Графический метод в задачах с параметром

Графический метод используется не только для решения задач с параметром, но и при решении обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я напомню, в чем заключается метод в самом общем виде. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Графический метод решения уравнений в общем виде

Рассмотрим уравнение с одной переменной \(f(x)=0\). Чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции \(y=f(x).\) Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось \(x\)) и будут решениями уравнения. Если пересечения с осью абсцисс нет, то уравнение не имеет решений.

Или рассмотрим уравнение \(f(x)=g(x)\). Строим на одной координатной плоскости графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) - левой и правой частей уравнения. Если получившиеся графики пересекаются, то абсциссы точек их пересечения и будут решениями уравнения. Если точек пересечения нет, значит такое уравенение не имеет решений. Будьте внимательны, графики могу пересекаться, если их продлить за ваш рисуннок.

Стоит отдельно отметить, что для решения уравнения графическим методом, необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Лучше всего разбираться в методе на примерах решения реальных уравнений. Рассмотрим несколько:

Пример 1

Решить графическим методом уравнение: \(x^2+3x=5x+3\).

Решение:
Способ 1. Левую часть уравнения обозначим за \(f(x)=x^2+3x,\) а правую за \(g(x)=5x+3.\) Тогда кратко исходное уравнение можно записать так: \(f(x)=g(x).\) Построим на одной координатной плоскости графики функций \(f(x)=x^2+3x\) и \(g(x)=5x+3.\) См. рис.1.

\(g(x)=5x+3\) – красный график;
\(f(x)=x^2+3x\) – синий график.

После того, как мы выполнили построение, видим, что графики пересекаются в точках \((-1;2)\) и \((3;18).\) Координаты точек пересечения по оси \(x\) и будут решениями уравнения. Почему? Да потому что при этих \(x\) значения (или координаты \(y\)) функций \(f(x)=x^2+3x\) и \(g(x)=5x+3\) будут одинаковые, то есть выполняется равенство \(f(x)=g(x).\) Таким образом, решением нашего уравнения будут: \({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3\).

Ответ: \({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3\).

Способ 2. Это же самое уравнение \(x^2+3x=5x+3\) можно решить другим графическим способом. Перекинем все слагаемые из правой части уравнения в левую так, чтобы справа остался ноль: $$x^2+3x-5x-3=0;$$ $$x^2-2x-3=0;$$ На этот раз построим график только левой части уравнения: \(f(x)=x^2-2x-3:\)

Чтобы решить уравнение \(x^2-2x-3=0,\) требуется найти такие \(x,\) при которых \(f(x)=x^2-2x-3=0.\) Смотрим на график выше: функция \(f(x)\) равна нулю в точках пересечения оси \(x.\) На рисунке они отмечены красным. Координаты этих точек: \(x_1=-1\) и \(x_2=3.\) Они будут корнями исходного уравнения. Разумеется, ответ получился такой же, как и при решении первым способом.

Мы разобрали два способа решения уравнений графически: строим графики левой и правой частей уравнения и находим точки пересечения, либо перекидываем все слагаемые в одну сторону и находим точки пересечения получвшейся функции с осью \(x.\)

Графический метод решения уравнений с двумя неизвестными

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными \(f(x,y)=0\). Решением этого уравнения будет множество пар точек \((x,y)\), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости \((xOy)\). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую \((x,y=f(x))\) или \((x=f(y),y)\).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение \(2x-5y=10\). (1) Выражаем \(x=\frac{10+5y}{2}\) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2). Обратите внимание, что вертикальная ось - это ось \(x,\) а горизонтальная - ось \(y:\)

Все точки, лежащие на синей прямой, будут решениями нашего уравнения. Например, при \(x=0\) ⇔ \(y=-2\). Так как синяя прямая бесконечна, то исходное уравнение с двумя неизвестным будет иметь бесконечное количество решений.
Аналогично можно выразить \(y=\frac{2x-10}{5}\). График будет выглядеть так (Рис. 3):

И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений \(x\) и \(y\).

Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных \(x\) и \(y\). Поэтому, если мы вместо \(y\) в уравнении (1) запишем параметр \(a\), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно \(x\) с параметром \(y\) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за \(a\).

Разберем уравнение с параметром \(6x-5a=15\). Будем работать в системе координат \((aOx)\). Выразим \(x=\frac{15+5a}{6}\) – это будет общий вид решения. Для того чтобы проиллюстрировать ответ, построим график \(x(a)\) (Рис. 4).

Пример 2

Найти все значения параметра \(a\), при которых корни уравнения \(6x-5a=15\) лежат на отрезке \([-5;5]\).

График \(x(a)\) для этого же примера на рисунке 4.

