• »
  • »
Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.


Пример 1

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^{-x})=5\) имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^{-x} > 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac{1}{t})=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $${t}_{1,2}=\frac{5±\sqrt{25-4(a+1)^2}}{2(a+1)} .$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac{5}{2}$$ \(a=-3.5 -\) не подходит;
\(a=1.5;\)

Ответ: \(a=1.5.\)


Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.


Пример 2

Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).

Решение:

Найдем ОДЗ: \(a>0;\) \(a≠1\); \(x>-1\); \(x≠0\).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

\(x^2 (x+1)^2=a^2 ⇔ |x|(x+1)=a. \)

1 случай: \(x∈(-1,0).\)

Получаем уравнение:

$$-x(x+1)=a ⇔ -x^2-x-a=0,$$ $$D=1-4a;$$ $$ {x}_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{-2};$$

При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0< a ≤ \frac{1}{4} \)Оба корня лежат в промежутке \(x∈(-1,0)\).

2 случай: \(x>0\).

Получаем:

$$ x(x+1)=a, $$ $$ x^2+x-a=0,$$ $$ D=1+4a;$$ $$ {x}_{3,4}=\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{-2};$$

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{1+4a}}{2}$$ не подходит, так как \( x>0.\)


Ответ:
При \(a≤0\) решений нет;
при \(0 < a ≤ \frac{1}{4}:\) $$ {x}_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{-2}$$ $$x_3=\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{-2};$$ при \(a > \frac{1}{4}:\) $$ x_3= \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{-2}.$$


Пример 3

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.

Решение:

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

$$ 16^x+a=4^x, $$ $$ 16^x-4^x+a=0;$$

Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 < {t}_{1} < {t}_{2}\). Ветки данной параболы направлены вверх. Пусть \(f(t)=t^2-t+a\).

При помощи таблицы (см. таблицу):

$$ \begin{cases} f(0)>0, \\D≥0, \\D>0, \\ {x}_{0}>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>0, \\a<1/4. \end{cases} $$

Ответ: \(a∈(0;1/4).\)


Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.

Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a

Применение графического метода для решения задачи с параметром 18(С6) ЕГЭ по профильной математике. Подробно разбираем как решать уравнения и неравенства с параметром при помощи графиков.

В статье подробно разобран второй графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами. Детально разобраны несколько примеров.

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.