Для начала кратко разберем общий алгоритм решения показательных неравенств. Если хочешь разобраться подробно, изучив все детали, листай ниже.
Сформулируем общие правила решения простых показательных неравенств:
Схема решения $$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$ где \(a>0; \; a\neq1\) - некоторое положительное число, а \(f(x)\) и \(g(x)\) какие-то зависящие от \(x\) выражения. Если \(a>1\): то \(f(x)>g(x)\); Если \(0 \lt a \lt 1:\) то \(f(x) \lt g(x)\).
Первым делом поговорим о том, что такое показательная функция. Будет немного занудно, но нужно потерпеть, чтобы точно во всем разобраться. Показательную функцию можно представить в виде:
$$a^{g(x)};$$где \(a\) называется основанием; а \(g(x)\) - степенью показательной функции.
То есть, любое положительное число в степени у которого \(x\) или некоторое выражение, зависящее от \(x\), будет показательной функцией. Например: \(2^x; \; (\frac{1}{3})^x; \; 5^{x+3}; 23^{-x^2-1}\) и т.д.
При этом показательная функция по определению существует только при основаниях \(a>0\) и \(a\neq1\), а степень \(g(x)\) может быть абсолютно любой.
Чтобы действительно разобраться, как решать сложные показательные неравенства, нужно понимать, как ведет себя показательная функция при различных основаниях. Посмотрим в таблицу:
$$2^0=1;$$ $$2^1=2;$$ $$2^2=4;$$ $$2^3=8;$$ $$2^4=16;$$ $$2^5=32;$$В ней представлены различные степени 2-ки. Видим, что чем больше степень у 2-ки, тем большее число мы получаем. Другими словами, показательная функция \(f(x)=2^x\) является возрастающей: с увеличением \(x\) увеличивается и значение самой функции \(f(x)\).
Аналогичные таблицы можно составить для степеней с различными основаниями. Например, если возводить в степень 3-ку, то вы тоже получите возрастающую функцию: чем в большую степень вы возводите 3-ку, тем большее значение будете получать.
Чтобы наглядно посмотреть, как ведет себя показательная функция, построим, например, график \(y=2^x\). Графики с другими основаниями, большими единицы, будут выглядеть аналогично, то есть, будут возрастать с увеличением степени.
Посмотрите на еще одну таблицу. В ней представлены степени \(\frac{1}{3}\):
$$\left(\frac{1}{3}\right)^0=1;$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{1}{3};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81};$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243};$$Оказывается, чем в большую степень мы будем возводить \(\frac{1}{3}\), тем МЕНЬШЕЕ значение будем получать. Показательная функция с основанием \(\frac{1}{3}\) будет убывающей. Более того, если возводить в степень любую дробь меньшую единицы, с увеличением степени вы всегда будете получать всё меньшие и меньшие значения. Чтобы наглядно это продемонстрировать, нарисуем еще один график функции \(y=(\frac{1}{3})^x\):
Из всего этого занудства следует очень важное общее правило: Если основание у степени больше единицы \(a>1\), то показательная функция будет возрастающей, а если меньше единицы \(0 \lt a \lt 1\), то убывающей. Это ключевой момент при решении показательных неравенств!
Решение показательных (степенных) неравенств похоже на решение показательных уравнений с некоторыми оговорками. Начнем изучение с простейшего примера:
Пример 1 $$ 2^x>2^3; $$ Это неравенство решается интуитивно. Понятное дело, что чем в большую степень мы будем возводить двойку, тем большее значение будем получать. Основание больше единицы, а значит, показательная функция возрастающая!
