Показательные неравенства

Для начала кратко разберем общий алгоритм решения показательных неравенств. Если хочешь разобраться подробно, изучив все детали, листай ниже.

Алгоритм решения показательных неравенств

Сформулируем общие правила решения простых показательных неравенств:

1. Необходимо привести показательные функции слева и справа к одинаковому основанию;
2. Избавляемся от оснований;
3. Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется;
4. Если основание меньше единицы, то меняем знак неравенства на противоположный;
5. Решаем получившееся неравенство;

Схема решения $$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$ где \(a>0; \; a\neq1\) - некоторое положительное число, а \(f(x)\) и \(g(x)\) какие-то зависящие от \(x\) выражения.
Если \(a>1\): то \(f(x)>g(x)\);
Если \(0 \lt a \lt 1:\) то \(f(x) \lt g(x)\).

Подробный разбор показательных неравенств

Первым делом поговорим о том, что такое показательная функция. Будет немного занудно, но нужно потерпеть, чтобы точно во всем разобраться. Показательную функцию можно представить в виде:

$$a^{g(x)};$$

где \(a\) называется основанием;
а \(g(x)\) - степенью показательной функции.

То есть, любое положительное число в степени у которого \(x\) или некоторое выражение, зависящее от \(x\), будет показательной функцией. Например: \(2^x; \; (\frac{1}{3})^x; \; 5^{x+3}; 23^{-x^2-1}\) и т.д.

При этом показательная функция по определению существует только при основаниях \(a>0\) и \(a\neq1\), а степень \(g(x)\) может быть абсолютно любой.

Чтобы действительно разобраться, как решать сложные показательные неравенства, нужно понимать, как ведет себя показательная функция при различных основаниях. Посмотрим в таблицу:

$$2^0=1;$$ $$2^1=2;$$ $$2^2=4;$$ $$2^3=8;$$ $$2^4=16;$$ $$2^5=32;$$

В ней представлены различные степени 2-ки. Видим, что чем больше степень у 2-ки, тем большее число мы получаем. Другими словами, показательная функция \(f(x)=2^x\) является возрастающей: с увеличением \(x\) увеличивается и значение самой функции \(f(x)\).

Аналогичные таблицы можно составить для степеней с различными основаниями. Например, если возводить в степень 3-ку, то вы тоже получите возрастающую функцию: чем в большую степень вы возводите 3-ку, тем большее значение будете получать.

Чтобы наглядно посмотреть, как ведет себя показательная функция, построим, например, график \(y=2^x\). Графики с другими основаниями, большими единицы, будут выглядеть аналогично, то есть, будут возрастать с увеличением степени.

Посмотрите на еще одну таблицу. В ней представлены степени \(\frac{1}{3}\):

$$\left(\frac{1}{3}\right)^0=1;$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{1}{3};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243};$$

Оказывается, чем в большую степень мы будем возводить \(\frac{1}{3}\), тем МЕНЬШЕЕ значение будем получать. Показательная функция с основанием \(\frac{1}{3}\) будет убывающей. Более того, если возводить в степень любую дробь меньшую единицы, с увеличением степени вы всегда будете получать всё меньшие и меньшие значения. Чтобы наглядно это продемонстрировать, нарисуем еще один график функции \(y=(\frac{1}{3})^x\):

Из всего этого занудства следует очень важное общее правило:
Если основание у степени больше единицы \(a>1\), то показательная функция будет возрастающей, а если меньше единицы \(0 \lt a \lt 1\), то убывающей. Это ключевой момент при решении показательных неравенств!

Решение показательных (степенных) неравенств похоже на решение показательных уравнений с некоторыми оговорками. Начнем изучение с простейшего примера:

Пример 1 $$ 2^x>2^3; $$ Это неравенство решается интуитивно. Понятное дело, что чем в большую степень мы будем возводить двойку, тем большее значение будем получать. Основание больше единицы, а значит, показательная функция возрастающая!

