Квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратных уравнений

Стандартный вид квадратного уравнения: $$ax^2+bx+c=0;$$ где \( b,\; с\) - любые числа, \(a\neq0\);

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Если уравнение полное, то есть коэффициенты \( a, \; b,\; с\) не равны 0, то оно решается по схеме: $$ax^2+bx+x=0;$$ Считаем дискриминант: $$D=b^2-4ac;$$

1. Если \(D>0\), то уравнение имеет два корня: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};$$
2. Если \(D=0\), то уравнение имеет один корень: $$x=\frac{-b}{2a};$$
3. Если \(D<0\) - корней нет.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение получается, если один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен 0, \(a\neq0\).

1. Решение уравнения вида \(ax^2+bx=0\) сводится к вынесению общего множителя \(x\): $$x(ax+b)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x=0 \qquad или \qquad ax+b=0;$$ $$x=0 \qquad или \qquad x=\frac{-b}{a};$$
2. Уравнение вида \(ax^2+c=0\) решается путем выражения \(x^2\) из уравнения: $$x^2=-\frac{c}{a};$$
   • $$-\frac{c}{a} \ge 0 \qquad \Rightarrow \qquad x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}};$$
   • $$-\frac{c}{a} \lt 0 \qquad \Rightarrow \qquad корней \; нет;$$
3. Если \(b=0\) и \(c=0\), то уравнение принимает вид \(ax^2=0\) и имеет единственный корень \(x=0.\)

Что такое квадратные уравнения?

А теперь подробно с примерами обсудим квадратные уравнения.

Любые уравнения, сводящиеся к виду \(ax^2+bx+c=0\), называются квадратными. Где буквы \( b,\; с\) - любые числа, \(a\neq0\). Почему \(a\neq0\) мы обсудим ниже.

Обратите внимание на порядок слагаемых в квадратном уравнении:
\(a\) - всегда стоит первая и обязательно умножается на \(x^2\), она называется старшим коэффициентом (или первым);
\(b\) - принадлежит второму слагаемому и всегда умножается просто на переменную \(x\), это у нас второй коэффициент;
\(c\) - называют свободным членом, она не умножается ни на какую переменную.

В дальнейшем старайтесь приводить квадратное уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\), чтобы слагаемые стояли именно в таком порядке. Это очень важно при решении уравнений, и поможет избежать множества ошибок.

Потренируемся определять значения коэффициентов \( a, \; b,\; с\), чтобы запомнить порядок:

Пример 1 $$2x^2+3x+4=0;$$ $$a=2 \quad b=3 \quad c=4.$$

Пример 2 $$5x^2-3x-0,7=0;$$ $$a=5 \quad b=-3 \quad c=-0,7.$$

Пример 3 $$-x^2+2x+10=0;$$ Минус перед \(x^2\) можно представить в виде \(-x^2=-1*x^2\). Единицу обычно не пишут, поэтому минус перед первым слагаемым означает, что \(a=-1\): $$a=-1 \quad b=2 \quad c=10.$$

Пример 4 $$3+x^2-5x=0;$$ Слагаемые стоят в неправильном порядке. Так коэффициенты находить неудобно, поэтому переставим все слагаемые в нужном порядке. От перемены мест слагаемых сумма не меняется: $$x^2-5x+3=0;$$ $$a=1 \quad b=-5 \quad c=3.$$

Пример 5 $$2x^2-3x=0;$$ В уравнении нет свободного члена \(c\), поэтому он будет равен \(0\): $$a=2 \quad b=-3 \quad c=0.$$

Пример 6 $$-4x^2+1=0;$$ А здесь уже нет второго коэффициента \(b\): $$a=-4 \quad b=0 \quad c=1.$$

Уравнения, приведенные в примерах №5 и 6, называются неполными квадратными уравнениями, так как в них коэффициенты \(b\) или \(c\) равны нулю.

А вот если в уравнении коэффициенты \( a, \; b,\; с\) не равны 0, то такое уравнение называется полным.

От того, полное ли квадратное уравнение или неполное, зависит, как мы будем его решать. Начнем с неполных уравнений, они немного легче, но почему-то как раз в них все часто ошибаются.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю, \(a\neq0\).

Как решать квадратное уравнение \(ax^2+bx=0\)?

