Симметрия в задачах с параметром

Существует множество задач с параметром, в которых задание ставится следующим образом: «Найдите все значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение». Главным словом здесь будет «единственное». Стоит обратить внимание, что в таких задачах очень часто уравнение не меняется при замене знака одной или нескольких переменных, или при перестановке переменных местами. Этим необходимо пользоваться. Разберем на примерах:

Пример 1

Найдите все значения параметра \(b\), при которых уравнение \(-4x^2+b*cos⁡(sin⁡x )-2b^2\)=0 имеет единственное решение.

Решение:

Пусть \({x}_{0}\) корень исходного уравнения, тогда, замечаем, что корнем будет и \({-x}_{0}\). Чтобы решение было единственным необходимо \({x}_{0}={-x}_{0}\). Данное условие будет выполняться только при условии, что \({x}_{0}=0.\)

Итак, при \(x=0\) наше уравнение принимает вид \(b-2b^2=0\) ⇔ \(b=0;\) \(b=2;\) Мы нашли значения параметра, при которых у нас возможно единственное решение. Но еще нужно проверить, а будет ли при этих значениях параметра решение единственным. Просто подставим в исходное уравнение.

При \(b=0\) получаем: \(-4x^2=0\) ⇔ \(x=0\) – решение единственное.

При \(b=2\):

$$ -4x^2+2 cos⁡(sin⁡x )-8= 0,$$ $$ 4x^2+8=2cos⁡(sin(x)).$$

Левая часть данного уравнения больше 8, а так как область значения \(cos(x ∈[-1;1])\), то максимальное значение правой части равно 2. Получившееся уравнение не будет иметь корней. При \(b=2\) корней нет.

Ответ: \(b=0\).

Пример 2

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система

$$ \begin{cases} (3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2}^y-3a=x^2+6x+5, \\ y^2-(a^2-5a+6) x^2=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим интересную особенность:

$$ 1/(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})/(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) =(3-2\sqrt{2})/(9-8)=3-2\sqrt{2},$$ $$ 3-2\sqrt{2}=1/(3+2\sqrt{2}), $$

Наша система симметрична относительно переменной \(y\). А значит, если \(({x}_{0};{y}_{0})\) – решение системы, то и \(({x}_{0};{-y}_{0})\) также будет решением. Решение будет единственным при условии, что \({y}_{0}={-y}_{0}\) ⇔ \({y}_{0}=0\). Подставим y=0 в исходную систему:

$$ \begin{cases} 2-3a=x^2+6x+5, \\ -(a^2-5a+6) x^2=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$

Решив систему, найдем значения параметра \(a\):

$$ a=-1; a=2; a=3. $$

Проверим каждое значение параметра, подставив в условие задачи.

При \(a=-1\) наша исходная система имеет вид:

$$ \begin{cases} (3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y=x^2+6x+2, \\ y^2-12x^2=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$

Попробуем оценить первое уравнение. Напомним, что сумма двух взаимно обратных величин всегда больше равна 2: \((3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y≥2. \)

\(x^2+6x+2≤2\), при \(-6≤x≤0\). (см. рис. 20)

Тогда, можно преобразовать исходную систему к равносильной:

$$ \begin{cases} (3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y=2, \\ x^2+6x+2=2, \\ y^2-12x^2=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$

Второе уравнение системы имеет корни \({x}_{1}=0;{x}_{2}=-6\). \({x}_{2}\) не является решением системы при \(y=0\). При \(a=-1\) единственное решение:

$$ \begin{cases} y=0, \\ x=0. \end{cases} $$

При \(a=2\)

$$ \begin{cases} (3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y=x^2+6x+11, \\ y^2=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2+6x+9=0, \\ y=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=0, \\ x=-3. \end{cases} $$

При \(a=3\)

$$ \begin{cases} (3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y=x^2+6x+14, \\ y^2=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2+6x+12=0, \\ y=0, \\ -6≤x≤0. \end{cases} $$

Дискриминант меньше нуля – система не имеет решений.

Ответ: \(a=-1;a=2\).
Пример 3

Найти все значения параметра \(t\), при которых система $$ \begin{cases} x^2+y^2=6t, \\xy=t^2-4. \end{cases} $$ имеет два решения.

Решение:

Наша система имеет симметрию: если \(({x}_{0},{y}_{0})\) – решение, то и \(({-x}_{0},{-y}_{0} )\), \(({y}_{0},{x}_{0})\), \(({-y}_{0},{-x}_{0})\) будут являться решениями системы. По условию необходимо, чтобы решений было 2, а это возможно только в том случае, если \({x}_{0}={y}_{0}\) или \({x}_{0}={-y}_{0}. \)

Если \(x=y\), то исходная система принимает вид:

$$ \begin{cases} (2x)^2=6t, \\x^2=t^2-4. \end{cases} $$

Подставим \(x^2\) из первого уравнения во второе, получим: \(t^2-3t-4=0\), корни которого \({t}_{1}=-1\) и \({t}_{2}=4\). Мы получили возможные значения параметра, при которых система может иметь 2 решения.

Если \(x=-y\), получим систему $$ \begin{cases} x^2=3t, \\-x^2=t^2-4. \end{cases}, $$

которая сводится к уравнению: \(t^2+3t-4=0\). Корни: \({t}_{1}=1\) и \({t}_{2}=-4\).

Теперь необходимо выполнить проверку – действительно ли при найденных значениях параметра будет только два решения. Сразу обратим внимание, что \(t\) может принимать только неотрицательные значения. Действительно, если посмотреть на первое уравнение системы, то слева стоит сумма двух квадратов – не может быть меньше нуля. А это значит, что \(t<0\) можно сразу отбросить, ведь при них система не имеет решений. Подставим оставшиеся \(t\) в исходную систему.

При \(t=4\) получим:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=24, \\xy=12. \end{cases} $$

Домножим второе уравнение на 2 и из первого вычтем и прибавим второе.

$$ \begin{cases} (x+y)^2=48, \\(x-y)^2=0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 4y^2=48, \\x=y; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=\sqrt{12}, \\ x=\sqrt{12}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=-\sqrt{12}, \\ x=-\sqrt{12}; \end{cases} $$

При \(t=4\) получили два решения.

Теперь подставим \(t=1\):

$$ \begin{cases} x^2+y^2=6, \\xy=-3; \end{cases} $$

После аналогичных рассуждений также получим две пары решений:

$$ \begin{cases} y=\sqrt{3}, \\x=-\sqrt{3}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=-\sqrt{3}, \\x=\sqrt{3}; \end{cases} $$

Ответ: \(t=1\), \(t=4\).