Формулы приведения
Как пользоваться формулами приведения?
Формулы приведения – одна из самых важных тем тригонометрии. Часто их можно встретить и в первой, и во второй частях ЕГЭ по профильной математике.
Существует несколько способов применять эти формулы: при помощи таблицы, при помощи формул синуса и косинуса суммы/разности, и самый легкий способ – правило лошади!
Обо всех трех методах мы тут и поговорим, что вам больше понравится, тем и пользуйтесь. Формулы приведения нужны для упрощения некоторых тригонометрических выражений.
Давайте для начала разберемся, что это за такие формулы приведения. Приведу несколько примеров: $$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\alpha);$$ $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha);$$ $$tg(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=ctg(\alpha);$$ $$ctg(3\pi+\alpha)=ctg(\alpha);$$ где \(\alpha\) - произвольный острый угол;
И так продолжать их писать можно до бесконечности. Формул приведения, на самом деле, очень и очень много.
Как отличить именно формулы приведения? Для этого существует общий вид тригонометрической функции: $$\sin(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ $$\cos(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ $$tg(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ $$ctg(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ где \(n\) - целое число;
То есть в аргументе тригонометрической функции к некоторому острому углу \(\alpha\) должно прибавляться или вычитаться выражение, кратное \(\frac{\pi}{2}\). Вот тогда перед вами формула приведения. Часто путают с другими формулами, будьте внимательны!
Во всех учебниках дают вот такую таблицу с формулами приведения:
Как пользоваться, думаю, понятно. В строках находятся тригонометрические функции, в столбцах – выражения, от которых функции берутся. Пересечение строки и столбца выдает вам ответ. Например: $$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin(\alpha);$$ $$сtg(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=tg(\alpha);$$
Как видите, формул ОЧЕНЬ много. И никакой закономерности, чтобы легко выучить эту таблицу не прослеживается. А самое ужасное то, что даже в этой таблице далеко не все! Делаем вывод, что учить таблицу не самая лучшая идея. На ЕГЭ вам никто не даст в справочных материалах формулы приведения, откуда же их тогда брать?
Переходим сразу к третьему самому популярному и легкому способу - правилу лошади. К сожалению, в школах его часто не дают и заставляют пользоваться таблицей.
Правило лошади
Для того, чтобы пользоваться правилом лошади, необходимо хорошо ориентироваться в тригонометрической окружности. Нужно знать расположение углов на единичной окружности и уметь определять знаки тригонометрических функций в различных четвертях. Если у вас с этим не очень, стоит почитать статью про тригонометрическую окружность.
Первым делом, рисуем эту самую окружность (см. Рис).
Отметим на ней некоторый острый угол \(\alpha\). Проще всего изучать правило лошади на каком-нибудь примере: рассмотрим \(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\) и постараемся вывести, чему это равно. Правило состоит из трех последовательных шагов:
- Определяем, в какой четверти на окружности лежит угол \(\frac{\pi}{2}+\alpha\). Напоминаю, что \(\alpha\) - это острый угол. Если к нему прибавить \(\frac{\pi}{2}=90^o\), то мы окажемся во второй четверти в точке \(K\) (см. Рис. 2)
- Определяем, какой знак (\(+/-)\) будет у исходной функции (в нашем случае это синус) во второй четверти. Синус во второй четверти положительный, значит знак плюс.
- На последнем шаге нам надо ответить на вопрос: меняется ли наша тригонометрическая функция (синус) на противоположную? Противоположная функция для синуса – это косинус. Для этого понадобится выражение под синусом - \((\frac{\pi}{2}+\alpha).\) Смотрим, что прибавляется к \(\alpha\) - это угол \(\frac{\pi}{2}\). Угол \(\frac{\pi}{2}\) лежит на вертикальной оси, в точке \(B\). Если угол, который прибавляется (или вычитается) к \(\alpha\) лежит на вертикальной оси, то исходная функция меняется на противоположную. А если на горизонтальной - то исходная функция остается неизменной. В нашем случае лежит на вертикальной оси, значит, синус должен поменяться на косинус.
