Что такое производная? Задание №7 в ЕГЭ

Для чего нужна производная?

Среди всех тем по алгебре в старших классах, на мой взгляд, самой полезной является тема производных. У производной широкое практическое применение в различных областях науки. Большинство аналитических задач решаются именно с ее помощью. Производная дает нам возможность оценить, как достичь наибольшей выгоды, обладая текущими средствами.

Например, руководитель завода сможет посчитать, сколько нужно нанять рабочих, чтобы выпуск продукции был максимальным. Вы скажете: что тут думать - чем больше наймешь, тем больше работы они смогут выполнить. Но так, к сожалению, все не работает. Если запихнуть в ограниченное пространство завода тысячи человек, они просто будут мешать друг другу, и производство продукции может прекратиться. Поэтому важно найти баланс: с одной стороны рабочих должно быть столько, чтобы задействовать все ресурсы завода максимально, но при этом, чтобы они не мешали друг другу. Запустить эффективное производство вам поможет знание производной.

Или, например, пробки на дорогах: вы наверное знаете, что светофоры стараются настроить таким образом, чтобы угодить и автомобилистам, и пешеходам. Если поставить зеленый сигнал на светофорах для водителей слишком длинным, то пробки уменьшатся, но пешеходы будут очень недовольны. А если слишком короткий, то вся улица застрянет в пробках.

В экономике: как фирме понять, какую цену выставить на свою продукцию? Если слишком высокую, никто не будет покупать. Если низкая, то все быстро раскупят, а фирма ничего не заработает. Идеальная цена та, по которой фирма сможет продать всю свою продукцию по по наибольшей цене. Но как заранее узнать эту цену, если фирма только-только открылась?

Оптимизировать эти и множество других задач в окружающем мире помогает именно производная.

Что такое производная?

В школьном учебнике вы встретите определение производной:

Звучит страшно. Давайте разбираться, что же такое производная, а то тут ничего непонятно.

Для этого нам понадобится какая-нибудь случайная непрерывная функция \(f(x)\) и ее график (см. Рис 1.). При помощи графика этой функции мы постараемся разобраться, что же такое производная от функции.

Отметим две точки на графике: \(A\) и \(B\). У точки \(A\) будут координаты по оси абсцисс (ось \(x\)): \(x_A\), по оси ординат (ось \(y\)): \(f(x_A)\), а у точки \(B\): \(x_B\) и \(f(x_B)\). Введем новое обозначение: \(\Delta.\)

Знак треугольника называется «дельта», и он обозначает изменение некоторой величины. Изменение координаты \(x\) при переходе от точки \(A\) к точке \(B\) будет: $$\Delta x=x_B-x_A;$$ А изменение координаты \(y\) по оси ординат (значения функции \(f(x)\)): $$\Delta f(x)=f(x_B)-f(x_A);$$

Описать, насколько быстро растет функция (или, другими словами, как круто идет ее график) на участке между точками \(A\) и \(B\), можно при помощи выражения: $$K=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A};$$ Величина \(K\) нам показывает скорость изменения функции: чем больше успевает измениться величина \(f(x)\) за участок между точками \(A\) и \(B\), тем больше скорость изменения нашей функции на этом участке (тем круче идет ее график).

Отметим еще две точки \(C\) и \(D\) на графике (см. Рис. 1) так, чтобы расстояние между этими точками по оси \(x\) было таким же, как и между точками \(A\) и \(B\), то есть: $$x_B-x_A=x_D-x_C;$$ Или используя новые обозначения: $$\Delta x_{AB} =\Delta x_{CD};$$ Обратите внимание, что изменение значения функции \(f(x)\) на отрезке \(AB\) значительно больше изменения значения функции на отрезке \(CD\): $$f(x_B)-f(x_A) > f(x_D)-f(x_C);$$ $$\Delta f(x)_{AB}>\Delta f(x)_{CD};$$ Получается, что на одинаковых промежутках \(\Delta x\) скорость роста графика функции на \(AB\) больше, чем на \(CD\). Можно записать: $$\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A} > \frac{f(x_D)-f(x_C)}{x_D-x_C};$$ $$K_{AB} > K_{CD};$$

Этот факт виден и невооруженным взглядом по графику. График на \(AB\) круче, чем на \(CD\).

