Метод замены переменной

Метод замены переменной - это один из основных методов решения сложных уравнений и неравенств. Цель метода свести сложное уравнение или неравенство к более простому путем введения новой переменной. Так как метод почти полностью аналогичен и для неравенств, и для уравнений, то разберем основные варианты замены на уравнениях, а в конце урока обсудим, какие есть особенности замены переменной в неравенствах.

Итак, находим одинаковые части уравнения, содержащие переменную \(x\): это могут быть просто \(x^n\), или целые выражения, зависящие от \(x\), и обозначаем их новой переменной \(t\). Главное, чтобы после замены в исходном уравнении не осталось переменной \(x\).

Первый вид замены, которую мы рассмотрим, это степенная замена, то есть мы во всем уравнении заменим \(x^n\) на новую букву \(t\). Для начала рассмотрим биквадратные уравнения.

Биквадратное уравнение

Биквадратные уравнения внешне очень похожи на обыкновенные квадратные уравнения, только степень у переменной \(x\) вдвое больше: $$ax^4+bx^2+c=0;$$ где \(a\), \(b\) и \(c\) какие-то числа;

Чтобы решить такое уравнение, обозначим за переменную \(t=x^2\). Тогда логично предположить, что \(x^4=(x^2)^2=t^2\). Обратите внимание, что \(t \geq 0,\) потому что квадрат всегда неотрицателен. Поэтому если у вас получатся отрицательные \(t\), их надо будет выкинуть.

Подставим новое обозначение в исходное уравнение, вместо \(x^4\) пишем \(t^2\), а вместо \(x^2\) пишем просто \(t\): $$at^2+bt+c=0;$$ Так наше уравнение четвертой степени превратилось в обыкновенное квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант.

После того, как мы найдем корни \(t_1\) и \(t_2\), нужно будет вернуться к исходной переменной \(x\), ведь нас просят найти именно \(x\), а не \(t\).
Посмотрим, как это выглядит на практике:

Пример 1 $$2x^4-17x^2-9=0;$$ Пусть \(t=x^2\), так как квадрат не может быть отрицательным, то \(t \geq 0\): $$2t^2-17t-9=0;$$ $$a=2; \quad b=-17; \quad c=-9;$$ Находим дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-17)^2-4*2*(-9)=289+72=361=19^2;$$ Корни: $$t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-17)+19}{2*2}=\frac{36}{4}=9;$$ $$t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-17)-19}{2*2}=\frac{-2}{4}=-0,5;$$ Получили значения \(t\), но решение на этом не заканчивается! Нам же надо найти \(x\). Для этого вернемся к исходной переменной \(x\), учитывая что \(t=x^2\): $$t_1=9 \quad \Rightarrow \quad x^2=9;$$ $$x_1=3, \quad x_2=-3;$$ Внимание! Уравнение \(x^2=9\) имеет строго два решения \(\pm3\). Часто забывают про отрицательный корень: это грубая и распространенная ошибка.
И обратная замена для второго корня \(t_2:\) $$t_2=-0,5 \quad \Rightarrow \quad x^2=-0,5;$$ Но квадрат не может быть равен отрицательному числу, значит последнее уравнение не имеет корней. \(t_2=-0,5\) можно было отсеять сразу и не делать обратную замену, так как мы в начале решения уже накладывали ограничение на \(t \geq 0.\)
Ответ: \(x_1=3, \quad x_2=-3.\)

Пример 2 $$x^4-16=0;$$ Пусть \(t=x^2; \; (t \geq 0)\), тогда \(x^4=t^2\): $$t^2-16=0;$$ Это неполное квадратное уравнение, чтобы его решить перекинем \(16\) в правую часть: $$t^2=16;$$ $$t_1=4, \quad t_2=-4;$$ Корень \(t_2=-4\) не подходит, так как \(t \geq 0.\)
Вернемся от переменной \(t\) к \(x\): $$t_1=4 \quad \Rightarrow \quad x^2=4;$$ $$x_1=2, \quad x_2=-2;$$ Ответ: \(x_1=2, \quad x_2=-2.\)

Рассмотрим еще один пример на замену, очень похожий на биквадратные уравнения - триквадратное уравнение:

