Физика. Кинематика

Движение материальной точки по окружности. Центростремительное ускорение.

Линейная и угловая скорости

Движение по окружности нас окружает постоянно – это может быть мотоциклист на мототреке, вращение грузика на веревке, движение по выгнутому круглому мосту, любой поворот на дороге тоже можно рассматривать, как движение по части окружности и т.д.

Давайте представим, что мы смотрим сверху на мототрек (см. рис.1.). Пусть точка \(А\) это мотоциклист, который движется с постоянной линейной скоростью \(\vec{V_A}\), и за какое-то время \(t\) он переместится по дуге окружности \({AA}^{’}\) в точку \({A}^{’}\). Его пройденный путь будет равен длине дуги окружности \({AA}^{’}\).

Определение
Линейная скорость – это путь, который проходит мотоциклист за единицу времени (например, за секунду):

$$ V_A=\frac{S_{{AA}^{'}}}{t};$$

Понятно, что чем больший путь (большую длину дуги) успевает пройти тело за одно и тоже время, тем быстрее оно движется, тем больше его линейная скорость. Линейная скорость — это обычная скорость, к которой мы все привыкли. Обратите внимание, что вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории, в нашем случае – по касательной к окружности. Чуть позже нам это пригодится.

Линейная скорость при вращательном движении. Угловая скорость.
Рис.1. Линейная скорость при вращательном движении. Угловая скорость.

Иногда удобно рассмотреть скорость движения тела по окружности через угловую скорость. Она показывает, на какой угол успевает повернуться тело за единицу времени. На Рис.1. мотоциклист, переместившись из точки \(A\) в точку \({A}^{’}\), повернулся на угол \(\Delta \varphi\) за время \(t\). $$\omega=\frac{\Delta\varphi}{t} ,\ (рад/сек);$$ В международной системе единиц измерения угловую скорость принято измерять в радианах в секунду. Кроме обычных градусов углы можно измерять в радианах, с ними вы должны были столкнуться в школьном курсе тригонометрии.

И так, при движении по окружности можно двумя способами измерять скорость – при помощи линейной скорости (какое расстояние проходит тело за единицу времени) и при помощи угловой скорости (на какой угол поворачивается тело за единицу времени). Эти скорости, очевидно, должны быть связаны между собой.

Но прежде чем, вывести это соотношение, представьте, что отрезок \(AO\) вращается по окружности (см.Рис.1.) и за время \(t\) переходит в отрезок \({A}^{’}O\) - точка \(A\) переходит в точку \({A}^{’}\), а точка \(B\) – в точку \({B}^{’}\).

При этом точка \(A\) проходит за время \(t\) расстояние равное длине дуги окружности \({AA}^{’}\), а точка \(B\) за тоже самое время (ведь обе точки лежат все время на одной прямой) расстояние \({BB}^{’}\).

Выпишем формулы для линейных скоростей точек \(A\) и \(B\): $$V_{A}=\frac{{AA}^{’}}{t};$$ $$V_{B}=\frac{{BB}^{’}}{t};$$ Из рисунка 1 видно, что \({AA}^{'}>{BB}^{'}\), а значит линейная скорость точки \(A\) больше скорости точки \(B\): $$V_{A}>V_{B};$$ Можно сделать важный вывод, что чем дальше точка находится от центра, тем больше ее скорость относительно точек, находящихся на этой же прямой.

А на какой угол успевают повернуться точки \(A\) и \(B\) за одно и тоже время \(t\)?

Из рисунка 1 видно, что они обе поворачиваются на один и тот же угол \(\Delta\varphi\). А так как угловая скорость по определению, это отношение угла ко времени, то угловые скорости точек \(A\) и \(B\) одинаковые.

И так, что мы имеем – оказывается, что при удалении линейная скорость растет, а угловая скорость при этом не меняется. Тогда логичной выглядит следующая формула, связывающая угловую и линейную скорости:

$$V=\omega*R; \,\,(1)$$

где \(V\) – линейная скорость,

\(\omega\) – угловая скорость,

\(R\) – радиус вращения.


Период и частота вращения

Важными характеристиками любого вращательного движения являются частота и период:

Определение
Период – время, за которое тело совершает полный оборот.

В нашем примере с мотоциклистом, период – это время, за которое мотоциклист проезжает один полный круг.

Из курса геометрии вспоминаем, что длину дуги окружности можно посчитать как \(2*\pi*R\), где \(R\) – радиус окружности. Тогда в случае равномерного движения период можно посчитать по формуле, как расстояние деленое на скорость: $$T=\frac{2*\pi*R}{V};$$ Подставив сюда формулу \((1)\) для линейной скорости через угловую: $$T=\frac{2*\pi}{\omega};$$ Где \(V\) –линейная скорость вращения.

В системе СИ период измеряется в \([{cек}^{-1}]\).


Определение
Частота – количество оборотов за единицу времени.

В случае с мотоциклистом, частота – это сколько кругов он успевает проехать, например, за один час. Обычно частоту измеряют в оборотах в секунду.

Период и частота вращения связаны между собой выражением: $$T=\frac{1}{\nu};$$ Отсюда можно получить формулы для частоты, подставив период: $$\nu=\frac{V}{2*\pi*R}=\frac{\omega}{2*\pi};$$

Пример 1

Скорость точки, находящейся на краю вращающегося диска равна \(V_A=15(м/с)\), а точки, расположенной на 0,2 (м) ближе к центру вращения равна \(V_B=10(м/с)\). Найти частоту вращения и радиус диска.

