Экономические задачи на вклады

Свободные деньги можно хранить дома «под подушкой», а можно в банке (положить на вклад). Если вы отдаете свои деньги на хранение в банк, то, как ни странно, за то, что вы храните там свои деньги, он будет вам платить определенный процент от внесенной суммы.

Ваша выгода в том, что по прошествии какого-то времени вы сможете забрать больше денег, чем отдали, другими словами, заработаете на этом. Кроме этого, если банк надежный, то вероятнее всего хранить там деньги безопаснее, чем дома «под подушкой».

Для банка же выгода заключается в том, что он может выдать ваши деньги в долг (кредит) какому-нибудь другому человеку и заработать на этом гораздо больше, чем платит вам за хранение. Банк по сути выполняет функцию посредника: собирает на вклады деньги от населения, а потом выдает их в кредит другим людям или даже целым компаниям. Вот почему процентные ставки по кредитам всегда на порядок выше, чем ставки по вкладам.

Вклады бывают с различными условиями: нельзя пополнять и снимать деньги до истечения срока вклада; можно пополнять, нельзя снимать; нельзя ни пополнять, ни снимать.

Также вклады отличаются по срокам: бывают краткосрочные и долгосрочные. К краткосрочным, как правило, относят вклады длительностью менее года, а к долгосрочным - от года и более.

Но идея у любых вкладов одна и та же: вы даете деньги банку, за это банк платит вам определенный процент, в результате, сумма на вкладе увеличивается. Именно на этом строятся все экономические задачи на вклады.

Постоянная процентная ставка

Рассмотрим, как начисляются проценты на ваш вклад на примере. Представьте, что у вас есть \(S_0=10000$\). Банк очень хочет, чтобы вы отдали свои деньги ему, другими словами, открыли в этом банке вклад на 10000$. Чтобы заманить вас, он предлагает платить 10% от суммы вклада в год. Давайте посчитаем, сколько вы заработаете за один год, если согласитесь на предложение банка. Для этого нужно вычислить, сколько будет 10% от 10000$. (Как быстро посчитать проценты от числа): $${ \small 10000*\frac{10 \%}{100 \%}=10000*0,1=1000$;}$$ Сумма на вашем счете за год вырастет на 1000$ и станет: $$S_1=10000$+1000$=11000;$$ То есть, за прошедший год вы стали богаче на 1000$.

Что, если за прошедший год у вас сложились такие теплые и доверительные отношения с банком, что вы решаете оставить все свои деньги на вкладе еще на один год под те же самые 10% (пролонгировать вклад)?

Внимание! Теперь начальная сумма, на которую будут начисляться проценты, будет 11000$: $${ \small 11000*\frac{10}{100}=11000*0,1=1100$;}$$ Вклад вырос на 1100$ - это больше, чем в первый год. Действительно, 10% от 11000$ больше, чем 10% от 10000$. И сумма на вкладе стала: $$S_2=11000$ + 1100$ =12100$;$$ Если продлить вклад еще на один год, получается уже на 3-й, то сумма на вкладе станет: $${ \small S_3=12100+12100*0,1=}$$ $${ \small =12100*(1+0,1)=12100*1,1= }$$ $${\small =13310$;}$$ Аналогично на 4-й год: $${ \small S_4=13310+13310*0,1= }$$ $${ \small =13310*(1+0,1)=13310*1,1=}$$ $${\small =14641$;} $$

При этом каждый год вклад прирастает на большую величину, так как проценты начисляются все время на большую сумму. Данный эффект называется сложным процентом.

Все вычисления я свел для наглядности в одную таблицу. По строчкам в ней расположены годы, а по столбцам можно проследить, как меняется с годами сумма на вкладе, и на сколько она прирастает из года в год.

Изучите таблицу внимательно, особенно посмотрите на 10-й год: ваш вклад уже прирастает не на 1000$, как было в 1-й год, а на 2357$. Все благодаря эффекту сложного процента.

Обратите внимание, чтобы узнать, какая сумма будет на вкладе еще через год, мы умножаем сумму за прошлый год на множитель \((1+\frac{10}{100}=1+0,1):\) $$S_5=S_4*(1+0,1);$$ \(S_4\) можно тоже расписать через \(S_3,\) а \(S_3\) через \(S_2\) и т.д.:

где \(S_0=10000$\) - это начальная сумма вклада;
Используя степень, можно эту формулу записать короче: $$S_5=S_0*(1+0,1)^5;$$ Аналогично: $$S_6=S_0*(1+0,1)^6;$$ $$S_7=S_0*(1+0,1)^7;$$ Вот мы и готовы записать одну из самых важных формул на банковские вклады. По ней можно вычислить, какая будет сумма на вкладе через \(n\) лет, если положить \(S_0\) денег под \(r \%:\) $$S_n=S_0*\left(1+\frac{r}{100}\right)^n$$

Переменная процентная ставка

Иногда экономическая ситуация меняется, и банку становится невыгодно брать у вас деньги под тот процент, под который он брал изначально, тогда банк снижает ставку по вкладу. Либо же возможна обратная ситуация, тогда банк готов брать ваши деньги под больший процент и повышает ставку.

