Как быстро считать проценты

Перед тем, как переходить к экономическим задачам, кратко обсудим, что такое проценты, и разберемся, как их быстро и правильно посчитать. Без этого в банковских задачах делать нечего.

Что такое проценты

Один процент (1%) – это одна сотая часть чего-либо. Другими словами, если возьмете, например, 300 конфет, поделите это количество на 100 одинаковых частей (порций): $$\frac{300}{100} = 3;$$ Получается 100 порций по 3 конфеты.
Возьмете одну из этих порций, то есть три конфеты – это и будет 1 процент от 300. Если взять \(6=2*3\) конфет, то это будет уже ровно две порции из ста, а значит 2 процента от 300. А если взять сразу 150 конфет, то это будет 50 порций по 3 конфеты, а значит 150 конфет - это 50% от 300.

Считаем проценты с помощью пропорции

Самый распространенный способ вычислить процент от некоторого числа: при помощи пропорции.

Разберем на примере:
Предположим, что нам нужно вычислить, сколько будет в рублях 30% от 12000 рублей. Для этого необходимо в первую строку записать исходное число \(12000 \; р.,\) от которого мы будем считать проценты - это будет 100%. $$12000 \; р. \;—\;100 \%; $$ Во второй аналогичной строке под 100% записываем 30%, которые нам надо найти. А так как, сколько будет 30% в рублях мы не знаем, то под 12000 р. запишем \(x\) рублей. Выглядеть это будет так: $$12000 \; р. \;—\;100 \%; $$ $$x \; р. \quad —\quad 30 \%;$$ То есть, мы записываем, что 12000 рублей - это у нас 100%, а неизвестное \(x\) рублей - это 30%. \(x\) нам и нужно найти.

Для этого перемножаем крест на крест: 12000 рублей умножаем на 30%, а 100% умножаем на \(x \; p.\) и приравниваем: $$12000*30=100*x;$$ Остается только решить уравнение, выразив \(x:\) $$x=\frac{12000*30}{100}=3600\;p.$$ Вот мы и вычислили, что \(30 \%\) от 12000р. это 3600р.

Аналогичным образом, составляя пропорцию, можно вычислить процент от любого числа.

Находить проценты при помощи пропорции достаточно долго и неудобно, есть способ быстрее. Рассмотрим его.

Как быстро считать проценты

Рассмотрим задачу:
Пример 1
В магазине телефон стоит \(500$.\) Какая будет стоимость телефона после повышения цены на 25%?

Чтобы решить эту задачу, нужно найти, сколько будет \(25 \%\) от \(500$.\) Стандартный способ решения таких задач - при помощи пропорции. Вы должны были проходить его еще в 6 классе, но он очень долгий и неудобный.

Для того, чтобы найти процент от числа, нужно проценты перевести в десятичную дробь, разделив на \(100.\) Например: $$1 \%=0,01;$$ $$2 \%=0,02;$$ $$5 \%=0,05;$$ $$10 \%=0,10=0,1;$$ $$20 \%=0,20=0,2;$$ $$25 \%=0,25;$$ После этого десятичную запись процента необходимо умножить на число, от которого вы ищете процент. Например, \(7 \%\) от \(2000\) это: $$7 \%=0,07;$$ $$2000*0,07=140$$ \(140\) - это \(7 \%\) от \(2000.\)

Возвращаемся к нашей задаче. Чтобы найти \(25 \%\) от \(500$,\) переводим \(25 \%\) в десятичный вид: $$25 \%=0,25;$$ И умножаем на \(500$:\) $$500*0,25=125;$$ Мы получили, что цена телефона выросла на 125$ после повышения цены на 25%. Чтобы посчитать новую цену телефона, нужно к старой добавить 125$: $$S_{new}=500$+125$=625$. $$

Рассчитать стоимость телефона можно было еще короче. Распишем предыдущие подсчеты в одну строчку: $$S_{new}=500+500*0,25=$$ $$=500(1+0,25)=500*1,25=625;$$ Для того, чтобы узнать новую стоимость после повышения цены, достаточно старую цену умножить на множитель \((1+0,25).\)

В общем виде наши рассуждения можно записать так:
\(S_{old}\) - старая цена;
\(S_{new}\) - новая цена;
\(q \%\) - проценты, на которые выросла старая цена;
Переводим проценты в десятичный вид: $$q \% = \frac{q}{100};$$ Считаем новую цену после повышения на \(q \%:\) $$S_{new}=S_{old}+S_{old}*\frac{q}{100}=S_{old}(1+\frac{q}{100});$$ Это основная формула для решения всех задач на вклады и кредиты.

Рассмотрим еще одну вспомогательную задачу:
Пример 2
Телефон в магазине стоит 800$. Магазин сначала повысил на него цену на 10%, а после этого решил снизить опять на 10%. Какая будет окончательная стоимость телефона? Задача с подвохом - очень частый и ошибочный ответ: цена не изменилась. Одно из коварных свойств процентов в том, что они всегда берутся от «нового» числа. Разберем это на данной задаче.

Вычислим стоимость телефона после первого повышения цены на \(10 \%:\) $$S_{new1}=S_{old}*(1+0,1)=800*1,1=880$;$$ После того, как цена повысилась, в магазине принимают решение снизить цену на 10%. Но в этот раз 10% будет не от старой цены в \(800$,\) а от новой в \(880$:\) $$S_{new2}=S_{new1}-S_{new1}*0,1=S_{new1}*(1-0,1)=S_{new1}*0,9=880*0,9=792$;$$ Обратите внимание на два момента: во-первых, на знак минуса - цена же снижается, поэтому вычитаем; а во-вторых, итоговая стоимость телефона получилась \(792$,\) что меньше, чем начальная цена \(800$.\)

Как так получилось? Дело в том, что во второй раз цена изменилась на \(10 \%\) от новой увеличенной цены \(880$,\) что больше, чем изменение на \(10 \%\) от старой цены \(800$.\)

Сколько процентов одно число составляет от другого

Также полезно уметь находить, сколько процентов первое число составляет от второго. Можно использовать метод пропорции аналогично тому, как мы это делали в начале статьи. Но лучше пользоваться простым правилом: поделить первое число на второе и умножить на \(100\). Например: найти, сколько процентов число 12 составляет от 64. Решение: $$\frac{12}{64}*100=18,75 \%.$$

Пример 3
В магазине год назад баскетбольный мяч стоил 3000 рублей. Спустя год стоимость этого же самого мяча составляет 3600 рублей. На сколько процентов выросла цена?

Решение:
Важно, что за 100% мы считаем именно старую цену 3000р. Так как нас интересует изменение цены относительно старой цены.

Сперва вычислим, на сколько изменилась стоимость мяча за год в рублях: $$3600-3000=600p.$$ Мяч подорожал на 600р.
Чтобы вычислить, сколько будет 600р. в процентах, делим 600р. на старую цену 3000р. и умножаем на 100%: $$\frac{600}{3000}*100=0,2*100=20 \%.$$ Ответ: Стоимость мяча за год выросла на 20%.