Если на графике (Рис.2) взять точки \(M\) и \(N\), то значение функции в точке \(M\) будет больше значения функции в точке \(N\), так как функция на промежутке \(MN\) убывает: $$f(x_M) > f(x_N);$$

А значит, скорость изменения функции на промежутке \(MN\) будет отрицательной: $$K_{MN}=\frac{\Delta f(x)_{MN}}{\Delta x_{MN}}=\frac{f(x_N)-f(x_M)}{x_N-x_M} < 0;$$ Делаем вывод, что если функция убывает, то на этом промежутке скорость ее изменения будет отрицательной. Если возрастает, то положительной.

А что, если взять промежуток \(\Delta x_{AC}\) (Рис.3)? Точки \(A\) и \(C\) находятся на одном уровне, то есть у них должны быть равны значения функции в этих точках: $$f(x_A)=f(x_C);$$

Тогда скорость изменения функции на этом промежутке будет равна нулю: $$K_{AC}=\frac{\Delta f(x)_{AC}}{\Delta x_{AC}}=\frac{f(x_C)-f(x_A)}{x_C-x_A}=\frac{0}{x_C-x_A}=0;$$ Но это не так. График между точками \(A\) и \(C\) меняется. Просто так получилось, что конечное и начальное значения оказались равны, а между ними функция растет и снижается.

Проблема подсчета скорости изменения функции \(K\) по нашей формуле на отрезке \(AC\) в том, что мы взяли слишком большой промежуток \(\Delta x_{AC}\). Оказывается, чем меньше промежуток \(\Delta x\) между двумя точками, тем точнее можно посчитать скорость изменения функции.

Для идеальных расчетов скорости изменения функции \(K\) нужно брать \(\Delta x\) очень-очень маленьким: точки должны быть очень близки друг к другу. Математики, чтобы все было точно, говорят, что \(\Delta x\) должно стремиться к нулю: $$\Delta x \to 0;$$ Это означает, что \(\Delta x\) бесконечно мало, но не равно нулю. Просто оно очень маленькое. Такую маленькую разность координат \(x\) двух точек называют приращением аргумента функции. Поэтому в определении производной в учебнике есть это странное слово.

Так как \(\Delta x\) между бесконечно близкими точками очень мало, то и изменение значения функции тоже будет очень маленьким: $$\Delta f(x) \to 0;$$ Величину \(\Delta f(x)\) называют приращением функции.

Вот мы и подобрались к определению производной:

Производной функции называют скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\). Обозначают производную функции при помощи штриха над функцией: \(f^{/}(x)\). $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$

Исходя из приведенных выше выводов про скорость изменения графика функции, можно сделать вывод, что производная функции положительна, когда функция возрастает (ее график идет вверх), и отрицательна, когда функция убывает (график идет вниз). Это очень важный вывод, который нам пригодится при решении большого числа задач на производные.

У внимательного читателя также должен возникнуть вопрос, а может ли производная равняться нулю? Да, может. Производная, согласно определению, это скорость изменения функции. Если скорость на промежутке \(\Delta x\) равна нулю, то это означает, что функция не растет и не падает, а значит функция не должна изменяться. То есть значения функции будут одинаковы на бесконечно малом промежутке.

Места на графике, где производная равна нулю, можно увидеть в «вершинах» и «впадинах» графика (см. Рис. 4) в красных точках. Если взять точку \(A\) слева от вершины, но очень близкую к ней, и точку \(B\) справа от вершины, также бесконечно близкую к вершине, то значения в этих точках будут одинаковы, а значит производная на этом промежутке будет равна нулю: $$f^{/}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0 \quad при \quad x \to 0;$$ На (Рис.4) я попытался изобразить две близкие к вершине точки \(A\) и \(B\) слева и справа от вершины.