Как в таких случаях посчитать, какая сумма будет на вкладе, если каждый год ставка по вкладу будет разная? В таких случаях логично воспользоваться формулой:

Где \(S_n\) - сумма на вкладе через \(n\) лет;
\(S_0\) - начальная сумма вклада;
\(r_1, \; r_2, \; r_3, \; …,r_n\) - процентные ставки по вкладу в разные годы.

Пример 1
Вы положили 1000$ в банк на год под \(r_1=10 \%\). Спустя год вы решили пролонгировать свой вклад, но банк согласился его продлить только уже под \(r_2=5 \%\), а еще спустя год вы продлили вклад под \(r_3=20 \%\). Какая сумма будет у вас на счете спустя 3 года?

Воспользуемся формулой для расчета суммы на вкладе с переменной процентной ставкой:

Как решать задачи на банковские вклады

Пример 2
Василий положил \(S_0=64000 р.\) в банк на вклад под \(r=25 \%\) годовых на четыре года. В конце каждого из первых трех лет после начисления процентов Василий дополнительно пополнял свой вклад на одну и ту же фиксированную сумму \(x\). В конце четвертого года сумма на вкладе составляла \(S_4=385000 р.\) На какую сумму \(x\) ежегодно пополнял вклад Василий первые три года?

Решение:
Решим задачу в общем виде, а числа подставим в самом конце.

Начальная сумма вклада \(S_0\), а через год она выросла на \(r \%.\) Тогда через год на вкладе будет: $$S_1=S_o*(1+\frac{r}{100});$$ Для удобства решения обозначим за \(k=1+\frac{r}{100}=1+\frac{25}{100}=1,25.\) $$S_1=S*(1+\frac{r}{100})=S_0*k;$$ Согласно условию, сразу после начисления процентов Василий пополнил свой вклад на некоторую сумму \(x.\) Тогда сумма на вкладе стала: $$S_{1+}=S_0*k+x;$$ После этого прошел второй год, и опять начислились проценты: $$S_2=S_{1+}*k=(S_0*k+x)*k;$$ И опять Василий пополняется свой вклад на \(x:\) $$S_{2+}=(S_0*k+x)*k+x;$$ На третий год все повторяется: начисляются проценты, и Василий пополняет вклад: $${ \small S_{3+}=S_{2+}*k+x=}$$ $${ \small =((S_0*k+x)*k+x)*k+x;}$$ И в последний четвертый год начисляются проценты, а потом Василий закрывает вклад и забирает все деньги \(S_4:\) $${ \small S_{4}=S_{3+}*k+x= }$$ $${ \small =((S_0*k+x)*k+x)*k+x)*k;}$$ Раскрываем скобки: $${ \small S_{4}=S_0*k^4+x*k^3+x*k^2+x*k;}$$ Вынесем общий множитель \(x\) из последних трех слагаемых: $${ \small S_{4}=S_0*k^4+x*(k^3+k^2+k);}$$ Выражаем \(x:\) $${ \small x=\frac{S_4-S_0*k^4}{k^3+k^2+k}=}$$ $${ \small=\frac{385000-64000*1,25^4}{1,25^3+1,25^2+1,25};}$$ Для удобства счета рекомендую десятичные дроби перевести в обыкновенные: $${ \small x=\frac{385000-64000*\left(\frac{5}{4}\right)^4}{\left(\frac{5}{4}\right)^3+\left(\frac{5}{4}\right)^2+\frac{5}{4}}=48000р.}$$ Ответ: \(x=48000p.\)

Пример 3
Бабушка Зина положила в банк некоторую сумму под \(r=10 \%\) годовых. Известно, что бабушка Зина снимала в конце каждого года после начисления процентов разные суммы: в конце первого года она сняла \(p_1=880000р.;\) в конце второго \(p_2=605000р.;\) и в конце третьего \(p_3=1331000р.\) В результате за три года первоначальная сумма вклада была полностью истрачена. Найдите, сколько бабушка Зина положила на вклад.