угловая и линейная скорости
Рис.2. Задача на движение по окружности

Решение:
Точка \(А\) находится дальше от центра на \(20 (см)\), а значит ее скорость больше, чем у точки \(В\). По условию так и есть. Так как обе точки находятся на одном радиусе, то угловые скорости у них одинаковые. Распишем угловые скорости для точек \(А\) и \(В\) и приравняем: $$\omega_A=\frac{V_A}{AO};$$ $$\omega_B=\frac{V_B}{BO};$$ $$\omega_A=\omega_B;$$ $$\frac{V_A}{AO}=\frac{V_B}{BO};$$ Из условия \(A0=BO+0.2\): $$\frac{V_A}{BO+0,2}=\frac{V_B}{BO};$$ $$\frac{15}{BO+0,2}=\frac{10}{BO};$$ $$15*BO=(BO+0,2)*10;$$ $$5*BO=2;$$ $$BO=0,4.$$ Мы нашли радиус окружности по которой вращается точка \(В\), тогда радиус точки \(А\) будет на \(0,2(м)\) больше - \(0,6(м)\).

Для того, чтобы найти частоту, воспользуемся формулой: $$\nu=\frac{V_A}{2*\pi*R_A}=\frac{15}{2*3,14*0,6}=3,98(об/сек);$$ Ответ: \(R=0,6(м)\) и \(\nu=3,98(об/сек).\)


Центростремительное (нормальное) ускорение

Центростремительное ускорение
Рис.3. Центростремительное ускорение

Вернемся к нашему примеру с мотоциклистом, двигающимся по мототреку в форму окружности. (См. Рис.3.) Для начала, представим, что линейная скорость у мотоциклиста постоянна, то есть он двигается равномерно, а значит его ускорение должно быть равно нулю. Это действительно так, но при движении по окружности (или любой другой криволинейной траектории) даже с постоянной скоростью возникает новый вид ускорения – центростремительное, еще его называют «нормальное», ускорение. Оно появляется по причине изменения направления вектором скорости.

Посмотрите на Рис.1., скорость в точках \(А\) и \({A}^{’}\) направлена по-разному. Когда автомобиль двигается по прямой дороге, его вектор скорости направлен прямо, в одну сторону – в направлении его движения. А по мере движения по окружности вектор линейной скорости все время изменяет направление. И то, как быстро вектор линейной скорости изменяет направление (как резко тело поворачивает) характеризует центростремительное ускорение.

На самом деле, для решения задач понимать природу центростремительного ускорения совсем необязательно. Достаточно просто помнить, что при любом криволинейном движении появляется такое ускорение. Его можно вычислить по формуле: $$a_n=\frac{V^2}{R};$$ где \(V\) –линейная скорость;

\(R\) – радиус окружности.

Подставим сюда линейную скорость через угловую - \(V=\omega*R\). И получим еще одну формулу для центростремительного ускорения: $$a_n=\omega^2*R;$$ Важно! Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру окружности.


Тангенциальное ускорение

Теперь представим, что мотоциклист едет по круглому мототреку не с постоянной скоростью, а равноускорено/равнозамедлено. В этом случае говорят, говорят, что мотоциклист движется с тангенциальным ускорением.

Тангенциальное ускорение – это обычное ускорение, к которому мы привыкли в курсе кинематики. Оно показывает на сколько успевает измениться скорость за единицу времени, например, за секунду.

Тангенциальное ускорение всегда направлено по касательной к траектории. Если тело ускоряется, то оно сонаправлено с линейной скоростью, а если замедляется, то направлено в противоположную сторону. (см.Рис.3, показано синей стрелкой \(\vec{a_{/tau}}\))

При равноускоренном\равнозамедленном движении тангенциальное ускорение можно посчитать по формуле: $$a_{\tau}=\frac{V_к-V_н}{t};$$ где \(V_к\) – конечная скорость;

\(V_н\) – начальная скорость;

\(t\) – время, за которое скорость изменилась с \(V_н\) до \(V_к\).


При любом неравномерном движение по криволинейной траектории (окружности), у тела обязательно есть два вида ускорений – нормальное, направленное к центру, перпендикулярно скорости, и тангенциальное, направленное по касательной к траектории. Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора линейной скорости, а тангенциальное за изменение величины линейной скорости.


Если тело движется с постоянной скоростью, то тангенциальное ускорение равно \(0\).

Если тело движется по прямой, то нормальное ускорение равно \(0\).

Векторно сложим эти два ускорения по правилу параллелограмма, и получим вектор общего ускорения, которым обладает тело при движении по окружности. (см. Рис.3., фиолетовая стрелка \(\vec{a}\)).


Пример 2

Колесо радиуса R вращается с постоянной скоростью. Во сколько раз отличаются центростремительные ускорения двух точек расположенный на расстояниях \(R/2\) и \(R/3\) от центра колеса

Решение:
Так как любая точка колеса вращается с одинаковой угловой скоростью \(\omega\), то воспользуемся формулой для центростремительного ускорения через угловую скорость: $$a_n=\omega^2*r;$$ Пусть точка А вращается по окружности радиусом \(R/2\), а точка В - \(R/3\). $$a_{nA}=\omega^2*\frac{R}{2};$$ $$a_{nB}=\omega^2*\frac{R}{3};$$ $$\frac{a_{nA}}{a_{nB}}=\frac{\omega^2*\frac{R}{2}}{\omega^2*\frac{R}{3}}=\frac{R}{2}*\frac{3}{R}=1,5$$ Ответ:\(\frac{a_{nA}}{a_{nB}}=1.5.\)