урок 6. Математика

Иррациональные уравнения

Что такое иррациональные уравнения

Уравнения, в которых есть арифметические корни или степени с дробным показателем от выражений, зависящих от переменной \(x\), называются иррациональными. Это одни из самых неприятных уравнений в школьном курсе математики. Но бояться их не стоит, просто нужно внимательно следить, чтобы в процессе решения не появились посторонние корни.

Как решать такие уравнения, и откуда берутся посторонние корни, мы разберем в этом уроке.

Нам понадобятся уверенные знания по темам:

Для начала на примерах разберемся, какие уравнения называются рациональными, а какие иррациональными:

\(x^2+4x-5=0\) - это обыкновенное квадратное уравнение, в нем нет никаких корней и дробных степеней, значит это уравнение рациональное;

\(\frac{x}{x+3}-\frac{4x^2}{x^2-9}=1\) - здесь тоже нет ни корней, ни дробных степеней: уравнение рациональное;

\(\sqrt{x}+x=27\) - а здесь есть арифметический квадратный корень \(\sqrt{x}\), поэтому это уравнение будет иррациональным;

\(x^{\frac{1}{3}}+3=10\) - так как в уравнении есть дробная степень \(x^{\frac{1}{3}}\), то это уравнение тоже будет иррациональным;

\(\frac{1}{\sqrt[3]{x+3}}+2x=19\) - иррациональное уравнение, так как есть корень третьей степени \(\sqrt[3]{x+3}\).

Существует несколько основных типов иррациональных уравнений. Начнем с самого простого.

Иррациональные уравнения с одним квадратным корнем

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=a\)

\(a\) - некоторое число;

Алгоритм:

$$\sqrt{f(x)}=a;$$ Если \(a \geq 0:\) $$\left(\sqrt{f(x)}\right)^2=a^2;$$ $$f(x)=a^2;$$ Если \(a < 0\): нет корней.

Разберем подробно решение иррационального уравнения \(\sqrt{f(x)}=a\) на примере:

Пример 1 $$\sqrt{x+5}=12;$$ Первым делом, в любом иррациональном уравнении необходимо избавиться от иррациональности - от корня. Самый очевидный способ: возвести уравнение в квадрат. Для этого мы целиком возводим правую и левую части уравнения в квадрат. В уравнениях этого типа операция возведения в квадрат - это равносильная операция, то есть корни уравнения до возведения в квадрат и после будут одинаковыми: $$(\sqrt{x+5})^2=(12)^2;$$ Обратите внимания на скобки, тем самым, я акцентирую внимание на возведении в квадрат полностью правой и левой частей уравнения.

Кто хорошо помнит свойства квадратного корня, должны знать, что если квадратный корень возвести в квадрат, то останется только подкоренное выражение: $$(\sqrt{b})^2=b, \; при \; b \geq 0;$$ Поэтому наше уравнение примет вид: $$x+5=144;$$ У нас получилось свести иррациональное уравнение к самому простому линейному виду.
Находим корень: $$x=139;$$ Ответ: \(x=139.\)

Решим еще один пример:

Пример 2 $$\sqrt{x^2-5x+5}=1;$$ Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности (от корня): $$x^2-5x+5=1;$$ $$x^2-5x+5-1=0;$$ $$x^2-5x+4=0;$$ Получили квадратное уравнение, которые решается через дискриминант: $$D=(-5)^2-4*1*4=25-16=9;$$ $$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2*1}=\frac{5+3}{2}=4;$$ $$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2*1}=\frac{5-3}{2}=1;$$ Ответ: \(x_1=4\) и \(x_2=1.\)

Пример 3 $$\sqrt{x^2-x}=-5;$$ Внимание!
В правой части уравнения отрицательное число, а квадратный корень не может быть отрицательным. Это уравнение не имеет корней.
Ответ: Нет корней.

