урок 3. Задание №9 ЕГЭ

Корень n-ой степени

Цели урока:
1. Что такое корень n-ой степени
2. Свойства корня n-ой степени
3. Область определения корня и ОДЗ
4. Метод оценки значения
В данном учебном ролике в понятной форме изложены все основные свойства и теоремы корней n-ой степени. Тема непонятна для большинства школьников 7-9 классов, но не по причине их сложности (всего пара определений и свойств), а вследствие неправильной подачи информации в учебниках. Поэтому в данном видео мы расскажем о самом грамотном и понятном определении корня – все то, что действительно нужно запомнить. Далее покажем, как все это можно применить на практике.

Корни бывают четные и нечетные. Основные определения, необходимые для изучения данной темы звучат так: корень четной степени n из числа a - это любое неотрицательное число b, которое при умножении на само себя n раз даст число a . А корень нечетной степени n из числа a - это любое неотрицательное или отрицательное число b, которое также при умножении на само себя даст a.

Определение корня n-й степени из действительного числа


Корнем n-й степени (\(n=2, 3, 4, 5, 6… \)) некоторого числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), которое при возведении в степень \(n\) дает \(a\):

$$ \sqrt[n]{a}=b; $$ $$ b^{n}=\underbrace{b*b*b*...*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.


Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.


Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.


Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.


Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.


Корень четной и нечетной степени


Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:


Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.


Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.


Свойства корня n-й степени


Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

$$ (\sqrt[n]{a})^n=a $$ $$ \sqrt[n]{a^n}=a $$ $$ \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} $$ $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 $$ $$ {\sqrt[n]{a}}^k=\sqrt[n]{a^k} $$ $$\sqrt[n] {\sqrt[k]{a}}=\sqrt[n*k]{a} $$ $$ \sqrt[n*p]{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^k} $$
Для чего нужны корни?
Корни нужны для точных и сокращенных подсчетов в математике. Это необходимая функция, без которой представить современную математику невозможно. Корень n-ой степени обозначается при помощи всем известного значка радикала. Даже самый простой корень из двух будет равен длинному набору чисел, округлив который вы получите лишь приблизительное значение. Такие числа называются иррациональными и намного лучше представить их в виде радикала.

Основные ограничения и свойства
  • Корень четной степени существует только из положительных чисел. Число, возводимое в четную степень, а затем извлеченное из той же степени не становится исходным, а превращается в модуль этого числа.
  • Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.

Полезные ссылки на теорию


Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №9 из ЕГЭ по профильной математике.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

В данном уроке разбираем, что такое квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.