Основания у нас одинаковые. Значит, если вместо \(x\) подставить любое число большее 3, мы получим верное неравенство. Решением нашего первого показательного неравенства будет: $$ x>3;$$
Пример 2 $$3^{x+4}<3^{3x-10};$$ Основания одинаковые, большие единицы, а значит, у нас опять возрастающие функции - чем больше степень, тем больше значение показательной функции. Логично, что наше неравенство в таком случае сводится к сравнению степеней с сохранением знака неравенства: $$x+4<3x-10;$$ $$-2x<-14;$$ При делении на отрицательное число не забываем поменять знак неравенства: $$x>7;$$
Пример 3 $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^5;$$ Очень похожее неравенство, основания опять одинаковые, но они меньше единицы. Что это меняет? Знак неравенства! Раз основание показательной функции меньше единицы, значит она убывающая - чем больше степень, тем меньше значение показательной функции. Поэтому для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо опять сравнить степени, но с противоположным знаком: $$x<5;$$
Пример 4 $$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x-5}\ge\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1};$$ Основания одинаковые и меньше единицы, значит избавляемся от основания \(\frac{2}{3}\) и сравниваем степени, не забывая при этом изменить знак неравенства: $$2x-5 \le x+1;$$ $$x \le 6;$$
Пример 5 $$2^{x+2} \le 8^{2x-1};$$ Этот пример немного сложнее - здесь разные основания (слева 2, справа 8). Чтобы решить по аналогии с предыдущими примерами, нужно привести к одинаковым основаниям. Заметим, что восемь можно представить в виде степени двойки: \(8=2^3\). Подставим в исходное неравенство: $$2^{x+2} \le (2^3)^{2x-1};$$ Из свойства степеней: $$(a^n)^m=a^{n*m}.$$ $$2^{x+2} \le 2^{3*(2x-1)};$$ Теперь основания одинаковые и больше единицы, избавляемся от них, оставляя знак неравенства неизменным: $$x+2 \le 3*(2x-1);$$ $$x+2 \le 6x-3;$$ $$-5x \le -5;$$ $$x \ge 1.$$
Сформулируем еще раз общие правила решения простых показательных неравенств:
Схема решения $$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$ где \(a>0; \; a\neq1\) - некоторое положительное число, а \(f(x)\) и \(g(x)\) какие-то зависящие от \(x\) выражения. Если \(a>1\): то \(f(x)>g(x)\); Если \(0 \lt a \lt 1:\) то \(f(x) \lt g(x)\).
В принципе, схема решения простых показательных неравенств очень похожа на решение показательных уравнений. За исключением необходимости внимательно следить за основаниями и знаком неравенства. Разберем еще несколько интересных и важных примеров.
Пример 6 $$2^{x+1} \ge 4;$$ Справа от знака неравенства стоит не показательная функция, а просто число. Но его легко представить в виде степени двойки: $$2^{x+1} \ge 2^2;$$ Основания одинаковые, большие единицы. Избавляемся от них, знак неравенства сохраняем. $$ x+1 \ge 2;$$ $$x \ge 1.$$
Пример 7 $$5^x \le 3;$$ На первый взгляд, пример аналогичен предыдущему. Чтобы решить неравенство, нужно привести к одинаковому основанию. Так и есть, но вот как представить \(3-ку\) в виде степени \(5-ки\)?
Ничего сложного в этом нет. Оказывается, любое число \(a\) можно представить в виде степени с нужным нам основанием \(b\). Правда, без логарифмов тут не обойтись. Это можно сделать при помощи формулы: $$ a=b^{\log_{b}(a)}; \qquad (*)$$ Например: \(3=5^{\log_{5}(3)};\)
Кто забыл, что такое логарифмы, вам обязательно нужно посмотреть сюда.
Мы уже пользовались этой формулой в главе про показательные уравнения. На самом деле, для решения неравенств ее необязательно понимать, можно в лоб подставлять числа в формулу. Но я бы настоятельно рекомендовал разбираться во всем, чем вы пользуетесь. Поэтому подумайте самостоятельно, почему эта формула верна?
Посмотрим на правую часть формулы (*). В степени у нас стоит логарифм \(\log_{b}(a)\). Логарифм - это число, в которое нужно возвести основание \(b\), чтобы получить \(a\). И в итоге, в правой части формулы (*) мы \(b\) возводим в степень, в которую нужно возвести \(b\), чтобы получить число \(a\). Так немного запутанно эта формула и работает. Но, если подумать, все не так сложно.
Возвращаемся к примеру 7. Теперь мы знаем, как \(3-ку\) представить в виде степени \(5-ки\): $$3=5^{\log_{5}(3)};$$ Подставляем в исходное неравенство $$5^x \le 5^{\log_{5}(3)};$$ Наши основания одинаковые, избавляемся от них $$x \le \log_{5}(3);$$ Ответ оставляем с некрасивым логарифмом. Мы его не сможем посчитать без калькулятора. На ЕГЭ именно так и поступаем.