Аналогичные рассуждения можно привести и для любой «впадины».

Получили еще один очень важный вывод. В «вершинах» и «впадинах» производная функции будет равна нулю. Координаты «вершин» по оси \(x\) называют точками максимума, а «впадин» - минимумами. Общее название для абсцисс (координат по оси \(x\)) минимумов и максимумов - точки экстремума. А значения функции в точках экстремума называют просто максимумами и минимумами, или наибольшими и наименьшими значениями функции.

Обратите внимание, что на графике «вершин» и «впадин» может быть сколь угодно много. Какие-то вершины будут выше, какие-то ниже, но значения во всех таких точках будут называться максимумами и минимумами функции. То есть, максимум необязательно будет самым большим значением функции, это будет наибольшим значением в некоторой области этой вершины - локальным максимумом.

Часто в задачах можно встретить слова «производная в точке». Про какую точку речь? Мы ведь только что говорили, что производная определяется на бесконечно маленьком промежутке. Дело в том, что \(\Delta x\), на котором мы считаем производную, настолько маленький (стремится к нулю), что этот промежуток можно считать за точку.

Производная в ЕГЭ. Исследование графиков

В ЕГЭ по математике в первой части есть два задания на производную. На момент написания статьи это 7-й номер и 11-й. В 7-м номере дан график, и нужно при помощи этого графика сделать выводы про функцию или ее производную. Про 11-й номер поговорим отдельно здесь.

Существует два основных типа заданий:

• Дан график функции, нужно сделать выводы про производную;
• Дан график производной, нужно сделать выводы про функцию, которой соответствует эта производная;

График функции

Разберем несколько примеров первого типа, в которых дан график функции. Чтобы справиться с задачей, нам понадобятся выводы, которые мы получили пока разбирались, что же такое производная:

• Функция возрастает - производная от функции положительна;
• Функция убывает - производная от функции отрицательна;
• Функция принимает максимальное или минимальное значение в точке - производная от функции равна нулю;

Пример 1
По графику функции определите количество целых точек, в которых производная функции положительна на промежутке \((-11;13)\):

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от \(x=-7\) до \(x=0\) и от \(x = 6\) до \(x=12\).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: \(x=—6\); \(x=-5\), \(x=-4\), \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=7\), \(x=8\), \(x=9\), \(x=10\), \(x=11\). Всего точек получилось \(11\). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки \(x=-7\), \(x=0\), \(x=6\), \(x=12\) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке \((-10;12)\). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Производная равна нулю в точках, где функция принимает максимальные и минимальные значения (в вершинах и впадинах). Поэтому нам остается только посчитать количество таких «вершин» и «впадин». На рисунке они отмечены красными точками. Всего их 5 штук.

Пример 3
На рисунке 7 изображен график функции \(f(x)\) и отмечены 10 точек: \(x_1,x_2,…,x_{10}\). В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Производная отрицательна тогда, когда функция убывает (график идет вниз). График функции убывает в точках: \(x_3, \;x_4,\;x_9, \; x_{10}.\) Всего четыре точки.

Обратите внимание, что точки \(x_2, \;x_5,\;x_8\) не удовлетворяют условию задачи, так как в этих точках функция принимает наибольшее и наименьшее значение, а значит в них производная равна нулю - не отрицательна.

Пример 4
На рисунке изображен график функции \(f(x)\), определенной на промежутке \((-14;8)\). Найдите сумму точек экстремума функции.

Экстремумы - это точки минимума и максимума функции («вершины» и «впадины»). На рисунке я их отметил красными точками. Всего точек экстремума пять штук.

Пример 5
На рисунке изображен график функции \(f(x)\), и отмечены пять точек \(-8; \;-3;\;4;\;7;\;11.\) В какой из этих точек значение производной наименьшее?