Решение:
Пусть бабушка Зина положила на вклад \(S_0 \; р.\) Тогда через год на эту сумму начисляются проценты: $$S_1=S_0*(1+\frac{r}{100});$$ Обозначим за \(k=1+\frac{r}{100}=1+\frac{10}{100}=1,1:\) $$S_1=S_0*(1+\frac{r}{100})=S_0*k;$$ После начисления процентов в конце первого года бабушка снимает \(p_1=880000р.:\) $$S_{1-}=S_0*k-p_1;$$ Пошел второй год, и в конце на \(S_{1-}\) начисляются проценты: $$S_2=S_{1-}*k=(S_0*k-p_1)*k;$$ И опять бабушка снимает деньги со вклада, в этот раз \(p_2=605000p.:\) $$S_{2-}=(S_0*k-p_1)*k-p_2;$$ И аналогично в третий год: $${ \small S_{3-}=((S_0*k-p_1)*k-p_2)*k-p_3;}$$ По условию, после последнего снятия \(p_3=1331000\) на вкладе не останется денег: $${ \small S_{3-}=0;}$$ $${ \small ((S_0*k-p_1)*k-p_2)*k-p_3=0;}$$ Осталось решить уравнение, выразим \(S_0:\) $$S_0*k^3-p_1*k^2-p_2*k-p_3=0;$$ $$S_0*k^3=p_1*k^2+p_2*k+p_3;$$

Пример 4
Павел купил ценную бумагу за 8000р. Известно, что цена этой бумаги ежегодно растет на 1000р. Павел может продать ценную бумагу в любой момент, а вырученные деньги положить на банковский вклад под 8% годовых. В каком году рационально продать эту ценную бумагу, чтобы через 25 лет сумма на счете была максимальной?

Решение:
Каждый год бумага становится дороже на 1000р. То есть, через год она будет стоить: $$S_1=8000+1000=9000p.;$$ На второй год: $$S_2=8000+1000+1000=$$ $$=8000+2*1000=10000p.;$$ На третий год: $$S_3=8000+3*1000=11000p.;$$ На \(n-й\) год: $$S_n=8000+n*1000;$$ В любой момент мы можем продать бумагу и положить деньги на счет в банке под 8% годовых. Это разумно сделать в тот момент, когда прирост на 8% годовых от накопившейся суммы превысит 1000р.

Например, если в начале первого же года продать бумагу за 8000р., и положить освободившиеся деньги на вклад, то через год у вас будет: $$S_{1new}=8000*(1+\frac{8}{100})=$$ $$=8000*1,08=8640р.$$ Но, как мы посчитали выше, если не продавать ценную бумагу, то у нас через 1 год было бы \(9000p.\) Поэтому продавать бумагу в первый год не очень хорошая идея. А нужно ее продать тогда, когда прирост на 8% от суммы будет больше 1000р.: $$S_n*\frac{8}{100} \ge 1000;$$ $$(8000+n*1000)*\frac{8}{100} \ge 1000;$$ $$640+80n \ge 1000;$$ $$80n \ge 360;$$ $$n \ge \frac{360}{80};$$ $$n \ge 4,5;$$ Получается, что бумагу надо продать сразу после 5го года, то есть в течение 6-го года.
Ответ: 6.

Пример 5
Николай выиграл в лотерею \(20 000$\) и решил отложить эти деньги на пенсию. Для этого он вложил их в акции, которые стоят \(20*t\) тысяч долларов в конце каждого года \((t=1,2,3,4…)\). Через несколько лет Николай хочет продать свои акции и положить вырученные деньги на счет в банке под \(12 \%\) годовых (начисление процентов происходит в начале следующего года). В каком году Николаю нужно продать акции, чтобы через 30 лет у него была максимальная сумма?

Решение:
Посчитаем, какую сумму накопит Николай, если продаст акции в конце k-го года: $$ {S}_{k}=20k*(1+\frac{12}{100})^{30-k}=$$ $$=20k*1.12^{30-k}$$ Предположим, что год \(k\) – это год, когда нужно продать акции, чтобы сумма на счете через 30 лет была наибольшей. Тогда, если Николай по ошибке продаст свои ценные бумаги в \(k+1\) год, то его накопления будут уже меньше, чем если бы он продал в k-й год. Посчитаем сумму, если продать в k+1 год: $${ \small {S}_{k+1}=20(k+1)*(1+\frac{12}{100})^{30-k-1}= }$$ $${ \small =20(k+1)*1.12^{29-k} }$$ Исходя из наших предположений \({S}_{k}-{S}_{k+1}>0\). $${ \small 20k*1.12^{30-k}-20(k+1)1.12^{29-k}>0;}$$ $$ 20*1.12^{29-k} (k*1.12-k-1)>0; $$ $$ 0.12k>1 $$ $$ k>\frac{100}{12} $$ $$ k>8\frac{ 1}{3} $$ Получим следующую последовательность итоговых сумм, в зависимости от года продажи: $$ { \small {S}_{1} \lt {S}_{2} \lt {S}_{3} \lt⋯ \lt {S}_{7} \lt {S}_{8} \lt {S}_{9}} $$ $$ { \small {S}_{9}>{S}_{10}>⋯>{S}_{29}>{S}_{30} }$$ Наибольшей суммой будет \({S}_{9}\), поэтому нужно продать в конце 9 года.
Ответ: 9.