Линейные неравенства

Начнем с самого простого вида неравенств - с линейных. Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений, с некоторыми важными отличиями. Поэтому, прежде чем приступать к изучению неравенств, нужно научиться решать уравнения.

Что такое линейные неравенства?

Общий вид линейных неравенств: $$ax+b \gt 0;$$ $$ax+b \lt 0;$$ $$ax+b \ge 0;$$ $$ax+b \le 0;$$ где \(a\) и \(b\) произвольные числа;

Обратите внимание, что в линейных неравенствах нет ни степеней, ни каких-либо других сложных функций. Правда, иногда линейные неравенства маскируются под что-то сложное, мы рассмотрим такие случаи ниже.

Решить неравенство значит найти все значения переменной \(x\), при подстановке которых в исходный пример будет получаться верное неравенство. Проще всего разобраться на реальных примерах:

Пример 1 $$x+7 \gt 4;$$ Представьте, что вместо знака «больше» у нас стоит знак равенства «=». То есть перед нами обыкновенное линейное уравнение: $$x+7 = 4;$$ Как бы вы его решали? Правильно, нужно перенести все слагаемые без \(x\) в правую часть, а все, что с \(x\), в левую. Не забываем менять знак переносимых слагаемых. В нашем примере совсем все просто: достаточно перенести \(+7\) в правую часть, при этом оно превращается в \(-7:\) $$x=4-7;$$ $$x=-3.$$ Вот и в неравенстве делаем абсолютно тоже самое: $$x+7 \gt 4;$$ $$x \gt 4-7;$$ $$x \gt -3.$$ Изобразим ответ на числовой прямой:

Ответ запишем в виде луча. Так как неравенство строгое, то скобка должна быть круглой:
Ответ: \(x \in (-3;+\infty).\)

Итак, мы пришли к очень важному первому правилу:

Можно переносить слагаемые из правой части неравенства в левую и наоборот, меняя знак неравенства на противоположный.

Пример 2 $$2x+6 \lt x+1;$$ Переносим слагаемое \(+x\) из правой части в левую, оно превращается в \(-x\). А число \(+6\) из левой части в правую, превращается в \(-6:\) $$2x-x \lt 1-6;$$ Приводим подобные слагаемые: $$x \lt -5;$$

Рассмотрим еще один пример:
Пример 3 $$2x+3 \gt -1;$$ Переносим \(+3\) в правую часть неравенства: $$2x \gt -1-3;$$ $$2x \gt -4;$$ Как избавиться от двойки перед \(x\)? Если бы перед нами было уравнение, мы бы просто разделили все уравнение слева и справа на \(2\). Перед нами не уравнение, но неравенство делается аналогично! Разделим его слева и справа на \(2\): $$\frac{2x}{2} \gt \frac{-4}{2};$$ $$x \gt -2;$$

Получили второе правило:
Можно делить и умножать все неравенство на положительные числа. Если разделить или умножить левую и правую части неравенства на одно и то же положительное число, корни неравенства не поменяются.

Пример 4 $$\frac{2x}{5} \lt 1;$$ Чтобы избавиться от \(5\) в знаменателе справа, умножим неравенство на \(5:\) $$5*\frac{2x}{5} \lt 5*1;$$ $$\frac{\not 5}{1}*\frac{2x}{\not 5} \lt 5;$$ $$2x \lt 5;$$ И разделим левую и правую части на \(2:\) $$\frac{2x}{2} \lt \frac{5}{2};$$ $$x \lt \frac{5}{2};$$

Нестрогие неравенства

Пример 5 $$\frac{3}{4}x-1 \ge 2; $$ Переносим \(-1\) в правую часть: $$\frac{3}{4}x \ge 2+1;$$ $$\frac{3}{4}x \ge 3;$$ Умножим неравенство на дробь \(\frac{4}{3}:\) $$\frac{4}{3}*\frac{3}{4}x \ge \frac{4}{3}*3;$$ $$x \ge 4.$$

Обратите внимание, что в примере №5 нестрогое неравенство \(«\ge»\).