Пример 3 $$3x^6-11x^3-4=0;$$ Замечаем, что \(x^6=(x^3)^2\). Тогда можно обозначить за \(t=x^3\), а \(t^2=x^6\). Уравнение принимает вид: $$3t^2-11t-4=0;$$ Получили обыкновенное квадратное уравнение, которое решается через дискриминант: $$D=(-11)^2-4*3*(-4)=121+48=169=13^2;$$ $$t_1=\frac{-(-11)-13}{2*3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3};$$ $$t_2=\frac{-(-11)+13}{2*3}=\frac{24}{6}=4;$$ Сделаем обратную замену \(t=x^3\): $$t_1=-\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x^3=-\frac{1}{3};$$ И вот тут главное отличие от биквадратного уравнения: куб может быть равен отрицательному числу. Правда, чтобы решить эти кубические уравнения нам понадобится кубический корень (что это такое можно почитать здесь): $$x_1=\sqrt[3]{-\frac{1}{3}};$$ $$t_2=4 \quad \Rightarrow \quad x^3=4;$$ $$x_2=\sqrt[3]{4};$$ Ответ: \(x_1=\sqrt[3]{-\frac{1}{3}}, \quad x_2=\sqrt[3]{4}.\)

Замена многочлена

Можно существенно упростить уравнение или неравенство, если в нем есть «куски» из одинаковых многочленов. При этом важно помнить: после замены в уравнении не должно оставаться исходной переменной \(x\).

В общем виде эта замена выглядит так: $$a*P^2(x)+b*P(x)+P(x)=0;$$ где \(P(x)\) - это многочлен \(n-й\) степени; \(a\), \(b\) - некоторые числа; Пусть \(t=P(x)\), тогда исходное уравнение принимает вид: $$a*t^2+b*t+t=0;$$

Давайте посмотрим на примере, так станет гораздо понятнее:

Пример 4 $$(x^2+x+1)(x^2+x+2)=12;$$ Внимательно смотрим на уравнение и замечаем, что можно обозначить \((x^2+2x)\) за \(t\). Тогда исходное уравнение принимает вид: $$(t+1)(t+2)=12;$$ Раскрываем скобки: $$t^2+2t+t+2=12;$$ $$t^2+3t-10=0;$$ $$D=3^2+4*10=9+40=49;$$ $$t_1=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2;$$ $$t_2=\frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}=-5;$$ Вспоминаем, что \(t=x^2+x\) и делаем обратную замену: $$t_1=2 \quad \Rightarrow \quad x^2+x=2;$$ $$x^2+x-2=0;$$ $$D=1^2-4*1*(-2)=9;$$ $$x_1=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1;$$ $$x_2=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2;$$ И обратная замена для \(t_2\): $$t_2=-5 \quad \Rightarrow \quad x^2+x=-5;$$ $$x^2+x+5=0;$$ $$D=1^2-4*1*5=-19<0;$$ Дискриминант получился меньше нуля, значит тут корней нет.
Ответ: \(x_1=1, \quad x_2=-2.\)

Пример 5 $$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1;$$ Смотрим внимательно на это страшное уравнение и видим повторяющийся многочлен \((x^2-x)\). Заменим его на \(t\): $$t=x^2-x;$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{t}{t+1}-\frac{t+2}{t-2}=1;$$ Получили классическое дробно-рациональное уравнение. Перекидываем все в левую часть и приводим к общему знаменателю: $$\frac{t*(t-2)}{(t+1)(t-2)}-\frac{(t+2)(t+1)}{(t-2)(t+1)}-\frac{(t-2)(t+1)}{(t-2)(t+1)}=0;$$ $$\frac{t(t-2)-(t+2)(t+1)-(t-2)(t+1)}{(t-2)(t+1)}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$t(t-2)-(t+2)(t+1)-(t-2)(t+1)=0;$$ Раскрываем скобки: $$t^2-2t-t^2-t-2t-2-t^2-t+2t+2=0;$$ $$-t^2-4t=0;$$ Вынесем \(t\) за скобки: $$-t(t+4)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$t_1=0; \quad или \quad t+4=0;$$ $$t_1=0; \quad или \quad t_2=-4;$$ Вспоминаем, что \(t=x^2-x\), и делаем обратную замену: $$t_1=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-x=0;$$ $$x(x-1)=0;$$ $$x_1=0; \quad или \quad x_2=1;$$ $$t_2=-4 \quad \Rightarrow \quad x^2-x=-4;$$ $$x^2-x+4=0;$$ $$D=(-1)^2-4*1*4=1-16=-15<0;$$ Раз дискриминант меньше нуля, то корней нет.
Ответ: \(x_1=0, \quad x_2=1.\)

Замена квадратного корня

При помощи замены удобно решать иррациональные уравнения, содержащие арифметический квадратный корень.