Пример 8 $$\left(\frac{1}{81}\right)^{-4x} < 27^{x+8};$$ Здесь привести к одному основанию несколько сложнее. Обратите внимание, что числа 27 и \(\frac{1}{81}\) являются степенями \(3-ки\): $$ 27=3^3; $$ $$ \frac{1}{81}=3^{-4}; $$ Кто забыл, как работать со степенями, посмотрите главу про свойства степеней. Приведем к основанию \(3\) левую и правую части неравенства: $$(3^{-4})^{-4x} < (3^3)^{x+8};$$ $$3^{16x} < 3^{3x+24};$$ Основания одинаковые, избавляемся от них: $$16x<3x+24;$$ $$ 13x<24;$$ $$x<\frac{24}{13};$$
Пример 9 $$ 5^x <-3;$$ Казалось бы, пример ничем не отличается от примера №7 - приводи себе \((-3)\) к основанию \(5\) по формуле и решай.
Но здесь проблема кроется в определении показательной функции. Показательная функция ВСЕГДА больше нуля! А значит, \(5^x>0\) и никак не может быть меньше \((-3)\), какие бы \(x\) вы не подставляли. Попробуйте подставить вместо \(x\) минус миллион, что вы получите? По определению отрицательной степени: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ $$ 5^{-1000000}=\frac{1}{5^{1000000}};$$ Это, несомненно, будет очень маленькое, но положительное число. Итак, в этом примере корней нет. Запомните это!
Пример 10 $$ 7^x >-6;$$ Неравенство аналогичное примеру №9, но с другим знаком неравенства. Что меняется? Теперь нас просят найти такие \(x\), при которых показательная функция \(7^x\) будет больше отрицательного числа \((-7)\). Но так как показательная функция больше \(0\) при любых \(x\), то она уже точно будет больше \((-7)\). Что бы вы не подставили, всегда будете получать верное неравенство. Ответом здесь будет любое число.
Теперь разберем пример посложнее. Пример 11 $$ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80} \le 0;$$ Постараемся привести данное неравенство к виду, аналогичному предыдущим примерам. Для этого перенесем вправо второе слагаемое \(0,2^{2x^2-4x-80}\): $$ 25^{x^2-2x+10} \le 0,2^{2x^2-4x-80};$$ Приведем к одному основанию. Советую десятичные дроби записывать в виде обыкновенных дробей, так вы сразу увидите, к какому основанию удобно привести: $$0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5};$$ $$ 25^{x^2-2x+10} \le \left(\frac{1}{5}\right)^{2x^2-4x-80};$$ Слева и справа в основаниях стоят числа, которые легко можно представить в виде степени \(5-ки\): $$25=5^2;$$ $$ \frac{1}{5}=5^{-1};$$ Подставим $$ (5^2)^{x^2-2x+10} \le (5^{-1})^{2x^2-4x-80};$$ $$ 5^{2*(x^2-2x+10)} \le 5^{-1*(2x^2-4x-80)};$$ $$ 5^{2*x^2-4x+20} \le 5^{-2x^2+4x+80};$$ Основания одинаковые, избавляемся от них: $$ 2x^2-4x+20 \le -2x^2+4x+80; $$ $$4x^2-8x-60 \le 0;$$ Через дискриминант раскладываем квадратный многочлен на множители: $$ 4(x+3)(x-5) \le 0;$$ И решаем методом интервалов:
Мы разобрали все виды простейших степенных неравенств. Опираясь на эти знания, можно перейти к более сложным неравенствам, которые решаются при помощи замены переменной. В ЕГЭ по профильной математике такие примеры попадаются довольно часто.
Если вы раньше решали любые уравнения или неравенства на замену переменной, то разобраться будет совсем не трудно. Давайте посмотрим на примерах:
Пример 12 $$ 4^x-29*2^x+168\le 0. $$ Согласно обычной логике в показательных неравенствах, приведем все показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать довольно легко: $$ (2^2)^x-29*2^x+168 \le 0$$ $$ 2^{2x}-29*2^x+168 \le 0$$ Готово. Теперь обратите внимание, что \(2^{2x}=(2^x)^2\), согласно свойству степеней. Подставим: $$ (2^x)^2-29*2^x+168 \le 0$$ В любом примере на замену переменной нужно найти одинаковые конструкции (выражения), зависящие от \(x\). В нашем примере есть такая конструкция - \(2^x\).
