Что такое производная?

Для чего нужна производная?

Среди всех тем по алгебре в старших классах, на мой взгляд, самой полезной является тема производных. У производной широкое практическое применение в различных областях науки. Большинство аналитических задач решаются именно с ее помощью. Производная дает нам возможность оценить, как достичь наибольшей выгоды, обладая текущими средствами.

Например, руководитель завода сможет посчитать, сколько нужно нанять рабочих, чтобы выпуск продукции был максимальным. Вы скажете: что тут думать - чем больше наймешь, тем больше работы они смогут выполнить. Но так, к сожалению, все не работает. Если запихнуть в ограниченное пространство завода тысячи человек, они просто будут мешать друг другу, и производство продукции может прекратиться. Поэтому важно найти баланс: с одной стороны рабочих должно быть столько, чтобы задействовать все ресурсы завода максимально, но при этом, чтобы они не мешали друг другу. Запустить эффективное производство вам поможет знание производной.

Или, например, пробки на дорогах: вы наверное знаете, что светофоры стараются настроить таким образом, чтобы угодить и автомобилистам, и пешеходам. Если поставить зеленый сигнал на светофорах для водителей слишком длинным, то пробки уменьшатся, но пешеходы будут очень недовольны. А если слишком короткий, то вся улица застрянет в пробках.

В экономике: как фирме понять, какую цену выставить на свою продукцию? Если слишком высокую, никто не будет покупать. Если низкая, то все быстро раскупят, а фирма ничего не заработает. Идеальная цена та, по которой фирма сможет продать всю свою продукцию по наибольшей цене. Но как заранее узнать эту цену, если фирма только-только открылась?

Оптимизировать эти и множество других задач в окружающем мире помогает именно производная.

Что такое производная?

В школьном учебнике вы встретите определение производной:

Звучит страшно. Давайте разбираться, что же такое производная, а то тут ничего непонятно.

Для этого нам понадобится какая-нибудь случайная непрерывная функция \(f(x)\) и ее график (см. Рис 1.). При помощи графика этой функции мы постараемся разобраться, что же такое производная от функции.

Отметим две точки на графике: \(A\) и \(B\). У точки \(A\) будут координаты по оси абсцисс (ось \(x\)): \(x_A\), по оси ординат (ось \(y\)): \(f(x_A)\), а у точки \(B\): \(x_B\) и \(f(x_B)\). Введем новое обозначение: \(\Delta.\)

Знак треугольника называется «дельта», и он обозначает изменение некоторой величины. Изменение координаты \(x\) при переходе от точки \(A\) к точке \(B\) будет: $$\Delta x=x_B-x_A;$$ А изменение координаты \(y\) по оси ординат (значения функции \(f(x)\)): $$\Delta f(x)=f(x_B)-f(x_A);$$

Описать, насколько быстро растет функция (или, другими словами, как круто идет ее график) на участке между точками \(A\) и \(B\), можно при помощи выражения: $$K=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A};$$ Величина \(K\) нам показывает скорость изменения функции: чем больше успевает измениться величина \(f(x)\) за участок между точками \(A\) и \(B\), тем больше скорость изменения нашей функции на этом участке (тем круче идет ее график).

Отметим еще две точки \(C\) и \(D\) на графике (см. Рис. 1) так, чтобы расстояние между этими точками по оси \(x\) было таким же, как и между точками \(A\) и \(B\), то есть: $$x_B-x_A=x_D-x_C;$$ Или используя новые обозначения: $$\Delta x_{AB} =\Delta x_{CD};$$ Обратите внимание, что изменение значения функции \(f(x)\) на отрезке \(AB\) значительно больше изменения значения функции на отрезке \(CD\): $$f(x_B)-f(x_A) > f(x_D)-f(x_C);$$ $$\Delta f(x)_{AB}>\Delta f(x)_{CD};$$ Получается, что на одинаковых промежутках \(\Delta x\) скорость роста графика функции на \(AB\) больше, чем на \(CD\). Можно записать: $$\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A} > \frac{f(x_D)-f(x_C)}{x_D-x_C};$$ $$K_{AB} > K_{CD};$$

Этот факт виден и невооруженным взглядом по графику. График на \(AB\) круче, чем на \(CD\).

Если на графике (Рис.2) взять точки \(M\) и \(N\), то значение функции в точке \(M\) будет больше значения функции в точке \(N\), так как функция на промежутке \(MN\) убывает: $$f(x_M) > f(x_N);$$

А значит, скорость изменения функции на промежутке \(MN\) будет отрицательной: $$K_{MN}=\frac{\Delta f(x)_{MN}}{\Delta x_{MN}}=\frac{f(x_N)-f(x_M)}{x_N-x_M} < 0;$$ Делаем вывод, что если функция убывает, то на этом промежутке скорость ее изменения будет отрицательной. Если возрастает, то положительной.