Замена корня в общем виде: $$t=\sqrt{P(x)};$$ $$t^2=\left(\sqrt{P(x)}\right)^2=P(x);$$ где \(P(x)\) - это многочлен \(n-й\) степени;

Тут важно помнить, что корень существует только от неотрицательных чисел, поэтому необходимо следить, чтобы \(P(x) \geq 0\). Кроме этого, сам корень тоже должен быть неотрицательным, поэтому \(t \geq 0\).

Пример 6 $$x-7\sqrt{x}+6=0;$$ Заменим \(\sqrt{x}\) на \(t\): $$t=\sqrt{x}, \qquad (t \geq 0);$$ $$t^2=(\sqrt{x})^2=x;$$ Уравнение после замены принимает вид: $$t^2-7t+6=0;$$ $$D=(-7)^2-4*1*6=49-24=25;$$ $$t_1=\frac{-(-7)+5}{2}=\frac{12}{2}=6;$$ $$t_2=\frac{-(-7)-5}{2}=\frac{2}{2}=1;$$ Делаем обратную замену: $$t_1=6 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=6;$$ Чтобы решить получившееся уравнение, надо вспомнить: квадратный корень из какого числа будет равен \(6\)? $$x_1=36;$$ И обратная замена для \(t_2\): $$t_2=1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=1;$$ $$x_2=1;$$ Ответ: \(x_1=36, \quad x_2=1.\)

Пример 7 $$2(x^2+17)-19\sqrt{x^2+17}+9=0;$$ Замечаем, что подкоренное выражение одинаково в обоих корнях, поэтому удобно сделать замену: $$t=\sqrt{x^2+17}, \qquad (t \geq 0); \qquad t^2=x^2+17;$$ $$2t^2-19t+9=0;$$ $$D=19^2-4*2*9=361-72=289=17^2;$$ $$t_1=\frac{-(-19)+17}{2*2}=\frac{36}{4}=9;$$ $$t_2=\frac{-(-19)-17}{2*2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$$ Делаем обратную замену: $$t_1=9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x^2+17}=9;$$ Возведем левую и правую части получившегося уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $$x^2+17=81;$$ $$x^2=64;$$ $$x_1=8;$$ $$x_2=-8;$$ И обратная замена для \(t_2\): $$t_2=9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x^2+17}=\frac{1}{2};$$ Возводим в квадрат: $$x^2+17=\frac{1}{4};$$ $$x^2=\frac{1}{4}-17;$$ $$x^2=-16\frac{3}{4};$$ Квадрат не может быть равен отрицательному числу, поэтому тут корней нет.
Ответ: \(x_1=8, \quad x_2=-8.\)

Дробно-рациональная замена

Иногда удобно сделать замену дробных выражений. Замена в общем виде будет выглядеть так: $$t=\frac{P(x)}{Q(x)};$$ где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - многочлены, зависящие от \(x\);

Смысл остается таким же, как и при любой замене: ищем одинаковые части в уравнении и заменяем их на новую переменную \(t\).

Рассмотрим различные виды дробно-рациональной замены на примерах:

Пример 8 $$\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0;$$ Немного преобразуем исходное уравнение: $$\frac{x^2+x-5}{x}+3*\frac{x}{x^2+x-5}+4=0;$$ Сделаем замену \(t=\frac{x^2+x-5}{x}\), тогда \(\frac{x}{x^2+x-5}=\frac{1}{t}\): $$t+3*\frac{1}{t}+4=0;$$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{t^2+3+4t}{t}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$t^2+4t+3=0;$$ Решаем квадратное уравнение: $$D=4^2-4*1*3=16-12=4=2^2;$$ $$t_1=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1;$$ $$t_2=\frac{-4-2}{2}=\frac{-6}{2}=-3;$$ Сделаем обратную замену: $$t_1=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2+x-5}{x}=-1;$$ Переносим \((-1)\) налево и приводим к общему знаменателю: $$\frac{x^2+x-5}{x}+1=0;$$ $$\frac{x^2+x-5+x}{x}=0;$$ $$x^2+x-5+x=0;$$ $$x^2+2x-5=0;$$ $$D=2^2-4*1*(-5)=4+20=24;$$ С дискриминантом нам не повезло: из 24-х целый корень не извлекается, поэтому запишем ответ так как есть: $$x_1=\frac{-2+\sqrt{24}}{2}=\frac{-2+2\sqrt{6}}{2}=-1+\sqrt{6};$$ $$x_2=\frac{-2-\sqrt{24}}{2}=\frac{-2-2\sqrt{6}}{2}=-1-\sqrt{6};$$ И обратная замена для \(t_2\): $$t_2=-3 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2+x-5}{x}=-3;$$ $$\frac{x^2+x-5}{x}+3=0;$$ $$\frac{x^2+x-5+3x}{x}=0;$$ $$x^2+4x-5=0;$$ $$D=4^2+4*5=16+20=36;$$ $$x_3=\frac{-4+\sqrt{36}}{2}=\frac{-4+6}{2}=1;$$ $$x_4=\frac{-4-\sqrt{36}}{2}=\frac{-4-6}{2}=-5;$$ Ответ: \(x_1=1+\sqrt{6}, \quad x_2=1-\sqrt{6}, \quad x_3=1, \quad x_4=-5.\)

