Логарифмические уравнения

Алгоритм решения логарифмических уравнений

Начнём урок с краткой схемы, как решаются логарифмические уравнения. Она вряд ли вам поможет именно научиться решать, но может быть полезна, чтобы освежить информацию в памяти.

$$ \log_{a}(f(x))=\log_{a}(g(x)).$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} f(x)=g(x); \\ f(x) \gt 0 \quad или \quad g(x) \gt 0; \end{cases}$$

где \(a>0\) - основание логарифмов, а \(f(x)\) и \(g(x)\) - какие-то выражения, зависящие от \(x\).

Для тех, кто хочет разобраться с нуля в этой не самой простой теме, я подготовил детальный разбор: от самых простых уравнений с логарифмами до заданий из ЕГЭ по профильной математике.

Как решать логарифмические уравнения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от \(x\), называются логарифмическими.

Давайте сразу же рассмотрим пример, так будет легче всего разобраться.

Пример 1 $$ \log_{2}(x)=\log_{2}(5)$$

Мы видим слева и справа логарифмы с одинаковыми основаниями, равными \(2\). Вполне логично предположить, что логарифмы будут равны, если будут равны выражения, стоящие под логарифмом (их называют аргументами), то есть \(x=5\). Мы только что решили логарифмическое уравнение!

На самом деле, абсолютно такая же логика применима при решении почти всех логарифмических уравнений - если у нас сравниваются два логарифма с одинаковыми основаниями, то мы можем избавиться от логарифмов, приравнять их аргументы и решить получившееся уравнение.

Пример 2 $$ \log_{3}(2x+5)=\log_{3}(11) $$

Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием \(3\). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$ 2x+5=11,$$ $$ 2x=6,$$ $$ x=3.$$

Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте рассмотрим еще один пример:

Пример 3 $$ \log_{2}(1+3x)=\log_{2}(2x-3) $$

Смотрим на основания - они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:

$$1+3x=2x-3,$$ $$3x-2x=-3-1,$$ $$x=-4.$$

Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:

$${ \small \log_{2}(1+3*(-4))=\log_{2}(2*(-4)-3)}$$ $${ \small \log_{2}(-11)=\log_{2}(-11).}$$

Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.

Действительно, давайте вспомним определение логарифма \(\log_{a}b\) - это в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). При этом определение справедливо не для всех \(a\) и \(b\), а только для \(a>0\), \(b>0\), \(a \neq 1\). Подробнее про логарифм и его свойства можно почитать здесь.

Значит, с нашим решением что-то не так. Мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!

Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:

$$\log_{a}f(x)$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:

$$ \begin{cases} f(x)>0, \\ a>0, \\ a \neq 1. \end{cases}$$

При решении любых логарифмических уравнений или неравенств всегда первым делом записываем ОДЗ для каждого логарифма в уравнении.
В нашем примере №3 ОДЗ будет выглядеть вот так: $$ \begin{cases} 1+3x>0, \\ 2x-3>0. \\ \end{cases}$$ Решаем получившуюся систему $$ \begin{cases} x>-\frac{1}{3}, \\ x>\frac{3}{2}. \\ \end{cases}$$ Находим \(x\), удовлетворяющие одновременно обоим неравенствам, и получаем в итоге ОДЗ: $$x>\frac{3}{2}.$$ Вспоминаем, что решая уравнение в примере №3, мы получили корень \(x=-4\), который нашему ОДЗ не удовлетворяет. Поэтому в примере №3 корней нет.
Итак, всегда пишем ОДЗ!

Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:

Пример 4 $$ \log_{2}(x)=\log_{4}(9).$$

Запишем ОДЗ: \(x>0\).
У логарифма слева основание \(2\), а у логарифма справа основание \(4\). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.

$$ \log_{2}(x)=\log_{2}(3).$$

Ого, как я такое получил?
Просто воспользовался формулой возведения в степень основания и аргумента логарифма: если возвести в одинаковую степень, то логарифм от этого не поменяется: $$ \log_{a}(b)=\log_{a^n}(b^n).$$ В нашем примере возведем основание и аргумент в степень \(\frac{1}{2}\): $$ \log_{4}(9)=\log_{4^{\frac{1}{2}}}(9^{\frac{1}{2}})=\log_{2}(3).$$ $$ \log_{2}(x)=\log_{2}(3).$$ Ну теперь основания у логарифмов одинаковые, и можно с чистым сердцем приравнять аргументы, как мы делали до этого. $$x=3.$$

Кстати, решить уравнение \(\log_{2}(x)=\log_{4}(9)\) можно было и по-другому: привести к основанию \(4\) логарифм, стоящий слева в уравнении:
Опять воспользуемся свойством логарифма: $$ \log_{a}(b)=\log_{a^n}(b^n);$$ $$\log_{2}(x)=\log_{2^2}(x^2)=\log_{4}(x^2);$$ Подставим в исходное уравнение наши преобразования: $$ \log_{4}(x^2)=\log_{4}(9);$$ Ура, у нас слева и справа логарифмы с одинаковым основанием - вычеркиваем логарифмы: $$x^2=9;$$ Решаем аккуратно простейшее квадратное уравнение. Не забываем, что у него будет 2 корня! $$x=\pm3;$$ Опа, у нас получилось два корня. А когда мы решали первым способом, был один корень! Что за дела?

Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ: \(х>0\). Тогда корень \(x=-3\) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.

Ответ: \(x=3.\)

Чтобы уметь решать логарифмические уравнения, нужно хорошо знать свойства логарфимов. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 5 $$\log_{5}(x)=2$$

Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть, сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.

Оказывается, любое число \(a\) можно представить в виде логарифма с нужным вам основанием \(b\) по формуле: $$a=\log_{b}(b^a);$$ Эту формулу можно просто запомнить. А въедливым читателям я бы рекомендовал посидеть и подумать, откуда берется данное выражение. Подсказка: оно напрямую вытекает из определения логарифма. Задайте себе вопрос: «В какую степень нужно возвести основание \(b,\) чтобы получить аргумент \(b^a\)?»

Итак, воспользуемся формулой и распишем 2-ку из правой части исходного уравнения: $$2=\log_{5}(5^2);$$ Подставим в уравнение: $$\log_{5}(x)=\log_{5}(5^2);$$ Ура, у нас два логарифма с одинаковыми основаниями, теперь можно приравнять подлогарифмические выражения. $$x=5^2;$$ $$x=25.$$

Пример 6 $$\log_{3}(x+2)=0$$

Начинаем с ОДЗ: $$x+2>0;$$ $$x>-2.$$ Приступаем к решению уравнения. Что делать в случае, когда справа стоит \(0\)? Ничего страшного в этом нет, действуем по прежнему плану: представим \(0\) в виде логарифма по нашей формуле: $$a=\log_{b}(b^a);$$ $$\log_{3}(x+2)=\log_{3}(3^0);$$ Вспоминаем, что любое число в нулевой степени это единица. $$\log_{3}(x+2)=\log_{3}(1);$$ $$x+2=1;$$ $$x=-1.$$ Корень удовлетворяет ОДЗ, записываем ответ.
Ответ: \(x=-1\).

Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившиеся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, вам поставят за это задание 0 баллов.

В общем виде формула для решения логарифмов выглядит так: $$ \log_{a}(f(x))=\log_{a}(g(x)); \qquad (*)$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} f(x)=g(x); \\ f(x) \gt 0 \quad или \quad g(x) \gt 0; \end{cases}$$ где \(a>0\) - основание логарифмов, а \(f(x)\) и \(g(x)\) - какие-то выражения, зависящие от \(x\).

Обратите внимание на «или» в ограничениях. Оказывается, можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на \(f(x),\) либо на \(g(x)\), смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых \(f(x)=g(x)\).

Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:

Пример 7 $$2*\log_{4}(4+x)=4-\log_{2}(x-2);$$

Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того, чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя \(2\) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое \(4\), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!

Но перед тем, как решать, запишем ОДЗ: $$ \begin{cases} 4+x>0, \\ x-2>0. \\ \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x>-4, \\ x>2. \\ \end{cases}$$ Находим пересечение, и в итоге ОДЗ получается: $$ x>2.$$

Приступаем непосредственно к решению уравнения. Самое главное, нам необходимо привести все логарифмы к одинаковому основанию, и, по возможности, привести уравнение к виду \(\log_{a}f(x)=\log_{a}g(x)\).
Здесь не обойтись без свойств логарифмов. Воспользуемся формулой вынесения степени из основания логарифма: $$\log_{a^n}(b)=\frac{1}{n}*\log_{a}(b);$$ $$\log_{4}(4+x)=\log_{2^2}(4+x)=$$ $$=\frac{1}{2}*\log_{2}(4+x);$$ Подставим в уравнение $${ \small 2*\frac{1}{2}*\log_{2}(4+x)=4-\log_{2}(x-2)}$$ $${ \small \log_{2}(4+x)=4-\log_{2}(x-2)}$$ Теперь у нас хотя бы логарифмы с одинаковым основанием. Далее преобразуем правую часть уравнения, воспользовавшись формулами: $$ a=\log_{b}(b^a);$$ $$\log_{a}(b)-\log_{a}(c)=\log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)$$

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Рассмотрим теперь уравнение, в котором есть, так называемый, логарифм с переменным основанием. То есть логарифм, у которого в основании стоит какое-то выражение, зависящее от \(x\).

Пример 8 $$\log_{1-x}(x^2+3x+1)=1;$$

В основании логарифма стоит \((1-x)\), это переменное основание, потому что я могу подставлять различные значения \(x\), и каждый раз основание логарифма будет разным. Ничего страшного в этом нет. Начинаем решать, руководствуясь тем же принципом, что и в предыдущих примерах: стараемся привести обе части уравнения к виду двух логарифмов с одинаковым основанием. Для этого нужно представить \(1у\) справа в виде логарифма с основанием \((1-x)\).

Но, первым делом, выпишем ОДЗ, не забывая накладывать условия и на основание логарифма, так как оно зависит от \(x\): $$ \begin{cases} x^2+3x+1>0, \\ 1-x>0, \\ 1-x\neq1.\\ \end{cases} \qquad (**)$$

Теперь приступаем к решению самого уравнения. Выпишем еще раз формулу, по которой преобразуем правую часть: $$a=\log_{b}(b^a);$$ Где \(а=1\), а \(b=1-x\): $${ \small 1=\log_{1-x}(1-x)^1=\log_{1-x}(1-x)}$$ Подставим в уравнение $${ \small \log_{1-x}(x^2+3x+1)=\log_{1-x}(1-x)}$$ Два логарифма с одинаковым основанием - можем приравнять аргументы: $$x^2+3x+1=1-x;$$ $$x^2+4x=0;$$ $$x(x+4)=0;$$ $$x=0;$$ $$x=-4.$$ Получили два корня, проверим, удовлетворяют ли они ОДЗ, подставив их в (**). Корень \(0\) не удовлетворяет последнему неравенству в ОДЗ, а \((-4)\) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: x=-4.

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

Разберем еще один частый тип логарифмических уравнений - это уравнения с заменой переменной. Общий принцип заключается в том, чтобы привести все логарифмы в уравнении к одинаковому основанию и одинаковому аргументу, а потом сделать замену.
Проще разобрать на примерах:

Пример 9 $$\log^2_{2}(x)+6=5*\log_{2}(x)$$

Как и любой пример на логарифмы, начинаем с ОДЗ:

$$x>0.$$

В уравнении один из логарифмов в квадрате, поэтому представить в виде равенства двух логарифмов, как мы делали в предыдущих примерах, не получится. Кроме этого, замечаем, что у нас оба логарифма абсолютно одинаковые: у них одинаковые основания и одинаковые аргументы.

