мы не знаем, отрицательная у нас правая часть или нет. Поэтому для того, чтобы были корни, необходимо, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной (больше или равна нуля): $$x \geq 0;$$ Действительно, наш второй корень \(x_2=-4\) не удовлетворяет этому условию, и его можно было сразу отбросить.

Посторонний корень \(x_2=-4\) появился в тот момент, когда мы возвели в квадрат левую и правую части уравнения. Ведь пропадает информация о том, что правая часть не может быть отрицательной. Из нового уравнения \(12-x=x^2\) никак не следует, что \(x \geq 0\). Поэтому это условие мы должны тащить за собой при решении, чтобы не появились лишние корни.

Грамотное решение должно было выглядеть в виде системы так: $$\sqrt{12-x}=x;$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} 12-x =x^2, \\ x \geq 0. \end{cases}$$ Решив квадратное уравнение, получим корни \(x_1=3\) и \(x_2=-4\), но второй корень не удовлетворяет второму условию в системе \(x \geq 0\), поэтому его отбрасываем.

Возведение уравнения в квадрат - это неравносильная операция, в результате которой могут появиться посторонние корни, поэтому необходимо накладывать дополнительные условия. Будьте внимательны.

Рассмотрим еще одно иррациональное уравнение:

Пример 5 $$\sqrt{2x^2+21x+4}=2+11x;$$ Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности, при этом не забываем наложить условие на правую часть: $$\begin{cases} (\sqrt{2x^2+21x+4})^2=(2+11x)^2, \\ 2+11x \geq 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x^2+21x+4=4+44x+121x^2, \\ 11x \geq -2; \end{cases} $$ $$\begin{cases} 2x^2+21x+4-4-44x-121x^2=0, \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -119x^2-23x=0, \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -x(119x+23)=0, \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x=0, \\ 119x+23=0; \end{gathered} \right. \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1=0, \\ x_2=-\frac{23}{119}; \end{gathered} \right. \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ \(x_2=-\frac{23}{119}\) меньше \(-\frac{2}{11}\), значит он не подходит - вычеркиваем. Ответ:
Ответ: \(x_1=0.\)

У внимательных студентов может возникнуть вопрос: а почему мы не накладывали условие на выражение, стоящее под квадратным корнем, оно тоже должно быть больше либо равно нуля. Все помнят, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел. $$\sqrt{f(x)}=g(x) \Rightarrow f(x) \geq 0 ???$$ Дело в том, что в рассмотренных примерах это условие будет излишним, ведь после возведения в квадрат, уравнение сводится к виду \(f(x)=g^2(x)\), то есть мы ищем такие корни, при которых \(f(x)\) равняется квадрату \(g^2(x) \geq 0\), а значит \(f(x)\) не может быть меньше нуля.

Уединение квадратного корня

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x)\)

Рассмотрим уравнения, в которых помимо квадратного корня в левой части есть еще другие слагаемые. Общий вид такого уравнения: $$\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x);$$ Тут уже так просто левую часть уравнения в квадрат не возведешь: $$\left(\sqrt{f(x)}+q(x)\right)^2=$$ $$=\left(\sqrt{f(x)}\right)^2+2*\sqrt{f(x)}*q(x)+q^2(x)=$$ $$=f(x)+2*\sqrt{f(x)}*q(x)+q^2(x);$$ Как видите, от корня мы не избавились, смысла возводить в квадрат нет.

Но проблема легко решается переносом всех лишних слагаемых в исходном уравнении из левой части в правую так, чтобы в левой части остался только корень и больше ничего: $$\sqrt{f(x)}=g(x)-q(x);$$ Теперь можно возводить в квадрат и решать аналогично примерам №4,5: $$\begin{cases} \left(\sqrt{f(x)}\right)^2=(g(x)-q(x))^2, \\ g(x)-q(x) \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} f(x)=(g(x)-q(x))^2, \\ g(x)-q(x) \geq 0; \end{cases} $$ Рассмотрим на примере:

