Рациональные уравнения

Что такое рациональные уравнения?

Уравнения, в которых есть только целые и дробные выражения и степени, называются рациональными. Если вы видите в уравнении арифметические корни, то такие уравнения уже не будут рациональными.

Примеры рациональных уравнений: $$x+1=3;$$ $$\frac{1}{x+1}=5;$$ $$\frac{x^2}{x-7}-\frac{x^2+3}{x^2-49}=-x;$$ $$(x+9)^2=x^2-4;$$ Примеры не рациональных уравнений: $$\sqrt{x}=1;$$ $$(x-3)^2=\sqrt{x};$$

В свою очередь рациональные уравнения делятся на целые и дробные.

Целые рациональные уравнения

Если в уравнении нет переменной \(x\) в знаменателе, то такое уравнение называется целым. Или, другими словами, нигде в уравнении нет деления на переменную. Метод решения целых рациональных уравнений сильно зависит от того, какой степени перед вами уравнения.

Степень уравнения - это максимальная степень у переменной \(x\).

Например, уравнение \(x^2+5x-1=0\) будет второй степени, так как есть \(x^2\).
Пример уравнения первой степени: \(5x-1=17\);
Уравнение третьей степени: \(5x^3-3x^2=0\);
Уравнение четвертой степени: \(7x^4-5x^2+x-5=0\);
И т.д.

Основной алгоритм решения целых уравнений:

• Если есть скобки, раскрываем их;
• Перекидываем все слагаемые в левую часть так, чтобы в правой части остался только \(0\). Не забываем при этом менять знак этих слагаемых;
• Приводим подобные слагаемые;
• Если получилось уравнение первой степени (в уравнении есть только \(x\)), то решаем его так (линейные уравнения);
• Если получилось уравнение второй степени (в уравнении есть \(x^2\)), то оно решается вот так (квадратные уравнения).
• А вот если в преобразованном уравнении получились члены \(x^3\) или большей степени, то придется применять нестандартные методы решения. Например, замена переменной, группировка, схема Горнера и т.д.

Чаще всего уравнения после преобразований будут сводиться к уравнениям первой (линейные уравнения) и второй (квадратные уравнения) степени.

Разберем примеры целых рациональных уравнений:

Пример 1 $$-4(-7+6x)=-9x-5;$$ Первым делом раскрываем скобки: $$28-24x=-9x-5;$$ Перекидываем все слагаемые из правой части в левую: $$28-24x+9x+5=0;$$ Поменяем слагаемые местами, чтобы удобнее было приводить подобные слагаемые: $$-24x+9x+5+28=0;$$ $$-15x+33=0;$$ Получили линейное уравнение. Чтобы его решить, перекидываем свободный член (тот, что без \(x\)) в правую часть: $$-15x=-33;$$ И поделим уравнение слева и справа на \(-15\): $$x=\frac{-33}{-15};$$ $$x=\frac{11}{5}=2,2;$$ Ответ: \(x=2,2.\)

Важно отметить, то, что уравнение линейное, стало видно сразу после раскрытия скобок: у нас же не было степени у \(x\)-ов. Поэтому разумно было сразу решать его как линейное: перенести все слагаемые с \(x\) в левую часть, а все числа в правую. Так бы получилось немного короче.

Пример 2 $$4*(x+1)^2-2(x+3)=(2x-5)^2;$$ Тут сразу и не скажешь, какой степени уравнение. На первый взгляд кажется, что квадратное, но давайте раскроем скобки, воспользовавшись формулами сокращенного умножения: $$4*(x^2+2x+1)-2x-6=4x^2-20x+25;$$ $$4*x^2+8x+4-2x-6=4x^2-20x+25;$$ Перекинем все в левую часть, не забывая поменять знак: $$4*x^2+8x+4-2x-6-4x^2+20x-25=0;$$ Поменяем местами слагаемые, чтобы было проще приводить подобные: $$4x^2-4x^2+8x-2x+20x+4-6-25=0;$$ $$26x-27=0;$$ Как видите, все квадраты сократились, и уравнение превратилось в линейное: $$26x=27;$$ $$x=\frac{27}{26};$$ Ответ: \(x=\frac{27}{26}.\)

Пример 3 $$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+x=-\frac{35}{4};$$ Домножим уравнение слева и справа на \(12\). Почему именно на \(12\)? Потому что в уравнении есть дроби с знаменателями \(6\), \(12\) и \(4\), на все эти числа \(12\) можно разделить: $$12*(\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+x)=12*(-\frac{35}{4});$$ $$12*\frac{x}{6}+12*\frac{x}{12}+12*x=12*(-\frac{35}{4});$$ $$2x+x+12x=-3*35;$$ $$15x=-105;$$ $$x=\frac{-105}{15}=-7;$$ Ответ: \(x=-7.\)

Подробнее про линейные уравнения можно почитать в отдельной статье.