Основания у нас одинаковые. Значит, если вместо \(x\) подставить любое число большее 3, мы получим верное неравенство. Решением нашего первого показательного неравенства будет: $$ x>3;$$

Пример 2 $$3^{x+4}<3^{3x-10};$$ Основания одинаковые, большие единицы, а значит, у нас опять возрастающие функции - чем больше степень, тем больше значение показательной функции. Логично, что наше неравенство в таком случае сводится к сравнению степеней с сохранением знака неравенства: $$x+4<3x-10;$$ $$-2x<-14;$$ При делении на отрицательное число не забываем поменять знак неравенства: $$x>7;$$

Пример 3 $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^5;$$ Очень похожее неравенство, основания опять одинаковые, но они меньше единицы. Что это меняет? Знак неравенства!
Раз основание показательной функции меньше единицы, значит она убывающая - чем больше степень, тем меньше значение показательной функции. Поэтому для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо опять сравнить степени, но с противоположным знаком: $$x<5;$$

Пример 4 $$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-5}\ge\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1};$$ Основания одинаковые и меньше единицы, значит избавляемся от основания \(\frac{2}{3}\) и сравниваем степени, не забывая при этом изменить знак неравенства: $$2x-5 \le x+1;$$ $$x \le 6;$$

Пример 5 $$2^{x+2} \le 8^{2x-1};$$ Этот пример немного сложнее - здесь разные основания (слева 2, справа 8). Чтобы решить по аналогии с предыдущими примерами, нужно привести к одинаковым основаниям. Заметим, что восемь можно представить в виде степени двойки: \(8=2^3\). Подставим в исходное неравенство: $$2^{x+2} \le (2^3)^{2x-1};$$ Из свойства степеней: $$(a^n)^m=a^{n*m}.$$ $$2^{x+2} \le 2^{3*(2x-1)};$$ Теперь основания одинаковые и больше единицы, избавляемся от них, оставляя знак неравенства неизменным: $$x+2 \le 3*(2x-1);$$ $$x+2 \le 6x-3;$$ $$-5x \le -5;$$ $$x \ge 1.$$

Общий алгоритм

Сформулируем еще раз общие правила решения простых показательных неравенств:

1. Необходимо привести показательные функции слева и справа к одинаковому основанию
2. Избавляемся от оснований
3. Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется
4. Если основание меньше единицы, то меняем знак неравенства на противоположный
5. Решаем получившееся неравенство

Схема решения $$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$ где \(a>0; \; a\neq1\) - некоторое положительное число, а \(f(x)\) и \(g(x)\) какие-то зависящие от \(x\) выражения.
Если \(a>1\): то \(f(x)>g(x)\);
Если \(0 \lt a \lt 1:\) то \(f(x) \lt g(x)\).

В принципе, схема решения простых показательных неравенств очень похожа на решение показательных уравнений. За исключением необходимости внимательно следить за основаниями и знаком неравенства.
Разберем еще несколько интересных и важных примеров.

Пример 6 $$2^{x+1} \ge 4;$$ Справа от знака неравенства стоит не показательная функция, а просто число. Но его легко представить в виде степени двойки: $$2^{x+1} \ge 2^2;$$ Основания одинаковые, большие единицы. Избавляемся от них, знак неравенства сохраняем. $$ x+1 \ge 2;$$ $$x \ge 1.$$

Как приводить степени к одному основанию

Пример 7 $$5^x \le 3;$$ На первый взгляд, пример аналогичен предыдущему. Чтобы решить неравенство, нужно привести к одинаковому основанию. Так и есть, но вот как представить \(3-ку\) в виде степени \(5-ки\)?

Ничего сложного в этом нет. Оказывается, любое число \(a\) можно представить в виде степени с нужным нам основанием \(b\). Правда, без логарифмов тут не обойтись. Это можно сделать при помощи формулы: $$ a=b^{\log_{b}(a)}; \qquad (*)$$ Например: \(3=5^{\log_{5}(3)};\)

Кто забыл, что такое логарифмы, вам обязательно нужно посмотреть сюда.

Мы уже пользовались этой формулой в главе про показательные уравнения. На самом деле, для решения неравенств ее необязательно понимать, можно в лоб подставлять числа в формулу. Но я бы настоятельно рекомендовал разбираться во всем, чем вы пользуетесь. Поэтому подумайте самостоятельно, почему эта формула верна?

Посмотрим на правую часть формулы (*). В степени у нас стоит логарифм \(\log_{b}(a)\). Логарифм - это число, в которое нужно возвести основание \(b\), чтобы получить \(a\). И в итоге, в правой части формулы (*) мы \(b\) возводим в степень, в которую нужно возвести \(b\), чтобы получить число \(a\). Так немного запутанно эта формула и работает. Но, если подумать, все не так сложно.

Возвращаемся к примеру 7. Теперь мы знаем, как \(3-ку\) представить в виде степени \(5-ки\): $$3=5^{\log_{5}(3)};$$ Подставляем в исходное неравенство $$5^x \le 5^{\log_{5}(3)};$$ Наши основания одинаковые, избавляемся от них $$x \le \log_{5}(3);$$ Ответ оставляем с некрасивым логарифмом. Мы его не сможем посчитать без калькулятора. На ЕГЭ именно так и поступаем.