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=g(x)\)

Алгоритм:

$$\sqrt{f(x)}=g(x);$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} f(x)=g^2(x), \\ g(x) \geq 0. \end{cases} $$

Что, если в правой части иррационального уравнения будет стоять не число, а выражение, зависящее от \(x\). В общем виде такие уравнения выглядят так: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\).
Разберем подробно, как такое решать на примере:

Пример 4 $$\sqrt{12-x}=x;$$ Практически любое иррациональное уравнение с квадратным корнем решается путем возведения в квадрат всего уравнения. Давайте сделаем это: $$(\sqrt{12-x})^2=x^2;$$ И решим получившееся уравнение: $$12-x=x^2;$$ $$x^2+x-12=0;$$ $$D=1+4*12=49;$$ $$x_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{1*2}=\frac{-1+7}{2}=3;$$ $$x_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{1*2}=\frac{-1-7}{2}=-4;$$

Мы получили два корня, попробуем подставить каждый из них в исходное уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются корнями: $$\sqrt{12-x}=x;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{12-3}=3;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{9}=3;$$ Получилось верное равенство: корень из \(9\) действительно равен \(3\).
Проверим теперь второй корень \(x_2=-4\): $$\sqrt{12-x}=x;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{12-(-4)}=-4;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{16}=-4;$$ А вот тут нас ждет разочарование: корень из \(16\) не равен \(-4\). Поэтому \(x_2=-4\) вычеркиваем.
Ответ: \(x=3.\)

Теперь давайте разбираться, как же так произошло, что один корень подходит, а другой нет. Мы же все делали правильно, откуда взялся посторонний корень? Теперь всегда надо в иррациональных уравнениях делать проверку? А ведь корней может быть много, да и само уравнение может быть сложным, чтобы в него все подставлять. В простых иррациональных уравнениях, как в примере №4, можно и подставить, ничего страшного - такие задания обычно встречаются в первой части ЕГЭ по профильной математике.

А в более сложных уравнениях неплохо было бы понимать, откуда берутся посторонние корни.

Еще раз посмотрите на исходное уравнение: \(\sqrt{12-x}=x\).
Квадратный корень не может быть равен отрицательному числу, поэтому, если правая часть уравнения меньше нуля, то корней не будет. В правую часть вместо \(x\) можно подставлять абсолютно любые значения, значит мы не знаем, отрицательная у нас правая часть или нет. Поэтому для того, чтобы были корни, необходимо, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной (больше или равна нуля): $$x \geq 0;$$ Действительно, наш второй корень \(x_2=-4\) не удовлетворяет этому условию, и его можно было сразу отбросить.

Посторонний корень \(x_2=-4\) появился в тот момент, когда мы возвели в квадрат левую и правую части уравнения. Ведь пропадает информация о том, что правая часть не может быть отрицательной. Из нового уравнения \(12-x=x^2\) никак не следует, что \(x \geq 0\). Поэтому это условие мы должны тащить за собой при решении, чтобы не появились лишние корни.

Грамотное решение должно было выглядеть в виде системы так: $$\sqrt{12-x}=x;$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} 12-x =x^2, \\ x \geq 0. \end{cases}$$ Решив квадратное уравнение, получим корни \(x_1=3\) и \(x_2=-4\), но второй корень не удовлетворяет второму условию в системе \(x \geq 0\), поэтому его отбрасываем.

Возведение уравнения в квадрат - это неравносильная операция, в результате которой могут появиться посторонние корни, поэтому необходимо накладывать дополнительные условия. Будьте внимательны.

Рассмотрим еще одно иррациональное уравнение:

Пример 5 $$\sqrt{2x^2+21x+4}=2+11x;$$ Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности, при этом не забываем наложить условие на правую часть: $$\begin{cases} (\sqrt{2x^2+21x+4})^2=(2+11x)^2, \\ 2+11x \geq 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x^2+21x+4=4+44x+121x^2, \\ 11x \geq -2; \end{cases} $$ $$\begin{cases} 2x^2+21x+4-4-44x-121x^2=0, \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -119x^2-23x=0, \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -x(119x+23)=0, \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x=0, \\ 119x+23=0; \end{gathered} \right. \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1=0, \\ x_2=-\frac{23}{119}; \end{gathered} \right. \\ x \geq -\frac{2}{11}; \end{cases} $$ \(x_2=-\frac{23}{119}\) меньше \(-\frac{2}{11}\), значит он не подходит - вычеркиваем. Ответ:
Ответ: \(x_1=0.\)