Пример 6 $$\sqrt{x+7}+x+1=0;$$ В левой части уравнения кроме корня \(\sqrt{x+7}\) есть еще слагаемое \((x+1)\). Перекинем лишнее слагаемое в правую часть: $$\sqrt{x+7}=-x-1;$$ Уравнение стало аналогичным примерам №4 и №5. Теперь можно возводить уравнение в квадрат, и не забываем накладывать дополнительное условие на правую часть, чтобы исключить появление посторонних корней: $$\begin{cases} (\sqrt{x+7})^2=(-x-1)^2, \\ -x-1 \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x+7=x^2+2x+1, \\ x \le -1; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x^2+x-6=0, \\ x \le -1; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1=-3, \\ x_2=2; \end{gathered} \right. \\ x \le -1; \end{cases} $$ Корень \(x_2=2\) не удовлетворяет условию \(x \le -1\), поэтому вычеркиваем его.
Ответ: \(x=-3.\)

Решение иррациональных уравнений вида \(g(x)*\sqrt{f(x)}=0\)

Чтобы решить уравнение \(g(x)*\sqrt{f(x)}=0\), его не нужно возводить в квадрат, как другие иррациональные уравнения. Достаточно заметить, что левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей: \(g(x)\) и \(\sqrt{f(x)}\). А произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$g(x)=0 \qquad или \qquad \sqrt{f(x)}=0;$$ Кроме того, не забываем про то, что выражение под корнем не может быть отрицательным, поэтому необходимо учесть ОДЗ: \(f(x) \ge 0.\)
Запишем получившееся уравнения грамотно - в виде системы и совокупности: $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} g(x) = 0, \\ \sqrt{f(x)} = 0; \end{gathered} \right. \\ f(x) \ge 0; \end{cases} $$ Квадратный корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю: $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} g(x) = 0, \\ f(x) = 0; \end{gathered} \right. \\ f(x) \ge 0; \end{cases} $$ Решаем оба уравнения в совокупности, учитываем ОДЗ и все. Рассмотрим пример:

Пример 8 $$(x^2-16)*\sqrt{x+3}=0;$$ Сразу выпишем ОДЗ: $$x+3 \ge 0;$$ И приступаем к решению: $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x^2-16 = 0, \\ \sqrt{x+3} = 0; \end{gathered} \right. \\ x+3 \ge 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x^2 = 16, \\ x+3 = 0; \end{gathered} \right. \\ x \ge -3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_{1,2} = \pm 4, \\ x_3 = -3; \end{gathered} \right. \\ x \ge -3; \end{cases} $$ Корень \(x_2=-4\) нужно отбросить, так как он не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(x_{1}= 4\) и \(x_3=-3.\)

Рассмотрим наши рассуждения на примере:

Пример 9 $$\sqrt{3-2x}=\sqrt{x-3};$$ Возводим левую и правую части уравнения в квадрат и накладываем ограничения: $$\begin{cases} 3-2x=x-3, \\ x-3 \ge 0; \end{cases}$$ Обратите внимание, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным, то мы накладываем условие \(x-3 \ge 0\). Условие \(3-2x \ge 0\) будет выполняться автоматически в силу равенства \(3-2x=x-3\): мы ищем такие \(x\), при которых левая и правая части уравнения равны, а значит если одна часть больше либо равна нуля, то другая тоже будет неотрицательна. Можно было наложить условие \(3-2x \ge 0\) вместо \(x-3 \ge 0\), разницы совершенно никакой. Но неравенство \(x-3 \ge 0\) немного легче. Осталось только решить систему: $$\begin{cases} -3x=-6, \\ x \ge 3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x=2, \\ x \ge 3. \end{cases} $$ Учитывая, что \(x \ge 3\), корней нет.
Ответ: Корней нет.

Пример 10 $$\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=\sqrt{x^4+2x^2};$$ Для выполнения данного равенства необходимо, чтобы подкоренные выражения были равны и неотрицательны: $$ \begin{cases} x^4+8x^3+2x^2-1=x^4+2x^2, \\ x^4+2x^2 \ge 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 8x^3-1=0, \\ x^2(x^2+2) \ge 0; \end{cases} $$ Второе неравенство будет верно при любых значениях \(x\), так как множители \(x^2\) и скобка \((x^2+2)\) всегда больше либо равны нулю. А произведение двух положительных множителей всегда положительно.

Система сводится к решению простого кубического уравнения: $$8x^3-1=0;$$ $$x^3=\frac{1}{8};$$ $$x=\frac{1}{2};$$ Ответ: \(x=\frac{1}{2}.\)

Метод замены переменной в иррациональных уравнениях

Подробно про метод замены переменной в уравнениях и неравенствах можно почитать в отдельной статье. А сейчас мы обсудим, как использовать замену в иррациональных уравнениях.

