Корень n-ой степени

Что такое корень n-й степени из действительного числа

Чтобы научиться работать с корнями степени \(n\), необходимо знать, что такое арифметический квадратный корень и его свойства.

Корнем n-й степени (\(n=2, 3, 4, 5, 6… \)) некоторого числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), которое при возведении в степень \(n \in N\) дает \(a\). Корень n-ой степени обозначается при помощи знака радикала \(\sqrt[n]{a}\):

$$ \sqrt[n]{a}=b; $$ $$ b^{n}=\underbrace{b*b*b*...*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n \in N\) при этом называют показателем корня, а число \(a\) подкоренным выражением.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или, другими словами, обычный арифметический квадратный корень, который все проходили в 8-м классе.

Если \(n=3\), то это корень 3-й степени, \(\sqrt[3]{a}\). Его обычно называют кубическим корнем. Чтобы его вычислить, нужно найти такое число, которое, умноженное на само себя три раза, даст подкоренное выражение.

Если \(n=4\), то корень 4-й степени, \(\sqrt[4]{a}\) и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень. Для того, чтобы вычислить корень n-й степени от \(a\), нужно сообразить, какое число в степени \(n\) будет давать \(a\).

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[n]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[n]{1}=1 $$

Если извлечь корень n-й степени из 1, всегда будет 1.

Пример 5 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так, как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Пример 6
Оценить значение \(\sqrt[4]{15}= ?\) $$ \sqrt[4]{1} \le \sqrt[4]{15} \le \sqrt[4]{16}; $$ $$ 1 \le \sqrt[4]{15} \le 2; $$

Корень четной и нечетной степеней

Надо четко различать правила работы c четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из неотрицательного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить, имеет ли смысл выражение:

Пример 7 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного. Напоминаю, что извлечь корень 3-й степени, значит найти такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст покоренное выражение. Если \((-3)\) умножить на само себя три раза, то мы получим покоренное выражение \(-27=(-3)*(-3)*(-3)\).

Пример 8 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла. Невозможно найти число, которое при умножении на само себя четыре раза даст отрицательное значение.

Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.

$$\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2;$$

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

$$ (\sqrt[n]{a})^n=a $$ $$ \sqrt[n]{a^n}=a $$ $$ \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} $$ $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 $$ $$ (\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k} $$ $$\sqrt[n] {\sqrt[k]{a}}=\sqrt[n*k]{a} $$ $$ \sqrt[n*p]{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^k} $$

При использовании вышеперечисленных свойств важно помнить: корень четной степени не существует из отрицательных чисел, и сам корень четной степени всегда положителен. Надо быть внимательным и следить, чтобы в ходе преобразований эти ограничения не нарушались.

Рассмотрим примеры на свойства корня степени \(n\).

Пример 9 $$(\sqrt[5]{7})^5=7;$$ При возведении корня с показателем \(n\) в степень \(n\) остается просто подкоренное выражение, так как возведение в степень и извлечение корня это взаимно обратные операции.

Обратите внимание, что неважно, где стоит степень - над корнем или под корнем, результат будет одинаковым. $$\sqrt[5]{7^5}=7$$

Из рассмотренного выше примера следует свойство \((\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}\). Не имеет значения, извлекаете ли вы сначала корень, а потом возводите в степень, или наоборот, сначала возводите в степень подкоренное выражение, и только потом извлекаете корень.

Пример 10 $$\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{8})^2=2^{2}=4;$$ $$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4;$$ Получается одно и тоже.

Более того, показатель корня и степень подкоренного выражения можно домножить на одно и тоже число \(p\), результат от этого не изменится. Может пригодиться в различных преобразованиях и при сравнении корней между собой.

$$ \sqrt[n]{a^k}=\sqrt[n*p]{a^{k*p}};$$

Пример 11 $${\small \sqrt[3]{10^2}=\sqrt[3*2]{10^{2*2}}=\sqrt[6]{10^{4}}=\sqrt[6]{10000};}$$

Эту же формулу можно использовать наоборот: $$ \sqrt[n*p]{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^k} $$ То есть можно сокращать показатель корня и степень подкоренного выражения, что существенно упрощает вычисления в некоторых случаях.

Пример 12 $$ \sqrt[6]{16}=\sqrt[6]{2^4}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4};$$

Рассмотрим применение формул корня от произведения и частного, без которых невозможно решить ни один приличный пример.
Корень степени \(n\) от произведения равен произведению корней степени \(n\) от этих множителей. $$ \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} $$ И аналогично корень степени \(n\) от частного равен частному корней n-й степени. $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad b \neq 0 $$

Пример 13 $${\small \sqrt[3]{125*8}=\sqrt[3]{125}*\sqrt[3]{8}=5*2=10;}$$ $${\small \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=\frac{-\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{3}{2};}$$

Формулы справедливы не только для двух множителей:

Пример 14 $${\small \sqrt[3]{125*8*27}=\sqrt[3]{125}*\sqrt[3]{8}*\sqrt[3]{27}= }$$ $${\small =5*2*3=30;}$$

Пример 15 $${\small \sqrt[4]{\frac{16*81}{625}}=\frac{\sqrt[4]{16*81}}{\sqrt[4]{625}}=}$$ $${\small =\frac{\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{2*3}{5}=\frac{6}{5};}$$

Обратите внимание! Формулы произведения и частного корней справедливы только для корней с одинаковыми показателями. Нельзя перемножить корни с разными показателями.

$$\sqrt[3]{6}*\sqrt[4]{7}=?$$

Ничего здесь сделать мы не можем!

И следите за отрицательными числами при использовании корней четной степени. Произведение двух отрицательных чисел может существовать под одним корнем, так как они при умножении дают знак плюс. Но разбивать такое произведение на два корня четной степени ни в коем случае нельзя: выражение теряет всякий смысл.

$${\small \sqrt[4]{-15*(-7)} \neq \sqrt[4]{-15}*\sqrt[4]{-7};}$$ $${\small \sqrt[4]{-15*(-7)} = \sqrt[4]{15*7}=\sqrt[4]{15}*\sqrt[4]{7};}$$