Параметры с нуля. Линейные уравнения

Друзья, мы начинаем одну из самых сложных тем школьной математики: уравнения и неравенства с параметром. Задания с параметром всегда есть на ЕГЭ по профильной математике и именно за него дают больше всего баллов. Кроме этого, с параметрами часто можно столкнуться на вступительных экзаменах и олимпиадах.

Что такого особенного в этих параметрах и почему они такие сложные? Большинство заданий с экзаменов решаются «по алгоритму», они особо ничем не отличаются друг от друга и методы их решения однотипны. Но в параметрах это совершенно не так: здесь потребуется развитое аналитическое мышление и умение применять нестандартные шаги. Но несмотря на все ужасы научиться их решать способен каждый.

Сначала мы разберем основные приемы решения уравнений с параметрами, а уже потом перейдем к неравенствам.

И первым делом, обсудим, что же это такое уравнения с параметром. Все, надеюсь, знакомы с обыкновенными уравнениями: $$2x=6;$$ $$x^2-3x-4=0;$$ $$\frac{2x+3}{x^2-4}+\frac{x}{2x+4}=1;$$ $$\sin(x)-2\cos(x)=0;$$ $$и \; т.д.$$ Решить обыкновенное уравнение - значит найти такие значения переменной \(x,\) при подстановке которых будет получаться верное равенство. Например, в уравнении \(2x=6\) корнем будет \(x=3:\) $$2*x=6;$$ $$\Downarrow$$ $$2*3=6;$$ $$\Downarrow$$ $$6=6;$$ Получилось верное равенство.

Если посмотреть на любые уравнения, которые вы решали до этого, то в них всегда есть одна неизвестная \(x,\) а все остальное это числа: никаких других букв, кроме \(x,\) в уравнениях никогда нет. А что, если в уравнении \(2x=6\) число \(2\) заменить буквой \(a:\) $$a*x=6;$$ Как тогда найти такие значения переменной \(x,\) при подстановке которых в \(a*x=6\) получалось верное равенство? Что скрывается за этой буквой \(a?\)

На самом деле, вместо буквы \(a\) можно подставить абсолютно любое число, она может принимать любые значения:

При \(a=1\) уравнение будет иметь вид: $$1*x=6;$$ А его корнем будет \(x=\frac{6}{1}=6;\) При \(a=2:\) $$2*x=6;$$ Корень: \(x=\frac{6}{2}=3;\)
При \(a=-\frac{1}{2}:\) $$-\frac{1}{2}*x=6;$$ Корень: \(x=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=6*(-2)=-12;\) $$и \; т.д.$$

Подставляя различные значения \(a,\) мы получаем различные уравнения с разными корнями. Можно сказать, что перед нами целое семейство уравнений.

Число \(a\) называется параметром уравнения, а решить уравнение с параметром, значит найти все корни при любых значениях параметра \(a,\) и выяснить при каких значениях \(a\) решений нет.

Получается, корни уравнения теперь целиком и полностью зависят от того, какое значение параметра \(a\) мы подставим. Как же тогда решать такое уравнение, если подставлять все что угодно вместо \(a\) можно до бесконечности? Секрет в том, что нам достаточно просто вывести формулу для \(x\) через параметр \(a.\)

Выразить \(x\) из уравнения \(a*x=6\) можно по формуле: $$x=\frac{6}{a}; \quad (*)$$ Подставляя в полученное формулу разные значения \(a,\) будем получать корни уравнения при этих \(a.\) Но есть одна большая проблема: в эту формулу мы можем подставлять не любые \(a.\)

При \(a=0\) получится деление на \(0!\) А в математике беда с делением на \(0:\) на него строго запрещено делить. Так что в нашу формулу \((*)\) мы можем подставлять любые \(a,\) кроме \(0.\) Как же тогда решить наше уравнение \(a*x=6\) при \(a=0.\) Просто подставим \(a=0\) в исходное уравнение: $$a*x=6;$$ $$\Downarrow$$ $$0*x=6;$$ $$\Downarrow$$ $$0=6;$$ Но \(0\) не равен \(6,\) поэтому при \(a=0\) получается неверное равенство, а значит корней нет.

Вот мы и решили наше первое уравнение с параметром при любых значениях параметра \(a:\) При \(a \neq 0:\) $$x=\frac{6}{a};$$ При \(a=0:\) $$Нет\;корней $$ При всех значениях параметра \(a\) мы определили, какие будут корни. Уравнение, которые мы решили называется линейным: это самый простой вид уравнений с параметром. И учиться решать параметры лучше начинать именно с линейных уравнений.