У внимательных студентов может возникнуть вопрос: а почему мы не накладывали условие на выражение, стоящее под квадратным корнем, оно тоже должно быть больше либо равно нуля. Все помнят, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел. $$\sqrt{f(x)}=g(x) \Rightarrow f(x) \geq 0 ???$$ Дело в том, что в рассмотренных примерах это условие будет излишним, ведь после возведения в квадрат, уравнение сводится к виду \(f(x)=g^2(x)\), то есть мы ищем такие корни, при которых \(f(x)\) равняется квадрату \(g^2(x) \geq 0\), а значит \(f(x)\) не может быть меньше нуля.

Уединение квадратного корня

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x)\)

Рассмотрим уравнения, в которых помимо квадратного корня в левой части есть еще другие слагаемые. Общий вид такого уравнения: $$\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x);$$ Тут уже так просто левую часть уравнения в квадрат не возведешь: $$\left(\sqrt{f(x)}+q(x)\right)^2=$$ $$=\left(\sqrt{f(x)}\right)^2+2*\sqrt{f(x)}*q(x)+q^2(x)=$$ $$=f(x)+2*\sqrt{f(x)}*q(x)+q^2(x);$$ Как видите, от корня мы не избавились, смысла возводить в квадрат нет.

Но проблема легко решается переносом всех лишних слагаемых в исходном уравнении из левой части в правую так, чтобы в левой части остался только корень и больше ничего: $$\sqrt{f(x)}=g(x)-q(x);$$ Теперь можно возводить в квадрат и решать аналогично примерам №4,5: $$\begin{cases} \left(\sqrt{f(x)}\right)^2=(g(x)-q(x))^2, \\ g(x)-q(x) \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} f(x)=(g(x)-q(x))^2, \\ g(x)-q(x) \geq 0; \end{cases} $$ Рассмотрим на примере:

Пример 6 $$\sqrt{x+7}+x+1=0;$$ В левой части уравнения кроме корня \(\sqrt{x+7}\) есть еще слагаемое \((x+1)\). Перекинем лишнее слагаемое в правую часть: $$\sqrt{x+7}=-x-1;$$ Уравнение стало аналогичным примерам №4 и №5. Теперь можно возводить уравнение в квадрат, и не забываем накладывать дополнительное условие на правую часть, чтобы исключить появление посторонних корней: $$\begin{cases} (\sqrt{x+7})^2=(-x-1)^2, \\ -x-1 \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x+7=x^2+2x+1, \\ x \le -1; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x^2+x-6=0, \\ x \le -1; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1=-3, \\ x_2=2; \end{gathered} \right. \\ x \le -1; \end{cases} $$ Корень \(x_2=2\) не удовлетворяет условию \(x \le -1\), поэтому вычеркиваем его.
Ответ: \(x=-3.\)

Иррациональные уравнения вида \(a*\sqrt{f(x)}=g(x)\)

Теперь рассмотрим иррациональное уравнение, в котором перед корнем стоит числовой множитель - это может быть как положительное, так и отрицательное число, но иногда перед корнем стоит просто знак минус, что эквивалентно множителю \(-1\). В общем виде такое уравнение выглядит так: $$a*\sqrt{f(x)}=g(x);$$ Общее правило при решении такого вида уравнений: избавиться от множителя, поделив на него все уравнение: $$\frac{a*\sqrt{f(x)}}{a}=\frac{g(x)}{a};$$ $$\sqrt{f(x)}=\frac{g(x)}{a};$$ Возводим в квадрат, наложив условие \(\left(\frac{g(x)}{a} \geq 0\right)\) на правую часть: $$\begin{cases} (\sqrt{f(x)})^2=\left(\frac{g(x)}{a}\right)^2, \\ \frac{g(x)}{a} \geq 0; \end{cases} $$ При этом стоит отметить, что если \(a \geq 0\), то делить на него необязательно, можно сразу возводить уравнение в квадрат.

