урок 1. Математика ЕГЭ

Тригонометрия с нуля в 9 классе

Тригонометрия начинается в 9-м классе и это одна из самых нелюбимых тем у школьников. Не потому, что она сложная, а потому, что это что-то новое и очень необычное. Но в ОГЭ она если и встречается, то в первой части, а значит, ничего сложного там не должно быть.

Возникает интересный вопрос: как может пригодиться тригонометрия в реальной жизни? Оказывается, ее применение очень обширно: в астрономии и навигации при определении углов и направлений, в географии, в волновой физике (радио, радары, свет, рентген) и т.д. Конечно многие, кто заканчивает школу, никогда больше не столкнутся с тригонометрией, но общие знания все равно должны быть у каждого, чтобы понимать, как устроен окружающий нас мир.

Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс?

Тригонометрия в какой-то степени относится и к алгебре, и к геометрии. В этом уроке мы обсудим геометрическую часть тригонометрии.

А именно, нам понадобится прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, в котором один из углов 90 градусов. Стороны, образующие прямой угол, называются катеты, для удобства обозначим их какими-нибудь буквами, например, \(a\) и \(b\). А гипотенузой называют сторону треугольника, лежащую напротив прямого угла, пусть она у нас будет \(c\). И обозначим острые углы в треугольнике за \(\alpha\) и \(\beta\).

С обозначениями закончили, без них изучать тригонометрию будет проблематично.

А теперь дадим определения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти страшные названия не существуют сами по себе, они обязательно берутся от какого-нибудь угла, например, \(\alpha\).

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный треугольник

Синусом угла \(\alpha\) в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике называют отношение противолежащего катета \(a\) к гипотенузе \(c\). (Противолежащий катет – это сторона, которая лежит прямо напротив угла \(\alpha\)). Посмотрите на рисунок, в нашем случае синус \(\alpha\) можно записать так:

$$\sin(\alpha)=\frac{a}{c};$$

Это и есть определение синуса: синус – это отношение определенных сторон треугольника. Ничего сложного тут нет.

Косинусом угла \(\alpha\) в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета \(b\) к гипотенузе \(c\). (Прилежащий катет – это катет, который образует угол \(\alpha\) с гипотенузой.) Опять обратите внимание на рисунок:

$$\cos(\alpha)=\frac{b}{c};$$

Тангенсом угла \(\alpha\) называют отношение противолежащего катета \(a\) к прилежащему \(b\):

$$ tg(\alpha)=\frac{a}{b};$$

Котангенсом угла \(\alpha\) называют отношение прилежащего катета \(b\) к противолежащему \(a\):

$$ctg(\alpha)=\frac{b}{a};$$

Вот так просто вводятся определения всех тригонометрических функций через обычный прямоугольный треугольник.

Свойства тригонометрических функций

Отсюда вытекает много интересных свойств и тригонометрических формул. Во-первых, надеюсь, все знают, что в прямоугольном треугольнике самая большая сторона – это гипотенуза.
Поэтому из определения синуса и косинуса (\(\sin(\alpha)=\frac{a}{c}; \quad \cos(\alpha)=\frac{b}{c}\)) следует, что они всегда меньше единицы, ведь мы катет (меньшую сторону) делим на гипотенузу (большую сторону треугольника). И как мы узнаем позже, синус и косинус всегда больше минус единицы. То есть синус и косинус могут принимать только значения из промежутка:

$$ \sin(\alpha) \in [-1;1];$$ $$ \cos(\alpha) \in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

$$\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}*\frac{c}{b}=\frac{a}{b};$$

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса: $$ tg(\alpha)=\frac{a}{b};$$ Значит $$ tg(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.$$

Аналогичные рассуждения можно провести для котангенса: $$\frac{cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}*\frac{c}{a}=\frac{b}{a};$$ А котангенс по определению: $$ctg(\alpha)=\frac{b}{a};$$ Значит $$ctg(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны: $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=\frac{a}{b}*\frac{b}{a}=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1. \qquad (1)$$

Выводится оно тоже из определений синуса и косинуса с использованием теоремы Пифагора (гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна сумме квадратов катетов \(c^2=a^2+b^2;\)): $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=\left(\frac{a^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\right)=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1.$$ С основным тригонометрическим тождеством вы будете сталкиваться постоянно и в 9-м и в 10-м классах.

И разберем еще две важные формулы: $$1+tg^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ Выводится она очень легко, опять же, используя определения тангенса и косинуса. Рекомендую потренироваться и сделать это самим. $$1+\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{1}{\frac{b^2}{c^2}};$$ $$\left(\frac{b^2}{b^2}\right)+\left(\frac{a^2}{b^2}\right)=1*\frac{c^2}{b^2};$$ $$\frac{b^2+a^2}{b^2}=\frac{c^2}{b^2};$$ Используем теорему Пифагора: $$\frac{c^2}{b^2}=\frac{c^2}{b^2};$$ Получили верное равенство, значит формула верна.