Пример 8 $$\left(\frac{1}{81}\right)^{-4x} < 27^{x+8};$$ Здесь привести к одному основанию несколько сложнее. Обратите внимание, что числа 27 и \(\frac{1}{81}\) являются степенями \(3-ки\): $$ 27=3^3; $$ $$ \frac{1}{81}=3^{-4}; $$ Кто забыл, как работать со степенями, посмотрите главу про свойства степеней. Приведем к основанию \(3\) левую и правую части неравенства: $$(3^{-4})^{-4x} < (3^3)^{x+8};$$ $$3^{16x} < 3^{3x+24};$$ Основания одинаковые, избавляемся от них: $$16x<3x+24;$$ $$ 13x<24;$$ $$x<\frac{24}{13};$$

Пример 9 $$ 5^x <-3;$$ Казалось бы, пример ничем не отличается от примера №7 - приводи себе \((-3)\) к основанию \(5\) по формуле и решай.

Но здесь проблема кроется в определении показательной функции. Показательная функция ВСЕГДА больше нуля!
А значит, \(5^x>0\) и никак не может быть меньше \((-3)\), какие бы \(x\) вы не подставляли.
Попробуйте подставить вместо \(x\) минус миллион, что вы получите? По определению отрицательной степени: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ $$ 5^{-1000000}=\frac{1}{5^{1000000}};$$ Это, несомненно, будет очень маленькое, но положительное число.
Итак, в этом примере корней нет. Запомните это!

Пример 10 $$ 7^x >-6;$$ Неравенство аналогичное примеру №9, но с другим знаком неравенства.
Что меняется? Теперь нас просят найти такие \(x\), при которых показательная функция \(7^x\) будет больше отрицательного числа \((-7)\). Но так как показательная функция больше \(0\) при любых \(x\), то она уже точно будет больше \((-7)\).
Что бы вы не подставили, всегда будете получать верное неравенство.
Ответом здесь будет любое число.

Теперь разберем пример посложнее.
Пример 11 $$ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80} \le 0;$$ Постараемся привести данное неравенство к виду, аналогичному предыдущим примерам. Для этого перенесем вправо второе слагаемое \(0,2^{2x^2-4x-80}\): $$ 25^{x^2-2x+10} \le 0,2^{2x^2-4x-80};$$ Приведем к одному основанию. Советую десятичные дроби записывать в виде обыкновенных дробей, так вы сразу увидите, к какому основанию удобно привести: $$0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5};$$ $$ 25^{x^2-2x+10} \le \left(\frac{1}{5}\right)^{2x^2-4x-80};$$ Слева и справа в основаниях стоят числа, которые легко можно представить в виде степени \(5-ки\): $$25=5^2;$$ $$ \frac{1}{5}=5^{-1};$$ Подставим $$ (5^2)^{x^2-2x+10} \le (5^{-1})^{2x^2-4x-80};$$ $$ 5^{2*(x^2-2x+10)} \le 5^{-1*(2x^2-4x-80)};$$ $$ 5^{2*x^2-4x+20} \le 5^{-2x^2+4x+80};$$ Основания одинаковые, избавляемся от них: $$ 2x^2-4x+20 \le -2x^2+4x+80; $$ $$4x^2-8x-60 \le 0;$$ Через дискриминант раскладываем квадратный многочлен на множители: $$ 4(x+3)(x-5) \le 0;$$ И решаем методом интервалов:

Ответ: \(x \in [-3;5].\)

Замена в показательных неравенствах

Мы разобрали все виды простейших степенных неравенств. Опираясь на эти знания, можно перейти к более сложным неравенствам, которые решаются при помощи замены переменной. В ЕГЭ по профильной математике такие примеры попадаются довольно часто.

Если вы раньше решали любые уравнения или неравенства на замену переменной, то разобраться будет совсем не трудно. Давайте посмотрим на примерах:

Пример 12 $$ 4^x-29*2^x+168\le 0. $$ Согласно обычной логике в показательных неравенствах, приведем все показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать довольно легко: $$ (2^2)^x-29*2^x+168 \le 0$$ $$ 2^{2x}-29*2^x+168 \le 0$$ Готово. Теперь обратите внимание, что \(2^{2x}=(2^x)^2\), согласно свойству степеней. Подставим: $$ (2^x)^2-29*2^x+168 \le 0$$ В любом примере на замену переменной нужно найти одинаковые конструкции (выражения), зависящие от \(x\). В нашем примере есть такая конструкция - \(2^x\).