Собираем теперь все три пункта воедино. Должен получиться положительный косинус от \(\alpha\): $$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\alpha);$$
Поздравляю, мы вывели формулу приведения. Натренируетесь и будете делать это за несколько секунд. Давайте еще прорешаем несколько примеров:
Пример 1 $$\cos(\pi+\alpha)=?$$ Давайте двигаться по шагам:
- Угол \(\pi+\alpha\) лежит в третьей четверти, точка \(F\);
- В третьей четверти косинус отрицательный. Значит будет знак минус;
- К \(\alpha\) прибавляется угол \(\pi\). А \(\pi\) находится на горизонтальной оси, значит исходный косинус не будет меняться на синус;
Пример 2 $$\cos(\frac{3*\pi}{2}+\alpha)=?$$
- Угол \((\frac{3*\pi}{2}+\alpha)\) лежит в четвертой четверти, в точке \(N\). ( \(\frac{3*\pi}{2}\) - это угол в \(270^o\), то есть три раза по \(90^o\));
- В четвертой четверти косинус положительный. Будет плюс;
- К \(\alpha\) прибавляется угол \(\frac{3*\pi}{2}\). А \(\frac{3*\pi}{2}\) находится на вертикальной оси, значит исходный косинус будет меняться на синус;
А что, если в аргументе будет не плюс, а минус? На самом деле, логика рассуждений остается прежней. Только если перед углом стоит знак минус, то этот угол нужно отсчитывать по часовой стрелке. Посмотрим на примере:
Пример 3 $$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=?$$
- Угол \((\frac{\pi}{2}-\alpha)\) лежит в первой четверти. Обратите внимание, чтобы отметить угол \((\frac{\pi}{2}-\alpha)\), мы сначала отметили \(\frac{\pi}{2}\), а потом из него по часовой стрелке вычли угол \(\alpha\) и попали в точку M;
- В первой четверти косинус положительный. Будет плюс;
- Кроме \(\alpha\) в аргументе стоит угол \(\frac{\pi}{2}\). А \(\frac{\pi}{2}\) находится на вертикальной оси, значит исходный косинус будет меняться на синус;
Пример 4 $$\sin(\alpha-\frac{5*\pi}{2})=?$$
- Угол \((\alpha-\frac{5*\pi}{2})\) лежит в четвертой четверти. Чтобы отметить угол \((\alpha-\frac{5*\pi}{2})\), мы сначала отметили угол \(\alpha\), а потом из него по часовой стрелке вычли угол \(\frac{5*\pi}{2}\). Угол \(\frac{5*\pi}{2}\) представляет из себя 5 поворотов по \(90^o\). Или один полный оборот - попадаем в исходную точку, и плюс один поворот на \(90^o\), в итоге придем в точку \(P\);
- В четвертой четверти синус отрицательный. Будет минус;
- Кроме \(\alpha\) в аргументе стоит угол \(\frac{5*\pi}{2}\). А \(\frac{5*\pi}{2}\) находится на вертикальной оси в точке \(B\), значит исходный синус будет меняться на косинус;
С синусами и косинусами разобрались, теперь обсудим тангенс и котангенс. Вся последовательность из трех шагов для тангенса и котангенса сохраняется. Угол \(\alpha\) по-прежнему произвольный острый угол. Рассмотрим пример:
Пример 5 $$ tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)=?$$
- На тригонометрической окружности угол \((\frac{\pi}{2}+\alpha)\) лежит во второй четверти в точке \(L\);
- Во второй четверти тангенс отрицательный. Будет знак минус;
- \(\frac{\pi}{2}\) лежит на вертикальной оси. Значит тангенс должен поменяться на противоположную ему функцию – котангенс;
Пример 6 $$ctg(\pi-\alpha)=?$$
- Для того, чтобы найти на единичной окружности угол \((\pi-\alpha)\), сначала отметим угол \(\pi\) (лежит в точке \(C\)), потом по часовой стрелке отсчитаем угол \(\alpha\). Получаем вторую четверть;
- Во второй четверти котангенс отрицательный. Знак минус;
- \(\pi\) лежит на горизонтальной оси. Котангенс не меняется;
Давайте вместо угла \(\alpha\) возьмем какой-нибудь реальный угол. Суть от этого не изменится. Чтобы усложнить задачу, я не буду рисовать рисунок. Нарисуйте окружность сами и по пунктам сделайте пример.
