Финансовая математика. Оптимальный выбор

В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.

Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.

Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.

Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.

На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.

Пример 1

Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если \(Х\) работников завода может производить в месяц \( N=-\left(x-10\right)^{2}+500\) коробков.

И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят \( N=-\left(x-10\right)^{2}+500\) коробков.

А какая прибыль \(P\) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: \( P=4*(-\left(x-10\right)^{2}+500)\).

Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком \(Х\) будет наибольшим \(Р\). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли \( P=4*(-\left(x-10\right)^{2}+500)\) от \(Х\) и найти экстремумы.

Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от \(Р\) и приравниваем к 0.

$${P}^{’}=(4*(-\left(x-10\right)^{2}+500))^{‘}= 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right)$$

Приравниваем \(0\):

$$4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right)=0$$

И ищем \(Х\), при котором производная равна \(0\):

$$ X=10.$$

Что мы такое нашли? При этом значении \(Х\) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.

Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее \(10\) в нашу производную, например \(1\):

$$ 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right) = 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(1-10\right)=4*18=72$$

Значение производной получилось больше 0:

$$ {P(x<10)}^{‘}>0$$

Значит при \(Х<10\) функция возрастает, а при \(Х>10\) убывает. А значит \(Х=10\) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.

Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим \(Х=10\) в функцию для прибыли:

$$ P=4*(-\left(x-10\right)^{2}+500)= 4*(-\left(10-10\right)^{2}+500)=4*500=2000 руб. $$

Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.

Разберем следующий пример:

Пример 2

Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство \(y\) автомобилей составляет \(Q=0,5y^2+y+7\) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за \(S\) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход \(S*y\), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) - \(S*y-Q\). Какую наименьшую цену продажи \(S\) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?

Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!

И так, чтобы посчитать прибыль \(P(y,S)\), зависящую от \(у\) и \(S\), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля \(S\) умножить на количество проданных машин \(у\), получим общий доход, и вычесть все расходы \(Q\), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано - подсказка):

$$P(x,S)=S*y-Q=S*y-(0,5*y^2+y+7)=-0,5y^2+(S-1)y-7$$

Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно \(у\), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.

Так как коэффициент перед \(y^2\) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число \(S\) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно \(у\):

$$ {P(x,S)}^{’}={(-0,5y^2+(S-1)y-7)}^{’}=-y+S-1; $$

Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:

$$-y+S-1=0;$$ $$y=S-1;$$

Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции \(P(x,S)\). Подставим \(y=S-1\) в нашу функцию:

$$ P(x,S)=-0,5*y^2+(S-1)y-7=-0,5(S-1)^2+(S-1)(S-1)-7=\frac{(S-1)^2}{2}-7; $$

Мы получили - какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от \(S\). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.

По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:

$$ {3*P(S)}_{max}=3*\frac{(S-1)^2}{2}-7 \ge 75; $$

Осталось только решить это неравенство:

$$(S-1)^2\ge64;$$ $$(S-9)(S+7)\ge0;$$

\(S\) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при \(S \ge9\) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.

Пример 3

Решим задачу на оптимизацию расстояния:

Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.

Пусть мотоциклисты уже находятся в пути \(t\) часов. Тогда первый проедет расстояние:

$$S=v*t=40t;$$

До перекрестка осталось ехать

$$S_1=5-40t;$$

А второму:

$$S_2=3-30t;$$

Мы получили прямоугольный треугольник с катетами \(S_1\) и \(S_2\). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:

$$L=\sqrt{(5-40t)^2+(3-30t)^2}=\sqrt{25-400t+1600t^2+9-180t+900t^2}=\sqrt{2500t^2-580t+34};$$

Согласно условию задачи, нужно найти такое время \(t\), чтобы расстояние \(L\) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию \(L\) на экстремум:

$$ {L}^{’}=\frac{1}{2*\sqrt{2500t^2-580t+34}}*(5000*t-580); $$

Приравниваем нулю:

$$5000*t-580=0;$$ $$t=\frac{580}{5000}=\frac{29}{250} часа;$$

Так как при \(t\) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через \(\frac{29}{250}\) часа, это и требовалось найти.

Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить \(t=\frac{29}{250}\) в функцию расстояния \(L\):

$$L(t=\frac{29}{250})=\sqrt{(5-40*\frac{29}{250})^2+(3-30*\frac{29}{250})^2}=(\frac{3}{5})км$$