Во-первых, производная положительна, когда функция возрастает, и отрицательна - когда убывает. В точках \((3;\;7;\;11)\) функция растет, значит производная там положительна. А в точках \((-8;\;4)\) функция убывает - производная отрицательна. Так как по условию задачи нас просят найти наименьшее ЗНАЧЕНИЕ производной, то отрицательные значения очевидно меньше, чем положительные: точки \((3;\;7;\;11)\) отбрасываем. Осталось разобраться, в какой из двух точек \((-8;\;4)\) производная меньше. Чтобы в этом разобраться, необходимо вспомнить определение производной: $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$ Чем больше разница значений функции \(f_B-f_A\) на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\), тем больше значение производной. Другими словами, чем быстрее растет или убывает функция (чем круче ее график), тем больше по модулю ее производная.

Наименьшее значение производной будет там, где функция быстрее убывает. По нашему графику видно, что в окрестности точки \(x=4\) график более крутой, значит тут производная будет наименьшей.

График производной функции

В заданиях этого типа дан график производной, и, как правило, нужно сделать выводы про функцию, от которой эта производная взята. Здесь работают те же самые принципы, только в обратную сторону:

• Производная от функции положительна - функция возрастает;
• Производная от функции отрицательна - функция убывает;
• Производная от функции равна нулю - функция принимает максимальное или минимальное значение в этой точке;

Рассмотрим примеры заданий из ЕГЭ:

Пример 6
На рисунке изображен график ПРОИЗВОДНОЙ функции \(f(x)\) на промежутке \((-11;11)\). Укажите сумму целых точек, в которых ФУНКЦИЯ возрастает.

Тут важно не запутаться и помнить, что перед вами график производной функции. Это значит, что имеет значение только знак производной (то есть выше или ниже график оси \(x\)). А где она растет и где убывает - абсолютно не важно.

Функция возрастает , если производная положительна. Нам нужны целые точки в которых график производной выше оси \(x\): \(3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10.\)

Просят найти сумму целых точек: \(3+4+5+6+7+8+9+10=52.\)

Пример 7
На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\) на промежутке \((-14;14).\) Найдите количество точек максимума функции.

Точки минимума и максимума будут там, где производная равна нулю, то есть в точках: \(x=7; \;x=10; \;x=12.\) Из этих точек надо выбрать только те, в которых будет именно максимум. Перед точкой \(x=7\) график производной выше оси \(x\) (производная положительна), а значит функция возрастает. После точки \(x=7\) производная отрицательная: функция убывает. Функция сначала растет (идет вверх), потом убывает (идет вниз) - точка \(x=7\) будет точкой максимума.

Аналогичные рассуждения для точки \(x=10\) - точки минимума; и для точки \(x=12\) - точки максимума.

Точек максимума будет две: \(x=7\), \(x=12\).

Пример 8
На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\) на промежутке \((-12;6).\) В какой точке отрезка \([-2;5]\) функция принимает наибольшее значение.

Функция принимает наибольшее или наименьшее значение в точках, где производная равна нулю. Но на отрезке \([-2;5]\) график производной нигде не пересекает ось \(x\), а значит на заданном отрезке производная нигде не равна нулю. Как тогда понять, где будет наибольшее значение функции?

Обратите внимание, что производная на промежутке \([-2;5]\) всегда отрицательна, а значит функция убывает на всем промежутке \([-2;5]\). Если функция все время убывает, то ее наибольшее значение будет в начале промежутка, то есть в точке \(x=-2.\)

Пример 9
На рисунке изображен график производной функции на промежутке \((-12;7).\) Найдите точку минимума функции.

Так как перед нами график производной функции, то точка минимума будет там, где производная равна нулю. Таких точек на графике две: \(x=-4;\;x=6.\) Но они могут быть как точками минимума, так и точками максимума. Производная левее точки \(x=6\) отрицательная, а правее - положительная. Значит функция сначала убывает (спускаемся вниз), а потом возрастает (поднимаемся вверх): точка \(x=6\) будет минимумом. А точка \(x=-4\) по тем же соображениям будет максимумом.

В задание №7 в ЕГЭ также встречаются номера на геометрический смысл производной.