Пример 4 $$(x-1)^2=2x^2-6x-31;$$ Раскроем скобки: $$x^2-2x+1=2x^2-6x-31;$$ $$x^2-2x+1-2x^2+6x+31=0;$$ $$x^2-2x^2-2x+6x+1+31=0;$$ $$-x^2+4x+32=0;$$ После приведения подобных слагаемых в уравнении остался \(x^2\), а значит перед нами квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант: $$a=-1; \quad b=4; \quad c=32;$$ $$D=b^2-4ac=4^2-4*(-1)*32=16+128=144=12^2;$$ $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+12}{2*(-1)}=\frac{8}{-2}=-4;$$ $$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-12}{2*(-1)}=\frac{-16}{-2}=8;$$ Ответ: \(x=-4; \qquad x=8.\)

Подробнее про квадратные уравнения можно почитать здесь.

Методы решения уравнений третьей степени и старше

Не существует универсального удобного метода решения уравнений третьей степени или выше, как, например, квадратные уравнения, которые легко решаются через дискриминант, даже думать не надо.

Есть несколько методов, которые полезно знать: замена переменной, метод группировки, деление многочлена на многочлен, схема Горнера и т.д. Метод замены переменной заслуживает отдельного урока, поэтому про него мы подробно поговорим здесь. Сейчас мы обсудим метод группировки.

Метод группировки

Метод группировки слагаемых можно использовать и для решения квадратных уравнений, и, вообще говоря, для уравнений любой степени. Но проблема этого метода в том, что далеко не всегда удается его применить, и приходится использовать другие методы. Однако, если на экзамене вам не повезло, и попалось уравнение, которое сводится к уравнению 3й степени или старше, то в большинстве случаев оно будет решаться именно группировкой. Поэтому знать этот метод нужно обязательно.

Разберем метод группировки на примере кубического уравнения:

Пример 5 $$2x^3+4x^2-8x-16=0;$$ Посмотрите внимательно на уравнение, в нем 4 слагаемых, сгруппируем их попарно: первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $$(2x^3+4x^2)+(-8x-16)=0;$$ И вынесем общий множитель \(2x^2\) из первой пары, и \(-8\) из второй: $$2x^2(x+2)-8(x+2)=0;$$ Теперь вместо 4-х слагаемых у нас всего два, но и у них есть общий множитель \((x+2)\), который можно вынести за скобки: $$(x+2)(2x^2-8)=0;$$ Произведение двух множителей (в нашем случае двух скобок) равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен \(0\): $$x+2-0 \qquad \Rightarrow \qquad x_1=-2;$$ $$2x^2-8=0 \qquad \Rightarrow \qquad 2x^2=8 \qquad \Rightarrow \qquad x^2=\frac{8}{2} \qquad\Rightarrow $$ $$\Rightarrow \qquad x^2=4 \qquad \Rightarrow \qquad x_{2,3}=\pm 2;$$ Получилось три значения \(x\), но корень \(x=-2\) дублируется, поэтому исходное кубическое уравнение будет иметь 2 решения:
Ответ: \(x=-2, \quad x=2.\)

Общий алгоритм разложения на множители:

1. Объединяем слагаемые в группы, как правило, в пары, но иногда это могут быть и тройки;
2. В каждой группе (паре) выносим общий множитель за скобки;
3. Если в скобках в каждой паре получилось одинаковое выражение, то опять выносим общий множитель в виде одинакового выражения внутри этих скобок за «большие» скобки.
4. Если в результате шагов \(1\) и \(2\) в каждой паре получились разные выражения в скобках, то нужно вернуться на шаг \(1\), поменять местами слагаемые и сгруппировать их в группы другим способом.