Рассмотрим уравнение, в котором \(c=0\), оно будет иметь вид: $$ax^2+bx=0;$$ Чтобы его решить, нужно вынести общий множитель \(x\) за скобки: $$x(ax+b)=0;$$ И вспомнить правило, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Здесь два множителя: \(x\) и \((ax+b)\). Приравниваем их к нулю и решаем каждое по-отдельности: $$x=0;$$ Тут решать-то нечего, сразу дан корень.
Второе: $$ax+b=0;$$ Обычное линейное уравнение: $$ax=-b;$$ $$x=\frac{-b}{a};$$ Получили, что уравнение имеет сразу два корня:\(x=0\) и \(x=\frac{-b}{a}\).

Разберем на примере:

Пример 7 $$2x^2+8x=0;$$ Выносим общий множитель \(x\): $$x(2x+8)=0;$$ $$\quad x_1=0 \quad и \quad 2x+8=0;$$ $$2x+8=0;$$ $$2x=-8;$$ $$x_2=-4.$$ Ответ: \(x_1=0 \quad и \quad x_2=-4.\)

Как решать квадратное уравнение \(ax^2+с=0\)?

Вот с такими уравнениями надо быть очень внимательными. Важно помнить, что любое число (выражение), возведенное в квадрат, всегда больше или равно нуля, оно не может быть отрицательным.

Общая схема решения уравнений вида \(ax^2+с=0\):

• Выражаем \(x^2\) из уравнения: $$ax^2+c=0;$$ $$ax^2=-c;$$ $$x^2=\frac{-c}{a};$$
• Если \(-\frac{c}{a} \geq 0\): $$x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}};$$ $$x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}};$$
• Если \(-\frac{c}{a} \lt 0\): РЕШЕНИЙ НЕТ.

Пример 8 $$2x^2-8=0;$$ $$2x^2=8;$$ $$x^2=\frac{8}{2};$$ $$x^2=4;$$ $$x=\pm\sqrt{4};$$ $$x_1=2;$$ $$x_2=-2;$$ Ответ: \(x_1=2 \quad и \quad x_2=-2.\)

Пример 9 $$4x^2+36=0;$$ $$2x^2=-36;$$ $$x^2=\frac{-36}{2}=-18;$$ Так как \(-18 < 0\), а \(x^2\) не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 10 $$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{18}=0;$$ $$\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{18};$$ Чтобы избавиться от \(\frac{1}{2}\), умножим уравнение слева и справа на \(2\): $$x^2=\frac{2}{18};$$ $$x^2=\frac{1}{9};$$ $$x=\pm\sqrt{\frac{1}{9}};$$ $$x_1=\frac{1}{3};$$ $$x_2=-\frac{1}{3};$$ Ответ: \(x_1=\frac{1}{3} \quad и \quad x_2=-\frac{1}{3}.\)

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Квадратные уравнения \(ax^2+bx+c=0\), у которых все коэффициенты \( a, \; b,\; с\) не равны 0, называются полными квадратными уравнениями.

Чтобы их решать, нужно уметь находить дискриминант квадратного уравнения. Ничего страшного в этом нет, несмотря на странное называние. Дискриминантом уравнения \(ax^2+bx+c=0\) называют выражение: $$D=b^2-4ac;$$

1. Если дискриминант получился больше нуля \((D \ge 0)\), то квадратное уравнение имеет два корня, которые можно найти по формулам: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};$$
2. Если дискриминант равен нулю \((D=0)\), то квадратное уравнение имеет один корень: $$x=\frac{-b}{2a};$$
3. Если дискриминант меньше нуля \((D<0)\), то квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры квадратных уравнений

Пример 11 $$2x^2-9x+4=0;$$ Прежде чем решать уравнение, я рекомендую выписать все коэффициенты: $$a=2 \quad b=-9 \quad c=4.$$ Используя значения коэффициентов, можем посчитать дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-9)^2-4*2*4=81-32=49;$$ Ура, дискриминант посчитан и он больше нуля! Значит корней будет два, найдем их по формулам: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-9)+\sqrt{49}}{2*2}=\frac{9+7}{4}=\frac{16}{4}=4;$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-9)—\sqrt{49}}{2*2}=\frac{9-7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$$ Ответ: \(x_1=4 \quad и \quad x_2=\frac{1}{2}.\)

Пример 12 $$10x^2+x-21=0;$$ $$a=10 \quad b=1 \quad c=-21.$$ $$D=b^2-4ac=1^2-4*10*(-21)=1+840=841;$$ $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{841}}{2*10}=\frac{-1+29}{20}=\frac{28}{20}=\frac{7}{5};$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{841}}{2*10}=\frac{-1-29}{20}=\frac{-30}{20}=\frac{-3}{2};$$ Ответ: \(x_1=\frac{7}{5} \quad и \quad x_2=-\frac{3}{2}.\)