Обозначим за \(t=2^x\), и подставим в наше неравенство: $$ t^2-29t+168 \le 0 $$ В итоге получили обыкновенное квадратное неравенство, которое я обычно решаю при помощи универсального метода интервалов: $$ D=29^2-4*168=841-672=169;$$ $$t_{1}=\frac{29+13}{2}=21;$$ $$t_{2}=\frac{29-13}{2}=8;$$ Зная корни, раскладываем квадратный многочлен на множители: $$(t-8)(t-21) \le 0;$$ Для метода интервалов рисуем числовую прямую, отмечаем нули функции (корни) и исследуем промежутки. Кто не помнит метод интервалов, настоятельно рекомендую его повторить, без него решать показательные неравенства бесполезно.

Получаем промежутки для переменной \(t\): $$ t \in [8;21];$$ И тут частая ошибка в том, что школьники заканчивают на этом решение. Но нас же не просят в условии задачи найти \(t\), нас просят найти \(x\)!

Поэтому обязательно нужно сделать обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной \(x\). Для этого будем пользоваться простой логикой: раз \(t\in[8;21]\), значит \(t\) может принимать такие значения, которые больше либо равны 8, но и не больше 21. Перепишем то же самое в виде системы (система, потому что эти условия должны выполняться одновременно): $$ \begin{cases} t \ge 8, \\ t \le 21. \end{cases}$$ Теперь нужно вспомнить, а что такое собственно \(t\). Это же переменная, за которую мы обозначили \(2^x=t\). Подставим вместо \(t\) \(2^x\).

Обратная замена: $$ \begin{cases} 2^x \ge 8, \\ 2^x \le 21. \end{cases}$$ Получили систему из двух простейших показательных неравенств, которые выше мы уже научились с вами решать. $$ \begin{cases} 2^x \ge 2^3, \\ 2^x \le 2^{\log_{2}(21)}. \end{cases}$$ Основания везде одинаковые, можно от них избавиться: $$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x \le \log_{2}(21). \end{cases}$$ Запишем эту систему в виде промежутка
Ответ: \(x \in [3;\log_{2}(21)].\)

Как видите, все не так уж сложно. Разберем еще примеры на замену переменной в показательных неравенствах.

Пример 13 $$ 2^x+6*2^{-x} \le 7$$ Этот пример тоже на замену. Хотя основания у показательных функций у нас одинаковые - двойка, но вот степень у них отличаются, а значит, делать замену пока нельзя. Нужно сделать так, чтобы одинаковым было абсолютно все - и степени, и основания.

Вспомним свойство степени с отрицательным показателем: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ И применим его в нашем неравенстве: $$ 2^x+6*\frac{1}{2^x} \le 7$$ Обозначим за \(t=2^x\) и подставим: $$ t+6*\frac{1}{t} \le 7 $$ Для того, чтобы тут воспользоваться методом интервалов, нужно перекинуть все в левую часть и привести к общему знаменателю. $$ \frac{t^2-7t+6}{t} \le 0 $$ Я не рекомендую избавляться в неравенствах от знаменателя, как вы привыкли это делать в уравнениях. В неравенствах в подавляющем большинстве случаев ни в коем случае этого делать нельзя, он тоже влияет на знак всей функции. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ. Поэтому я рекомендую всегда в неравенствах тащить знаменатель за собой, не убирать его. Подробнее про это можно почитать в теории обыкновенных неравенств.

Но я вынужден отметить, что именно в этом примере убрать знаменатель \(t\) можно, так как \(t=2^x>0\). Показательная функция у нас ВСЕГДА больше нуля, поэтому и \(t>0\), а значит он не влияет на знак неравенства. Однако делать мы это не будем, чтобы не запутаться. Знаменатель всегда будем оставляем на месте.

Раскладываем на множители числитель: $$ \frac{(t-1)(t-6)}{t} \le 0 $$ Метод интервалов, с учетом того, что \(t=2^x>0\):

$$ t \in[1;6];$$

Запишем промежуток в виде системы: $$ \begin{cases} t \ge 1, \\ t \le 6. \end{cases}$$ Вспоминаем, что \(t=2^x\) и делаем обратную замену: $$ \begin{cases} 2^x \ge 1, \\ 2^x \le 6. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 2^x \ge 2^0, \\ 2^x \le 2^{\log_{2}(6)}. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x \le \log_{2}(6). \end{cases}$$ Ответ: \(x \in [0;\log_{2}(6)].\)

