Степени и их свойства

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем - математическая операция, которая применяется во многих областях: физике, математике, информатике и т.д. Например, если посмотреть в справочнике массу Солнца, то вы увидите такую запись:

$$M=1,989*10^{31}кг;$$

Или, например, масса атома водорода равна:

$$m=1,674*10^{-24}кг;$$

А знаете сколько байт в одном гигабайте?

$$1 \; гигабайт=2^{30} \; байт;$$

Для всех этих величин используются степени, потому что числа очень большие, и записывать их обычным образом неразумно.

Первый урок посвящен понятию обыкновенной степени с целым показателем - это математическая операция, в ходе которой число многократно умножается на само себя. Если некоторое действительное число \(a\) возвести в целую степень \(b,\) то это значит, что число \(a\) умножается на само себя \(b\) раз.

$$ a^b=\underbrace{a*a*a*...*a}_{b \; раз}; $$
Пример 1 $$ 3^4=\underbrace{3*3*3*3}_{4 \; раза}=81; $$ $$ 2^5=\underbrace{2*2*2*2*2}_{5 \; раз}=32; $$ $$ 10^{31}=\underbrace{10*10*10…*10*10}_{31 \; раз}; $$

Отрицательная степень

Часто вы будете сталкиваться с отрицательной степенью. Для того, чтобы возвести некоторое число \(a\) в отрицательную степень, нужно перевести его в обратное, то есть представить в виде \(\frac{1}{a}\), и возвести в степень.

$$ a^{-b}=\left(\frac{1}{a}\right)^{b}=\frac{1}{a^b}; $$

Очень частая ошибка - написание знака минус перед полученным результатом. Знак минус указывает только на отрицательную степень, а сам результат возведения в степень будет положительным.

Пример 2 $$ 2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2};$$ $$ 4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}; $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{1}\right)^{3}=125; $$

Кстати, формула для отрицательной степени работает и наоборот. Если у вас степень в знаменателе, то можно легко перенести ее в числитель при помощи отрицательной степени. Это может быть удобно при преобразованиях степеней: $$\frac{1}{a^b}=a^{-b};$$ $$ \frac{1}{3^4}=\frac{3^{-4}}{1}=3^{-4}; $$

А что, если отрицательная степень уже в знаменателе? В этом случае, если мы хотим достать степень из знаменателя в числитель, степень становится положительной. $$ \frac{1}{a^{-b}}=\frac{a^b}{1}=a^b;$$ $$\frac{1}{3^{-2}}=3^2=9;$$

Чётная и нечётная степени

Отдельно стоит обсудить, что будет, если в степень с целым показателем возвести отрицательное число. Из младших классов известно, что если перемножить два отрицательных числа, то получится положительное. Более того, если умножить чётное количество отрицательных множителей, то результат тоже будет положительный. А если количество отрицательных множителей нечётно, то результат будет отрицательным.

При возведении в степень число умножается на само себя. Если же отрицательное число умножить на само себя чётное количество раз, то ответ получается положительным, а если степень над отрицательным числом нечётная, то результат будет отрицательным.

Пример 3 $${\small (-2)^{2}=-2*(-2)=4;}$$ $${\small (-3)^{4}=-3*(-3)*(-3)*(-3)=81;}$$ $${\small (-5)^{3}=-5*(-5)*(-5)=-125;}$$ $${\small (-2)^{7}=-2*(-2)*(-2)*(-2)*}$$ $${\small *(-2)*(-2)*(-2)=-32;}$$

Отрицательное число в отрицательной степени будет считаться аналогичным образом. Сначала избавляемся от минуса в степени, используя обратное число, а затем возводим в степень:

$${\small (-2)^{-3}=\left(\frac{1}{-2}\right)^3=}$$ $${\small =\left(\frac{1}{-2}\right)*\left(\frac{1}{-2}\right)*\left(\frac{1}{-2}\right)=-\frac{1}{8};}$$ $${\small (-9)^{-1}=\left(\frac{1}{-9}\right)^1=-\frac{1}{9};}$$

Будьте внимательны, если минус перед числом находится не под степенью, то ответ будет в любом случае отрицательным.

$$-3^2=-9;$$ $$(-3)^2=9;$$

Степень стоит только над тройкой, скобок нет, значит минус не возводится в степень, только тройка, и ответ будет отрицательным. А во втором примере есть скобки, значит минус под четной степенью. Почувствуйте разницу!