Пример 7 $$-3+x = -3\sqrt{1-x^2};$$ Чтобы уравнение было в привычном виде, перевернем его: $$-3\sqrt{1-x^2} = -3+x;$$ Избавимся от множителя \((-3)\) перед корнем, разделив на него левую и правую части уравнения: $$\frac{-3\sqrt{1-x^2}}{-3} = \frac{-3+x}{-3};$$ $$\sqrt{1-x^2} = \frac{3-x}{3};$$ Возводим в квадрат: $$\begin{cases} \left(\sqrt{1-x^2}\right)^2 = \left(\frac{3-x}{3}\right)^2, \\ \frac{3-x}{3} \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 1-x^2 = \frac{9-18x+x^2}{9}, \\ 3-x \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 1-x^2 = \frac{9-18x+x^2}{9}, \\ 3-x \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 9-9x^2 = 9-18x+x^2, \\ x \le 3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 10x^2-18x=0, \\ x \le 3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 2x(5x-9)=0, \\ x \le 3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_1=0, \\ x_2=\frac{9}{5}; \end{gathered} \right. \\ x \le 3. \end{cases} $$ Оба найденных корня подходят, записываем их в ответ:
Ответ: \(x_1=0\) и \(x_2=\frac{9}{5}.\)

Алгоритм решения иррациональных уравнений с одним квадратным корнем

Иррациональное уравнение с одним квадратным корнем в самом общем виде: $$a*\sqrt{f(x)}+q(x)=g(x);$$ где \(f(x)\), \(g(x)\) и \(q(x)\) - это некоторые рациональные выражения, зависящие от переменной \(x\);
\(a\) - константа (число);

  • Необходимо преобразовать уравнение так, чтобы с одной стороны от знака равно стоял только квадратный корень: без множителей и слагаемых. Для этого переносим все лишние слагаемые в другую часть: $$a*\sqrt{f(x)}=g(x)-q(x);$$ И избавляемся от множителя \(a\) перед корнем (от знака минус перед корнем, если он есть, тоже необходимо избавиться): $$\frac{a*\sqrt{f(x)}}{a}=\frac{g(x)-q(x)}{a};$$ $$\sqrt{f(x)}=\frac{g(x)-q(x)}{a};$$
  • Возводим левую и правую части уравнения в квадрат, при этом следим, чтобы правая часть уравнения была больше, либо равна нулю: $$ \begin{cases} \left(\sqrt{f(x)}\right)^2=\left(\frac{g(x)-q(x)}{a}\right)^2, \\ \frac{g(x)-q(x)}{a} \geq 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} f(x)=\left(\frac{g(x)-q(x)}{a}\right)^2, \\ \frac{g(x)-q(x)}{a} \geq 0; \end{cases} $$
  • Решаем получившуюся систему.

Решение иррациональных уравнений вида \(g(x)*\sqrt{f(x)}=0\)

Чтобы решить уравнение \(g(x)*\sqrt{f(x)}=0\), его не нужно возводить в квадрат, как другие иррациональные уравнения. Достаточно заметить, что левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей: \(g(x)\) и \(\sqrt{f(x)}\). А произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$g(x)=0 \qquad или \qquad \sqrt{f(x)}=0;$$ Кроме того, не забываем про то, что выражение под корнем не может быть отрицательным, поэтому необходимо учесть ОДЗ: \(f(x) \ge 0.\)
Запишем получившееся уравнения грамотно - в виде системы и совокупности: $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} g(x) = 0, \\ \sqrt{f(x)} = 0; \end{gathered} \right. \\ f(x) \ge 0; \end{cases} $$ Квадратный корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю: $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} g(x) = 0, \\ f(x) = 0; \end{gathered} \right. \\ f(x) \ge 0; \end{cases} $$ Решаем оба уравнения в совокупности, учитываем ОДЗ и все. Рассмотрим пример:

Пример 8 $$(x^2-16)*\sqrt{x+3}=0;$$ Сразу выпишем ОДЗ: $$x+3 \ge 0;$$ И приступаем к решению: $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x^2-16 = 0, \\ \sqrt{x+3} = 0; \end{gathered} \right. \\ x+3 \ge 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x^2 = 16, \\ x+3 = 0; \end{gathered} \right. \\ x \ge -3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_{1,2} = \pm 4, \\ x_3 = -3; \end{gathered} \right. \\ x \ge -3; \end{cases} $$ Корень \(x_2=-4\) нужно отбросить, так как он не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(x_{1}= 4\) и \(x_3=-3.\)

Иррациональные уравнения с несколькими корнями

Уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\)

Два корня будут равны друг другу, если равны их подкоренные выражения: $$f(x)=g(x);$$ Но просто решив это уравнение, вы, скорее всего, получите лишние корни. Необходимо следить за тем, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. При этом накладывать ограничения сразу на оба подкоренных выражения нет необходимости, так как мы решаем уравнение \(f(x)=g(x)\), а значит, если \(f(x) \ge 0\), то и \(g(x)\) тоже будет неотрицательным: $$f(x) \ge 0 \qquad или \qquad g(x) \ge 0;$$ Какое неравенство легче, то и решаем.

Алгоритм решения уравнения \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\)

Решаем ту систему, которая легче: $$ \begin{cases} f(x)=g(x), \\ f(x) \ge 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} f(x)=g(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases} $$

Рассмотрим наши рассуждения на примере:

Пример 9 $$\sqrt{3-2x}=\sqrt{x-3};$$ Возводим левую и правую части уравнения в квадрат и накладываем ограничения: $$\begin{cases} 3-2x=x-3, \\ x-3 \ge 0; \end{cases}$$ Обратите внимание, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным, то мы накладываем условие \(x-3 \ge 0\). Условие \(3-2x \ge 0\) будет выполняться автоматически в силу равенства \(3-2x=x-3\): мы ищем такие \(x\), при которых левая и правая части уравнения равны, а значит если одна часть больше либо равна нуля, то другая тоже будет неотрицательна. Можно было наложить условие \(3-2x \ge 0\) вместо \(x-3 \ge 0\), разницы совершенно никакой. Но неравенство \(x-3 \ge 0\) немного легче. Осталось только решить систему: $$\begin{cases} -3x=-6, \\ x \ge 3; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x=2, \\ x \ge 3. \end{cases} $$ Учитывая, что \(x \ge 3\), корней нет.
Ответ: Корней нет.

Пример 10 $$\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=\sqrt{x^4+2x^2};$$ Для выполнения данного равенства необходимо, чтобы подкоренные выражения были равны и неотрицательны: $$ \begin{cases} x^4+8x^3+2x^2-1=x^4+2x^2, \\ x^4+2x^2 \ge 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 8x^3-1=0, \\ x^2(x^2+2) \ge 0; \end{cases} $$ Второе неравенство будет верно при любых значениях \(x\), так как множители \(x^2\) и скобка \((x^2+2)\) всегда больше либо равны нулю. А произведение двух положительных множителей всегда положительно.

Система сводится к решению простого кубического уравнения: $$8x^3-1=0;$$ $$x^3=\frac{1}{8};$$ $$x=\frac{1}{2};$$ Ответ: \(x=\frac{1}{2}.\)

Иррациональные уравнения вида \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+q(x).\)

Уравнения, в которых несколько квадратных корней и, кроме того, есть дополнительные слагаемые и множители, считаются уравнениями повышенной сложности. Как правило, для решения требуется несколько раз возводить уравнение в квадрат и при этом внимательно следить, чтобы не нарушалась равносильность преобразований. Единого алгоритма решения тут нет, каждое уравнение обычно имеет свои особенности.

Главное правило в таких уравнениях: записывать ОДЗ.