Возвратные уравнения

Частный случай дробно-рациональной замены используется в так называемых возвратных уравнениях. В общем виде возвратное уравнение выглядит так: $$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0;$$ где \(a \neq 0\), \(b\) и \(c\) какие-то числа;

Обратите внимание на одинаковые коэффициенты: перед слагаемыми четвертой степени и свободного коэффициента, перед слагаемыми первой и третьей степени. Одинаковость этих коэффициентов указывает, что перед вами именно возвратное уравнение.

Преобразуем уравнение, разделив его на \(x^2 \neq 0\): $$ax^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2}=0;$$ Сгруппируем слагаемые: $$ax^2+\frac{a}{x^2}+bx+\frac{b}{x}+c=0; $$ Вынесем общие множители \(a\) и \(b\) из соответствующих слагаемых: $$a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0; \qquad (*)$$ А теперь самое главное: сделаем замену \(t=x+\frac{1}{x}\). При такой замене, если \(t\) возвести в квадрат по формуле квадрата суммы \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), у нас сокращается \(x\) в удвоенном произведении: $$t^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2*x*\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=$$ $$=x^2+2+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2;$$ $$t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2 \quad \Rightarrow \quad x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2;$$ Подставим нашу замену в \((*)\): $$a*(t^2-2)+b*t+c=0;$$ $$at^2+bt+c-2a=0;$$ После замены решение уравнения четвертой степени сводится к решению обыкновенного квадратного уравнения. Разберем пример:

Пример 9 $$2x^4-15x^3+35x^2-30x+8=0;$$ Разделим уравнение на \(x^2\): $$\frac{2x^4}{x^2}-\frac{15x^3}{x^2}+\frac{35x^2}{x^2}-\frac{30x}{x^2}+\frac{8}{x^2}=0;$$ $$2x^2-15x+35-\frac{30}{x}+\frac{8}{x^2}=0;$$ Сгруппируем слагаемые: $$2x^2+\frac{8}{x^2}-15x-\frac{30}{x}+35=0;$$ Вынесем общие множители: $$2\left(x^2+\frac{4}{x^2}\right)-15\left(x+\frac{2}{x}\right)+35=0; \qquad (**)$$ Теперь все готово к замене. Пусть \(t=x+\frac{2}{x}\), тогда $$t^2=\left(x+\frac{2}{x}\right)^2=x^2+2*x*\frac{2}{x}+\left(\frac{2}{x}\right)^2=$$ $$=x^2+4+\frac{4}{x^2}=x^2+\frac{4}{x^2}+4;$$ $$t^2=x^2+\frac{4}{x^2}+4 \quad \Rightarrow \quad x^2+\frac{4}{x^2}=t^2-4;$$ Подставляем в \((**)\): $$2(t^2-4)-15t+35=0;$$ $$2t^2-15t+27=0;$$ $$D=(-15)^2-4*2*27=225-216=9;$$ $$t_1=\frac{-(-15)+\sqrt{9}}{2*2}=\frac{15+3}{4}=\frac{9}{2};$$ $$t_2=\frac{-(-15)-\sqrt{9}}{2*2}=\frac{15-3}{4}=3;$$ Обратная замена: $$t_1=\frac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad x+\frac{2}{x}=\frac{9}{2};$$ Перекидываем все слагаемые налево и приводим к общему знаменателю: $$x+\frac{2}{x}-\frac{9}{2}=0;$$ $$\frac{2x^2+4-9x}{2x}=0;$$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$2x^2-9x+4=0;$$ $$D=(-9)^2-4*2*4=81-32=49;$$ $$x_1=\frac{-(-9)+\sqrt{49}}{2*2}=\frac{9+7}{4}=4;$$ $$x_2=\frac{-(-9)-\sqrt{49}}{2*2}=\frac{9-7}{4}=\frac{1}{2};$$ И обратная замена для \(t_2\): $$t_2=3 \quad \Rightarrow \quad x+\frac{2}{x}=3;$$ $$\frac{x^2-3x+2}{x}=0;$$ $$x^2-3x+2=0;$$ $$D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1;$$ $$x_3=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2*1}=\frac{3+1}{2}=2;$$ $$x_4=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2*1}=\frac{3-1}{2}=1;$$ Ответ: \(x_1=4, \quad x_2=\frac{1}{2}, \quad x_3=2, \quad x_4=1.\)