Пример 14 $$16^{x+\frac{1}{4}}-9*4^{x-\frac{1}{2}}+1\ge0$$ Пример очень похож на предыдущие, но перед тем, как делать замену, нам придется преобразовать левую часть неравенства. Выпишем отдельно показательные функции и постараемся привести их к одному виду. Иначе мы не сможем сделать замену. Для этого нам понадобятся свойства степеней: $$a^{n+m}=a^n*a^m;$$ $$(a^n)^m=a^{n*m};$$ $$a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m};$$ $$16^{x+\frac{1}{4}}=16^x*16^{\frac{1}{4}}=16^x*2=2*16^x=2*(4^2)^x=2*(4^x)^2;$$ $$4^{x-\frac{1}{2}}=\frac{4^x}{4^{\frac{1}{2}}}=\frac{4^x}{2}=\frac{1}{2}*4^x;$$ Подставим наши преобразования в исходное неравенство: $$2*(4^x)^2-9*\frac{1}{2}*4^x+1 \ge 0;$$ Все готово к замене. Пусть \(t=4^x\): $$2*t^2-\frac{9}{2}*t+1 \ge 0;$$ Домножим на \(2\), чтобы избавиться от знаменателя $$4t^2-9t+2 \ge 0;$$ Обыкновенное квадратное неравенство. Решаем, как обычно, методом интервалов. Для этого разложим на множители:

$$4(t-\frac{1}{4})(t-2) \ge 0;$$

$$\left[ \begin{gathered} t\le \frac{1}{4}; \\ t\ge 2, \\ \end{gathered} \right.$$

Обратите внимание на знак совокупности! Он означает, что нас устраивают оба промежутка, как показано на числовой прямой.

Очень важно уметь различать системы и совокупности.
Знак системы используется, когда нужно, чтобы значения \(x\) удовлетворяли всем неравенствам, входящим в систему. Другими словами, система - это знак пересечения решений всех неравенств. Знак совокупности показывает, что значения \(x\) удовлетворяют хотя бы одному из неравенств в системе. Совокупность - это знак объединения решений.

Делаем обратную замену \(t=4^x\): $$\left[ \begin{gathered} 4^x\le \frac{1}{4}; \\ 4^x\ge 2, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 4^x\le 4^{-1}; \\ 4^x\ge 4^{\frac{1}{2}}, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} x\le -1; \\ x\ge \frac{1}{2}, \\ \end{gathered} \right.$$ Запишем получившуюся совокупность в виде промежутков.
Ответ:\(x\in(-\infty;-1] \cup [\frac{1}{2};+\infty).\)

Теперь наших знаний достаточно, чтобы решать некоторые реальные примеры из ЕГЭ по профильной математике. Поехали:

Пример 15 $$ \frac{5^x}{5^x-4}+\frac{5^x+5}{5^x-5}+\frac{22}{25^x-9*5^x+20} \le 0$$ Перед вами настоящий пример из ЕГЭ 2016 года. Возможно, выглядит неприятно, но на самом деле, он решается очень легко. А самое главное, у нас уже есть все необходимые знания, чтобы его решить. Обращаем внимание, что почти везде есть конструкция \(5^x\). Это и будет наша замена, осталось только представить \(25^x=(5^x)^2\): $$ \frac{5^x}{5^x-4}+\frac{5^x+5}{5^x-5}+\frac{22}{(5^x)^2-9*5^x+20} \le 0$$ Пусть \(t=5^x\): $$ \frac{t}{t-4}+\frac{t+5}{t-5}+\frac{22}{t^2-9*t+20} \le 0$$ В третьей дроби разложим знаменатель на множители при помощи дискриминанта $$ \frac{t}{t-4}+\frac{t+5}{t-5}+\frac{22}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ Приводим к общему знаменателю $$ \frac{t(t-5)+(t+5)(t-4)+22}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе $$ \frac{2t^2-4t+2}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ $$ \frac{2(t^2-2t+1)}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ В скобках стоит полный квадрат $$ \frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ Теперь применяем метод интервалов

$$\left[ \begin{gathered} t=1, \\ 4 \lt t \lt 5. \\ \end{gathered} \right.$$

Перепишем двойное неравенство в виде системы $$\left[ \begin{gathered} t=1, \\ \begin{cases} t > 4, \\ t < 5. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ Делаем обратную замену \(t=5^x\): $$\left[ \begin{gathered} 5^x=1, \\ \begin{cases} 5^x > 4, \\ 5^x < 5. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 5^x=5^0, \\ \begin{cases} 5^x > 5^{\log_{5}(4)}, \\ 5^x < 5^1. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} x=0, \\ \begin{cases} x > \log_{5}(4), \\ x < 1. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ В ответе не забываем отдельную точку \(x=0\), она нас тоже устраивает! Если на ЕГЭ забудете точки, в зависимости от критериев, потеряете какое-то количество баллов. Отдельная точка всегда записывается при помощи фигурных скобок.

