Параметры с нуля. Линейные уравнения

Друзья, мы начинаем одну из самых сложных тем школьной математики: уравнения и неравенства с параметром. Задания с параметром всегда есть на ЕГЭ по профильной математике и именно за него дают больше всего баллов. Кроме этого, с параметрами часто можно столкнуться на вступительных экзаменах и олимпиадах.

Что такого особенного в этих параметрах и почему они такие сложные? Большинство заданий с экзаменов решаются «по алгоритму», они особо ничем не отличаются друг от друга и методы их решения однотипны. Но в параметрах это совершенно не так: здесь потребуется развитое аналитическое мышление и умение применять нестандартные шаги. Но несмотря на все ужасы научиться их решать способен каждый.

Сначала мы разберем основные приемы решения уравнений с параметрами, а уже потом перейдем к неравенствам.

И первым делом, обсудим, что же это такое уравнения с параметром. Все, надеюсь, знакомы с обыкновенными уравнениями: $$2x=6;$$ $$x^2-3x-4=0;$$ $$\frac{2x+3}{x^2-4}+\frac{x}{2x+4}=1;$$ $$\sin(x)-2\cos(x)=0;$$ $$и \; т.д.$$ Решить обыкновенное уравнение - значит найти такие значения переменной $x,$ при подстановке которых будет получаться верное равенство. Например, в уравнении $2x=6$ корнем будет $x=3:$ $$2*x=6;$$ $$\Downarrow$$ $$2*3=6;$$ $$\Downarrow$$ $$6=6;$$ Получилось верное равенство.

Если посмотреть на любые уравнения, которые вы решали до этого, то в них всегда есть одна неизвестная $x,$ а все остальное это числа: никаких других букв, кроме $x,$ в уравнениях никогда нет. А что, если в уравнении $2x=6$ число $2$ заменить буквой $a:$ $$a*x=6;$$ Как тогда найти такие значения переменной $x,$ при подстановке которых в $a*x=6$ получалось верное равенство? Что скрывается за этой буквой $a?$

На самом деле, вместо буквы $a$ можно подставить абсолютно любое число, она может принимать любые значения:

При $a=1$ уравнение будет иметь вид: $$1*x=6;$$ А его корнем будет $x=\frac{6}{1}=6;$ При $a=2:$ $$2*x=6;$$ Корень: $x=\frac{6}{2}=3;$
При $a=-\frac{1}{2}:$ $$-\frac{1}{2}*x=6;$$ Корень: $x=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=6*(-2)=-12;$ $$и \; т.д.$$

Подставляя различные значения $a,$ мы получаем различные уравнения с разными корнями. Можно сказать, что перед нами целое семейство уравнений.

Число $a$ называется параметром уравнения, а решить уравнение с параметром, значит найти все корни при любых значениях параметра $a,$ и выяснить при каких значениях $a$ решений нет.

Получается, корни уравнения теперь целиком и полностью зависят от того, какое значение параметра $a$ мы подставим. Как же тогда решать такое уравнение, если подставлять все что угодно вместо $a$ можно до бесконечности? Секрет в том, что нам достаточно просто вывести формулу для $x$ через параметр $a.$

Выразить $x$ из уравнения $a*x=6$ можно по формуле: $$x=\frac{6}{a}; \quad (*)$$ Подставляя в полученное формулу разные значения $a,$ будем получать корни уравнения при этих $a.$ Но есть одна большая проблема: в эту формулу мы можем подставлять не любые $a.$

При $a=0$ получится деление на $0!$ А в математике беда с делением на $0:$ на него строго запрещено делить. Так что в нашу формулу $(*)$ мы можем подставлять любые $a,$ кроме $0.$ Как же тогда решить наше уравнение $a*x=6$ при $a=0.$ Просто подставим $a=0$ в исходное уравнение: $$a*x=6;$$ $$\Downarrow$$ $$0*x=6;$$ $$\Downarrow$$ $$0=6;$$ Но $0$ не равен $6,$ поэтому при $a=0$ получается неверное равенство, а значит корней нет.

Вот мы и решили наше первое уравнение с параметром при любых значениях параметра $a:$ При $a \neq 0:$ $$x=\frac{6}{a};$$ При $a=0:$ $$Нет\;корней$$ При всех значениях параметра $a$ мы определили, какие будут корни. Уравнение, которые мы решили называется линейным: это самый простой вид уравнений с параметром. И учиться решать параметры лучше начинать именно с линейных уравнений.

Линейные уравнения с параметром

В самом общем виде любое линейное уравнение с параметром сводится к виду: $$q(a)*x-p(a)=0;$$ где $q(a), \; p(a)$ - некоторые выражения, зависящие от параметра $a;$

Линейное уравнение легко отличить от всех прочих по первой степени у переменной $x.$ Уравнение будет линейным даже, если в нем есть дроби, главное, чтобы $x$ не было в знаменателе.