Обозначим за \(t=2^x\), и подставим в наше неравенство: $$ t^2-29t+168 \le 0 $$ В итоге получили обыкновенное квадратное неравенство, которое я обычно решаю при помощи универсального метода интервалов: $$ D=29^2-4*168=841-672=169;$$ $$t_{1}=\frac{29+13}{2}=21;$$ $$t_{2}=\frac{29-13}{2}=8;$$ Зная корни, раскладываем квадратный многочлен на множители: $$(t-8)(t-21) \le 0;$$ Для метода интервалов рисуем числовую прямую, отмечаем нули функции (корни) и исследуем промежутки. Кто не помнит метод интервалов, настоятельно рекомендую его повторить, без него решать показательные неравенства бесполезно.
Получаем промежутки для переменной \(t\): $$ t \in [8;21];$$ И тут частая ошибка в том, что школьники заканчивают на этом решение. Но нас же не просят в условии задачи найти \(t\), нас просят найти \(x\)!
Поэтому обязательно нужно сделать обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной \(x\). Для этого будем пользоваться простой логикой: раз \(t\in[8;21]\), значит \(t\) может принимать такие значения, которые больше либо равны 8, но и не больше 21. Перепишем то же самое в виде системы (система, потому что эти условия должны выполняться одновременно): $$ \begin{cases} t \ge 8, \\ t \le 21. \end{cases}$$ Теперь нужно вспомнить, а что такое собственно \(t\). Это же переменная, за которую мы обозначили \(2^x=t\). Подставим вместо \(t\) \(2^x\).
Обратная замена: $$ \begin{cases} 2^x \ge 8, \\ 2^x \le 21. \end{cases}$$ Получили систему из двух простейших показательных неравенств, которые выше мы уже научились с вами решать. $$ \begin{cases} 2^x \ge 2^3, \\ 2^x \le 2^{\log_{2}(21)}. \end{cases}$$ Основания везде одинаковые, можно от них избавиться: $$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x \le \log_{2}(21). \end{cases}$$ Запишем эту систему в виде промежутка Ответ: \(x \in [3;\log_{2}(21)].\)
Как видите, все не так уж сложно. Разберем еще примеры на замену переменной в показательных неравенствах.
Пример 13 $$ 2^x+6*2^{-x} \le 7$$ Этот пример тоже на замену. Хотя основания у показательных функций у нас одинаковые - двойка, но вот степень у них отличаются, а значит, делать замену пока нельзя. Нужно сделать так, чтобы одинаковым было абсолютно все - и степени, и основания.
Вспомним свойство степени с отрицательным показателем: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ И применим его в нашем неравенстве: $$ 2^x+6*\frac{1}{2^x} \le 7$$ Обозначим за \(t=2^x\) и подставим: $$ t+6*\frac{1}{t} \le 7 $$ Для того, чтобы тут воспользоваться методом интервалов, нужно перекинуть все в левую часть и привести к общему знаменателю. $$ \frac{t^2-7t+6}{t} \le 0 $$ Я не рекомендую избавляться в неравенствах от знаменателя, как вы привыкли это делать в уравнениях. В неравенствах в подавляющем большинстве случаев ни в коем случае этого делать нельзя, он тоже влияет на знак всей функции. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ. Поэтому я рекомендую всегда в неравенствах тащить знаменатель за собой, не убирать его. Подробнее про это можно почитать в теории обыкновенных неравенств.
Но я вынужден отметить, что именно в этом примере убрать знаменатель \(t\) можно, так как \(t=2^x>0\). Показательная функция у нас ВСЕГДА больше нуля, поэтому и \(t>0\), а значит он не влияет на знак неравенства. Однако делать мы это не будем, чтобы не запутаться. Знаменатель всегда будем оставляем на месте.