Попробуем решить уравнение четвертой степени:

Пример 6 $$4x^4+12x^3+6x^2+18x=0;$$ Опять сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым, а третье с четвертым: $$(4x^4+12x^3)+(6x^2+18x)=0;$$ Вынесем общий множитель в каждой паре: $$4x^3(x+3)+6x(x+3)=0;$$ Ура, в скобках получились одинаковые выражения \((x+3)\), вынесем их за скобки: $$(x+3)(4x^3+6x)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x+3=0 \qquad \qquad 4x^3+6x=0;$$ Первое уравнение имеет корень \(x_1=-3\), а второе выпишем отдельно и решим: $$4x^3+6x=0;$$ Здесь тоже есть общий множитель \(x\), но это уже не группировка, а обычное вынесение общего множителя за скобки: $$x(4x^2+6)=0;$$ $$x_2=0 \qquad 4x^2+6=0;$$ Из уравнения \(4x^2+6=0\) выразим \(x^2:\) $$4x^2=-6;$$ $$x^2=\frac{-6}{4}=\frac{-3}{2};$$ Но \(x^2\) никогда не может равняться отрицательному числу! Что бы вы не возвели в квадрат, всегда получите неотрицательное число. Поэтому последнее уравнение не будет иметь корней.
Осталось опять всего лишь два корня:
Ответ: \(x_1=-3; \qquad x_2=0.\)

Дробно-рациональные уравнения

Если в уравнении есть деление на выражение, зависящее от переменной \(x\), то такое уравнение будет называться дробно-рациональным. Например, уравнения: $$\frac{1}{x}+3=x;$$ $$x+\frac{20}{x+6}=6;$$ $$\frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}=0;$$ все будут дробно-рациональными.

А уравнение $$\frac{x^2-3x}{5}+\frac{x-7}{2}=1;$$ уже не будет дробно-рациональным, несмотря на то, что есть деление, но в знаменателе стоят обыкновенные числа, там нет переменной \(x\).

С тем, что такое дробно-рациональные уравнения, надеюсь, разобрались, теперь поговорим про алгоритм решения таких уравнений.

В общем виде дробно-рациональное уравнение выглядит так: $$\frac{P(x)}{Q(x)}=0;$$ где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - целые рациональные выражения;

Схему решения можно записать в виде: $$ \begin{cases} P(x)=0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases}$$

Простыми словами, решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней целого рационального уравнения \(P(x)=0\). И проверке того, чтобы найденные корни удовлетворяли неравенству \(Q(x)\neq0\).

Пример 7 $$\frac{x^2-5x+6}{x-3}=0;$$ Согласно приведенной выше схеме \(P(x)=x^2-5x+6=0\), а \(Q(x)=x-3\neq 0\).
Или можно запомнить, что дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю. А делить на ноль в математике запрещено, поэтому еще и знаменатель не должен равняться нулю.
Приравниваем числитель к нулю: $$x^2-5x+6=0;$$ $$D=(-5)^2-4*1*6=25-24=1;$$ $$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2}=\frac{5+1}{2}=3;$$ $$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2}=\frac{5-1}{2}=2;$$ И не забываем проверить, чтобы при найденных корнях знаменатель не был равен нулю: $$x-3 \neq 0;$$ При \(x_1=3\) знаменатель обращается в нуль, поэтому этот корень нам не подходит.
Ответ: \(x_1=2.\)

Рассмотрим более сложное уравнение:

Пример 8 $$\frac{10}{x+6}=-\frac{5}{3};$$ Чтобы решить такое уравнение, необходимо привести его к стандартному виду: $$\frac{P(x)}{Q(x)}=0;$$ Для этого переносим \(-\frac{5}{3}\) в левую часть уравнения, не забываем, что \(-\frac{5}{3}\) превращается в \(+\frac{5}{3}\): $$\frac{10}{x+6}+\frac{5}{3}=0;$$ Приводим дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем здесь будет: \(3*(x+6)\). Поэтому домножаем числитель и знаменатель первой дроби на \(3\), а вторую дробь на \((x+6)\): $$\frac{3*10}{3*(x+6)}+\frac{5*(x+6)}{3*(x+6)}=0;$$ $$\frac{30}{3*(x+6)}+\frac{5*x+30}{3*(x+6)}=0;$$ Так как теперь знаменатели у дробей одинаковые, то можно сложить их числители и представить в виде одной большой дроби: $$\frac{30+5x+30}{3(x+6)}=0;$$ $$\frac{60+5x}{3(x+6)}=0;$$ Получили стандартный вид дробно-рационального уравнения.