Так как квадратный корень от отрицательного числа не существует, то нужно внимательно следить, чтобы подкоренные выражения не были отрицательными - это и будет ОДЗ: $$\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+q(x);$$ ОДЗ: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0; \end{cases} $$ Рассмотрим несколько примеров:

Пример 11 $$\sqrt{4+x}-\sqrt{5-x}=3;$$ Запишем ОДЗ: $$ \begin{cases} 4+x \ge 0, \\ 5-x \ge 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x \ge -4, \\ x \le 5; \end{cases} $$ Теперь приступаем к решению самого уравнения. Уравнение в исходном виде лучше не возводить в квадрат, тогда придется накладывать ограничение \((\sqrt{4+x}-\sqrt{5-x} \ge 0)\). А решать такое неравенство с двумя корнями не самое приятное занятие. Подробнее про то, как решать иррациональные неравенства можно посмотреть тут.

Чтобы избежать этого, перекинем отрицательный корень в правую часть уравнения: $$\sqrt{4+x}=3+\sqrt{5-x};$$ В таком виде уравнение смело можно возводить в квадрат, так как обе части уравнения точно неотрицательны: слева стоит квадратный корень (всегда больше либо равен нулю), а справа сумма положительного числа и неотрицательного корня (тоже точно положительный). Поэтому при возведении в квадрат не нужно накладывать условия, все само собой выполняется: $$\left(\sqrt{4+x}\right)^2=\left(3+\sqrt{5-x}\right)^2;$$ $$4+x=9+2*3*\sqrt{5-x}+\left(\sqrt{5-x}\right)^2;$$ $$4+x=9+2*3*\sqrt{5-x}+5-x;$$ Уравнение свелось к виду, рассмотренному выше. Уединяем квадратный корень, перекидывая все лишние слагаемые в левую часть: $$4+x-9-5+x=6*\sqrt{5-x};$$ $$-10+2*x=6*\sqrt{5-x};$$ И еще раз возводим в квадрат, тут уже без ограничений на левую часть не обойтись: $$ \begin{cases} (-10+2*x)^2=\left(6*\sqrt{5-x}\right)^2, \\ -10+2x \ge 0; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 100-40x+4x^2=36(5-x), \\ 2x \ge 10; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} 4x^2-4x-80=0, \\ x \ge 5; \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x_{1} = 5, \\ x_{2} = -4; \end{gathered} \right. \\ x \ge 5; \end{cases} $$ Условию \(x \ge 5\) удовлетворяет только корень \(x_1=5\). Проверяем, чтобы этот корень удовлетворял ОДЗ: \(x \in [-4;5]\) - все хорошо. Записываем ответ:
Ответ: \(x=5.\)

Пример 12 $$\sqrt{3x^2-5x+8}-\sqrt{3x^2-5x+1}=1;$$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x^2-5x+8 \ge 0, \\ 3x^2-5x+1 \ge 0; \end{cases} $$ Вспомнить, как решаются квадратные неравенства, можно тут. Решим каждое по-отдельности: $$3x^2-5x+8 \ge 0;$$ $$D=(-5)^2-4*3*8=25-96=-71;$$ Дискриминант получился отрицательным, так как ветки параболы направлены вверх, то это неравенство справедливо при любых \(x\). Решим второе неравенство: $$3x^2-5x+1 \ge 0;$$ Раскладываем через дискриминант квадратный многочлен на множители: $$3(x-\frac{5+\sqrt{13}}{6})(x-\frac{5-\sqrt{13}}{6}) \ge 0;$$ $$x \in \left[- \infty; \frac{5+\sqrt{13}}{6}\right] \cup \left[- \infty; \frac{5+\sqrt{13}}{6}\right].$$ Мы решаем систему неравенств, значит нужно найти пересечение этих решений. Так как первое неравенство справедливо при любых \(x\), то пересечением будет просто решение второго: $$x \in \left[- \infty; \frac{5-\sqrt{13}}{6}\right] \cup \left[\frac{5+\sqrt{13}}{6}; +\infty\right].$$ ОДЗ нашли. Отмечу, что решать неравенства было здесь необязательно. Можно найти корни уравнения и потом просто подставить их либо в исходное уравнение, либо подставить в неравенства из ОДЗ.