Раскладываем на множители числитель: $$ \frac{(t-1)(t-6)}{t} \le 0 $$ Метод интервалов, с учетом того, что \(t=2^x>0\):
Запишем промежуток в виде системы: $$ \begin{cases} t \ge 1, \\ t \le 6. \end{cases}$$ Вспоминаем, что \(t=2^x\) и делаем обратную замену: $$ \begin{cases} 2^x \ge 1, \\ 2^x \le 6. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 2^x \ge 2^0, \\ 2^x \le 2^{\log_{2}(6)}. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x \le \log_{2}(6). \end{cases}$$ Ответ: \(x \in [0;\log_{2}(6)].\)
Пример 14 $$16^{x+\frac{1}{4}}-9*4^{x-\frac{1}{2}}+1\ge0$$ Пример очень похож на предыдущие, но перед тем, как делать замену, нам придется преобразовать левую часть неравенства. Выпишем отдельно показательные функции и постараемся привести их к одному виду. Иначе мы не сможем сделать замену. Для этого нам понадобятся свойства степеней: $$a^{n+m}=a^n*a^m;$$ $$(a^n)^m=a^{n*m};$$ $$a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m};$$ $$16^{x+\frac{1}{4}}=16^x*16^{\frac{1}{4}}=16^x*2=2*16^x=2*(4^2)^x=2*(4^x)^2;$$ $$4^{x-\frac{1}{2}}=\frac{4^x}{4^{\frac{1}{2}}}=\frac{4^x}{2}=\frac{1}{2}*4^x;$$ Подставим наши преобразования в исходное неравенство: $$2*(4^x)^2-9*\frac{1}{2}*4^x+1 \ge 0;$$ Все готово к замене. Пусть \(t=4^x\): $$2*t^2-\frac{9}{2}*t+1 \ge 0;$$ Домножим на \(2\), чтобы избавиться от знаменателя $$4t^2-9t+2 \ge 0;$$ Обыкновенное квадратное неравенство. Решаем, как обычно, методом интервалов. Для этого разложим на множители:
$$4(t-\frac{1}{4})(t-2) \ge 0;$$Обратите внимание на знак совокупности! Он означает, что нас устраивают оба промежутка, как показано на числовой прямой.
Очень важно уметь различать системы и совокупности. Знак системы используется, когда нужно, чтобы значения \(x\) удовлетворяли всем неравенствам, входящим в систему. Другими словами, система - это знак пересечения решений всех неравенств. Знак совокупности показывает, что значения \(x\) удовлетворяют хотя бы одному из неравенств в системе. Совокупность - это знак объединения решений.
Делаем обратную замену \(t=4^x\): $$\left[ \begin{gathered} 4^x\le \frac{1}{4}; \\ 4^x\ge 2, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 4^x\le 4^{-1}; \\ 4^x\ge 4^{\frac{1}{2}}, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} x\le -1; \\ x\ge \frac{1}{2}, \\ \end{gathered} \right.$$ Запишем получившуюся совокупность в виде промежутков. Ответ:\(x\in(-\infty;-1] \cup [\frac{1}{2};+\infty).\)
Теперь наших знаний достаточно, чтобы решать некоторые реальные примеры из ЕГЭ по профильной математике. Поехали:
Пример 15 $$ \frac{5^x}{5^x-4}+\frac{5^x+5}{5^x-5}+\frac{22}{25^x-9*5^x+20} \le 0$$ Перед вами настоящий пример из ЕГЭ 2016 года. Возможно, выглядит неприятно, но на самом деле, он решается очень легко. А самое главное, у нас уже есть все необходимые знания, чтобы его решить. Обращаем внимание, что почти везде есть конструкция \(5^x\). Это и будет наша замена, осталось только представить \(25^x=(5^x)^2\): $$ \frac{5^x}{5^x-4}+\frac{5^x+5}{5^x-5}+\frac{22}{(5^x)^2-9*5^x+20} \le 0$$ Пусть \(t=5^x\): $$ \frac{t}{t-4}+\frac{t+5}{t-5}+\frac{22}{t^2-9*t+20} \le 0$$ В третьей дроби разложим знаменатель на множители при помощи дискриминанта $$ \frac{t}{t-4}+\frac{t+5}{t-5}+\frac{22}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ Приводим к общему знаменателю $$ \frac{t(t-5)+(t+5)(t-4)+22}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе $$ \frac{2t^2-4t+2}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ $$ \frac{2(t^2-2t+1)}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ В скобках стоит полный квадрат $$ \frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-5)} \le 0$$ Теперь применяем метод интервалов
Перепишем двойное неравенство в виде системы $$\left[ \begin{gathered} t=1, \\ \begin{cases} t > 4, \\ t < 5. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ Делаем обратную замену \(t=5^x\): $$\left[ \begin{gathered} 5^x=1, \\ \begin{cases} 5^x > 4, \\ 5^x < 5. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 5^x=5^0, \\ \begin{cases} 5^x > 5^{\log_{5}(4)}, \\ 5^x < 5^1. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} x=0, \\ \begin{cases} x > \log_{5}(4), \\ x < 1. \end{cases}. \\ \end{gathered} \right.$$ В ответе не забываем отдельную точку \(x=0\), она нас тоже устраивает! Если на ЕГЭ забудете точки, в зависимости от критериев, потеряете какое-то количество баллов. Отдельная точка всегда записывается при помощи фигурных скобок.