Дробь может быть равна нулю только в одном случае: если ее числитель равен нулю!

Иногда нулю еще пытаются приравнять знаменатель, но знаменатель не может быть равен нулю. Знак дроби - это то же самое, что и знак деления, а делить на ноль в математике категорически запрещено. Именно поэтому знаменатель дроби никак не может быть равен нулю.

Возвращаемся к нашему уравнению и приравниваем числитель к нулю: $$60+5x=0;$$ $$5x=-60;$$ $$x=-12;$$ В качестве проверки подставим найденный корень в исходное уравнение: $$\frac{10}{x+6}=-\frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{10}{-12+6}=-\frac{5}{3} \quad \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \quad \frac{10}{-6}=-\frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad -\frac{5}{3}=-\frac{5}{3};$$ Получилось верное равенство, значит \(x=-12\) действительно будет корнем нашего уравнения.
Ответ: \(x=-12.\)

Алгоритм решения

• Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части уравнения был 0, не забывая при этом менять знак;
• Приводим к общему знаменателю;
• Упрощаем получившееся выражение в числителе дроби: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые;
• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Поэтому избавляемся от знаменателя и приравниваем числитель к нулю;
• В результате вышеперечисленных действий дробно-рациональное уравнение сводится к целому рациональному уравнению;
• Решаем целое рациональное уравнение и проверяем найденные корни, чтобы при подстановке их в знаменатель, не получался ноль.

Посмотрим, как работает алгоритм на примерах:

Пример 9 $$\frac{9}{x-11}+\frac{11}{x-9}=2;$$ Перекидываем двойку в левую часть уравнения и приводим дроби к общему знаменателю \((x-11)(x-9)\). Для этого в первой дроби домножаем числитель и знаменатель на \((x-9)\), вторую дробь на \((x-11)\), а \(2-ку\) мы всегда можем представить в виде дроби: \(\frac{2}{1}\), и тоже приводим к знаменателю \((x-11)(x-9)\): $$\frac{9*(x-9)}{(x-11)(x-9)}+\frac{11*(x-11)}{(x-9)(x-11)}-\frac{2(x-11)(x-9)}{(x-11)(x-9)}=0;$$ Получилось немного страшновато, но ничего: складываем дроби, раскрываем в числителе все скобки и приводим подобные слагаемые. Знаменатель при этом не трогаем. $$\frac{9(x-9)+11(x-11)-2(x-11)(x-9)}{(x-9)(x-11)}=0;$$ $$\frac{9x-81+11x-121-2(x^2-9x-11x+99)}{(x-9)(x-11)}=0;$$ $$\frac{9x-81+11x-121-2x^2+18x+22x-198}{(x-9)(x-11)}=0;$$ $$\frac{-2x^2+60x-400}{(x-9)(x-11)}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$-2x^2+60x-400=0;$$ $$D=60^2-4*(-2)*(-400)=3600-3200=400;$$ $$x_1=\frac{-60+\sqrt{400}}{2*(-2)}=\frac{-60+20}{-4}=10;$$ $$x_2=\frac{-60-\sqrt{400}}{2*(-2)}=\frac{-60-20}{-4}=20;$$ Подставив оба корня в исходное уравнение, аналогично тому, как мы это делали в примере №7, можно убедиться в правильности найденных корней.
Ответ: \(x_1=10 \quad x_2=20.\)

Пример 10 $$\frac{x}{3x+2}+\frac{5}{3x-2}=\frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$ Когда вы видите в знаменателе формулы сокращенного умножения, общий множитель или группировку, то нужно обязательно ими воспользоваться, чтобы разложить многочлен в знаменателе на множители перед тем, как приводить к общему знаменателю.

Замечаем у дроби справа в знаменателе формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b):\) $$\frac{x}{3x+2}+\frac{5}{3x-2}=\frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)};$$ Перекидываем в левую часть уравнения: $$\frac{x}{3x+2}+\frac{5}{3x-2}-\frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$ Приведем все дроби к общему знаменателю \((2-3x)(2+3x)\):

• У первой дроби в знаменателе поменяем слагаемые местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется \((3x+2=2+3x\)) и домножим ее числитель и знаменатель на \((2-3x)\).
• У второй дроби в знаменателе стоит \((3x-2)\), а нам надо \((2-3x)\). Поэтому домножим числитель и знаменатель на \(-1\) и на \((2+3x)\).
• С третьей дробью делать ничего не нужно. У нее и так нужный нам знаменатель.