Теперь можно приступать к решению исходного уравнения. Перекинем второй квадратный корень в правую часть, чтобы обе части уравнения были положительны: $$\sqrt{3x^2-5x+8}=1+\sqrt{3x^2-5x+1};$$ Возводим в квадрат: $$\left(\sqrt{3x^2-5x+8}\right)^2=\left(1+\sqrt{3x^2-5x+1}\right)^2;$$ $$3x^2-5x+8=1+2*1*\sqrt{3x^2-5x+1}+\left(\sqrt{3x^2-5x+1}\right)^2;$$ $$3x^2-5x+8=1+2*\sqrt{3x^2-5x+1}+3x^2-5x+1;$$ Уединяем корень, для этого перекидываем все слагаемые, кроме арифметического корня, в левую часть уравнения: $$3x^2-5x+8-1-3x^2+5x-1=2*\sqrt{3x^2-5x+1};$$ $$6=2*\sqrt{3x^2-5x+1};$$ Разделим уравнение на \(2\): $$3=\sqrt{3x^2-5x+1};$$ И еще раз возводим в квадрат. Здесь не нужно накладывать никаких ограничений, так как в результате возведения в квадрат подкоренное выражение будет равно положительному числу, то есть автоматически будет положительно: $$9=3x^2-5x+1;$$ $$3x^2-5x-8=0;$$ $$D=25-4*3*(-8)=25+96=121;$$ $$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{121}}{2*3}=\frac{5+11}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3};$$ $$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{121}}{2*3}=\frac{5-11}{6}=\frac{-6}{6}=-1;$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ, записываем ответ:
Ответ: \(x_{1}= \frac{8}{3}\) и \(x_{2}=-1.\)

Алгоритм решения иррациональных уравнений с несколькими корнями

  • Записать ОДЗ;
  • Возвести обе части уравнения в квадрат. При этом надо стараться, чтобы при возведении в квадрат приходилось накладывать как можно меньше условий. Это возможно в том случае, если перед возведением в квадрат левая и правая части уравнения гарантированно положительны, например, сумма двух корней или корня и положительного числа. Если получилось перенести слагаемые и свести к такому виду, то остается внимательно следить только за ОДЗ, чтобы подкоренные выражения не были отрицательными;
  • Возводить уравнение в квадрат до тех пор, пока полностью не избавитесь от иррациональности (от корней). В итоге, иррациональное уравнение должно свеcтиcь к обыкновенному рациональному;
  • Решить рациональное уравнение;
  • Проверить найденные корни уравнения. Для уверенности можно подставить их в исходное уравнение.

Метод замены переменной в иррациональных уравнениях

Подробно про метод замены переменной в уравнениях и неравенствах можно почитать в отдельной статье. А сейчас мы обсудим, как использовать замену в иррациональных уравнениях.

Если в уравнении есть несколько корней и они одинаковые, то, вероятно, такой пример решается при помощи замены. Рассмотрим пример:

Пример 13 $$\sqrt{3-x}+\frac{4}{\sqrt{3-x}+3}=2;$$ Пусть \(t=\sqrt{3-x}\), при этом \(t \ge 0\), так как квадратный корень не может быть отрицательным. Уравнение принимает вид: $$t+\frac{4}{t+3}=2;$$ Получили обыкновенное дробно-рациональное уравнение относительно переменной \(t\). Перекидываем \(2-ку\) из правой части в левую и приводим к общему знаменателю: $$\frac{t*(t+3)+4-2(t+3)}{t+3}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$t(t+3)-2(t+3)+4=0;$$ $$t^2+3t-2t-6+4=0;$$ $$t^2+t-2;$$ $$D=1-4*(-2)=9;$$ $$t_1=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=\frac{2}{2}=1;$$ $$t_2=\frac{-1-\sqrt{9}}{2}=\frac{-4}{2}=-2;$$ Корень \(t_2=-2\) не подходит, так как в начале примера, когда делали замену, мы наложили ограничение \(t \ge 0\). Делаем обратную замену: $$\sqrt{3-x}=1;$$ Возводим в квадрат: $$3-x=1;$$ $$x=2.$$ Ответ: \(x=2.\)

Иррациональные уравнения с корнями \(n-й\) степени

Если в уравнении корень не квадратный, а большей степени, то решение таких уравнений зависит от того, четная или нечетная степень у корня.