Ответ: \(x \in [0] \cup (\log_{5}(4);1).\)
Пример 16 $$ \frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-\frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1 \ge 0$$ Тут сразу бросается в глаза одинаковая конструкция \(2^{2-x^2}-1\). Замену мы можем делать абсолютно любую. Поэтому ничто не мешает нам тут обозначить за \(t=2^{2-x^2}-1\).
Подставим в исходное неравенство $$ \frac{3}{t^2}-\frac{4}{t}+1 \ge 0$$ Приводим к общему знаменателю $$\frac{t^2-4t+3}{t^2} \ge 0$$ $$\frac{(t-3)(t-1)}{t^2} \ge 0$$ Самое время для метода интервалов:
Нас устраивает сразу три промежутка для \(t\). Запишем эти промежутки в виде большой совокупности, ведь нас устраивают все три промежутка: $$\left[ \begin{gathered} t < 0; \\ \begin{cases} t > 0, \\ t \le 1. \end{cases} ; \\ t\ge 3, \\ \end{gathered} \right.$$ Обратите внимание на то, что в совокупности у нас есть еще знак системы. Действительно, во втором промежутке \(t\) должно быть с одной стороны больше 0, а с другой меньше 1, и это должно выполняться одновременно. Поэтому второй промежуток описывается при помощи знака системы.
Сделаем обратную замену: $$\left[ \begin{gathered} 2^{2-x^2}-1< 0; \\ \begin{cases} 2^{2-x^2}-1 > 0, \\ 2^{2-x^2}-1 \le 1. \end{cases} ; \\ 2^{2-x^2}-1\ge 3, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 2^{2-x^2}< 1; \\ \begin{cases} 2^{2-x^2}> 1, \\ 2^{2-x^2} \le 2. \end{cases} ; \\ 2^{2-x^2}\ge 4, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 2^{2-x^2}< 2^0; \\ \begin{cases} 2^{2-x^2}> 2^0, \\ 2^{2-x^2} \le 2^1. \end{cases} ; \\ 2^{2-x^2}\ge 2^2, \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} 2-x^2< 0; \\ \begin{cases} 2-x^2> 0, \\ 2-x^2 \le 1. \end{cases} ; \\ 2-x^2\ge 2, \\ \end{gathered} \right.$$ Разложим все квадратные неравенства по формуле разности квадратов: $$\left[ \begin{gathered} (\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)< 0; \\ \begin{cases} (\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)> 0, \\ (1-x)(1+x) \le 0 . \end{cases} ; \\ -x^2\ge 0, \\ \end{gathered} \right.$$
Обратите внимание на последнее неравенство: так как квадрат всегда положителен, то это неравенство выполняется только, если \(x=0\).
И остальное решим методом интервалов. Я сразу напишу, что получается:
$$\left[ \begin{gathered} x\in (-\infty;-\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty); \\ \begin{cases} x\in(-\sqrt{2};\sqrt{2}), \\ x\in(-\infty;-1] \cup [1;+\infty). \end{cases} ; \\ x=0, \\ \end{gathered} \right.$$Для наглядности нарисуем числовую ось и отметим на ней все промежутки. Различными цветами показаны соответствующие промежутки из совокупности, а фиолетовой штриховкой показано итоговое решение. Там, где знак системы находим пересечение, там где совокупность – объединение.
Ответ: \(x\in(-\infty;-\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2};-1] \cup [0] \cup [1;\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty).\)
Разберемся еще с одним типом показательных неравенств - однородными неравенствами. Такие неравенства часто встречаются, если в примере есть несколько показательных функций с разными основаниями, и свести их к одному основанию не представляется возможным. Как обычно, давайте сразу будем разбираться на конкретном примере.