Ответ: \(x \in [0] \cup (\log_{5}(4);1).\)

Пример 16 $$ \frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-\frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1 \ge 0$$ Тут сразу бросается в глаза одинаковая конструкция \(2^{2-x^2}-1\). Замену мы можем делать абсолютно любую. Поэтому ничто не мешает нам тут обозначить за \(t=2^{2-x^2}-1\).

Подставим в исходное неравенство $$ \frac{3}{t^2}-\frac{4}{t}+1 \ge 0$$ Приводим к общему знаменателю $$\frac{t^2-4t+3}{t^2} \ge 0$$ $$\frac{(t-3)(t-1)}{t^2} \ge 0$$ Самое время для метода интервалов:

$$t \in (-\infty;0) \cup (0;1] \cup [3;+\infty);$$

Нас устраивает сразу три промежутка для \(t\). Запишем эти промежутки в виде большой совокупности, ведь нас устраивают все три промежутка: $$\left[ \begin{gathered} t < 0; \\ \begin{cases} t > 0, \\ t \le 1. \end{cases} ; \\ t\ge 3, \\ \end{gathered} \right.$$ Обратите внимание на то, что в совокупности у нас есть еще знак системы. Действительно, во втором промежутке \(t\) должно быть с одной стороны больше 0, а с другой меньше 1, и это должно выполняться одновременно. Поэтому второй промежуток описывается при помощи знака системы.

Сделаем обратную замену: $$\left[ \begin{gathered} 2^{2-x^2}-1< 0; \\ \begin{cases} 2^{2-x^2}-1 > 0, \\ 2^{2-x^2}-1 \le 1. \end{cases} ; \\ 2^{2-x^2}-1\ge 3, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 2^{2-x^2}< 1; \\ \begin{cases} 2^{2-x^2}> 1, \\ 2^{2-x^2} \le 2. \end{cases} ; \\ 2^{2-x^2}\ge 4, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 2^{2-x^2}< 2^0; \\ \begin{cases} 2^{2-x^2}> 2^0, \\ 2^{2-x^2} \le 2^1. \end{cases} ; \\ 2^{2-x^2}\ge 2^2, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 2-x^2< 0; \\ \begin{cases} 2-x^2> 0, \\ 2-x^2 \le 1. \end{cases} ; \\ 2-x^2\ge 2, \\ \end{gathered} \right.$$ Разложим все квадратные неравенства по формуле разности квадратов: $$\left[ \begin{gathered} (\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)< 0; \\ \begin{cases} (\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)> 0, \\ (1-x)(1+x) \le 0 . \end{cases} ; \\ -x^2\ge 0, \\ \end{gathered} \right.$$

Обратите внимание на последнее неравенство: так как квадрат всегда положителен, то это неравенство выполняется только, если \(x=0\).

И остальное решим методом интервалов. Я сразу напишу, что получается:

$$\left[ \begin{gathered} x\in (-\infty;-\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty); \\ \begin{cases} x\in(-\sqrt{2};\sqrt{2}), \\ x\in(-\infty;-1] \cup [1;+\infty). \end{cases} ; \\ x=0, \\ \end{gathered} \right.$$

Для наглядности нарисуем числовую ось и отметим на ней все промежутки. Различными цветами показаны соответствующие промежутки из совокупности, а фиолетовой штриховкой показано итоговое решение. Там, где знак системы находим пересечение, там где совокупность – объединение.

Ответ: \(x\in(-\infty;-\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2};-1] \cup [0] \cup [1;\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty).\)

Однородные показательные неравенства

Разберемся еще с одним типом показательных неравенств - однородными неравенствами. Такие неравенства часто встречаются, если в примере есть несколько показательных функций с разными основаниями, и свести их к одному основанию не представляется возможным. Как обычно, давайте сразу будем разбираться на конкретном примере.