Попробуем сделать замену: $$t=log_{2}(x)$$ Тогда наше уравнение после замены примет вид: $$t^2-5t+6=0;$$ $$D=25-24=1;$$ $$t_{1}=\frac{5+1}{2}=3;$$ $$t_{2}=\frac{5-1}{2}=2;$$ И сделаем обратную замену, получив два простых логарифмических уравнения: $$t_{1}=\log_{2}(x)=3;$$ $$\log_{2}(x)=\log_{2}(2^3);$$ $$x_1=8.$$
$$t_{2}=\log_{2}(x)=2;$$ $$\log_{2}(x)=\log_{2}(2^2);$$ $$x_2=4.$$ Обязательно не забываем проверить, удовлетворяют ли корни ОДЗ \((x>0)\). Оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: \(x_1=8; \, x_2=4.\)

Пример 10 $$ \log_{2}\left(\frac{8}{x}\right)-\frac{10}{\log_{2}(16x)} = 0;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ: $$ \begin{cases} \frac{8}{x}>0, \\ \log_{2}(16x)\neq0,\\ 16x>0.\\ \end{cases}$$ Решаем каждое из получившихся неравенств в системе: $$ \begin{cases} x>0, \\ x\neq\frac{1}{16},\\ x>0.\\ \end{cases}$$ В итоге, ОДЗ будет: \(x\in(0;\frac{1}{16})\cup(\frac{1}{16};\infty)\).

Посмотрим теперь на сам пример. Видим два логарифма, у них одинаковые основания, что хорошо. Но функции, стоящие под логарифмами, разные. Постараемся при помощи свойств логарифма сделать одинаковые аргументы, чтобы потом сделать замену.

Воспользуемся формулами суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями: $$\log_{a}(b*c)=\log_{a}(b)+\log_{a}(c);$$ $$\log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=\log_{a}(b)-\log_{a}(c);$$ $$\log_{2}\left(\frac{8}{x}\right)=\log_{2}(8)-\log_{2}(x)=$$ $$=3-\log_{2}(x);$$ $$\log_{2}(16x)=\log_{2}(16)+\log_{2}(x)=$$ $$=4+\log_{2}(x);$$ Подставим наши преобразования в исходное уравнение $$3-\log_{2}(x)-\frac{10}{4+\log_{2}(x)}=0;$$ Теперь в уравнении все логарифмы одинаковые, можем сделать замену. Пусть \(t=\log_{2}(x):\) $$3-t-\frac{10}{4+t}=0;$$ Приводим к общему знаменателю $$\frac{(3-t)(4+t)-10}{4+t}=0;$$ $$\frac{-t^2-t+2}{4+t}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$-t^2-t+2=0;$$ $$t_{1}=1;$$ $$t_{2}=-2;$$ Делаем обратную замену: $$t_{1}=\log_{2}(x)=1;$$ $$\log_{2}(x)=\log_{2}(2^1);$$ $$x_1=2.$$
$$t_{2}=\log_{2}(x)=-2;$$ $$\log_{2}(x)=\log_{2}({2}^{-2});$$ $$x_2=\frac{1}{4}.$$ Сверяем с ОДЗ, видим, что оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: \(x_1=2; \, x_2=\frac{1}{4}.\)

Пример 11

Решаем методом интервалов и находим пересечение решений всех неравенств в системе. В итоге, получаем ОДЗ: \(x>1\).

Приступаем к решению самого уравнения. Первым делом, приведем все логарифмы к одинаковому основанию \(2\). Для этого нужно преобразовать только второе слагаемое в уравнении: $$0,5=\frac{1}{2}=2^{-1};$$