Иногда для решения удобно построить график зависимости не \(x(a),\) а \(a(x): a=\frac{6x-15}{5}\). Давайте так и поступим. Построим график (Рис. 5). И красной областью покажем интервал \([-5;5],\) который нас интересует по условию задачи. Из рисунка видно, что график \(a=\frac{6x-15}{5}\) лежит в красной области при \(a∈[-9;3]\) (при \(x=5\) ⇔\(a=3\); и при \(x=-5\) ⇔\(a=-9\))

На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.

Пример 3

Определить, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2-3x-2a=0\) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;

Решение:

1 способ решения:

Приведем уравнение к виду \(x^2-3x=2a\). И построим графики \(y=1/2*(x^2-3x)\) (показан красной линией) и \(y=a\) (синяя линия). Обратите внимание, график \(y=a\) – это просто семейство прямых параллельных оси \(x\) в плоскости \((xOy)\) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, \(a=5\), то графики \(y=5\) и \(y=1/2*(x^2-3x)\) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При \(a=-1.125\) оба графика имеют только одну общую точку \((1.5;-1.125)\) – это единственное решение.

Ответ:
При \(a>-1.115\) уравнение имеет два корня;
При \(a=-1.125\) уравнение имеет один корень;
При \(a<-1.125\) уравнение не имеет корней.

2 способ решения:

Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости \((xOa)\). Для этого выразим \(a=1/2*(x^2-3x).\)

Различным значениям параметра \(a\) можно поставить значения искомого \(x\), для это проведем горизонтальные линии.

Ответ:
При \(a>-1.115\) уравнение имеет два корня;
При \(a=-1.125\) уравнение имеет один корень;
При \(a<-1.125\) уравнение не имеет корней.

Пример 4

Решить уравнение: \(cos^2⁡x-2 cos⁡x+a=0\)

Сделаем замену \(t=cos⁡x,\) тогда \( t^2-2t+a=0,\) при \(t∈[-1;1].\)

Построим в плоскости \((tOa)\) график нашей функции \(a=2t-t^2:\)

Точки пересечения горизонтальных (фиолетовых) прямых с графиком нашей функции соответствуют решениям. Но \(t∈[-1;1]\), покажем это при помощи зеленой области (Рис.8). Таким образом, нас устраивают решения, которые принадлежат кусочку параболы, попавшей в зеленую область. Как видно из рисунка, \(a\) может принимать значения \(a∈[-3;1]\), и каждому значению \(a\) из этой области соответствует единственное решение. Найдем его, решив уравнение \(t^2-2t+a=0;\)

$$ {t}_{1}=\frac{4-\sqrt{4-4a}}{2};$$ $$ {t}_{2}=\frac{4+\sqrt{4-4a}}{2}.$$

\({t}_{2}\) не подходит, так как он не удовлетворяет условию \(t∈[-1;1]\).

Сделаем обратную замену:

$$ cos⁡x=\frac{4-/sqrt{4-4a}}{2};$$ $$ x=±arccos⁡(\frac{4-\sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$

Ответ: При \(a∈[-3;1]\); $$ x=±arccos⁡(\frac{4-\sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$

Пример 5

Решить уравнение \(sin^4⁡x-(a-1) sin^2⁡x-(2a+2)=0.\)

Решение:

Сделаем замену: \(t=sin^2⁡x \) ⇔ \(t^2-(a-1)t-2a-2=0;\)

Обратите внимание: \(t∈[0;1];\)

Выразим \(a=\frac{t^2+t-2}{t+2}=\frac{(t+2)(t-1)}{t+2}=t-1\),при \(t≠-2\).

Таким образом, необходимо решить систему:

$$ \begin{cases} a=t-1, \\t∈[0;1]. \end{cases} $$

Построим решения данной системы на координатной плоскости \((tOa)\).

Красной линией показан график \(a=t-1\), а зеленая область показывает интервал, в котором могут лежать корни. Выделенная часть графика соответствует всем возможным корням при \(a∈[-1;0].\) Если \(a\) не принадлежит этому интервалу, то корней нет. Найдем эти решения: $$ t=a+1,$$ $$sin^2⁡x=a+1,$$ $$ 1-cos⁡2x=a+1,$$ $$ cos⁡2x=-a,$$ $$x=±1/2$$ $$ arccos⁡(-a)+πn,n∈Z.$$

Ответ:При \(a∈[-1;0];\) $$ x=±1/2 arccos(-a)+πn,n∈Z.$$

Зеленой областью покажем допустимый интервал, в котором могут находиться корни. Выделенная часть параболы соответствует корням нашего уравнения при \(a∈[-2;0)\). Таким образом, при \(a<-2\) и \(a≥0\) корней нет.