И вторая аналогичная формула для котангенса: $$1+сtg^2(\alpha)=\frac{1}{\sin^2(\alpha)};$$ Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе. $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1. \qquad(1)$$ $$ tg(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}. \qquad(2)$$ $$ctg(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}. \qquad(3)$$ $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=1.\qquad(4)$$ $$1+tg^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}. \qquad(5)$$ $$1+сtg^2(\alpha)=\frac{1}{\sin^2(\alpha)}. \qquad(6)$$ Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1
Пусть \(\cos(\alpha) =\frac{1}{2}\), найдите \(\sin(\alpha)=?\)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи \(\cos(\alpha)=\frac{1}{2}:\) $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1;$$ $$\sin^2(\alpha)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=1;$$ А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса: $$\sin^2(\alpha)=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2;$$ $$\sin^2(\alpha)=1-\frac{1}{4};$$ Приводим к общему знаменателю: $$\sin^2(\alpha)=\frac{4}{4}-\frac{1}{4};$$ $$\sin^2(\alpha)=\frac{3}{4};$$ И здесь внимательно решаем квадратное уравнение: $$\sin(\alpha)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2};$$ Обратите внимание на \(\pm\). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Ответ:\(\sin(\alpha)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2
Пусть \(\sin(\alpha) =\frac{1}{3}\), найдите \(ctg(\alpha)=?\)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс - это формула (6): $$1+сtg^2(\alpha)=\frac{1}{\sin^2(\alpha)}.$$ Подставляем известный из условия синус \(\sin(\alpha) =\frac{1}{3}\): $$1+сtg^2(\alpha)=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}.$$ Перевернем правую часть: $$1+сtg^2(\alpha)=\left(\frac{3}{1}\right)^2.$$ $$1+сtg^2(\alpha)=9.$$ Теперь решим уравнение и найдем котангенс: $$сtg^2(\alpha)=8.$$ $$сtg(\alpha)=\pm\sqrt{8}=\pm\sqrt{4}*\sqrt{2}=\pm2\sqrt{2}.$$

Ответ:\(сtg(\alpha)=\pm2\sqrt{2}\).

Значения тригонометрических функций

Все тригонометрические функции берутся от некоторых углов. Если нам известен угол, то это значит, что нам известно и значение тригонометрической функции. Например, синус от 30 градусов равен \(\frac{1}{2}\):

$$\sin(30^o)=\frac{1}{2};$$

При помощи калькулятора можно посчитать значение тригонометрической функции от любого угла (за редкими исключениями, поговорим об этом позже). Но есть, так называемые, стандартные углы, значения от которых всеобще известны.
В школе пользоваться калькулятором нельзя, поэтому подавляющее большинство заданий из тригонометрии будет связано именно с этими углами, особенно в 9-м классе. Обычно стандартные углы записываются при помощи таблицы, которую придется выучить:

Таблица стандартных углов в тригонометрии
Таблица стандартных углов

Вот несколько примеров, посчитанных при помощи таблицы (1): $$\cos(45^o)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$tg(60^o)=\sqrt{3};$$ $$ctg(90^o)=0;$$

Наблюдательный читатель мог обратить внимание, что значения всех тригонометрических функций в таблице (1) либо положительны, либо равны нулю. Отрицательных значений нет совсем. Однако, в примерах №1 и№2, которые мы разобрали выше, у нас получались отрицательные значения. Дело в том, что в таблице (1) рассмотрены далеко не все стандартные углы, а только до 90 градусов.
Есть расширенная версия этой таблицы, где указано больше стандартных углов. И у некоторых тригонометрических функций значения будут отрицательны. Пример такой таблицы:

Таблица стандартных углов в тригонометрии
Расширенная таблица стандартных углов

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем \(90^o\), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших \(90^o\). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2
По рисунку определить значение \(\sin(\alpha)=?\)

Как найти синус синего угла?
Как найти синус синего угла?

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол \(\angle{ABC}\) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки \(A\) высоту \(AH\) к \(BC\). Получили прямоугольный треугольник \(AHB\). Теперь можем воспользоваться определением синуса: $$\sin(\alpha)=\frac{AH}{AB};$$ По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка \(AH=15\). А гипотенузу \(AB\) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике \(BH=12\) и применить теорему Пифагора: $$AB^2=AH^2+BH^2;$$ $$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$ $$AB=\sqrt{369}=3\sqrt{41};$$ Подставим в формулу для синуса и найдем его: $$\sin(\alpha)=\frac{AH}{AB}=\frac{15}{3\sqrt{41}};$$

Ответ: \(\sin(\alpha)= \frac{15}{3\sqrt{41}}.\)

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3
Пусть \(tg(\alpha)=\sqrt{3}\), найти \(\cos(\alpha)=?\), если известно, что \(\alpha<90^o\).
Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол \(\alpha\), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти: $$1+tg^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$1+(\sqrt{3})^2=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$1+3=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$4=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$\cos^2(\alpha)=\frac{1}{4};$$ $$\cos(\alpha)=\pm\frac{1}{2}.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что \(\alpha<90^o\). Это означает, что угол \(\alpha\) острый, а значит косинус у острого угла обязательно должен быть положительный.