В строгих неравенствах граница не является решением, нам подходят любые значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, строго больше или строго меньше, но ни в коем случае не равно. Например: $$x \gt 7;$$ Значит \(x\) может принимать любые значения строго больше \(7:\) $${ \small x=10; \; x=1000; \; x=7,4; \; x=7,001.}$$ А \(x=7\) не будет корнем такого неравенства.

В нестрогих неравенствах граница тоже решение - допускается равенство. Например: $$x \ge 9;$$ Корнями этого неравенства будут любые \(x\) большие \(9:\) $$x=12; \; x=2000; \; x=9,0001.$$ Но кроме этого, \(x=9\) тоже будет корнем.

Это значит, что в примере №5 \(x=4\) тоже является корнем. Именно поэтому на рис.5 точка с координатой \(4\) закрашена. В прошлых примерах, когда неравенства были строгие \(«\gt»\), мы все время отмечали точки как незакрашенные (их еще называют выколотые).

Кроме этого, в ответе мы записали луч с квадратной скобкой у \(4-ки,\) тем самым показывая, что \(x=4\) - корень неравенства.

Короче говоря, когда у вас знак неравенства строгий \(«\gt»\) или \(«\lt»\), то на числовой прямой точки должны быть выколотые, а скобки круглые.

Если знак неравенства нестрогий \(«\ge»\) или \(«\le»\), то на числовой прямой точка должна быть закрашена, а скобка квадратная.

Подробнее про строгие и нестрогие неравенства и как их правильно обозначать можно посмотреть в первом уроке, посвященном неравенствам.

Пример 6 $$5(x-1)+7 \le 1-3(x+2);$$ Раскрываем скобки: $$5x-5+7 \le 1-3x-6;$$ Переносим слагаемые с \(x\) в левую часть неравенства, а числа - в правую: $$5x+3x \le 1-6-7+5;$$ $$8x \le -7;$$ Чтобы избавиться от \(8-ки\) перед \(x,\) разделим неравенство на \(8:\) $$\frac{8x}{8} \le -\frac{7}{8};$$ $$x \le -\frac{7}{8};$$

Деление и умножение неравенств на отрицательные числа

Пример 7 $$-4x \lt -16;$$ Разделим левую и правую часть неравенства на \(-4\): $$\frac{-4x}{-4} \lt \frac{-16}{-4};$$ $$x \lt 4;$$ Проверим, правильно ли мы решили неравенство. Для этого подставим любое значение \(x\) меньшее \(4\) в исходный пример, например, \(x=1\): $$-4x \lt -16;$$ $$\Downarrow$$ $$-4*1 \lt -16;$$ $$\Downarrow$$ $$-4 \lt -16;$$ Получили неверное неравенство: \(-4\) больше \(-16\), а не меньше. Значит мы что-то сделали не так. Оказывается, если разделить или умножить неравенство на отрицательное число, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. В нашем случае знак меньше \( \lt\) меняем на больше \(\gt.\) Решим пример правильно заново: $$-4x \lt -16;$$ Разделим на \(-4\), но в этот раз не забываем изменить знак неравенства: $$\frac{-4x}{-4} \gt \frac{-16}{-4};$$ $$x \gt 4;$$

Запоминаем еще одно правило:
При делении и умножении неравенств на отрицательные числа обязательно нужно изменить знак неравенства на противоположный.

Важный момент: знак неравенства нужно менять в тот момент, когда вы умножаете или делите на отрицательное число, не раньше или позже. Иначе на экзамене решение не зачтут.

