Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.

Пример 1

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^{-x})=5\) имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^{-x} > 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac{1}{t})=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $${t}_{1,2}=\frac{5±\sqrt{25-4(a+1)^2}}{2(a+1)} .$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac{5}{2}$$ \(a=-3.5 -\) не подходит;
\(a=1.5;\)

Ответ: \(a=1.5.\)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Пример 2

Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).

Решение:

Найдем ОДЗ: \(a>0;\) \(a≠1\); \(x>-1\); \(x≠0\).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

\(x^2 (x+1)^2=a^2 ⇔ |x|(x+1)=a. \)

1 случай: \(x∈(-1,0).\)

Получаем уравнение:

$$-x(x+1)=a ⇔ -x^2-x-a=0,$$ $$D=1-4a;$$ $$ {x}_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{-2};$$

При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0< a ≤ \frac{1}{4} \)Оба корня лежат в промежутке \(x∈(-1,0)\).

2 случай: \(x>0\).

Получаем:

$$ x(x+1)=a, $$ $$ x^2+x-a=0,$$ $$ D=1+4a;$$ $$ {x}_{3,4}=\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{-2};$$

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{1+4a}}{2}$$ не подходит, так как \( x>0.\)

Ответ:
При \(a≤0\) решений нет;
при \(0 < a ≤ \frac{1}{4}:\) $$ {x}_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{-2}$$ $$x_3=\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{-2};$$ при \(a > \frac{1}{4}:\) $$ x_3= \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{-2}.$$

Пример 3

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.

Решение:

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

$$ 16^x+a=4^x, $$ $$ 16^x-4^x+a=0;$$

Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 < {t}_{1} < {t}_{2}\). Ветки данной параболы направлены вверх. Пусть \(f(t)=t^2-t+a\).

При помощи таблицы (см. таблицу):

$$ \begin{cases} f(0)>0, \\D≥0, \\D>0, \\ {x}_{0}>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>0, \\a<1/4. \end{cases} $$

Ответ: \(a∈(0;1/4).\)