Ответ: \(\cos(\alpha)=\frac{1}{2}.\)

Пример 4
Пусть \(tg(\alpha) =-2\), найти \(\sin(\alpha)=?\), при \(90^o<\alpha<180^o\).

Опять обратимся к нашим формулам (1-6) и пытаемся найти такую, в которой есть и синус и тангенс. И тут оказывается, что такой формулы нет. Но нам никто не запрещает, зная тангенс и используя формулу (5), найти косинус: $$1+tg^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$1+(-2)^2=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$5=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$cos^2(\alpha)=\frac{1}{5};$$ $$cos^2(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{1}{5}};$$ Так как согласно условию \(\alpha>90^o\), то значение косинуса должно быть отрицательным: $$cos(\alpha)=-\sqrt{\frac{1}{5}};$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1;$$ $$\sin^2(\alpha)+\left(-\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2=1;$$ $$\sin^2(\alpha)+\frac{1}{5}=1;$$ $$\sin^2(\alpha)=-\frac{1}{5}+1;$$ $$\sin^2(\alpha)=\frac{4}{5};$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{4}{5}};$$ Синус у нас положительный и при острых \((\alpha<90^o)\) и при тупых углах \( (90<\alpha<180) \): $$\sin(\alpha)=\sqrt{\frac{4}{5}};$$

Ответ: \(\sin(\alpha)=\sqrt{\frac{4}{5}}.\)

Итак, зная значение хотя бы одной из четырех тригонометрических функций, при помощи формул (1-6) можно найти три оставшихся, именно для этого формулы и нужны.

Тригонометрия в геометрии

Во многих задачах по геометрии часто удобно использовать тригонометрию для нахождения углов или сторон треугольника. Даже одни из самых мощных теорем в курсе школьной геометрии называются теорема косинусов и теорема синусов. Это нам как бы намекает на тесную связь этих двух разделов математики. И определение тригонометрических функций в 9-м классе дается через геометрическую фигуру - прямоугольный треугольник.

Попробуем теперь порешать классические задачи геометрии с использованием тригонометрии:

Пример 5
Дан прямоугольный треугольник \(\bigtriangleup{ABC}\), в котором угол \(\angle{C}=90^o\), угол \(\angle{A}=60^o\), сторона \(AC=5\). Найти все стороны треугольника \(\bigtriangleup{ABC}\).

Тригонометрия в геометрии

Зная угол \(\angle{A}=60^o\), мы знаем все тригонометрические функции от этого угла. Смотрите в таблицу (1): $$\sin(60^o)=\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos(60^o)=\frac{1}{2};$$ $$tg(60^o)=\sqrt{3};$$ $$ctg(60^o)=\frac{1}{\sqrt{3}};$$ С другой стороны, можно расписать функции по определению через отношение сторон в прямоугольном треугольнике: $$\sin(\angle{A})=\frac{BC}{AB};$$ $$\cos(\angle{A})=\frac{AC}{AB};$$ $$tg(\angle{A})=\frac{BC}{AC};$$ $$ctg(\angle{A})=\frac{AC}{BC};$$

Не пугайтесь, все нам не понадобится. Воспользуемся пока формулами: $$\cos(60^o)=\frac{1}{2};$$ $$\cos(\angle{A}=60^o)=\frac{AC}{AB};$$ Нам известны косинус \(\angle{A}\) и сторона \(AC\), а значит, мы можем найти гипотенузу \(AB\): $$\frac{1}{2}=\frac{5}{AB};$$ $$AB=\frac{5}{\frac{1}{2}}=5*\frac{2}{1}=10;$$ Нашли гипотенузу, теперь найдем последнюю сторону \(BC\). Для этого нам нужна любая формула с \(BC\), например: $$\sin(\angle{A})=\frac{BC}{AB};$$ Синус знаем, \(AB\) только что нашли - выражаем \(BC\): $$BC=AB*\sin(60^o)=10*\frac{\sqrt{3}}{2}=5*\sqrt{3}.$$

Ответ: \(AB=10;\) \(BC=5*\sqrt{3}.\)

Подведем итоги. Зная любую сторону в прямоугольном треугольнике и хотя бы один из острых углов, можно найти все остальные стороны при помощи тригонометрии.