Пример 17 $$25^x-20^x-2*16^x \le 0$$ Чем же это уравнение примечательно? Давайте попробуем по нашему старому алгоритму привести все к одинаковому основанию. $$25^x=5^{2x};$$ $$20^x=(5*4)^x=5^x*4^x;$$ $$16^x=4^{2x};$$ Как видите, привести к одному основанию не получается. Мы никак не можем сделать одинаковые показательные функции, если основания 5 и 4. Будем работать с тем, что есть. Подставим получившееся разложение в исходное неравенство. $$5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x} \le 0;$$

Так как делить неравенства на положительные числа можно, поделим получившееся неравенство на \(5^{2x}\). На всякий случай напомню: при делении неравенств на положительные числа полностью делится и левая, и правая части неравенства, только в этом случае преобразование будет равносильным, то есть его корни не изменятся. Делить неравенство на \(5^{2x}\) можно, потому что это показательная функция, а она по определению всегда строго больше нуля.

$$\frac{5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x}}{5^{2x}} \le \frac{0}{5^{2x}};$$

Разобьем левую часть на несколько дробей. То есть, поделим каждый одночлен числителя на знаменатель дроби. В правой части, очевидно, получается 0. $$\frac{5^{2x}}{5^{2x}}-\frac{5^x*4^x}{5^{2x}}-2*\frac{4^{2x}}{5^{2x}} \le 0;$$ $$1-\frac{4^x}{5^x}-2*\frac{4^{2x}}{5^{2x}} \le 0;$$ $$1-\left(\frac{4}{5}\right)^x-2*\left(\frac{4}{5}\right)^{2x} \le 0;$$ $$1-\left(\frac{4}{5}\right)^x-2*\left(\frac{4}{5}\right)^{2x} \le 0;$$ После некоторых преобразований в результате деления мы получили везде показательную функцию \(\left(\frac{4}{5}\right)^x\), которую смело можно заменить на \(t=\left(\frac{4}{5}\right)^x\). $$1-t-2*t^2 \le 0;$$ $$-2*t^2-t+1 \le 0;$$ Разложим квадратный многочлен на множители при помощи дискриминанта, при этом не забываем про коэффициент \(-2\). $$-2(t+1)(t-\frac{1}{2}) \le 0;$$ Решением этого квадратного неравенства будет: $$ t \in (-\infty;-1]\in[\frac{1}{2};+\infty);$$ Перепишем промежуток в виде совокупности: $$\left[ \begin{gathered} t \le -1, \\ t \ge \frac{1}{2}. \\ \end{gathered} \right.$$ И сделаем обратную замену. Напомню \(t=\left(\frac{4}{5}\right)^x\): $$\left[ \begin{gathered} \left(\frac{4}{5}\right)^x \le -1, \\ \left(\frac{4}{5}\right)^x \ge \frac{1}{2}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} \left(\frac{4}{5}\right)^x \le -1, \\ \left(\frac{4}{5}\right)^x \ge \left(\frac{4}{5}\right)^{\log_{\left(\frac{4}{5}\right)}(\frac{1}{2})}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} \left(\frac{4}{5}\right)^x \le -1, \\ x \ge \log_{\left(\frac{4}{5}\right)}(\frac{1}{2}). \\ \end{gathered} \right.$$ Первое неравенство в совокупности не имеет решений, так как показательная функция всегда больше нуля, значит, тем более больше \(-1\).

Ответ: \(x\in(\log_{\left(\frac{4}{5}\right)}(\frac{1}{2}); +\infty)\).

Когда нет возможности привести к одинаковому основанию все содержащиеся в неравенстве функции, попробуйте решить как однородное уравнение при помощи деления. Разные основания - это звоночек о том, что пример может решаться при помощи деления.

Рассмотрим еще один интересный пример с разными основаниями. Только это уже не однородное уравнение.

Пример 18 $$6^x-4*3^x-2^x+4 \le 0$$ Обратите внимание, что у нас в неравенстве сразу 4 слагаемых. Четное количество слагаемых иногда намекает на метод группировки. Его проходят в 8м классе, но если вы не помните, то сейчас научитесь прямо на этом примере.

Первым делом сгруппируем слагаемые попарно - первое со вторым, а третье с четвертым. И вынесем общий множитель. У первого и второго слагаемых общий множитель \(3^x\), а у третьего и четвертого общий множитель пусть будет \(-1\).

$$3^x*(2^x-4)-1*(2^x-4) \le 0;$$

Обратите внимание на скобки, они получились одинаковые! Теперь у нас вместо четырех слагаемых стало два, но больших. У них тоже есть общий множитель - это как раз скобка \((2^x-4)\). Вынесем скобку за скобку!