Если в уравнении есть несколько корней и они одинаковые, то, вероятно, такой пример решается при помощи замены. Рассмотрим пример:

Пример 13 $$\sqrt{3-x}+\frac{4}{\sqrt{3-x}+3}=2;$$ Пусть \(t=\sqrt{3-x}\), при этом \(t \ge 0\), так как квадратный корень не может быть отрицательным. Уравнение принимает вид: $$t+\frac{4}{t+3}=2;$$ Получили обыкновенное дробно-рациональное уравнение относительно переменной \(t\). Перекидываем \(2-ку\) из правой части в левую и приводим к общему знаменателю: $$\frac{t*(t+3)+4-2(t+3)}{t+3}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$t(t+3)-2(t+3)+4=0;$$ $$t^2+3t-2t-6+4=0;$$ $$t^2+t-2;$$ $$D=1-4*(-2)=9;$$ $$t_1=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=\frac{2}{2}=1;$$ $$t_2=\frac{-1-\sqrt{9}}{2}=\frac{-4}{2}=-2;$$ Корень \(t_2=-2\) не подходит, так как в начале примера, когда делали замену, мы наложили ограничение \(t \ge 0\). Делаем обратную замену: $$\sqrt{3-x}=1;$$ Возводим в квадрат: $$3-x=1;$$ $$x=2.$$ Ответ: \(x=2.\)

Иррациональные уравнения с корнями \(n-й\) степени

Если в уравнении корень не квадратный, а большей степени, то решение таких уравнений зависит от того, четная или нечетная степень у корня.

Уравнения с корнем четной степени

Такие уравнения ничем не отличаются от уравнений с квадратными корнями. Все рассуждения, которые мы проводили для арифметических квадратных корней, справедливы и для корней четной степени. Единственное логичное отличие в решении: мы будем возводить уравнение не в квадрат, а в ту степень, в какой корень.

Пример 14 $$\sqrt[4]{x+2}=3;$$ Возводим левую и правую части уравнения в четвертую степень: $$(\sqrt[4]{x+2})^4=3^4;$$ $$x+2=81;$$ $$x=79;$$ Ответ: \(x=79.\)

Уравнения с корнем нечетной степени

Иррациональные уравнения с нечетными корнями, как правило, гораздо проще уравнений с четными. Дело в том, что корень нечетной степени существует и от отрицательных, и от положительных значений, а это означает, что при избавлении от корня нечетной степени в иррациональном уравнении не нужно бояться, что появятся посторонние корни. Можно возводить уравнение в нечетную степень, чтобы избавиться от иррациональности, без каких либо условий.

Пример 15 $$\sqrt[3]{3-x}-\sqrt[3]{10-x}=-1;$$ Поменяем местами слагаемые: $$\sqrt[3]{10-x}=1+\sqrt[3]{3-x};$$ И возведем уравнение в куб. Тут понадобится знание формулы куба суммы: \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\) $$(\sqrt[3]{10-x})^3=(1+\sqrt[3]{3-x})^3;$$ $$10-x=1^3+3*1^2*\sqrt[3]{3-x}+3*1*(\sqrt[3]{3-x})^2+(\sqrt[3]{3-x})^3;$$ $$10-x=1+3*\sqrt[3]{3-x}+3*(\sqrt[3]{3-x})^2+3-x;$$ Приведем подобные слагаемые: $$3*(\sqrt[3]{3-x})^2+3*\sqrt[3]{3-x}-6=0;$$ Пусть \(t=\sqrt[3]{3-x}\): $$3t^2+3t-6=0;$$ $$ \begin{gathered} t_{1} = 1, \\ t_{2} = -2; \end{gathered} $$ Обратная замена: $$ \begin{gathered} \sqrt[3]{3-x} = 1, \\ \sqrt[3]{3-x} = -2; \end{gathered} $$ Получилось, что кубический корень равен отрицательному числу, но это нормально: корни нечетной степени могут быть равны отрицательным числам.

Чтобы решить получившиеся уравнения, необходимо возвести их в третью степень: $$ \begin{gathered} 3-x = 1, \\ 3-x = -8; \end{gathered} \Rightarrow \begin{gathered} x_1 = 2, \\ x_2 = 11; \end{gathered} $$ Ответ: \(x_1=2\) и \(x_2=11.\)

Как видите, никаких условий при решении уравнения с кубическим корнем, мы не накладывали, просто избавлялись от корня, возводя все уравнение в куб. С нечетными степенями в этом плане никаких проблем, как правило, нет.