Исследование графиков функции при помощи производной

Производная в ЕГЭ. Исследование графиков

В ЕГЭ по математике в первой части есть два задания на производную. На момент написания статьи это 8-й номер и 12-й. В 8-м номере дан график, и нужно при помощи этого графика сделать выводы про функцию или ее производную. Про 12-й номер поговорим отдельно здесь.

Существует два основных типа заданий:

• Дан график функции, нужно сделать выводы про производную;
• Дан график производной, нужно сделать выводы про функцию, которой соответствует эта производная;

График функции

Разберем несколько примеров первого типа, в которых дан график функции. Чтобы справиться с задачей, нам понадобятся выводы, которые мы получили пока разбирались, что же такое производная (очень рекомендую вспомнить):

• Функция возрастает \(\Rightarrow\) производная от функции положительна;
• Функция убывает \(\Rightarrow\) производная от функции отрицательна;
• Функция принимает максимальное или минимальное значение в точке \(\Rightarrow\) производная от функции равна нулю;

Пример 1
По графику функции определите количество целых точек, в которых производная функции положительна на промежутке \((-11;13)\):

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от \(x=-7\) до \(x=0\) и от \(x = 6\) до \(x=12\).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: \(x=—6\); \(x=-5\), \(x=-4\), \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=7\), \(x=8\), \(x=9\), \(x=10\), \(x=11\). Всего точек получилось \(11\). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки \(x=-7\), \(x=0\), \(x=6\), \(x=12\) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Пример 2
На рисунке изображен график функции, определенной на промежутке \((-10;12)\). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Производная равна нулю в точках, где функция принимает максимальные и минимальные значения (в вершинах и впадинах). Поэтому нам остается только посчитать количество таких «вершин» и «впадин». На рисунке они отмечены красными точками. Всего их 5 штук.

Пример 3
На рисунке изображен график функции \(f(x)\) и отмечены 10 точек: \(x_1,x_2,…,x_{10}\). В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Производная отрицательна тогда, когда функция убывает (график идет вниз). График функции убывает в точках: \(x_3, \;x_4,\;x_9, \; x_{10}.\) Всего четыре точки.

Обратите внимание, что точки \(x_2, \;x_5,\;x_8\) не удовлетворяют условию задачи, так как в этих точках функция принимает наибольшее и наименьшее значение, а значит в них производная равна нулю - не отрицательна.

Пример 4
На рисунке изображен график функции \(f(x)\), определенной на промежутке \((-14;8)\). Найдите количество точек экстремума функции.

Экстремумы - это точки минимума и максимума функции («вершины» и «впадины»). На рисунке я их отметил красными точками. Всего точек экстремума пять штук.

Пример 5
На рисунке изображен график функции \(f(x)\), и отмечены пять точек \(-8; \;-3;\;4;\;7;\;11.\) В какой из этих точек значение производной наименьшее?

Во-первых, производная положительна, когда функция возрастает, и отрицательна - когда убывает. В точках \((3;\;7;\;11)\) функция растет, значит производная там положительна. А в точках \((-8;\;4)\) функция убывает - производная отрицательна. Так как по условию задачи нас просят найти наименьшее ЗНАЧЕНИЕ производной, то отрицательные значения очевидно меньше, чем положительные: точки \((3;\;7;\;11)\) отбрасываем. Осталось разобраться, в какой из двух точек \((-8;\;4)\) производная меньше. Чтобы в этом разобраться, необходимо вспомнить определение производной: $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$ Чем больше разница значений функции \(f_B-f_A\) на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\), тем больше значение производной. Другими словами, чем быстрее растет или убывает функция (чем круче ее график), тем больше по модулю ее производная.

Наименьшее значение производной будет там, где функция быстрее убывает. По нашему графику видно, что в окрестности точки \(x=4\) график более крутой, значит тут производная будет наименьшей.

График производной функции

В заданиях этого типа дан график производной, и, как правило, нужно сделать выводы про функцию, от которой эта производная взята. Здесь работают те же самые принципы, только в обратную сторону:

• Производная от функции положительна \(\Rightarrow\) функция возрастает;
• Производная от функции отрицательна \(\Rightarrow\) функция убывает;
• Производная от функции равна нулю \(\Rightarrow\) функция принимает максимальное или минимальное значение в этой точке;

Рассмотрим примеры заданий из ЕГЭ:

Пример 6
На рисунке изображен график ПРОИЗВОДНОЙ функции \(f(x)\) на промежутке \((-11;11)\). Укажите сумму целых точек, в которых ФУНКЦИЯ возрастает.

Тут важно не запутаться и помнить, что перед вами график производной функции. Это значит, что имеет значение только знак производной (то есть выше или ниже график оси \(x\)). А где она растет и где убывает - абсолютно не важно.

Функция возрастает , если производная положительна. Нам нужны целые точки в которых график производной выше оси \(x\): \(3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10.\)

Просят найти сумму целых точек: \(3+4+5+6+7+8+9+10=52.\)

Пример 7
На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\) на промежутке \((-14;14).\) Найдите количество точек максимума функции.

Точки минимума и максимума будут там, где производная равна нулю, то есть в точках: \(x=7; \;x=10; \;x=12.\) Из этих точек надо выбрать только те, в которых будет именно максимум. Перед точкой \(x=7\) график производной выше оси \(x\) (производная положительна), а значит функция возрастает. После точки \(x=7\) производная отрицательная: функция убывает. Функция сначала растет (идет вверх), потом убывает (идет вниз) - точка \(x=7\) будет точкой максимума.

Аналогичные рассуждения для точки \(x=10\) - точки минимума; и для точки \(x=12\) - точки максимума.

Точек максимума будет две: \(x=7\), \(x=12\).

Пример 8
На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\) на промежутке \((-12;6).\) В какой точке отрезка \([-2;5]\) функция принимает наибольшее значение.

Функция принимает наибольшее или наименьшее значение в точках, где производная равна нулю. Но на отрезке \([-2;5]\) график производной нигде не пересекает ось \(x\), а значит на заданном отрезке производная нигде не равна нулю. Как тогда понять, где будет наибольшее значение функции?

Обратите внимание, что производная на промежутке \([-2;5]\) всегда отрицательна, а значит функция убывает на всем промежутке \([-2;5]\). Если функция все время убывает, то ее наибольшее значение будет в начале промежутка, то есть в точке \(x=-2.\)

Пример 9
На рисунке изображен график производной функции на промежутке \((-12;7).\) Найдите точку минимума функции.

Так как перед нами график производной функции, то точка минимума будет там, где производная равна нулю. Таких точек на графике две: \(x=-4;\;x=6.\) Но они могут быть как точками минимума, так и точками максимума. Производная левее точки \(x=6\) отрицательная, а правее - положительная. Значит функция сначала убывает (спускаемся вниз), а потом возрастает (поднимаемся вверх): точка \(x=6\) будет минимумом. А точка \(x=-4\) по тем же соображениям будет максимумом.

В задание №8 в ЕГЭ также встречаются номера на геометрический смысл производной.