Пример 17 $$25^x-20^x-2*16^x \le 0$$ Чем же это уравнение примечательно? Давайте попробуем по нашему старому алгоритму привести все к одинаковому основанию. $$25^x=5^{2x};$$ $$20^x=(5*4)^x=5^x*4^x;$$ $$16^x=4^{2x};$$ Как видите, привести к одному основанию не получается. Мы никак не можем сделать одинаковые показательные функции, если основания 5 и 4. Будем работать с тем, что есть. Подставим получившееся разложение в исходное неравенство. $$5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x} \le 0;$$
Так как делить неравенства на положительные числа можно, поделим получившееся неравенство на \(5^{2x}\). На всякий случай напомню: при делении неравенств на положительные числа полностью делится и левая, и правая части неравенства, только в этом случае преобразование будет равносильным, то есть его корни не изменятся. Делить неравенство на \(5^{2x}\) можно, потому что это показательная функция, а она по определению всегда строго больше нуля. $$\frac{5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x}}{5^{2x}} \le \frac{0}{5^{2x}};$$Разобьем левую часть на несколько дробей. То есть, поделим каждый одночлен числителя на знаменатель дроби. В правой части, очевидно, получается 0. $$\frac{5^{2x}}{5^{2x}}-\frac{5^x*4^x}{5^{2x}}-2*\frac{4^{2x}}{5^{2x}} \le 0;$$ $$1-\frac{4^x}{5^x}-2*\frac{4^{2x}}{5^{2x}} \le 0;$$ $$1-\left(\frac{4}{5}\right)^x-2*\left(\frac{4}{5}\right)^{2x} \le 0;$$ $$1-\left(\frac{4}{5}\right)^x-2*\left(\frac{4}{5}\right)^{2x} \le 0;$$ После некоторых преобразований в результате деления мы получили везде показательную функцию \(\left(\frac{4}{5}\right)^x\), которую смело можно заменить на \(t=\left(\frac{4}{5}\right)^x\). $$1-t-2*t^2 \le 0;$$ $$-2*t^2-t+1 \le 0;$$ Разложим квадратный многочлен на множители при помощи дискриминанта, при этом не забываем про коэффициент \(-2\). $$-2(t+1)(t-\frac{1}{2}) \le 0;$$ Решением этого квадратного неравенства будет: $$ t \in (-\infty;-1]\in[\frac{1}{2};+\infty);$$ Перепишем промежуток в виде совокупности: $$\left[ \begin{gathered} t \le -1, \\ t \ge \frac{1}{2}. \\ \end{gathered} \right.$$ И сделаем обратную замену. Напомню \(t=\left(\frac{4}{5}\right)^x\): $$\left[ \begin{gathered} \left(\frac{4}{5}\right)^x \le -1, \\ \left(\frac{4}{5}\right)^x \ge \frac{1}{2}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} \left(\frac{4}{5}\right)^x \le -1, \\ \left(\frac{4}{5}\right)^x \ge \left(\frac{4}{5}\right)^{\log_{\left(\frac{4}{5}\right)}(\frac{1}{2})}. \\ \end{gathered} \right.$$ $$\left[ \begin{gathered} \left(\frac{4}{5}\right)^x \le -1, \\ x \ge \log_{\left(\frac{4}{5}\right)}(\frac{1}{2}). \\ \end{gathered} \right.$$ Первое неравенство в совокупности не имеет решений, так как показательная функция всегда больше нуля, значит, тем более больше \(-1\).
Ответ: \(x\in(\log_{\left(\frac{4}{5}\right)}(\frac{1}{2}); +\infty)\).
Когда нет возможности привести к одинаковому основанию все содержащиеся в неравенстве функции, попробуйте решить как однородное уравнение при помощи деления. Разные основания - это звоночек о том, что пример может решаться при помощи деления.
Рассмотрим еще один интересный пример с разными основаниями. Только это уже не однородное уравнение.
Пример 18 $$6^x-4*3^x-2^x+4 \le 0$$ Обратите внимание, что у нас в неравенстве сразу 4 слагаемых. Четное количество слагаемых иногда намекает на метод группировки. Его проходят в 8м классе, но если вы не помните, то сейчас научитесь прямо на этом примере.
Первым делом сгруппируем слагаемые попарно - первое со вторым, а третье с четвертым. И вынесем общий множитель. У первого и второго слагаемых общий множитель \(3^x\), а у третьего и четвертого общий множитель пусть будет \(-1\).
$$3^x*(2^x-4)-1*(2^x-4) \le 0;$$Обратите внимание на скобки, они получились одинаковые! Теперь у нас вместо четырех слагаемых стало два, но больших. У них тоже есть общий множитель - это как раз скобка \((2^x-4)\). Вынесем скобку за скобку!
