урок 3. Математика ЕГЭ

Формулы приведения

Как пользоваться формулами приведения?

Формулы приведения – одна из самых важных тем тригонометрии. Часто их можно встретить и в первой, и во второй частях ЕГЭ по профильной математике.

Существует несколько способов применять эти формулы: при помощи таблицы, при помощи формул синуса и косинуса суммы/разности, и самый легкий способ – правило лошади!

Обо всех трех методах мы тут и поговорим, что вам больше понравится, тем и пользуйтесь. Формулы приведения нужны для упрощения некоторых тригонометрических выражений.

Давайте для начала разберемся, что это за такие формулы приведения. Приведу несколько примеров: $$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\alpha);$$ $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha);$$ $$tg(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=ctg(\alpha);$$ $$ctg(3\pi+\alpha)=ctg(\alpha);$$ где \(\alpha\) - произвольный острый угол;

И так продолжать их писать можно до бесконечности. Формул приведения, на самом деле, очень и очень много.

Как отличить именно формулы приведения? Для этого существует общий вид тригонометрической функции: $$\sin(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ $$\cos(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ $$tg(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ $$ctg(n*\frac{\pi}{2} \pm \alpha); $$ где \(n\) - целое число;

То есть в аргументе тригонометрической функции к некоторому острому углу \(\alpha\) должно прибавляться или вычитаться выражение кратное \(\frac{\pi}{2}\). Вот тогда перед вами формула приведения. Часто путают с другими формулами, будьте внимательны!

Во всех учебниках дают вот такую таблицу с формулами приведения:

Формулы приведения в тригонометрии
Формулы приведения

Как пользоваться, думаю, понятно. В строках находятся тригонометрические функции, в столбцах –выражения, от которых функции берутся. Пересечение строки и столбца выдает вам ответ. Например: $$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin(\alpha);$$ $$сtg(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=tg(\alpha);$$

Как видите, формул ОЧЕНЬ много. И никакой закономерности, чтобы легко выучить эту таблицу не прослеживается. А самое ужасное то, что даже в этой таблице далеко не все! Делаем вывод, что учить таблицу не самая лучшая идея. На ЕГЭ вам никто не даст в справочных материалах формулы приведения, откуда же их тогда брать?

Переходим сразу к третьему самому популярному и легкому способу - правилу лошади. К сожалению, в школах его часто не дают и заставляют пользоваться таблицей.

Правило лошади

Для того, чтобы пользоваться правилом лошади, необходимо хорошо ориентироваться в тригонометрической окружности. Нужно знать расположение углов на единичной окружности и уметь определять знаки тригонометрических функций в различных четвертях. Если у вас с этим не очень, стоит почитать статью про тригонометрическую окружность.

Первым делом, рисуем эту самую окружность (см. Рис).

правило лошади в тригонометрии
Правило лошади

Отметим на ней некоторый острый угол \(\alpha\). Проще всего изучать правило лошади на каком-нибудь примере:
рассмотрим \(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\) и постараемся вывести, чему это равно.
Правило состоит из трех последовательных шагов:

  1. Определяем в какой четверти на окружности лежит угол \(\frac{\pi}{2}+\alpha\). Напоминаю, что \(\alpha\) это острый угол. Если к нему прибавить \(\frac{\pi}{2}=90^o\), то мы окажемся во второй четверти в точке \(K\) (см. Рис. 2)
  2. Определяем, какой знак (\(+/-)\) будет у исходной функции (в нашем случае это синус) во второй четверти. Синус во второй четверти положительный, значит знак плюс.
  3. На последнем шаге нам надо ответить на вопрос: меняется ли наша тригонометрическая функция (синус) на противоположную? Противоположная функция для синуса – это косинус. Для этого понадобится выражение под синусом - \((\frac{\pi}{2}+\alpha).\) Смотрим, что прибавляется к \(\alpha\) - это угол \(\frac{\pi}{2}\). Угол \(\frac{\pi}{2}\) лежит на вертикальной оси, в точке \(B\). Если угол, который прибавляется (или вычитается) к \(\alpha\) лежит на вертикальной оси, то исходная функция меняется на противоположную. А если на горизонтальной - то исходная функция остается неизменной. В нашем случае лежит на вертикальной оси, значит, синус должен поменяться на косинус.
Определяем в какой четверти лежит аргумент
Рис.2. Определяем в какой четверти лежит аргумент

Собираем теперь все три пункта воедино. Должен получиться положительный косинус от \(\alpha\): $$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\alpha);$$

Поздравляю, мы вывели формулу приведения. Натренируетесь и будете делать это за несколько секунд. Давайте еще прорешаем несколько примеров:

Пример 1 $$\cos(\pi+\alpha)=?$$ Давайте двигаться по шагам:

  • Угол \(\pi+\alpha\) лежит в третьей четверти, точка \(F\);
  • В третьей четверти косинус отрицательный. Значит будет знак минус;
  • К \(\alpha\) прибавляется угол \(\pi\). А \(\pi\) находится на горизонтальной оси, значит исходный косинус не будет меняться на синус;
Как применять правило лошади в формулах приведения
Правило лошади
$$\cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha);$$

Пример 2 $$\cos(\frac{3*\pi}{2}+\alpha)=?$$

  • Угол \((\frac{3*\pi}{2}+\alpha)\) лежит в четвертой четверти, в точке \(N\). ( \(\frac{3*\pi}{2}\) - это угол в \(270^o\), то есть три раза по \(90^o\));
  • В четвертой четверти косинус положительный. Будет плюс;
  • К \(\alpha\) прибавляется угол \(\frac{3*\pi}{2}\). А \(\frac{3*\pi}{2}\) находится на вертикальной оси, значит исходный косинус будет меняться на синус;
Как пользоваться формулами приведения
Применение правила лошади
$$\cos(\frac{3*\pi}{2}+\alpha)=\sin(\alpha);$$

А что, если в аргументе будет не плюс, а минус? На самом деле, логика рассуждений остается прежней. Только если перед углом стоит знак минус, то этот угол нужно отсчитывать по часовой стрелке. Посмотрим на примере:

Пример 3 $$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=?$$

  • Угол \((\frac{\pi}{2}-\alpha)\) лежит в первой четверти. Обратите внимание, чтобы отметить угол \((\frac{\pi}{2}-\alpha)\), мы сначала отметили \(\frac{\pi}{2}\), а потом из него по часовой стрелке вычли угол \(\alpha\) и попали в точку (M\);
  • В первой четверти косинус положительный. Будет плюс;
  • Кроме \(\alpha\) в аргументе стоит угол \(\frac{\pi}{2}\). А \(\frac{\pi}{2}\) находится на вертикальной оси, значит исходный косинус будет меняться на синус;
Отрицательные углы в формулах приведения
Отрицательные углы в формулах приведения
$$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha);$$

Пример 4 $$\sin(\alpha-\frac{5*\pi}{2})=?$$

  • Угол \((\alpha-\frac{5*\pi}{2})\) лежит в четвертой четверти. Чтобы отметить угол \((\alpha-\frac{5*\pi}{2})\), мы сначала отметили угол \(\alpha\), а потом из него по часовой стрелке вычли угол \(\frac{5*\pi}{2}\). Угол \(\frac{5*\pi}{2}\) представляет из себя 5 поворотов по \(90^o\). Или один полный оборот - попадаем в исходную точку, и плюс один поворот на \(90^o\), в итоге придем в точку \(P\);
  • В четвертой четверти синус отрицательный. Будет минус;
  • Кроме \(\alpha\) в аргументе стоит угол \(\frac{5*\pi}{2}\). А \(\frac{5*\pi}{2}\) находится на вертикальной оси в точке \(B\), значит исходный синус будет меняться на косинус;
Формулы приведения для синуса и косинуса
Правило лошади
$$\sin(\alpha-\frac{5*\pi}{2})=-\cos(\alpha);$$

С синусами и косинусами разобрались, теперь обсудим тангенс и котангенс. Вся последовательность из трех шагов для тангенса и котангенса сохраняется. Угол \(\alpha\) по-прежнему произвольный острый угол. Рассмотрим пример:

Пример 5 $$ tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)=?;$$

  • На тригонометрической окружности угол \((\frac{\pi}{2}+\alpha)\) лежит во второй четверти в точке \(L\);
  • Во второй четверти тангенс отрицательный. Будет знак минус;
  • \(\frac{\pi}{2}\) лежит на вертикальной оси. Значит тангенс должен поменяться на противоположную ему функцию – котангенс;
Правило лошади для тангенса
Правило лошади для тангенса
$$ tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-ctg(\alpha);$$

Пример 6 $$ctg(\pi-\alpha)=?;$$

  • Для того, чтобы найти на единичной окружности угол \((\pi-\alpha)\), сначала отметим угол \(\pi\) (лежит в точке \(C\)), потом по часовой стрелке отсчитаем угол \(\alpha)\). Получаем вторую четверть;
  • Во второй четверти котангенс отрицательный. Знак минус;
  • \(\pi\) лежит на горизонтальной оси. Котангенс не меняется;
Формулы приведения для котангенса и тангенса
Правило лошади для котангенса
$$ctg(\pi-\alpha)=-ctg(\alpha);$$

Давайте вместо угла \(\alpha\) возьмем какой-нибудь реальный угол. Суть от этого не изменится. Чтобы усложнить задачу, я не буду рисовать рисунок. Нарисуйте окружность сами и по пунктам сделайте пример.

