урок 5. Задание №9 ЕГЭ

Логарифмы и их свойства

Цели урока:
1. Что такое логарифм?
2. Свойства логарифма
3. ОДЗ логарифма
4. Разбор примеров из задания №9 ЕГЭ

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

что такое логарифм

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.


Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_{2}(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$ $$log_{2}(8)=3;$$ $$log_{2}(16)=4;$$ $$log_{2}(64)=6;$$ $$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.


Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

$$log_{a}(b)=c;$$ $$a^{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм - это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.


Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_{4}(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

$$ log_{4}(4) \lt log_{4}(6) \lt log_{4}(16);$$ $$ 1 \lt log_{4}(6) \lt 2. $$

Значит \(log_{4}(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) \in [1;2]. $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма \(log_{a}(b)\) существует только при положительных значениях основания \(a\) и аргумента \(b\). И кроме этого на основание накладывается условие, что она не должно быть равно \(1\).

$$ log_{a}(b) \quad существует,\;при \quad a \gt 0; \;b \gt 0 \;a \neq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.


Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(\frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3^{-1}=\frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

  • Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
  • Разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
  • \(x\) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_{3}(9)\)

  • Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
  • Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(3^1\), чтобы получить \(3^2\) $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^{1*x}=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
  • Вот мы и решили: $$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac{1}{125}\) по основанию \(5\): \(log_{5}(\frac{1}{125})\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(5^1\), чтобы получить \(5^{-3}\): $$ (5^1)^x=5^{-3}, $$ $$ 5^{1*x}=5^{-3},$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
  • Получили ответ: $$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_{64}(4)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(2^6\), чтобы получить \(2^{2}\): $$ (2^6)^x=2^{2}, $$ $$ 2^{6*x}=2^{2},$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
  • Получили ответ: $$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_{8}(1)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(2^3\), чтобы получить \(2^{0}\): $$ (2^3)^x=2^{0}, $$ $$ 2^{3*x}=2^{0},$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac{0}{3}=0.$$
  • Получили ответ: $$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_{5}(15)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 \qquad 15= ???;$$ \(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=2^4,$$

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.


$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.


Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.


Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается - \(lg(a)\).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$ $$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$ $$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\). Обозначение - \(ln(x)\). Что такое \(e\)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, \(2,718281828459…\). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием \(e\) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$ $$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$ $$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.


У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.


Свойства логарифмов

$$1. \; log_{a}(1)=0;$$ $$2. \; log_{a}(a)=1;$$ $$3. \; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$ $$4. \; log_{a}(\frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$ $$5. \; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$ $$6. \; log_{a^m}(b)=\frac{1}{m}* log_{a}(b);$$ $$ 7. \; log_{a}(b)=\frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ;\ b \gt 0;\c \gt 0;\c \neq 1; $$ $$ 8. \; log_{a}(b)=\frac{1}{log_{b}(a)};$$ $$ 9. \; a^{ log_{a}(b)}=b.$$

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.


Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$ $$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$ $$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

$$ log_{a}(\frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$ $$ log_{7}(90)-log_{7}(2)=log_{7}(\frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$

Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.

$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$ $$log_{a^m}(b)=\frac{1}{m}* log_{a}(b);$$

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

$$log_{a^m}(b^n)=\frac{n}{m}* log_{a}(b);$$

И если \(m=n\), то:

$$log_{a^m}(b^m)=\frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$ $$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$

Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.

$$ log_{a}(b)=\frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, \; b \gt 0\;c \gt 0\;c \neq 1; $$ $$ log_{a}(b)=\frac{1}{log_{b}(a)};$$ $$log_{4}(5)=\frac{1}{log_{5}(4)};$$ $$log_{4}(5)=\frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$
Описание к видео. Логарифмы и их свойства

Десятый класс – пора, когда стоит уделить время подготовке к ЕГЭ. Одна из самых важных тем, актуальных как при решении итогового теста, так и в дальнейшем на уроках математического анализа в университете - логарифмы. От того, насколько хорошо будут освоены основы понятия, в дальнейшем зависит время, которое придётся потратить на решение задания. Чтобы вникнуть в тему, стоит рассмотреть определение и основные свойства, взглянуть на примеры.

Логарифмом (log) положительного числа b с основанием a принято считать показатель степени, при возведении a в которую возможно получить b. Оба значения строго больше 0 и a не может быть равно 1. Рассмотрим пример. Логарифм 4 с основанием 2 – число, выступающее в роли степенного показателя, в котором основание равно 4. Он равен 2, поскольку 2, возведённое во 2 степень, даёт 4. Это достаточно простой пример, часто ответ не является целым числом.

Отдельная разновидность – десятичный логарифм, обозначаемый как «lg». Его отличие от обычного в том, что основанием считается 10. Пример довольно прост. Найдём lg 100. Это степень, в которую нужно возвести 10 для получения 100. Итак, 100 – это 10 в квадрате, а значит lg от 100 равен 2.

Натуральный логарифм log, где вместо основания логарифма стоит число e (экспонента). Он имеет обозначение: «ln».

Свойства и основное логарифмическое тождество

Существуют свойства логарифма, о которых не стоит забывать при решении заданий с ним:

  • Log от произведения равен сумме log множителей. От частного – разности логарифмов делимого и делителя;
  • Если под знаком стоит число в степени m, её выносят за логарифм;
  • Если в основании стоит значение в степени n, она выносится как 1/n;
  • Логарифм, где основание и число под log стоят в неких степенях (n и m) может быть записан как m/n log;
  • Для перехода от логарифма b с основанием a к новому основанию необходимо записать его как частное двух логарифмов с основаниями с, где под логарифмом делимого стоит b, а делителя a.
  • Основное логарифмическое тождество - если a возводится в степень логарифма от b с основанием a, получится b. Его легко проверить на практике. Возведём 2 в степень «логарифм 4 с основанием 2» из первого примера и получим 4.


Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В данном уроке разбираем, что такое квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.