Логарифмы и их свойства
Что такое логарифм
Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это просто и наглядно.
Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим таблицу:
Все знакомы с тем, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 можно получить, возведя 2 в пятую степень, то есть это двойка, умноженная на саму себя пять раз.
$$ 2^5=\underbrace{2*2*2*2*2}_{5 \; раз}=32; $$Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2: \(\quad log_{2}(32)\) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32.
Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
$$log_{2}(4)=2;$$ $$log_{2}(8)=3;$$ $$log_{2}(16)=4;$$ $$log_{2}(64)=6;$$ $$log_{2}(128)=7.$$Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям, больших 0 и не равных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом от положительного числа \((b \gt 0)\) с основанием \((a \gt 0; \; и \; a \neq 1)\) называется степень \(c,\) в которую нужно возвести число \(a,\) чтобы получить \(b.\)
$$log_{a}(b)=c;$$ $$a^{c}=b.$$Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм - это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить аргумент \(b\).
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто с логарифмами, которые нельзя посчитать в уме. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
$$log_{2}(5)=???$$Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
$$log_{2}(5)=2,32192809…$$Или логарифм шести по основанию 4:
$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто!
Давайте для примера оценим логарифм \(log_{4}(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать. Другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:
Значит \(log_{4}(6)\) принадлежит промежутку от 1 до 2:
$$ log_{4}(6) \in (1;2). $$Как посчитать логарифм
Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма \(log_{a}(b)\) существует только при положительных значениях основания \(a\) и аргумента \(b\). И, кроме этого, на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно \(1\).
$$log_{a}(b) \quad существует$$ $$при \; a \gt 0; \;b \gt 0; \; a \neq 1.$$Почему так? Это следует из определения показательной функции. Показательная функция не может быть равна \(0\) и не может быть меньше \(0\).
А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
$$log_{a}(b) \in (-\infty; +\infty);$$ Пример отрицательного логарфима: $$log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=log_{3}\left(3^{-1}\right)=-1;$$Так как (вспоминайте определение отрицательной степени):
$$3^{-1}=\frac{1}{3};$$Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
- Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент под логарифмом в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
- Разобраться, в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас и там, и там степени с одинаковым основанием, посчитать значение логарифма становится проще.
- \(x\) и будет искомым значением логарифма.
Разберем на примерах.
Пример 1
Посчитать логарифм от \(9\) по основанию \(3\): \(\quad log_{3}(9)=?\)
- Сначала представим аргумент и основание в виде степеней тройки: $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$ $$log_{3}(9)=log_{3^1}(3^2);$$
- Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(3^1\), чтобы получить \(3^2\) $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^{1*x}=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
- Вот мы и решили: $$log_{3}(9)=2.$$
Пример 2
Вычислить логарифм от \(\frac{1}{125}\) по основанию \(5\): \(\quad log_{5}(\frac{1}{125})=?\)
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3};$$ $$log_{5}(\frac{1}{125})=log_{5^1}(5^{-3});$$
- В какую степень \(x\) надо возвести \(5^1\), чтобы получить \(5^{-3}\): $$ (5^1)^x=5^{-3}, $$ $$ 5^{1*x}=5^{-3},$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
- Получили ответ: $$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$
Пример 3
Вычислить логарифм от \(4\) по основанию \(64\): \(\quad log_{64}(4)=?\)
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$ $$log_{64}(4)=log_{2^6}(2^2);$$
- В какую степень \(x\) надо возвести \(2^6\), чтобы получить \(2^{2}\): $$ (2^6)^x=2^{2}, $$ $$ 2^{6*x}=2^{2},$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
- Получили ответ: $$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$
Пример 4
Вычислить логарифм от \(1\) по основанию \(8\): \(\quad log_{8}(1)=?\)
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки. Напоминаю, что любое число в нулевой степени равно единице: $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$ $$log_{8}(1)=log_{2^3}(2^0);$$
- В какую степень \(x\) надо возвести \(2^3\), чтобы получить \(2^{0}\): $$ (2^3)^x=2^{0}, $$ $$ 2^{3*x}=2^{0},$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac{0}{3}=0.$$
- Получили ответ: $$ log_{8}(1)=0.$$
Пример 5
Вычислить логарифм от \(15\) по основанию \(5\): \(\quad log_{5}(15)=?\)
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 \qquad 15= ???;$$ \(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_{5}(15).$$
Внимание!
Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\)? Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.
$$16=2*2*2*2=2^4,$$\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.
$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$
Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) нельзя представить в виде степени какого-нибудь числа.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специальные названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается как \(lg(a)\).
Пример 6
$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$ $$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$ $$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\). Обозначение - \(ln(x)\). Что такое \(e\)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, \(2,718281828459…\). Это число известно тем, что используется во многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием \(e\) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.
Пример 7
$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$ $$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$ $$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
$$1. \; log_{a}(1)=0;$$ $$2. \; log_{a}(a)=1;$$ $$3. \; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$ $$4. \; log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$ $$5. \; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$ $$6. \; log_{a^m}(b)=\frac{1}{m}* log_{a}(b);$$ $$ 7. \; log_{a}(b)=\frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, \; c \gt 0; \; c \neq 1; $$ $$ 8. \; log_{a}(b)=\frac{1}{log_{b}(a)};$$ $$ 9. \; a^{ log_{a}(b)}=b.$$Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8
Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=$$ $$=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$ $${ \small log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=}$$ $${ \small =log_{3}(27)=3;}$$
Пример 9
Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}\left(\frac{98}{2}\right)=$$ $$=log_{7}(49)=2;$$
Пример 10
Формулы \(5,6\). Свойства степени.
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
$$log_{a^m}(b^n)=\frac{n}{m}* log_{a}(b);$$И если \(m=n\), то:
$$log_{a^m}(b^m)=\frac{m}{m}* log_{a}(b)=log_{a}(b)$$$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$
Пример 11
Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.
$$log_{4}(5)=\frac{1}{log_{5}(4)};$$ $$log_{4}(5)=\frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$