Пример 8 $$4(2-3x)-(5-x) \gt 11-x;$$ Раскрываем скобки: $$8-12x-5+x \gt 11-x;$$ Переносим слагаемые: $$-12x+x+x \gt 11-8+5;$$ Приводим подобные: $$-10x \gt 8;$$ Делим неравенство на \(-10\), а значит не забываем поменять знак неравенства на противоположный: $$\frac{-10x}{-10} \lt \frac{8}{-10};$$ $$x \lt -0,8;$$

Выпишем все правила равносильных преобразований линейных неравенств:

Равносильные преобразования неравенств

• Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, при этом не забывая менять знак перед слагаемым. Как правило, слагаемые с \(x\) переносятся в левую часть, а обычные числа - в правую;
• Можно умножать и делить левую и правую части неравенства на одно и то же положительное число;
• Можно умножать и делить левую и правую части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный;

Линейные неравенства с дробями

Разберем несколько примеров линейных неравенств с дробями. Сейчас мы обсудим только такие неравенства, в которых есть дроби, а в знаменателе этой дроби число. В отдельном уроке поговорим про нелинейные неравенства, которые называются дробно-рациональные, в знаменателе у них может быть переменная \(x\).

Пример 9 $$\frac{3x-1}{4} \ge 2;$$ Чтобы избавиться от знаменателя, умножим левую и правую части неравенства на \(4\): $$4*\frac{3x-1}{4} \ge 4*2;$$ $$\frac{4}{1}*\frac{3x-1}{4} \ge 8;$$ $$3x-1 \ge 8;$$ $$3x \ge 9;$$ $$x \ge 3;$$

Пример 10 $$\frac{2}{11}(x-4) \lt 3;$$ Здесь удобно домножить на \(11\): $$11*\frac{2}{11}(x-4) \lt 11*3;$$ $$2(x-4) \lt 33;$$ $$2x-8 \lt 33;$$ $$2x \lt 41$$ $$x \lt \frac{41}{2};$$

Пример 21 $$\frac{x}{4}-\frac{x}{2} \ge -3;$$ Умножим неравенство на \(4\). Почему именно на \(4\)? Потому что знаменатели всех дробей в неравенстве делятся на \(4\), а значит они сократятся: $$4*\left(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}\right) \ge 4*(-3);$$ Обратите внимание, что мы умножаем полностью левую часть неравенства и полностью правую. Я это показываю при помощи скобок. Теперь раскрываем скобки: $$4*\frac{x}{4}-4*\frac{x}{2} \ge -12;$$ $$x-2x \ge -12;$$ $$-x \ge -12;$$ Разделим на \((-1)\), чтобы избавиться от минуса перед \(x\). Так как мы делим на отрицательное число, то меняем знак неравенства: $$x \le 12;$$

Пример 22 $$x-\frac{x-3}{5}+\frac{2x-1}{10}\le 4;$$ Это неравенство лучше всего домножить на \(10\). Так как все знаменатели, которые есть в примере, делятся на \(10\): $${ \small 10*(x-\frac{x-3}{5}+\frac{2x-1}{10})\le 10*4;}$$ $${ \small 10x-10*\frac{x-3}{5}+10*\frac{2x-1}{10} \le 40;}$$ $${ \small 10x-2(x-3)+1*(2x-1) \le 40;}$$ $${ \small 10x-2x+6+2x-1 \le 40;}$$ Все слагаемые с \(x\) перекидываем в левую часть, а числа - в правую. И приведем подобные слагаемые: $$10x \le 35;$$ $$x \le 3,5;$$

Линейные неравенства в неявном виде

Некоторые неравенства в исходном виде не похожи на линейные. И понять, линейное неравенство или нет, можно только после преобразований. Разберем пример:

Пример 22 $${ \small 0,2x^2-0,2(x-6)(x+6) \gt 3,6x;}$$ На первый взгляд и не скажешь, что неравенство линейное, так как у переменной \(x\) есть квадрат. Но давайте не будем спешить и раскроем все скобки: $${ \small 0,2x^2-0,2(x^2-36) \gt 3,6x;}$$ $${ \small 0,2x^2-0,2x^2+7,2 \gt 3,6x;}$$ Приводим подобные слагаемые: $$7,2 \gt 3,6x;$$ Поменяем местами слагаемые: $$-3,6x \gt -7,2;$$ Неравенство свелось к линейному виду, все слагаемые с \(x^2\) сократились. Разделим неравенство на \((-3,6)\) и меняем знак неравенства: $$x \lt 2;$$