$$(2^x-4)(3^x-1) \le 0;$$У нас получилось произведение двух множителей. Произведение меньше нуля может быть только в том случае, если множители имеют разные знаки. То есть, нас устраивает либо: $$ \begin{cases} 2^x-4 \ge 0, \\ 3^x-1 \le 0. \end{cases}$$ Либо: $$ \begin{cases} 2^x-4 \le 0, \\ 3^x-1 \ge 0. \end{cases}$$ Решим обе системы и объединим решения, так как нам подходят оба случая. $$ \begin{cases} 2^x\ge 4, \\ 3^x \le 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 2^x\ge 2^2, \\ 3^x \le 3^0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x\ge 2, \\ x \le 0. \end{cases}$$
Эти два неравенства в системе не имеют решений, подходящих одновременно обоим. Поэтому в первой системе нет решений. Решим вторую: $$ \begin{cases} 2^x \le 4, \\ 3^x \ge 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 2^x \le 2^2, \\ 3^x \ge 3^0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x \le 2, \\ x \ge 0. \end{cases}$$
Ответ: \(x\in[0;2].\)
Рассмотрим еще один не очень приятный пример, который, тем не менее, может встретиться на ЕГЭ.
Пример 19 $$\frac{5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10}{x+2} \le 0.$$ Неравенство неприятное, потому что в числителе дроби у нас \(x\) везде в степени показательной функции, а в знаменателе \(x\) стоит отдельно. Никак не получится сделать замену. Но обратите внимание, нас спрашивают, при каких \(x\) дробь будет отрицательная. А дробь отрицательна только тогда, когда у нее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Опять, как в предыдущем примере, можем по отдельности рассмотреть числитель и знаменатель. Нас устраивает: Либо: $$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ Либо система с противоположными знаками: $$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \le 0, \\ x+2 > 0. \end{cases}$$ Вторые неравенства в системах имеют строгий знак, так как это - условия, накладываемые на знаменатель.
Разберемся сначала с первой системой. Постараемся привести показательные функции к одинаковым основаниям в первом неравенстве системы: $$ \begin{cases} 5^{2x}*5^1-75*\left(\frac{1}{5}\right)^{2x}-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} 5*25^x-75*\left(\frac{1}{25^{x}}\right)-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ Выпишем отдельно первое неравенство и решим его, сделав замену \(t=25^x>0\). $$ 5*25^x-75*\left(\frac{1}{25^{x}}\right)-10 \ge 0;$$ $$5*t-\frac{75}{t}-10 \ge 0;$$ $$\frac{5*t^2-10*t-75}{t} \ge 0;$$ Так как \(t=25^x>0\), то мы можем спокойно избавиться от знаменателя в дроби, ведь он всегда положительный и не влияет на знак всего выражения. $$5*t^2-10*t-75 \ge 0;$$ $$5*(t-5)(t+3) \ge 0;$$ $$ t\in(-\infty;-3] \cup [5;+\infty);$$ Но так как \(t>0\): $$t\in[5;+\infty);$$ Запишем в виде неравенства: $$t \ge 5;$$ Сделаем обратную замену $$ 25^x \ge 5;$$ $$5^{2x} \ge 5^1;$$ $$2x \ge 1;$$ $$x\ge\frac{1}{2};$$
Напоминаю, что мы решили только первое неравенство в первой системе $$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \ge 0, \\ x+2 < 0. \end{cases}$$ C учетом нашего решения, ее теперь можно переписать в виде $$ \begin{cases} x\ge\frac{1}{2}, \\ x < -2. \end{cases}$$
Такая система решений не имеет. Но не грустим и вспоминаем, что у нас еще одна система неравенств с противоположным случаем - когда числитель отрицательный, а знаменатель положительный:
$$ \begin{cases} 5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 \le 0, \\ x+2 > 0. \end{cases}$$Так как отличие только в знаках неравенства, то все преобразования, которые мы делали выше, справедливы и тут. Не будем заново решать то же самое, просто возьмем решение из предыдущей системы и изменим знаки неравенства:
$$ \begin{cases} x\le\frac{1}{2}, \\ x > -2. \end{cases}$$Эта система уже имеет решения. Можно, наконец, записать ответ.
Ответ: \(x\in(-2;\frac{1}{2}].\)
Мне лично не нравится рассматривать кучу случаев в подобных примерах. А что, если знаменатель будет сложнее чем в примере выше? А еще может быть не два множителя, а сразу пять или больше, тут всех случаев не рассмотришь.
Поэтому существует отличный и очень удобный метод рационализации. Я написал статью с полным его разбором. Кстати, в ЕГЭ часто встречаются примеры именно на метод рационализации, поэтому, если вы хотите сдать профиль на высокие баллы, то это прямо обязательно знать.