Рассмотрим задачу посложнее.

Пример 6
Дан прямоугольный треугольник \(\bigtriangleup{ABC}\), в котором угол \(\angle{C}=90^o\), угол \(tg(\angle{A})=\frac{1}{5}\), сторона \(AB=13\). В треугольнике из прямого угла \(\angle{C}\) проведена высота \(CH\). Найти \(AH\).

Тригонометрия в геометрии

Первым делом обратите внимание на один очень важный факт. Если провести высоту в прямоугольном треугольнике из прямого угла, то она поделит треугольник еще на два прямоугольных. В нашем случае \(\bigtriangleup{ACH}\) и \(\bigtriangleup{CHB}\) тоже будут прямоугольными. А значит в них выполняются все соотношения для тригонометрических функций. Например, в \(\bigtriangleup{ACH}\) для угла \(\angle{A}\) противолежащим катетом будет \(CH\), а прилежащим - сторона \(AH\), гипотенуза будет соответственно \(AC\). А значит можно записать формулы, следующие из определения тригонометрических функций:

$$\sin(\angle{A})=\frac{CH}{AC};$$ $$\cos(\angle{A})=\frac{AH}{AC};$$ $$tg(\angle{A})=\frac{CH}{AH};$$ $$ctg(\angle{A})=\frac{AH}{CH};$$

Аналогичные соотношения можно записать и для \(\bigtriangleup{CHB}\) и \(\bigtriangleup{ABC}\). Не буду нагромождать, запишите эти соотношения сами в качестве тренировки.

Следующий важный момент, на который следует обратить внимание - это углы в получившихся треугольниках. Обозначим угол \(\angle{CAB}=\alpha\). Тогда, так как \(\angle{CHA}=90^o\), можно выразить угол: $$\angle{ACH}=180-\angle{CAB}-\angle{CHA}=180-\alpha-90=90-\alpha;$$ Напомню, что треугольник \(\bigtriangleup{ABC}\) прямоугольный с прямым углом \(\angle{ACB}=90^o\). Значит $$\angle{HCB}=\angle{ACB}-\angle{ACH}=90-(90-\alpha)=\alpha=\angle{CAB};$$

Важный факт: \(\angle{HCB}=\angle{CAB}\)! А равенство этих углов само собой означает и равенство всех тригонометрических функций. То есть, например, \(\sin(\angle{HCB})=\sin(\angle{ACB})\). Точно так же у них равны и косинусы, и тангенсы, и даже котангенсы!

Аналогичные рассуждения можно провести для углов \(\angle{ACH}=\angle{CBA}\). Запомните это!

А теперь приступим непосредственно к решению задачи. Нам известна гипотенуза \(AB\) и \(tg(\alpha)\). По определению тангенса в \(\bigtriangleup{ABC}\): $$tg(\angle{A})=\frac{CB}{AC};$$ Либо из \(\bigtriangleup{ACH}\): $$tg(\angle{A})=\frac{CH}{AH};$$

В этих формулах есть проблема: нет известной нам стороны, гипотенузы \(AB\). А значит, у нас две неизвестные, и решить мы не можем.

Но зная тангенс, мы легко можем найти косинус по формуле: $$1+tg(\alpha)^2=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$1+\left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$1+\frac{1}{25}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$\frac{26}{25}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)};$$ $$\cos^2(\alpha)=\frac{1}{\frac{26}{25}}=1*\frac{25}{26}=\frac{25}{26};$$ $$\cos(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{25}{26}}=\pm\frac{5}{\sqrt{26}};$$ Так как \(\angle\alpha\) это острый угол из прямоугольного треугольника, то его косинус точно будет положительным: $$\cos(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$ Не самый приятный косинус, но что делать, будем решать так, как есть.

С другой стороны, из \(\bigtriangleup{ABC}\): $$\cos(\alpha)=\frac{AC}{AB};$$ Подставим известное \(AB\): $$\frac{5}{\sqrt{26}}=\frac{AC}{13};$$ $$AC=13*\frac{5}{\sqrt{26}}=\frac{13*5}{\sqrt{26}};$$ Либо косинус еще можно расписать в \(\bigtriangleup{ACH}\): $$\cos(\alpha)=\frac{AH}{AC}=\frac{5}{\sqrt{26}};$$ Подставим найденное \(AC\): $$\frac{AH}{\frac{13*5}{\sqrt{26}}}=\frac{5}{\sqrt{26}};$$ $$AH=\frac{5}{\sqrt{26}}*\frac{13*5}{\sqrt{26}}=\frac{5*13*5}{26}=\frac{25}{2}=12,5.$$

Ответ: \(AH=12,5.\)


Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В данном уроке разбираем, что такое квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.