Основные свойства степени с целым показателем:

Важно помнить, что любое число в нулевой степени всегда равно 1. $$ a^0=1, $$ $$ 25^0=1. $$

1. Степень от произведения двух множителей: $$ (a*b)^n=a^n*b^n; $$ $$ {\small (2*5)^3=2^3*5^3=8*125=1000;} $$
2. Произведение степеней с одинаковым основанием: $$ a^n*a^m=a^{n+m}; $$ $$ 2^3*2^4=2^{3+4}=2^7=128;$$
3. Частное степеней с одинаковым основанием: $$ \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}; $$ $$ \frac{3^5}{3^3}=3^{5-3}=3^{2}=9; $$
4. Степень в степени: $$ (a^n)^m=a^{n*m}; $$ $$ (2^3)^2=2^{3*2}=2^6=64; $$

Разберем несколько примеров заданий, которые иногда встречаются в ЕГЭ и ОГЭ по математике. Как правило, для того, чтобы решить эти задания, необходимо хорошо знать все свойства степеней с целым показателем:

Пример 4 $$ \frac{2^4*2^5}{2^7}=\frac{2^9}{2^7}=2^2=4; $$ Здесь мы использовали свойства произведения степеней с одинаковым основанием при умножении и делении – в числителе степени складываются, после этого выполняем операцию деления, степени вычитаются. Формулы №2, №3.

Рассмотрим более сложный пример, когда основания разные:

Пример 5 $$ \frac{3^4*5^3}{15^3}=\frac{3^4*5^3}{(3*5)^3}=\frac{3^4*5^3}{3^3*5^3}=$$ $$=3^{4-3}*5^{3-3}=3^1*5^0=3*1=3; $$ В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что \(15\) раскладывается как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1, №3.

Пример 6 $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}*\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-4+3}=$$ $$=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3^1=3;$$

Пример 7 $$\frac{4^{-2}*8^{-6}}{2^{-22}}=\frac{(2^{2})^{-2}*(2^3)^{-6}}{2^{-22}}=$$ $$=\frac{2^{-4}*2^{-18}}{2^{-22}}=\frac{2^{-22}}{2^{-22}}=1;$$

Пример 8
Упростите выражение: $$0,6c^4d^5*\frac{1}{3}c^{-2}d^{-4};$$

В таких заданиях перемножаем числа с числами и степени с одинаковыми основаниями:

$$0,6c^4d^5*\frac{1}{3}c^{-2}d^{-4}=$$ $$=0,6*\frac{1}{3}*c^{4}*c^{-2}*d^{5}*d^{-4}=$$ $$=0,2*c^{4-2}*d^{1}=0,2*c^2*d;$$

Пример 9
Упростите выражение: $${\small \frac{12x^{-5}}{y^{-6}}*\frac{y}{36x^{-9}}=}$$ $${\small =\frac{12*x^{-5-(-9)}*y^{1-(-6)}}{36}=\frac{x^{4}*y^{7}}{3};}$$

Пример 10 $$ \frac{18^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=\frac{9^{n+1}*2^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=$$ $$=\frac{(3^2)^{n+1}*2^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=\frac{3^{2n+2}*2^{n+1}}{3^{2n}*2^{n-1}}=$$ $$=3^{(2n+2)-2n}*2^{(n+1)-(n-1)}=$$ $$=3^2*2^2=9*4=36;$$

Буквы в степени не должны вас пугать, все преобразования остаются точно такими же, как и с числами.