Линейные уравнения с параметром

В самом общем виде любое линейное уравнение с параметром сводится к виду: $$q(a)*x-p(a)=0;$$ где \(q(a), \; p(a)\) - некоторые выражения, зависящие от параметра \(a;\)

Линейное уравнение легко отличить от всех прочих по первой степени у переменной \(x.\) Уравнение будет линейным даже, если в нем есть дроби, главное, чтобы \(x\) не было в знаменателе.

Чтобы стало понятнее, приведем несколько примеров линейных уравнений с параметром: $$a*x+4a=0;$$ $$\Downarrow$$ $$q(a)=a, \; p(a)=4a;$$
$$(a^2-1)x-1=0;$$ $$\Downarrow$$ $$q(a)=a^2-1, \; p(a)=1;$$ Для того, чтобы решить линейное уравнение с параметром, необходимо все слагаемые с переменной \(x\) перекинуть в левую часть уравнения, а все слагаемые без \(x\) в правую: $$q(a)*x=p(a);$$ А дальше уравнение разбивается на два случая: \(q(a) \neq 0 \; и \; q(a)=0.\) При тех \(a,\) при которых \(q(a) \neq 0,\) можно выразить \(x:\) $$x=\frac{p(a)}{q(a)};$$ А при тех \(a,\) при которых \(q(a)=0,\) опять два случая:
Если \(q(a)=0, \; p(a) = 0,\) то получаем уравнение вида: $$0*x=0 \Rightarrow 0=0,$$ которое верно независимо от значений переменной \(x.\) А значит его корень - любое число.
Если \(q(a)=0, \; p(a) \neq 0,\) уравнение сводится к виду: $$0*x=p(a) \Rightarrow 0=p(a),$$ которое не имеет корней.

В общем виде решение линейного уравнения с параметром может выглядеть запутанно. Проще всего разобраться на примерах:

Пример 1

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо: $$ax-7x=5a-3;$$ И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x*(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0 \Rightarrow a \neq 7\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac{5a-3}{a-7}.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0 \Rightarrow a=7,\) подставим в наше уравнение: $$x*(7-7)=5*7-3,$$ $$x*0=32,$$ $$0=32;$$ Получили неверное равенство: уравнение не имеет решений при \(a=7.\)

Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра \(а:\)
При \(a \neq 7, \; x=\frac{5a-3}{a-7}.\)

Подставляя в найденную формулу для \(x\) различные значения параметра \(a\) можно находить корни уравнения:
Например, \(x=\frac{2}{7}\) при \(a=0,\) \(x=\frac{-1}{3}\) при \(a=1\) и т.д.

При \(a = 7\) корней нет.

Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac{5a-3}{a-7}.\)

Пример 2
Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Обратите внимание, что уравнение будет линейным, несмотря на то, что над параметром \(a\) есть вторая степень. Главное, чтобы над \(x\) была первая степень, так как уравнение мы решаем относительно \(x.\)

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0 \Rightarrow a=1\) $$x(1-1)=(1-1)(1-4);$$ $$x*0=0;$$ $$0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.

Второй случай: \((a-1)≠0 \Rightarrow a≠1\) $$x=\frac{(a-1)(a-4)}{a-1}=a-4.$$ Решением данного уравнения будет один корень \(x=a-4\).

По условию задачи необходимо найти такие значения параметра \(a,\) при которых решением уравнения будут любые числа: при \(a=1\) у нас как раз получилось то, что нужно. Ответ: \(a=1.\)

Уравнения с параметром, приводимые к линейным

Пример 3

Решите уравнение $$\frac{x}{5a+x}-\frac{5a+x}{x-5a}=\frac{100a^2}{25a^2-x^2}$$ Данное уравнение совсем не похоже на линейное. Часто по исходному виду уравнения невозможно сказать какое оно: линейное, квадратное, иррациональное и т.д. Чтобы в этом разобраться, нужно его сначала преобразовать. Но начнем мы с ОДЗ, так как в уравнении есть знаменатели: $$5a+x≠0 \; и \; x-5a≠0;$$ Таким образом ОДЗ: \(x≠±5a.\)

Приведем исходное уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$\frac{x}{5a+x}-\frac{5a+x}{x-5a}-\frac{100a^2}{25a^2-x^2}=0;$$ $$\frac{x}{5a+x}+\frac{5a+x}{5a-x}-\frac{100a^2}{(5a-x)(5a+x)}=0;$$ $$\frac{x(5a-x)+(5a+x)^2-100a^2}{(5a-x)(5a+x))}=0;$$ $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2+100a^2=0$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$ После преобразований все дроби и степени исчезли: получили линейное уравнение.

Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).

Второй случай: \(a≠0.\) Выражаем \(x=\frac{5a^2}{a}=5a.\) Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.