А что, если взять промежуток \(\Delta x_{AC}\) (Рис.3)? Точки \(A\) и \(C\) находятся на одном уровне, то есть у них должны быть равны значения функции в этих точках: $$f(x_A)=f(x_C);$$

Тогда скорость изменения функции на этом промежутке будет равна нулю: $$K_{AC}=\frac{\Delta f(x)_{AC}}{\Delta x_{AC}}=\frac{f(x_C)-f(x_A)}{x_C-x_A}=\frac{0}{x_C-x_A}=0;$$ Но это не так. График между точками \(A\) и \(C\) меняется. Просто так получилось, что конечное и начальное значения оказались равны, а между ними функция растет и снижается.

Проблема подсчета скорости изменения функции \(K\) по нашей формуле на отрезке \(AC\) в том, что мы взяли слишком большой промежуток \(\Delta x_{AC}\). Оказывается, чем меньше промежуток \(\Delta x\) между двумя точками, тем точнее можно посчитать скорость изменения функции.

Для идеальных расчетов скорости изменения функции \(K\) нужно брать \(\Delta x\) очень-очень маленьким: точки должны быть очень близки друг к другу. Математики, чтобы все было точно, говорят, что \(\Delta x\) должно стремиться к нулю: $$\Delta x \to 0;$$ Это означает, что \(\Delta x\) бесконечно мало, но не равно нулю. Просто оно очень маленькое. Такую маленькую разность координат \(x\) двух точек называют приращением аргумента функции. Поэтому в определении производной в учебнике есть это странное слово.

Так как \(\Delta x\) между бесконечно близкими точками очень мало, то и изменение значения функции тоже будет очень маленьким: $$\Delta f(x) \to 0;$$ Величину \(\Delta f(x)\) называют приращением функции.

Вот мы и подобрались к определению производной:

Производной функции называют скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\). Обозначают производную функции при помощи штриха над функцией: \(f^{/}(x)\). $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$

Исходя из приведенных выше выводов про скорость изменения графика функции, можно сделать вывод, что производная функции положительна, когда функция возрастает (ее график идет вверх), и отрицательна, когда функция убывает (график идет вниз). Это очень важный вывод, который нам пригодится при решении большого числа задач на производные.

У внимательного читателя также должен возникнуть вопрос, а может ли производная равняться нулю? Да, может. Производная, согласно определению, это скорость изменения функции. Если скорость на промежутке \(\Delta x\) равна нулю, то это означает, что функция не растет и не падает, а значит функция не должна изменяться. То есть значения функции будут одинаковы на бесконечно малом промежутке.

Места на графике, где производная равна нулю, можно увидеть в «вершинах» и «впадинах» графика (см. Рис. 4) в красных точках. Если взять точку \(A\) слева от вершины, но очень близкую к ней, и точку \(B\) справа от вершины, также бесконечно близкую к вершине, то значения в этих точках будут одинаковы, а значит производная на этом промежутке будет равна нулю: $$f^{/}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0 \quad при \quad x \to 0;$$ На (Рис.4) я попытался изобразить две близкие к вершине точки \(A\) и \(B\) слева и справа от вершины.

Аналогичные рассуждения можно привести и для любой «впадины».

Получили еще один очень важный вывод. В «вершинах» и «впадинах» производная функции будет равна нулю. Координаты «вершин» по оси \(x\) называют точками максимума, а «впадин» - минимумами. Общее название для абсцисс (координат по оси \(x\)) минимумов и максимумов - точки экстремума. А значения функции в точках экстремума называют просто максимумами и минимумами, или наибольшими и наименьшими значениями функции.

Обратите внимание, что на графике «вершин» и «впадин» может быть сколь угодно много. Какие-то вершины будут выше, какие-то ниже, но значения во всех таких точках будут называться максимумами и минимумами функции. То есть, максимум необязательно будет самым большим значением функции, это будет наибольшим значением в некоторой области этой вершины - локальным максимумом.

Часто в задачах можно встретить слова «производная в точке». Про какую точку речь? Мы ведь только что говорили, что производная определяется на бесконечно маленьком промежутке. Дело в том, что \(\Delta x\), на котором мы считаем производную, настолько маленький (стремится к нулю), что этот промежуток можно считать за точку.