$$\frac{x(2-3x)}{(2+3x)(2-3x)}+\frac{5*(-1)*(2+3x)}{(3x-2)*(-1)*(2+3x)}-\frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$ $$\frac{x(2-3x)}{(2-3x)(2+3x)}+\frac{-5*(2+3x)}{(2-3x)(2+3x)}-\frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$ Складываем дроби и раскрываем скобки: $$\frac{x(2-3x)-5*(2+3x)-(3x^2+6x)}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$ Обратите внимание, что я всегда беру числитель в скобки, когда складываю дроби. Тем самым я показываю, что минус перед дробью действует на каждое слагаемое в числителе.

Это одна из самых распространенных ошибок. Будьте внимательны. $$\frac{2x-3x^2—10-15x—3x^2-6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$ $$\frac{-6x^2—19x-10}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$-6x^2-19x-10=0;$$ Для удобства умножим все уравнение на \(-1\): $$6x^2+19x+10=0;$$ $$D=19^2-4*6*10=361-240=121;$$ $$x_1=\frac{-19+\sqrt{121}}{2*6}=\frac{-19+11}{12}=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3};$$ $$x_2=\frac{-19-\sqrt{121}}{2*6}=\frac{-19-11}{12}=\frac{-30}{12}=-\frac{5}{2};$$ Подставим корень \(x_1=-\frac{2}{3}\) в исходное уравнение: $$\frac{x}{3x+2}+\frac{5}{3x-2}=\frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$ $$\frac{-\frac{2}{3}}{3*\left(-\frac{2}{3}\right)+2}+\frac{5}{3*\left(-\frac{2}{3}\right)-2}=\frac{3\left(-\frac{2}{3}\right)^2+6\left(-\frac{2}{3}\right)}{4-9\left(-\frac{2}{3}\right)^2};$$ Оказывается, что мы не cможем это посчитать, так как в знаменателе получается ноль, а делить на ноль нельзя. В таком случае говорят, что найденный корень не подходит, и в ответ мы его не записываем. А если подставить \(-\frac{5}{2}\), то все будет нормально.
Ответ:\(x=-\frac{5}{2}.\)

Область допустимых значений. ОДЗ

Примеры выше показали нам, что не всегда найденные значения \(x\) будут корнями исходного уравнения.

Почему так происходит?

Когда мы решаем уравнение, мы преобразовываем его: переносим слагаемые из одной части уравнения в другую, приводим к общему знаменателю, считаем подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и т.д. Эти преобразования меняют вид нашего уравнения. В новом измененном уравнении «исчезает» информация, например, о том, что в нем раньше был знаменатель.

Поэтому мы подставляли найденные \(x\) в ИСХОДНОЕ уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются корнями, и не нарушаются ли правила математики, такие, как деление на ноль.

Но решений в уравнении может быть много, да и само уравнение может быть большим и сложным. Подставлять туда каждый найденный корень и проверять, действительно ли он является корнем исходного уравнения, может быть проблематично.

Чтобы не заниматься трудоемкой подстановкой, лучше всего находить область значений \(x\) (еще ее называют область определения), при которых не нарушаются правила математики для исходного уравнения. И уже на этой области \(x\) искать корни: если найденный корень лежит в разрешенной области, значит он может быть корнем, а если нет, то выкидываем его.

Разрешенная область значений \(x\) называется «областью допустимых значений», сокращенно ОДЗ. Чтобы найти ОДЗ в дробно-рациональных уравнениях, нужно приравнять к нулю все знаменатели исходного уравнения и решить получившееся уравнения. Другими словами, ищем такие \(x\), при которых возникает запрещенное деление на ноль в исходном уравнении. Все \(x\), не являющиеся корнями этих уравнений, и будут нашей областью допустимых значений.

Найдем ОДЗ уравнения из примера №9: $$\frac{x}{3x+2}+\frac{5}{3x-2}=\frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$ Выписываем все знаменатели и находим \(x\), при которых они не равны нулю: $$ \begin{cases} 3x+2 \neq 0, \\ 3x-2 \neq 0, \\ (2-3x)(2+3x) \neq 0. \end{cases}$$ Третье неравенство в системе сводится к первым двум, поэтому его можно исключить из рассмотрения. $$ \begin{cases} x \neq -\frac{2}{3}, \\ x \neq \frac{2}{3}. \end{cases}$$ Решив неравенства, мы получили, что \(x\) может принимать любые значения, кроме \(\frac{2}{3}\) и \(-\frac{2}{3}\). Это и есть ОДЗ.