Пример 13 $$(x-7)^2=2x^2+11x+23;$$ Это уравнение еще нужно привести к стандартному виду, для этого раскроем скобки по формуле «квадрат разности» \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\): $$x^2-14x+49=2x^2+11x+23;$$ Перекинем все слагаемые в левую часть, не забывая при этом менять знак на противоположный: $$x^2-14x+49-2x^2-11x-23=0;$$ Приводим подобные слагаемые: $$-x^2-25x+26=0;$$ $$a=-1 \quad b=-25 \quad c=26.$$ $$D=b^2-4ac=(-25)^2-4*(-1)*26=625+104=729;$$ $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-25)+\sqrt{729}}{2*(-1)}=\frac{25+27}{-2}=\frac{52}{-2}=-26;$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-25)-\sqrt{729}}{2*(-1)}=\frac{25-27}{-2}=\frac{-2}{-2}=1;$$ Ответ: \(x_1=-26 \quad и \quad x_2=1.\)

Пример 14 $$3x^2+7x+6=0;$$ $$a=3 \quad b=7 \quad c=6.$$ $$D=b^2-4ac=7^2-4*3*6=49-72=-23;$$ Стоп! Дискриминант получился отрицательный, это означает, что у этого квадратного уравнения не будет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 15 $$4x^2-4x+1=0;$$ $$a=4 \quad b=-4 \quad c=1.$$ $$D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*1=16-16=0;$$ Дискриминат получился равен нулю. В этом случае у квадратного уравнения будет всего один корень, который можно найти по формуле: $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2*4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2};$$ Ответ: \(x=\frac{1}{2}.\)

Полезно знать! Если дискриминант получился равен нулю, то перед вами формула полного квадрата. Это значит, что квадратный многочлен можно разложить по формуле \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\).
И пример №15 можно решить, используя эту формулу: $$4x^2-4x+1=0;$$ $$(2x-1)^2=0;$$ Квадрат равен нулю только в том случае, если выражение под квадратом равно нулю: $$2x-1=0;$$ $$2x=1;$$ $$x=\frac{1}{2};$$ Ответ получили точно такой же, как и при решении через дискриминант.

Дискриминант деленный на 4

Квадратные уравнения иногда удобно решать по упрощенной формуле дискриминанта. Но применять ее можно не во всех случаях, а только, если коэффициент \(b\) в уравнении \(ax^2+bx+c=0\) четный (делится на 2).

Итак, представим, что коэффициент \(b\) четный, тогда дискриминант можно посчитать по формуле: $$D_4=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac;$$ А корни уравнения находятся по формулам: $$x_1=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{D_4}}{a};$$ $$x_2=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{D_4}}{a};$$ Кстати, обычный дискриминант \(D\) отличается от \(D_4\) в 4 раза: $$D_4=\frac{D}{4}=\frac{b^2-4ac}{4}=\frac{b^2}{4}-\frac{4ac}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac;$$ Поэтому \(D_4\) называют «дискриминантом деленным на 4».

Эти формулы нужны, чтобы, когда это возможно, сократить вычисления. Разберем на примере:

Пример 16 $$7x^2-20x-1067=0;$$ $$a=7 \quad b=-20 \quad c=-1067.$$ \(b=-20\) - четный, поэтому воспользуемся дискриминантом деленным на 4: $$D_4=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(\frac{-20}{2}\right)^2-7*(-1067)=(-10)^2+7469=100+7469=7569;$$ $$x_1=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{D_4}}{a}=\frac{-\frac{-20}{2}+\sqrt{7569}}{7}=\frac{10+87}{7}=\frac{97}{7};$$ $$x_2=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{D_4}}{a}=\frac{-\frac{-20}{2}-\sqrt{7569}}{7}=\frac{10-87}{7}=\frac{-77}{7}=-11;$$ Ответ: \(x_1=\frac{97}{7} \quad и \quad x_2=-11.\)

Возникает вопрос, зачем вообще нужен этот \(D_4\), если все можно считать через обычный дискриминант? Если бы мы считали пример №16 как обычно, то наш дискриминант, который и так получился не маленьким - \((D_4=7659)\), был бы в четыре раза больше. А чем больше числа, тем сложнее расчеты.

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета - это еще один способ упростить решение полных квадратных уравнений. Ее очень часто используют для решения несложных квадратных уравнений в уме и для анализа квадратного многочлена, особенно это актуально в сложных заданиях с параметром в ЕГЭ.

