Системы неравенств

Система неравенств представляет собой два или более неравенств, объединенных сбоку фигурной скобкой: $$ \begin{cases} x^2-3x \le 0, \\ x+6 \gt 9. \end{cases} $$ Решить систему неравенств значит найти все такие значения переменной \(x,\) которые удовлетворяют ОДНОВРЕМЕННО всем неравенствам, входящим в систему. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем выбрать \(x,\) которые являются решениями сразу всех неравенств. Другими словами, найти пересечение решений.

Учиться решать системы проще всего на примерах:
Пример 1 $$ \begin{cases} x-7 \lt 0, \\ x-8 \gt -9. \end{cases} $$ Система состоит из двух линейных неравенств. Решим каждое по отдельности: $$x-7 \lt 0;$$ $$x \lt 7;$$ Первое неравенство дает нам любые \(x,\) которые меньше \(7.\) Изобразим это на числовой прямой:

Решим второе неравенство: $$x-8 \gt -9;$$ $$x \gt -1;$$ Тут у нас получились любые \(x\) больше \((-1).\) Тоже рисуем числовую прямую:

А вот теперь самое интересное: перед нами задача не решить все неравенства в системе по отдельности, а решить систему из этих неравенств. Значит нужно найти пересечение решений, то есть такие значения \(x\), которые будут решениями и для первого неравенства, и для второго.

Проще всего найти пересечение при помощи той же числовой прямой. Изобразим на ней решения сразу обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства покажем сверху, а решение второго - снизу:

Из рисунка отлично видно область, где пересекаются решения. Я ее показал штриховкой. Нам остается только записать в ответ заштрихованную область. Так как оба неравенства в системе строгие, то на числовой прямой точки \(x=-1\) и \(x=7\) выколотые, а в ответе они будут в круглых скобках:
Ответ: \(x \in (-1;7).\)

Кто забыл, как правильно расставлять точки и скобки в неравенствах, рекомендую почитать про виды числовых промежутков в числовых неравенствах.

Пример 2 $$ \begin{cases} 2x-1 \ge 3, \\ 3x-1 \lt 11. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$2x-1 \ge 3;$$ $$2x \ge 3+1;$$ $$2x \ge 4;$$ $$x \ge 2;$$ Решаем второе неравенство: $$3x-1 \lt 11;$$ $$3x \lt 12;$$ $$x \lt 4;$$ Ищем пересечение решений на числовой прямой. Решение первого неравенства отмечаем сверху, а решение второго - снизу. Их пересечение обозначим штриховкой:

Обратите внимание на точки. Точка \(x=2\) закрашенная, так как первое неравенство нестрогое, а точка \(x=4\) выколотая, так как второе неравенство строгое.
Ответ: \(x \in [2;4).\)

Разберем теперь систему, где присутствуют не только линейные неравенства. Несмотря на то, что тип неравенств меняется, алгоритм решений будут аналогичен предыдущим примерам:

Пример 3 $$ \begin{cases} 4x^2+9x-9 \le 0, \\ \frac{x+1}{2} \lt 0. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$4x^2+9x-9 \le 0;$$ Это квадратное неравенство, его можно решить при помощи параболы или методом интервалов. Мы решим методом интервалов. Находим корни через дискриминант, раскладываем квадратный многочлен на множители и решаем получившееся неравенство методом интервалов:
Итак, выпишем коэффициенты и находим корни через дискриминант: $$a=4; \; b=9; \; c=-9;$$ $$D=b^2-4ac=9^2-4*4*(-9)=81+144=225;$$ $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-9+\sqrt{225}}{2*4}=\frac{-9+15}{8}=\frac{3}{4};$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-9-\sqrt{225}}{2*4}=\frac{-9-15}{8}=-3;$$ Раскладываем квадратный многочлен на множители по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$ где \(x_1\) и \(x_2\) - это корни квадратного многочлена; $$4(x-\frac{3}{4})(x+3) \le 0;$$ На числовой прямой отмечаем корни и расставляем знаки:

Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Решением этого неравенства будет интервал с минусом: $$x \in [-3;\frac{3}{4}].$$ Теперь решим второе неравенство в системе: $$\frac{x+1}{2} \lt 0;$$ Дробь будет меньше нуля только в том случае, когда и числитель, и знаменатель разных знаков. В знаменателе положительная двойка, значит числитель должен быть отрицательным: $$x+1 \lt 0;$$ $$x \lt -1;$$ Рисуем числовую ось, на ней отмечаем решение обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства отмечаем сверху, второго - снизу:

Заштрихуем область, на которой оба решения пересекаются, и выписываем ответ:
Ответ: \(x \in [-3;-1).\)

Пример 4 $$ \begin{cases} x^2-4x+3 \ge 0, \\ x^2—x-6 \lt 0. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+3 \ge 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{4}}{2*1}=\frac{4+2}{2}=3;$$ $$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{2*1}=\frac{4-2}{2}=1;$$ Раскладываем левую часть неравенства на множители: $$(x-3)(x-1) \ge 0;$$ Решаем методом интервалов:

$$x \in (-\infty;1] \cup [3;+\infty);$$ Решаем второе неравенство: $$x^2-x-6 \lt 0;$$ $$D=(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25;$$ $$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2*1}=\frac{1+5}{2}=3;$$ $$x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2*1}=\frac{1-5}{2}=-2;$$ $$(x-3)(x+2) \lt 0;$$

$$x \in (-2;3);$$ Отдельно решили каждое неравенство в системе, теперь найдем пересечение их решений:

$$x \in (-2;1];$$ Внимательно следите за выколотыми и закрашенными точками. Например, точка \(x=3\) есть и в решении первого неравенства, и в решении второго, но так как в одном из решений она выколотая (в круглой скобке), значит ее не должно быть в ответе системы.
Ответ: \(x \in (-2;1].\)

Пример 5 $$ \begin{cases} x^2-4x+4 \le 0, \\ x^2—4x-5 \lt 0. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+4 \le 0;$$ $$D=(-4)^2-4*4=16-16=0;$$ Если дискриминант получается равен нулю, это означает, что перед вами формула полного квадрата: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\) Внимательный читатель мог ее заметить сразу, без нахождения дискриминанта.
Воспользуемся формулой: $$(x-2)^2 \le 0;$$ Квадрат всегда больше или равен нуля. Какое бы значение \(x\) мы не подставили, при возведении в квадрат всегда будет получаться неотрицательное число. Значит это неравенство не имеет решений? Обратите внимание, что неравенство нестрогое: да, левая часть не может быть меньше нуля из-за квадрата, но равняться нулю она может. Значит решением этого неравенства будет единственная точка: $$x=2;$$ при которой левая часть обращается в нуль. При всех остальных значениях \(x\) левая часть неравенства будет положительной, что не подходит.

Решаем второе неравенство: $$x^2—4x-5 \lt 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36;$$ $$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{36}}{2*1}=\frac{4+6}{2}=5;$$ $$x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{36}}{2*1}=\frac{4-6}{2}=-1;$$ Раскладываем квадратный многочлен множители: $$(x-5)(x+1) \lt 0;$$

$$x\in (-1;5);$$ Оба неравенства из системы решены. Отмечаем их решения на одной числовой прямой:

Так как решение первого неравенства всего лишь одна точка и она лежит внутри решения второго неравенства, то решением всей системы будет только эта одна точка:
Ответ: \(x=2.\)

Часто при нахождении ОДЗ приходится сталкиваться с системами, в которых одно из неравенств либо не имеет решений, либо, наоборот, справедливо при любых \(x.\) Разберем сейчас, как сказываются такие неравенства на корнях всей системы:

Пример 6 $$ \begin{cases} 2x^2+3x+9 \ge 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$2x^2+3x+9 \le 0$$ $$a=2; \; b=3; \; c=9; $$ $$D=3^2-4*2*9=9-72=-63 \lt 0;$$ Итак, мы получили отрицательный дискриминант, это значит, что левая часть неравенства либо всегда положительна при любых \(x\), либо всегда отрицательна. Определить это можно по коэффициенту \(a\) перед \(x^2.\) Если \(a \gt 0,\) левая часть неравенства всегда положительна, если \(a \lt 0,\) то левая часть всегда отрицательна. Подробно про это можно почитать в статье про решение квадратных неравенств: $$a=2 \gt 0;$$ В нашем случае левая часть неравенства будет положительна при любых значениях \(x.\) А значит решением первого неравенства будут любые \(x.\)

Решаем второе неравенство: $$6x^2+2x-8 \lt 0$$ $$a=6; \; b=2; \; c=-8; $$ $$D=2^2-4*6*(-8)=4+192=196;$$ $$x_1=\frac{-2+\sqrt{196}}{2*6}=\frac{-2+14}{12}=1;$$ $$x_2=\frac{-2-\sqrt{196}}{2*6}=\frac{-2-14}{12}=-\frac{4}{3};$$ Раскладываем на множители: $$6(x-1)(x+\frac{4}{3}) \lt 0;$$ И решаем методом интервалов:

$$x \in (-\frac{4}{3};1);$$ Так как решением первого неравенства в системе были любые \(x,\) то они никак не влияют на решение всей системы. Другими словами, пересечением решений обоих неравенств в системе будет просто решение второго неравенства:
Ответ: \(x \in (-\frac{4}{3};1) .\)

Пример 7 $$ \begin{cases} 2x^2+3x+9 \le 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end{cases} $$ Решим аналогичную примеру №6 систему неравенств, только изменим знак первого неравенства с больше или равно на меньше или равно.

В таком случае решение первого неравенства кардинально меняется. Как мы только что выяснили в примере №6, левая часть первого неравенства всегда положительна, она не может быть меньше нуля ни при каких \(x.\)

Таким образом, первое неравенство не имеет корней. А если хотя бы одно неравенство в системе не имеет корней, то и вся система не будет иметь решений, ведь невозможно найти такие значения \(x,\) при которых будут верны все неравенства в системе.
Ответ: Нет корней.

Системы иррациональных неравенств

Рассмотрим непростой пример системы иррациональных неравенств:
Пример 8 $$ \begin{cases} x+\sqrt{7} \lt \sqrt{3}, \\ x+\sqrt{6} \lt \sqrt{2}. \end{cases} $$ Из первого неравенства получаем: $$x \lt \sqrt{3}-\sqrt{7};$$ Из второго: $$x \lt \sqrt{2}-\sqrt{6}$$ Правые части обоих неравенств мы посчитать не можем, так как они иррациональные.
Разве что с помощью калькулятора, но пользоваться на математике им нельзя. Поэтому оставляем как есть.

Отметим теперь оба решения на числовой прямой. Но тут мы сталкиваемся с проблемой: какое значение больше - \((\sqrt{3}-\sqrt{7})\) или \((\sqrt{2}-\sqrt{6})?\) От этого зависит, какая точка будет правее на числовой прямой.

Обращаем внимание, что оба этих выражения отрицательны, так как: $$\sqrt{7} \gt \sqrt{3} \quad и \quad \sqrt{6} \gt \sqrt{2};$$ Удобнее работать с положительными числами, поэтому умножим их оба на \((-1):\) $$\sqrt{7}-\sqrt{3} \; ?? \;\sqrt{6}-\sqrt{2};$$ Не забываем, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства меняется на противоположный. Учтем этот факт в конце. Чтобы сравнить два иррациональных выражения, возведем их оба в квадрат: $$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 \; ?? \; (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2;$$ $$7-2\sqrt{3}*\sqrt{7} +3 \; ?? \; 6-2\sqrt{2}*\sqrt{6}+2;$$ $$10-2\sqrt{3}*\sqrt{7} \; ?? \; 8-2\sqrt{2}*\sqrt{6};$$ Разделим левую и правую часть на \(2\) и перемножим квадратные корни: $$5-\sqrt{21} \; ?? \; 4-\sqrt{12};$$ Вычтем из обеих частей \(4:\) $$1-\sqrt{21} \; ?? \; -\sqrt{12};$$ Опять левая и правая части отрицательны - домножаем на \((-1):\) $$-1+\sqrt{21} \; ?? \; \sqrt{12};$$ Еще раз возводим в квадрат: $$(-1+\sqrt{21})^2 \; ?? \; (\sqrt{12})^2;$$ $$1-2\sqrt{21}+21 \; ?? \; 12;$$ $$22-2\sqrt{21} \; ?? \; 12;$$ Вычитаем из обеих частей \(12\) и прибавляем \(2\sqrt{21}:\) $$10\; ?? \; 2\sqrt{21};$$ И последний раз возводим в квадрат: $$100\; ?? \; 4*21;$$ $$100 \; > \; 84;$$ Получили, что левая часть больше, чем правая. Я писал до этого, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства должен меняться на противоположный, но так как мы умножали по ходу решения целых 2 раза, то знак неравенства остается прежним: $$\sqrt{3}-\sqrt{7} > \sqrt{2}-\sqrt{6};$$ Возвращаемся к решению системы. Отмечаем на числовой прямой иррациональные выражения. Знаки неравенства строгие, поэтому все точки будут выколотые:

Ответ: \(x \in (-\infty;\sqrt{2}-\sqrt{6}).\)

Система из трех неравенств в системе

Бывают системы из трех неравенств и даже больше. Такие большие системы часто встречаются при нахождении ОДЗ в сложных уравнениях или неравенствах, например, при решении заданий из ЕГЭ по профильной математике во второй части. Принцип решения такой же, как и с двумя неравенствами, просто надо быть внимательными и не запутаться в пересечениях.

Пример 9 $$ \begin{cases} 2x-4 \le 6, \\ x^2-4x+3 \ge 0, \\ x-2 \gt 0. \end{cases} $$ Как и в системах с двумя неравенствами, решаем каждое неравенство по отдельности: Решаем первое неравенство: $$2x-4 \le 6;$$ $$2x \le 10;$$ $$x \le 5;$$ Решаем второе неравенство: $$x^2-4x+3 \ge 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{4}}{2*1}=\frac{4+2}{2}=3;$$ $$x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{2*1}=\frac{4-2}{2}=1;$$ $$(x-3)(x-1) \ge 0;$$ Метод интервалов:

$$x \in (-\infty;1] \cup [3;+\infty);$$ Решаем третье неравенство: $$x-2 \gt 0;$$ $$x \gt 2;$$ Итак, все три неравенства решили, теперь нужно найти такие значения \(x,\) которые будут решениями сразу всех трех неравенств. Или, другими словами, найти пересечение решений. Сделаем это при помощи числовой прямой, на которой разными цветами отметим все решения. Тут главное в них не запутаться:

Ответ: \(x \in [3;5].\)

Двойные неравенства

С двойными неравенствами мы уже сталкивались, когда обсуждали, что такое интервалы и отрезки на числовой прямой, в самом начале изучения неравенств. Пример двойного неравенства: $$-2 \le x \le 10;$$ Запись означает, что переменная \(x\) может принимать одновременно значения большие или равные \((-2)\) и меньшие или равные \((10)\). Например, \(x=7\) удовлетворяет этому двойному неравенству, а вот \(x=15\) уже нет.
Это же двойное неравенству можно переписать в виде: \(x \in [-2;10].\)

В самом общем виде двойным неравенством называют неравенства вида: $$a \le f(x) \le b;$$ или $$a \lt f(x) \lt b;$$ где \(f(x)\) - некоторое выражение, зависящее от \(x;\)

Решение двойных неравенств сводится к одновременному выполнению условий: \(f(x) \ge a\) и \(f(x)\le b\); Или мы можем записать одновременное выполнение этих условий при помощи системы неравенств: $$ \begin{cases} f(x) \ge a, \\ f(x) \le b. \end{cases} $$ И решается двойное неравенство, соответственно, как система неравенств.