Уравнения с корнем четной степени

Такие уравнения ничем не отличаются от уравнений с квадратными корнями. Все рассуждения, которые мы проводили для арифметических квадратных корней, справедливы и для корней четной степени. Единственное логичное отличие в решении: мы будем возводить уравнение не в квадрат, а в ту степень, в какой корень.

Пример 14 $$\sqrt[4]{x+2}=3;$$ Возводим левую и правую части уравнения в четвертую степень: $$(\sqrt[4]{x+2})^4=3^4;$$ $$x+2=81;$$ $$x=79;$$ Ответ: \(x=79.\)


Уравнения с корнем нечетной степени

Иррациональные уравнения с нечетными корнями, как правило, гораздо проще уравнений с четными. Дело в том, что корень нечетной степени существует и от отрицательных, и от положительных значений, а это означает, что при избавлении от корня нечетной степени в иррациональном уравнении не нужно бояться, что появятся посторонние корни. Можно возводить уравнение в нечетную степень, чтобы избавиться от иррациональности, без каких либо условий.

Пример 15 $$\sqrt[3]{3-x}-\sqrt[3]{10-x}=-1;$$ Поменяем местами слагаемые: $$\sqrt[3]{10-x}=1+\sqrt[3]{3-x};$$ И возведем уравнение в куб. Тут понадобится знание формулы куба суммы: \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\) $$(\sqrt[3]{10-x})^3=(1+\sqrt[3]{3-x})^3;$$ $$10-x=1^3+3*1^2*\sqrt[3]{3-x}+3*1*(\sqrt[3]{3-x})^2+(\sqrt[3]{3-x})^3;$$ $$10-x=1+3*\sqrt[3]{3-x}+3*(\sqrt[3]{3-x})^2+3-x;$$ Приведем подобные слагаемые: $$3*(\sqrt[3]{3-x})^2+3*\sqrt[3]{3-x}-6=0;$$ Пусть \(t=\sqrt[3]{3-x}\): $$3t^2+3t-6=0;$$ $$ \begin{gathered} t_{1} = 1, \\ t_{2} = -2; \end{gathered} $$ Обратная замена: $$ \begin{gathered} \sqrt[3]{3-x} = 1, \\ \sqrt[3]{3-x} = -2; \end{gathered} $$ Получилось, что кубический корень равен отрицательному числу, но это нормально: корни нечетной степени могут быть равны отрицательным числам.

Чтобы решить получившиеся уравнения, необходимо возвести их в третью степень: $$ \begin{gathered} 3-x = 1, \\ 3-x = -8; \end{gathered} \Rightarrow \begin{gathered} x_1 = 2, \\ x_2 = 11; \end{gathered} $$ Ответ: \(x_1=2\) и \(x_2=11.\)

Как видите, никаких условий при решении уравнения с кубическим корнем, мы не накладывали, просто избавлялись от корня, возводя все уравнение в куб. С нечетными степенями в этом плане никаких проблем, как правило, нет.


В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

Простыми словами разберем, что такое линейные уравнения и методы их решения. Разберемся, что такое равносильные преобразования, и как правильно выражать х из уравнения.

В уроке разбираются методы решения полных и неполных квадратных уравнений: через дискриминант, разложение на множители, теорема Виета, дискриминант деленный на 4

Урок по теме: методы решения дробных и целых рациональных уравнений. Приведение к общему знаменателю дробных выражений. Область допустимых значений.

Метод замены переменной простыми словами. Разбираем основные виды замен в уравнениях и неравенствах. Ограничения на замены.

Урок по теме уравнений с модулями. Как раскрывать модуль? Какие ограничения накладываются при раскрытии модуля? Основные методы решения уравнений с одним и несколькими модулями.