Прежде чем сформулировать теорему Виета, познакомимся с приведенными квадратными уравнениями.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратные уравнения \(ax^2+bx+c=0\), у которых коэффициент \(a\) при \(x^2\) равен \(1\), называют приведенными.

Например: $$x^2+4x-3=0;$$ $$x^2-140x-65=0;$$ Любое полное квадратное уравнение всегда можно свести к приведенному. Для этого надо поделить все уравнение на коэффициент \(a\):

Пример 17 Привести квадратное уравнение к приведенному. $$3x^2-15x+9=0;$$ Разделим уравнение на \(a=3\). (Так можно делать: если левую и правую части уравнения поделить на одно и то же число, то корни уравнения от этого не изменятся.) $$\frac{3x^2-15x+9}{3}=\frac{0}{3};$$ В результате каждое слагаемое поделится на \(3\): $$\frac{3x^2}{3}-\frac{15x}{3}+\frac{9}{3}=0;$$ $$x^2-5x+3=0;$$

Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \(x^2+bx+c=0\) равна второму коэффициенту \(b\) со знаком минус, а произведение корней равно свободному члену \(c\).

Пусть \(x_1\), и \(x_2\) - корни квадратного уравнения \(x^2+bx+c=0\), тогда справедливы формулы: $$ \begin{cases} x_1+x_2=-b; \\ x_1*x_2=c. \\ \end{cases}$$ На первый взгляд может показаться, что это очень запутанно, но на самом деле, теорема Виета часто помогает решить уравнение в уме. Попробуем на практике:

Пример 18 $$x^2+4x+3=0;$$ $$a=1 \quad b=4 \quad c=3.$$ Воспользуемся теоремой Виета и выпишем формулы: $$ \begin{cases} x_1+x_2=-b; \\ x_1*x_2=c. \\ \end{cases}$$ Подставим коэффициенты: $$ \begin{cases} x_1+x_2=-4; \\ x_1*x_2=3. \\ \end{cases}$$

Нужно найти такие \(x_1\) и \(x_2\), которые удовлетворяют и первому, и второму уравнениям в системе. Подобрать корни достаточно просто: рассмотрим второе уравнение, какие два числа дают при умножении \(3ку\)?

Либо: \(3=1*3\);
Либо: \(3=(-1)*(-3)\).

Осталось проверить, будут ли найденные множители удовлетворять первому уравнению в системе, просто подставим их: $$1+3 \neq -4;$$ $$-1+(-3) = -4;$$ Вот мы и нашли корни системы уравнений: \(x_1=-1\) и \(x_2=-3\). А самое главное, мы нашли корни исходного квадратного уравнения.
Ответ: \(x_1=-1 \quad и \quad x_2=-3.\)

Если потренироваться, то все эти вычисления можно легко проводить в уме, если коэффициенты небольшие. Главное запомнить, что произведение корней должно быть равно свободному члену \(c\), а сумма корней равна \((-b)\).

Теорема Виета, если \(a\neq1\)

По теореме Виета можно решать не только приведенные квадратные уравнения (у которых \(a=1\)). Но перед тем, как применять формулы Виета, надо привести уравнение к приведенному, поделив на первый коэффициент \(a\): $$ax^2+bx+c=0; \quad \mid :a$$ $$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a};$$ $$x^2+\frac{b}{a}*x+\frac{c}{a};$$ Получили приведенное квадратное уравнение, для которого можно записать формулы Виета, где вторым коэффициентом будет \(\frac{b}{a}\), а свободным членом \(\frac{c}{a}\): $$ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}; \\ x_1*x_2=\frac{c}{a}. \\ \end{cases}$$

Пример 19 $$12x^2+x-1=0;$$ $$a=12 \quad b=1 \quad c=-1.$$ Коэффициент \(a=12 \neq 1\), поэтому разделим все уравнение на \(a=12\): $$12x^2+x-1=0; \quad \mid :12$$ $$x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}=0;$$ $$a=1 \quad b=\frac{1}{12} \quad c=-\frac{1}{12}.$$ Теорема Виета: $$ \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{1}{12}; \\ x_1*x_2=-\frac{1}{12}. \\ \end{cases}$$ Подбираем корни: $$x_1=-\frac{1}{3};$$ $$x_2=\frac{1}{4};$$ Ответ: \(x_1=-\frac{1}{3} \quad и \quad x_2=\frac{1}{4}.\)

Теорема Виета удобна, когда у квадратного уравнения небольшие коэффициенты и можно легко подобрать корни. В остальных случаях лучше пользоваться дискриминантом.