Пример 10 $$-1 \le 4x-5 \le 7;$$ Перепишем двойное неравенство в виде системы: $$ \begin{cases} 4x-5 \ge -1, \\ 4x-5 \le 7. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$4x-5 \ge -1;$$ $$4x \ge 4;$$ $$x \ge 1;$$ Решаем второе неравенство: $$4x-5 \le 7;$$ $$4x \le 12;$$ $$x \le 3;$$ Находим пересечение решений:

Ответ: \(x \in [1;3].\)

Системы неравенств при нахождении ОДЗ

Системы неравенств, главным образом, встречаются при нахождении области допустимых значений в сложных примерах. Давайте найдем ОДЗ функции: $$f(x)=\sqrt{x^2-25}+\sqrt{-x-1};$$ Функция представляет из себя сумму двух арифметических квадратных корней. Вспоминаем, какие ограничения накладываются на квадратный корень?
Правильно, корень не существует от отрицательных чисел. Поэтому подкоренные выражения обязательно должны быть положительными или равными нулю. Найдем, при каких значениях \(x\) оба корня в функции существуют.

Первый корень существует, если \(x^2-25 \ge 0;\)
Второй корень существует, если \(-x-1 \ge 0;\)

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому запишем оба неравенства в виде системы: $$ \begin{cases} x^2-25 \ge 0, \\ -x-1 \ge 0. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-25 \ge 0;$$ $$(x-5)(x+5) \ge 0;$$

$$x \in (-\infty; -5] \cup [5;+\infty).$$ Решаем второе неравенство: $$-x-1 \ge 0;$$ $$-x \ge 1;$$ Разделим на \((-1)\), чтобы избавиться от минуса перед \(x.\) Не забываем изменить знак неравенства на противоположный при делении на отрицательное число: $$x \le -1;$$ Найдем пересечение решений:

Ответ: ОДЗ: \(x \in (-\infty; -5].\)

Что такое совокупность неравенств?

Понятие совокупности широко используется, когда у вас несколько вариантов ответов и все эти варианты вам подходят. Обозначается совокупность аналогично знаку системы, только скобка используется не фигурная, а квадратная.

Проще всего понять, что такое совокупность, на примере. Представьте, что у нас есть совокупность из двух неравенств: $$ \left[ \begin{gathered} x \ge 10, \\ x \lt -1. \end{gathered} \right. $$ Отметим оба неравенства на числовой прямой:

Решения не пересекаются: нет таких значений \(x,\) при которых выполняются одновременно оба неравенства. Действительно, не существует чисел одновременно больших \(10\) и меньших \(-1.\) Если бы мы решали систему неравенств, то корней у такой системы нет.

Но у нас не система, а совокупность, то есть объединение решений обоих неравенств. Решения неравенств дополняют друг друга. Другими словами, если некоторое значение \(x\) удовлетворяет хотя бы одному неравенству в совокупности, то оно уже будет являться корнем всей совокупности, даже если это значение \(x\) не является корнем всех других неравенств. Ответ на эту совокупность можно записать в виде: $$x \in (-\infty;-1) \cup [10;+\infty);$$ На числовой прямой решения отмечены штриховкой:

Итак, система неравенств - это пересечение их решений. Мы ищем такие \(x,\) которые удовлетворяют всем неравенствам в системе.

Совокупность неравенств - это объединение решений. Корень хотя бы одного неравенства будет корнем всей совокупности.

Пример 11
Найдите все значения \(x,\) при которых не определена функция: $$f(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{2x-4};$$ Функция не определена - это означает, что нужно найти такие \(x,\) при которых функция не существует. Мы уже обсуждали, что арифметический квадратный корень существует только от неотрицательных чисел, то есть подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю. Таким образом, функция не будет определена, если хотя бы одно из подкоренных выражений будет отрицательным, тогда мы не сможем вычислить значение \(f(x).\) Это условие можно записать при помощи совокупности: $$ \left[ \begin{gathered} x+5 \le 0, \\ 2x-4 \le 0. \end{gathered} \right. $$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin{gathered} x \le -5, \\ x \le 2. \end{gathered} \right. $$

Объединением этих решений будет: \(x \in (-\infty;2].\)
Ответ: \(x \in (-\infty;2].\)