$$(2^x-4)(3^x-1) \le 0;$$

У нас получилось произведение двух множителей. Произведение меньше нуля может быть только в том случае, если множители имеют разные знаки. То есть, нас устраивает либо: $$ \begin{cases} 2^x-4 \ge 0, \\ 3^x-1 \le 0. \end{cases}$$ Либо: $$ \begin{cases} 2^x-4 \le 0, \\ 3^x-1 \ge 0. \end{cases}$$ Решим обе системы и объединим решения, так как нам подходят оба случая. $$ \begin{cases} 2^x\ge 4, \\ 3^x \le 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 2^x\ge 2^2, \\ 3^x \le 3^0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x\ge 2, \\ x \le 0. \end{cases}$$

Эти два неравенства в системе не имеют решений, подходящих одновременно обоим. Поэтому в первой системе нет решений. Решим вторую: $$ \begin{cases} 2^x \le 4, \\ 3^x \ge 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 2^x \le 2^2, \\ 3^x \ge 3^0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x \le 2, \\ x \ge 0. \end{cases}$$

Ответ: \(x\in[0;2].\)

Рассмотрим еще один не очень приятный пример, который, тем не менее, может встретиться на ЕГЭ.

Пример 19 $$\frac{5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10}{x+2} \le 0.$$ Неравенство неприятное, потому что в числителе дроби у нас \(x\) везде в степени показательной функции, а в знаменателе \(x\) стоит отдельно. Никак не получится сделать замену. Но обратите внимание, нас спрашивают, при каких \(x\) дробь будет отрицательная. А дробь отрицательна только тогда, когда у нее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Опять, как в предыдущем примере, можем по отдельности рассмотреть числитель и знаменатель. Нас устраивает:
Либо: $$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ Либо система с противоположными знаками: $$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \le 0, \\ x+2 > 0. \end{cases}$$ Вторые неравенства в системах имеют строгий знак, так как это - условия, накладываемые на знаменатель.

Разберемся сначала с первой системой. Постараемся привести показательные функции к одинаковым основаниям в первом неравенстве системы: $$ \begin{cases} 5^{2x}*5^1-75*\left(\frac{1}{5}\right)^{2x}-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 5*25^x-75*\left(\frac{1}{25^{x}}\right)-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ Выпишем отдельно первое неравенство и решим его, сделав замену \(t=25^x>0\). $$ 5*25^x-75*\left(\frac{1}{25^{x}}\right)-10 \ge 0;$$ $$5*t-\frac{75}{t}-10 \ge 0;$$ $$\frac{5*t^2-10*t-75}{t} \ge 0;$$ Так как \(t=25^x>0\), то мы можем спокойно избавиться от знаменателя в дроби, ведь он всегда положительный и не влияет на знак всего выражения. $$5*t^2-10*t-75 \ge 0;$$ $$5*(t-5)(t+3) \ge 0;$$ $$ t\in(-\infty;-3] \cup [5;+\infty);$$ Но так как \(t>0\): $$t\in[5;+\infty);$$ Запишем в виде неравенства: $$t \ge 5;$$ Сделаем обратную замену $$ 25^x \ge 5;$$ $$5^{2x} \ge 5^1;$$ $$2x \ge 1;$$ $$x\ge\frac{1}{2};$$

Напоминаю, что мы решили только первое неравенство в первой системе $$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ C учетом нашего решения, ее теперь можно переписать в виде $$ \begin{cases} x\ge\frac{1}{2}, \\ x < -2. \end{cases}$$

Такая система решений не имеет. Но не грустим и вспоминаем, что у нас еще одна система неравенств с противоположным случаем - когда числитель отрицательный, а знаменатель положительный:

$$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \le 0, \\ x+2 > 0. \end{cases}$$

Так как отличие только в знаках неравенства, то все преобразования, которые мы делали выше, справедливы и тут. Не будем заново решать то же самое, просто возьмем решение из предыдущей системы и изменим знаки неравенства:

$$ \begin{cases} x\le\frac{1}{2}, \\ x > -2. \end{cases}$$

Эта система уже имеет решения. Можно, наконец, записать ответ.

Ответ: \(x\in(-2;\frac{1}{2}].\)

Мне лично не нравится рассматривать кучу случаев в подобных примерах. А что, если знаменатель будет сложнее чем в примере выше? А еще может быть не два множителя, а сразу пять или больше, тут всех случаев не рассмотришь.

Поэтому существует отличный и очень удобный метод рационализации. Я написал статью с полным его разбором. Кстати, в ЕГЭ часто встречаются примеры именно на метод рационализации, поэтому, если вы хотите сдать профиль на высокие баллы, то это прямо обязательно знать.