Чтобы стало понятнее, приведем несколько примеров линейных уравнений с параметром: $$a*x+4a=0;$$ $$\Downarrow$$ $$q(a)=a, \; p(a)=4a;$$
$$(a^2-1)x-1=0;$$ $$\Downarrow$$ $$q(a)=a^2-1, \; p(a)=1;$$ Для того, чтобы решить линейное уравнение с параметром, необходимо все слагаемые с переменной $x$ перекинуть в левую часть уравнения, а все слагаемые без $x$ в правую: $$q(a)*x=p(a);$$ А дальше уравнение разбивается на два случая: $q(a) \neq 0 \; и \; q(a)=0.$ При тех $a,$ при которых $q(a) \neq 0,$ можно выразить $x:$ $$x=\frac{p(a)}{q(a)};$$ А при тех $a,$ при которых $q(a)=0,$ опять два случая:
Если $q(a)=0, \; p(a) = 0,$ то получаем уравнение вида: $$0*x=0 \Rightarrow 0=0,$$ которое верно независимо от значений переменной $x.$ А значит его корень - любое число.
Если $q(a)=0, \; p(a) \neq 0,$ уравнение сводится к виду: $$0*x=p(a) \Rightarrow 0=p(a),$$ которое не имеет корней.

В общем виде решение линейного уравнения с параметром может выглядеть запутанно. Проще всего разобраться на примерах:

Пример 1

Решить уравнение $ax-5a=7x-3$ при всех возможных $a$.

Перенесем все одночлены с $x$ влево, а оставшиеся члены – вправо: $$ax-7x=5a-3;$$ И вынесем $x$ за скобку, как общий множитель: $$x*(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда $(a-7)≠0 \Rightarrow a \neq 7$. Тогда мы можем поделить все уравнение на $a-7$ и выразить: $$x=\frac{5a-3}{a-7}.$$ Второй случай, когда $(a-7)=0 \Rightarrow a=7,$ подставим в наше уравнение: $$x*(7-7)=5*7-3,$$ $$x*0=32,$$ $$0=32;$$ Получили неверное равенство: уравнение не имеет решений при $a=7.$

Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра $а:$
При $a \neq 7, \; x=\frac{5a-3}{a-7}.$

Подставляя в найденную формулу для $x$ различные значения параметра $a$ можно находить корни уравнения:
Например, $x=\frac{2}{7}$ при $a=0,$ $x=\frac{-1}{3}$ при $a=1$ и т.д.

При $a = 7$ корней нет.

Ответ: При $a=7$ $x∈∅;$
при $a≠7$ $x=\frac{5a-3}{a-7}.$

Пример 2
Найдите все $a$, при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Обратите внимание, что уравнение будет линейным, несмотря на то, что над параметром $a$ есть вторая степень. Главное, чтобы над $x$ была первая степень, так как уравнение мы решаем относительно $x.$

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие $x$, влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку $x$ и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: $(a-1)=0 \Rightarrow a=1$ $$x(1-1)=(1-1)(1-4);$$ $$x*0=0;$$ $$0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.

Второй случай: $(a-1)≠0 \Rightarrow a≠1$ $$x=\frac{(a-1)(a-4)}{a-1}=a-4.$$ Решением данного уравнения будет один корень $x=a-4$.

По условию задачи необходимо найти такие значения параметра $a,$ при которых решением уравнения будут любые числа: при $a=1$ у нас как раз получилось то, что нужно. Ответ: $a=1.$

Уравнения с параметром, приводимые к линейным

Пример 3

Решите уравнение $$\frac{x}{5a+x}-\frac{5a+x}{x-5a}=\frac{100a^2}{25a^2-x^2}$$ Данное уравнение совсем не похоже на линейное. Часто по исходному виду уравнения невозможно сказать какое оно: линейное, квадратное, иррациональное и т.д. Чтобы в этом разобраться, нужно его сначала преобразовать. Но начнем мы с ОДЗ, так как в уравнении есть знаменатели: $$5a+x≠0 \; и \; x-5a≠0;$$ Таким образом ОДЗ: $x≠±5a.$

Приведем исходное уравнение к общему знаменателю $x^2-25a^2$ и умножим на него все уравнение: $$\frac{x}{5a+x}-\frac{5a+x}{x-5a}-\frac{100a^2}{25a^2-x^2}=0;$$ $$\frac{x}{5a+x}+\frac{5a+x}{5a-x}-\frac{100a^2}{(5a-x)(5a+x)}=0;$$ $$\frac{x(5a-x)+(5a+x)^2-100a^2}{(5a-x)(5a+x))}=0;$$ $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2+100a^2=0$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$ После преобразований все дроби и степени исчезли: получили линейное уравнение.

Первый случай: $a=0.$ Получаем уравнение $0*x=0.$ Решениями этого уравнения будет любое число, кроме $x=0$ (ОДЗ $x≠±5a$).

Второй случай: $a≠0.$ Выражаем $x=\frac{5a^2}{a}=5a.$ Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При $a=0$ решениями уравнения будут все действительные числа, кроме $x=0.$ Если $a≠0,$ то решений нет.