Напомню, что в примере №9 у нас получились корни \(x_1=-\frac{2}{3}\) и \(x_2=-\frac{5}{2}\). Соотносим их с найденным ОДЗ и видим, что корень \(x_1=-\frac{2}{3}\) не подходит. Для этого нам не понадобилось подставлять его в исходное уравнение, как мы делали при решении.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений с использованием ОДЗ

• Находим ОДЗ. Для этого выписываем все знаменатели и приравниваем их к нулю;
• Решаем дробно-рациональное уравнение: перекидываем все в левую часть, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и решаем получившееся целое рациональное уравнение;
• Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ. Если не удовлетворяют, то отбрасываем их.

Пример 11 $$\frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1;$$ Начинаем решение с ОДЗ: $$x^2-9 \neq 0;$$ Разность квадратов: $$(x-3)(x+3) \neq 0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3;$$ $$x+3 \neq 0 \Rightarrow x\ \neq -3;$$ ОДЗ нашли, приступаем к решению самого уравнения: $$\frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-1=0;$$ Приводим к общему знаменателю \(x^2-9\), для этого единицу представим в виде дроби \((1=\frac{1}{1})\) и домножим ее на \(x^2-9\): $$\frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-\frac{1*(x^2-9)}{1*(x^2-9)}=0;$$ $$\frac{2x^2+7x+3-(x^2-9)}{x^2-9}=0;$$ $$\frac{2x^2+7x+3-x^2+9}{x^2-9}=0;$$ $$\frac{x^2+7x+12}{x^2-9}=0;$$ $$x^2+7x+12=0;$$ $$D=7^2-4*1*12=49-48=1;$$ $$x_1=\frac{-7+1}{2}=\frac{-6}{2}=-3;$$ $$x_2=\frac{-7-1}{2}=\frac{-8}{2}=-4;$$ Сверяем найденные корни с ОДЗ \((x \neq \pm 3)\) и видим, что корень \(x_1=-3\) не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(x=-4.\)

Пример 12 $$\frac{x^2-6x+8}{x-1}-\frac{x-4}{x^2-3x+2}=0;$$ Всегда начинаем решать с ОДЗ: $$ \begin{cases} x-1 \neq 0, \\ x^2-3x+2 \neq 0. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x \neq 1, \\ x \neq 2. \end{cases}$$ Чтобы привести к общему знаменателю, разложим квадратный многочлен в знаменателе второй дроби на множители: $$\frac{x^2-6x+8}{x-1}-\frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$ Теперь видно, что общий знаменатель: \((x-1)(x-2)\). Домножим первую дробь на \((x-2)\): $$\frac{(x^2-6x+8)*(x-2)}{(x-1)*(x-2)}-\frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$ Если перемножить скобки в числителе, то получится многочлен третьей степени. Решать уравнение третьей степени не хочется, поэтому попробуем упростить нашу задачу: разложим на множители многочлен \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\): $$\frac{(x-2)(x-4)*(x-2)}{(x-1)*(x-2)}-\frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$ $$\frac{(x-2)^2(x-4)-(x-4)}{(x-1)(x-2)}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$(x-2)^2(x-4)-(x-4)=0;$$ Вынесем общий множитель: скобку \((x-4)\): $$(x-4)((x-2)^2-1)=0;$$ $$(x-4)(x^2-4x+4-1)=0;$$ $$(x-4)(x^2-4x+3)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x-4=0 \Rightarrow x_1=4;$$ $$x^2-4x+3=0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_2=\frac{-(-4)+\sqrt{4}}{2}=\frac{4+2}{2}=3;$$ $$x_3=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{2} =\frac{4-2}{2}=1;$$ Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ \((x \neq 1; \quad x \neq 2)\) и видим, что корень \(x_3=1\) не подходит.
Ответ: \(x_1=4, \qquad x_2=3.\)

Чтобы научиться решать большинство уравнений из школьной программы необходимо также знать метод замены переменной. Это очень важный метод, который используется для решения некоторых рациональных и дробно-рациональных уравнений, и не только, поэтому он заслуживает того, чтобы поговорить о нем в отдельной статье, очень рекомендую.