Пример 7 $$\cos(3\pi+\frac{\pi}{6})=?$$
- Угол \((3\pi+\frac{\pi}{6})\) лежит в третьей четверти. Действительно, \(3\pi=2\pi+\pi\) можно представить как полный круг плюс еще половина;
- В третьей четверти косинус отрицательный. Знак минус;
- \(3\pi\) лежит на горизонтальной оси в точке \(C\). Значит косинус не меняется на синус;
До этого мы рассматривали примеры, когда угол \(\alpha\) был острым. А что, если он больше \(90^o\)?
В этом случае нам придется сделать из него острый угол. Рассмотрим пример:
Пример 8 $$tg(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{6})=?$$ Угол \(\frac{5\pi}{6}\) - тупой угол. Для того, чтобы воспользоваться формулой приведения, можно представить: $$\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6};$$ Подставим в исходный пример $$tg(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{6})=tg(\frac{\pi}{2}-\pi+\frac{\pi}{6})=tg(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2});$$ Угол \(\frac{\pi}{6}\) острый и теперь можно воспользоваться правилом лошади.
- \((\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2})\) лежит в четвертой четверти. Отмечаем \(\frac{\pi}{6}\) и по часовой стрелке вычитаем из него \(\frac{\pi}{2}\);
- В четвертой четверти тангенс отрицательный;
- \(\frac{\pi}{2}\) лежит на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс;
У любопытного читателя может возникнуть вопрос: а почему данный алгоритм называется правилом лошади? При чем тут, казалось бы, лошадь?
Лошадь, действительно, ни при чем. Но дело в том, что когда вы определяете в третьем пункте, меняется ли наша тригонометрическая функция на противоположную или нет, то в случае, если дополнительный угол к \(\alpha\) лежит на вертикальной оси, мы как бы смотрим вверх-вниз, киваем головой, как лошадь, говоря себе: «Да, меняем». Или если угол лежит на горизонтальной оси, то мы киваем влево вправо вдоль горизонтальной оси, как бы говоря: «Нет, не меняем». Такое вот странное название у правила.
Формулы суммы и разности для формул приведения
И я обещал еще рассказать третий способ, как пользоваться формулами приведения. Он не очень удобный, потому что придется гораздо больше считать и выучить 4 тригонометрические формулы синуса/косинуса суммы/разности: $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)\pm\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)*\sin(\beta);$$ Приведем пример использования одной из таких формул:
Пример 9 Вычислите: $$\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=?$$ Перед нам формула синуса суммы, где \(\alpha=\frac{\pi}{3}\), а \(\beta=\frac{\pi}{6}\). Просто подставим значения в формулу: $$\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{3})*\cos(\frac{\pi}{6})+\sin(\frac{\pi}{6})*\cos(\frac{\pi}{3});$$ Значения всех тригонометрических функций в формуле мы можем посчитать, ведь это табличные значения: $$\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{3})*\cos(\frac{\pi}{6})+\sin(\frac{\pi}{6})*\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1;$$ Эти формулы, на самом деле, надо знать в любом случае, они даже встречаются на ЕГЭ. А здесь они нам помогут выводить формулы приведения.
Опять будем учиться на примерах:
Пример 10 $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=?$$ Посмотрите внимательно, он абсолютно ничем не отличается от примера под номером 9. Мы здесь тоже можем применить формулу синуса суммы, где \(\beta=\frac{3\pi}{2}\). $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=\sin(\alpha)*\cos(\frac{3\pi}{2})+\sin(\frac{3\pi}{2})*\cos(\alpha);$$ Косинус и синус от \(\frac{3\pi}{2}\) можно легко посчитать: $$\sin(\frac{3\pi}{2})=-1;$$ $$\cos(\frac{3\pi}{2})=0;$$ И подставим в нашу формулу: $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=\sin(\alpha)*\cos(\frac{3\pi}{2})+\sin(\frac{3\pi}{2})*\cos(\alpha)=\sin(\alpha)*0+(-1)*\cos(\alpha)=-\cos(\alpha);$$ Мы получили, что: $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=-\cos(\alpha);$$ Вывели формулу приведения, используя синус суммы. Этот способ, на мой взгляд, гораздо менее удобный, чем правило лошади, но им тоже можно пользоваться. Главное, не ошибиться в вычислениях.