Пример 7 $$\cos(3\pi+\frac{\pi}{6})=?;$$

  • Угол \((3\pi+\frac{\pi}{6})\) лежит в третьей четверти. Действительно, \(3\pi=2\pi+\pi\) можно представить как полный круг плюс еще половина;
  • В третьей четверти косинус отрицательный. Знак минус;
  • \(3\pi\) лежит на горизонтальной оси в точке \(C\). Значит косинус не меняется на синус;
$$\cos(3\pi+\frac{\pi}{6})=-\cos(\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$

До этого мы рассматривали примеры, когда угол \(\alpha\) был острым. А что, если он больше \(90^o\)?

В этом случае нам придется сделать из него острый угол. Рассмотрим пример:

Пример 8 $$tg(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{6})=?;$$ Угол \(\frac{5\pi}{6}\) - тупой угол. Для того, чтобы воспользоваться формулой приведения, можно представить: $$\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6};$$ Подставим в исходный пример $$tg(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{6})=tg(\frac{\pi}{2}-\pi+\frac{\pi}{6})=tg(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2});$$ Угол \(\frac{\pi}{6}\) острый и теперь можно воспользоваться правилом лошади.

  • \((\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2})\) лежит в четвертой четверти. Отмечаем \(\frac{\pi}{6}\) и по часовой стрелке вычитаем из него \(\frac{\pi}{2}\);
  • В четвертой четверти тангенс отрицательный;
  • \(\frac{\pi}{2}\) лежит на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс;
$$tg(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{6})=tg(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2})=-ctg(\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3};$$

У любопытного читателя может возникнуть вопрос: а почему данный алгоритм называется правилом лошади? При чем тут, казалось бы, лошадь?

Лошадь, действительно, не при чем. Но дело в том, что когда вы определяете в третьем пункте, меняется ли наша тригонометрическая функция на противоположную или нет, то в случае, если дополнительный угол к \(\alpha\) лежит на вертикальной оси, мы как бы смотрим вверх-вниз, киваем головой, как лошадь, говоря себе: «Да, меняем». Или если угол лежит на горизонтальной оси, то мы киваем влево вправо вдоль горизонтальной оси, как бы говоря: «Нет, не меняем». Такое вот странное название у правила.

Формулы суммы и разности для формул приведения

И я обещал еще рассказать третий способ, как пользоваться формулами приведения. Он не очень удобный, потому что придется гораздо больше считать и выучить 4 тригонометрические формулы синуса/косинуса суммы/разности: $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)\pm\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)*\sin(\beta);$$ Приведем пример использования одной из таких формул:

Пример 9
Вычислите: $$\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=?;$$ Перед нам формула синуса суммы, где \(\alpha=\frac{\pi}{3}\), а \(\beta=\frac{\pi}{6}\). Просто подставим значения в формулу: $$\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{3})*\cos(\frac{\pi}{6})+\sin(\frac{\pi}{6})*\cos(\frac{\pi}{3});$$ Значения всех тригонометрических функций в формуле мы можем посчитать, ведь это табличные значения: $$\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{3})*\cos(\frac{\pi}{6})+\sin(\frac{\pi}{6})*\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1;$$ Эти формулы, на самом деле, надо знать в любом случае, они даже встречаются на ЕГЭ. А здесь они нам помогут выводить формулы приведения.

Опять будем учиться на примерах:

Пример 10 $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=?;$$ Посмотрите внимательно, он абсолютно ничем не отличается от примера под номером 9. Мы здесь тоже можем применить формулу синуса суммы, где \(\beta=\frac{3\pi}{2}\). $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=\sin(\alpha)*\cos(\frac{3\pi}{2})+\sin(\frac{3\pi}{2})*\cos(\alpha);$$ Косинус и синус от \(\frac{3\pi}{2}\) можно легко посчитать: $$\sin(\frac{3\pi}{2})=-1;$$ $$\cos(\frac{3\pi}{2})=0;$$ И подставим в нашу формулу: $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=\sin(\alpha)*\cos(\frac{3\pi}{2})+\sin(\frac{3\pi}{2})*\cos(\alpha)=\sin(\alpha)*0+(-1)*\cos(\alpha)=-\cos(\alpha);$$ Мы получили, что: $$\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})=-\cos(\alpha);$$ Вывели формулу приведения, используя синус суммы. Этот способ, на мой взгляд, гораздо менее удобный, чем правило лошади, но им тоже можно пользоваться. Главное, не ошибиться в вычислениях.


Как пользоваться тригонометрической окружностью? Синус, косинус, тангнес и котангнес на единичной окружности. Свойства симметрии. Перевод градусов в радианы.

Разбираем тригонометрию с нуля. Синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике. Таблица стандартных углов и свойства тригонометрических функций.

Как решать показательные неравенства. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Однородные степенные неравенства.

Как решать неравенства с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в логарифмических неравенствах. Сужение ОДЗ.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.