урок 1. Задание №9 ЕГЭ

Степени и их свойства

Цели урока:
1. Степень с целым показателем
2. Степень с отрицательным показателем
3. Свойства степени с целым показателем

Степень с целым показателем Первый урок посвящен понятию обыкновенной степени с целым показателем - это математическая операция, в ходе которой число многократно умножается на само себя. Если некоторое действительное число \(a\) возвести в целую степень \(b\), то это значит, что число \(a\) умножается на само себя \(b\) раз. $$ a^b=\underbrace{a*a*a*...*a}_{b \; раз}, $$ Пример 1 $$ 3^4=\underbrace{3*3*3*3}_{4 \; раза}=81 $$ Часто вы будете сталкиваться с отрицательной степенью. Для того, чтобы ее посчитать, необходимо данное число \(a\) (стоящее под степенью) перевести в обратное и просто возвести в степень. Очень частая ошибка - написание знака минус перед полученным результатом. Знак минус указывает только на отрицательную степень, а сам результат возведнения в степень будет положительным. $$ a^{-b}=\frac{1}{a^b}, $$ Пример 2 $$ 4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}, $$ Любое число в нулевой степени - равно всегда 1. $$ a^0=1, $$ Также в уроке мы подробно разберем основные свойства степени с целым показателем: степень от произведения и частного двух чисел, степень в степени, произведение и деление двух степеней с одинаковыми основаниями. И на примерах познакомимся с преобразованием сложных степенных уравнений.


Основные свойства степени с целым показателем: $$ 1.\; (a*b)^n=a^n*b^n; $$ Пример 3 $$ (2*5)^3=2^3*5^3=8*125=1000, $$
$$ 2.\; a^n*a^m=a^{n+m}; $$ Пример 4 $$ 2^3*2^4=2^{3+4}=2^7=128, $$
$$ 3.\; \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}; $$ Пример 5 $$ \frac{3^5}{3^3}=3^{5-3}=3^{2}=9, $$
$$ 4.\; (a^n)^m=a^{n*m}; $$ Пример 6 $$ (2^3)^2=2^{3*2}=2^6=64, $$


Разберем несколько примеров заданий, которые иногда встречаются в ЕГЭ и ОГЭ по математике. Как правило, для того, чтобы решить эти задания необходимо хорошо знать все свойства степеней с целым показателем:
Пример 7 $$ \frac{2^4*2^5}{2^7}=\frac{2^9}{2^7}=2^2=4; $$ Здесь мы использовали свойства произведения степеней с одинаковым основанием при умножении и делении – в числителе степени складываются, после этого выполняем операцию деления, степени вычитаются. Формулы №2,№3.

Рассмотрим более сложный пример, когда основания разные:
Пример 8 $$ \frac{3^4*5^3}{15^3}=\frac{3^4*5^3}{(3*5)^3}=\frac{3^4*5^3}{3^3*5^3}=3^{4-3}*5^{3-3}=3^1*5^0=3*1=3; $$ В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что \(15\) раскладывается, как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1,№3.

Полезные ссылки на теорию


Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №9 из ЕГЭ по профильной математике.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В данном уроке разбираем, что такое квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Как решать номер 18 (С6) из ЕГЭ по математике профильного уровня. Разбор основных методов и типов решения задач с параметром. Графический и аналитические методы.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.