Метод замены переменных в неравенствах

В неравенствах, как и в уравнениях, тоже часто используется метод замены переменной. Все основные способы замены для уравнений, которые мы обсудили выше, справедливы и для неравенств, не будем повторяться. Тем не менее, студент, который блестяще умеет применять метод замены в уравнениях, часто допускает ошибки в неравенствах, связанные с возвращением к исходной переменной. Чтобы их не было, надо запомнить важное правило:
При решении неравенства методом замены переменной необходимо всегда дорешивать неравенство до конца относительно новой переменной.

Это означает, что вы должны найти промежутки для новой переменной, выписать их и только после этого делать обратную замену.

Рассмотрим решение неравенства при помощи замены на примере:

Пример 10 $$\left(\frac{10}{5x-21}+\frac{5x-21}{10}\right)^2 \leq \frac{25}{4};$$ Сделаем замену: $$t=\frac{10}{5x-21};$$ Тогда $$\frac{1}{t}=\frac{5x-21}{10};$$ Подставим в исходное неравенство: $$\left(t+\frac{1}{t}\right)^2 \leq \frac{25}{4};$$ А дальше применим один трюк: заметим, что \(\frac{25}{4}=\left(\frac{5}{2}\right)^2\) и не будем раскрывать полный квадрат, а перекинем \(\frac{25}{4}\) в левую часть и распишем разность квадратов: $$\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-\frac{25}{4} \leq 0;$$ $$\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2 \leq 0;$$ $$(t+\frac{1}{t}-\frac{5}{2})(t+\frac{1}{t}+\frac{5}{2}) \leq 0;$$ В каждой скобке приводим слагаемые к общему знаменателю: $$\frac{2t^2-5t+2}{t}*\frac{2t^2+5t+2}{t} \leq 0;$$ $$\frac{(2t^2-5t+2)*(2t^2+5t+2)}{t^2} \leq 0;$$ Раскладываем квадратные многочлены в числителе на множители: $$\frac{2(t-\frac{1}{2})(t-2)*2(t+2)(t+\frac{1}{2})}{t^2} \leq 0;$$ И воспользуемся методом интервалов:

Отмеченные промежутки на числовой прямой для переменной \(t\) обязательно выписываем: $$t\in[-2;-\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2};2];$$ Эти промежутки можно записать в виде систем неравенств или двойных неравенств (смысл тот же, просто запись разная). Нам так будет удобнее делать обратную замену: $$-2 \leq t \leq -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} t \geq -2, \\ t \leq -\frac{1}{2}. \end{cases}$$ $$\frac{1}{2} \leq t \leq 2 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} t \geq \frac{1}{2}, \\ t \leq 2. \end{cases}$$ И вот только теперь делаем обратную замену! Подставляем \(t=\frac{10}{5x-21}\) в получившееся системы: $$\begin{cases} \frac{10}{5x-21} \geq -2, \\ \frac{10}{5x-21} \leq -\frac{1}{2}. \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{10+2(5x-21)}{5x-21} \geq 0, \\ \frac{2*10+5x-21}{5x-21} \leq 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{10x-32}{5x-21} \geq 0, \\ \frac{5x-1}{5x-21} \leq 0. \end{cases}$$ Воспользуемся методом интервалов. Сверху на рисунке отмечены решения первого неравенства в системе, а снизу второго. Штриховкой показано их пересечение:

И аналогично решим вторую систему неравенств: $$\begin{cases} \frac{10}{5x-21} \geq \frac{1}{2}, \\ \frac{10}{5x-21} \leq 2. \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{-5x+41}{5x-21} \geq 0, \\ \frac{-10x+52}{5x-21} \leq 0. \end{cases}$$ Метод интервалов:

Объединим решения первой и второй систем и получим ответ:
Ответ: \(x \in [\frac{1}{5};\frac{16}{5}] \cup [\frac{26}{5}; \frac{41}{5}].\)