Метод группировки для решения квадратных уравнений

Еще один способ решить квадратное уравнение - это метод группировки. Метод группировки может пригодиться не только для решения квадратных уравнений, но и для уравнений более высокого порядка, на самом деле, это очень важная тема для тех, кто планирует решать более сложные задачи. Но сейчас мы рассмотрим метод только применительно к решению квадратных уравнений.

Формулу в общем виде записать здесь достаточно сложно, поэтому разберемся на примере:

Пример 20 $$x^2+7x+6=0;$$ Преобразуем квадратный многочлен, разложив \(7x\), как \(x+6x\): $$x^2+7x+6=x^2+x+6x+6;$$ Получили четыре слагаемых. Вынесем общий множитель \(x\) за скобку из первых двух слагаемых, и число \(6\) из третьего и четвертого слагаемых: $$x^2+7x+6=x^2+x+6x+6=x(x+1)+6(x+1);$$ От первоначальных четырех слагаемых мы свели многочлен к двум «большим» слагаемым, у которых тоже есть общий множитель скобка \((x+1)\)! Вынесем теперь ее за скобку: $$x^2+7x+6=x^2+x+6x+6=x(x+1)+6(x+1)=(x+1)(x+6);$$ Исходное уравнение сводится к виду: $$(x+1)(x+6)=0;$$ Произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x+1=0 \qquad x+6=0;$$ $$x_1=-1 \qquad x_2=-6;$$ Ответ: \(x_1=-1 \quad и \quad x_2=-6.\)

При решении методом группировки квадратных уравнений иногда бывает затруднительно увидеть правильное разложение. Поэтому самым удобным и универсальным способом решения остается решение через дискриминант.

Выделение полного квадрата

Выделение полного квадрата - это преобразования многочленов второй степени. С его помощью квадратные уравнения НЕ решают. Метод может пригодиться при оценке квадратных многочленов, построении графиков квадратных функций и особенно его любят в сложных заданиях с параметрами.

Надеюсь, вы знакомы с формулами сокращенного умножения: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2;$$ Еще они называются формулам полного квадрата. Часто их применяют, чтобы раскрыть квадрат суммы или разности, но иногда бывает нужно, наоборот, представить квадратный многочлен в виде скобок, то есть воспользоваться формулами справа налево: $$x^2+2x+1=(x+1)^2;$$ $$4x^2-8x+4=(2x-2)^2;$$ К сожалению, далеко не любой квадратный многочлен можно представить в виде квадрата. Более того, такие многочлены встречаются не часто. Метод выделения полного квадрата позволяет представить практически любой многочлен в виде суммы/разности квадрата и числа. Например, многочлен \(x^2+6x+7\) невозможно свернуть по формулам сокращенного умножения, но можно представить в виде: $$x^2+6x+7=x^2+6x+9-2=(x+3)^2-2;$$ Приведение многочлена второй степени к такому виду и называется методом выделения полного квадрата. Давайте разбираться, как я все это провернул:

• Первые два слагаемых, у которых есть \(x\), мы никогда не трогаем. Нас интересует только свободный член. Нужно дополнить слагаемые таким свободным членом, чтобы получилась формула полного квадрата.
• Соотнесем формулу \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) с многочленом \(x^2+6x+(?)\). В нашем примере: $$a^2=x^2 \Rightarrow a=\pm x;$$ $$2ab=6*x=2*3*x;$$ а знак вопроса - это \(b^2\), которое нам надо подобрать.
• Посмотрите еще раз на слагаемое удвоенного произведения \(2ab=6*x=2*3*x\), если \(a=x\), то \(b\) должно быть равно \(3\). То есть вместо знака вопроса нужно подставить \(b^2=3^2=9\).
• Но мы не можем просто к \(x^2+6x\) добавить \(9-ку\), тогда квадратный многочлен изменится. Если мы добавим \(9\), то и вычтем \(9\): $$x^2+6x+7=x^2+6x+9-9+7=(x+3)^2-9+7=(x+3)^2-2;$$

В общем виде алгоритм выделения полного квадрата будет выглядеть так: $$ax^2\pm bx+c=a(x^2\pm \frac{b}{a}x)+c=a(x^2 \pm 2\frac{b}{2a}x)+c=$$ $$=a\left(x^2 \pm 2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=$$ $$=a\left(\left(x^2 \pm 2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=$$ $$=a\left(x\pm \frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c.$$