Решим уравнение \(t^2-3t-a=0\).

При \(a∈[-2;0)\) $$ {t}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2};$$ $$ {t}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2},$$ так как \(t∈(0;1]\), то \({t}_{2}\) не подходит.

Сделаем обратную замену:

$$ 3^{-|x+1|}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2};$$ $$-|x+1|=log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2});$$ $$|x+1|=-log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2});$$ $$x=-1±log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2}).$$

Ответ: \(x=-1±log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2})\) при \(a∈[-2;0).\)

Пример 7

Решить уравнение \(\sqrt{a(3^x+1)+9}=2-3^x.\)

Сделаем замену \(t=3^x, t>0\) ⇔ \(\sqrt{a(t+1)+9}=2-t.\)

Данному уравнению равносильна система:

$$ \begin{cases} a(t+1)+9=(2-t)^2, \\ 2-t ≥ 0, \\ t > 0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a=\frac{(t-5)(t+1)}{t+1}, \\ 0 < t ≤ 2. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = t-5, \\ 0 < t <= 2. \end{cases}$$

Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:

При \(a∈(-5;-3]\) ⇔ \(t=a+5,\) сделаем обратную замену 3\(^x=a+5\), ⇔ \(x=log_3 (a+5).\)

При \(a∈(-∞;-5]∪(-3;+∞)\) корней нет.

Ответ: При \(a∈(-5;-3]\) ⇔ \( x=log_3 (a+5).\)

Пример 8

Решить неравенство \(9^x-(a-1) 3^x-a≥0\)

Сделаем замену: \(t=3^x,\) ⇔ \(t>0;\)

Получаем

$$ \begin{cases} t^2-(a-1)t-a≥0, \\t>0. \end{cases} $$ $$ t(t+1)≥a(t+1); $$

Заметим, что решение \(t=-1\) не подходит, так как \(t>0\). Поделим наше неравенство на \(t+1\). Так как \(t+1>0\), то знак неравенства не меняется. Будьте внимательны! В случае, когда нам неизвестен знак выражения, на которое мы делим неравенство, необходимо рассмотреть два случая, когда выражение отрицательно (меняем знак неравенства) и когда положительно (не меняем).

$$ \begin{cases} t≥a, \\t>0. \end{cases} $$

Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости \((tOa)\).

Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.

Получаем, что при \(a≤0\) $$ t∈(0;+∞) ⇔ 3^x>0 ⇔ x∈(-∞;+∞)$$

При \( a>0\) $$ t∈[a;+∞) ⇔ 3^x≥a ⇔ x≥log_3 a.$$

Ответ: при\( a≤0\) $$ x∈(-∞;+∞)$$ при \(a>0\) $$ x≥log_3 a.$$

Пример 9

Найти все значения параметра, при которых функция $$ f(x)=ln{(p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2)} $$ определена при всех \(x∈R.\)

Решение:

Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:

$$ (p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2) > 0.$$

Сделаем замену: \(t=3^{x/2},t > 0\).

Получим

$$ \begin{cases} (p-1)*t^2-4*t+p+2>0, \\ t>0. \end{cases} $$

Если \(p=1\),

$$ \begin{cases} -4t+3>0, \\ t>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} t<0.75, \\ t>0; \end{cases} $$

Сделаем обратную замену: \(0 < 3^{x/2} < 0.75.\) Очевидно, что это неравенство не будет выполняться при всех \(x\), как того требует условие задачи.

Если \(p≠-1,\)

$$ \begin{cases} pt^2-t^2-4t+p+2>0, \\t>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} p(t^2+1)>t^2+4t-2, \\t>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} p > \frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \\t>0. \end{cases} $$

Теперь нужно построить график функции \(p=\frac{t^2+4t-2}{1+t^2}\). Для этого исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы.

Найдем производную:

$$ p^{'}=\frac{-4(t-2)(t+1/2)}{1+t^2}^2 ;$$

Как видно из рисунка 13, точка \((-1/2;-3)\) – точка минимума; а \((2;2)\) – точка максимума.

Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.

График функции будет иметь горизонтальные асимптоты, если \(lim_{t→+∞} p(t)=const\) или \(lim_{t→-∞} p(t)=const.\) Проверим нашу функцию:

$$lim_{t→∞} \frac{t^2+4t-2}{1+t^2}=1.$$

Значит, есть горизонтальная асимптота \(p=1\).

И асимптоты могут быть наклонными: Прямая \(p=kt+b\) будет наклонной асимптотой к нашему графику \( p=\frac{t^2+4t-2}{1+t^2}\), если существуют пределы \(lim_{t→∞} {\frac{p(t)}{t}}=k\) и \(lim_{t→∞} {(p(t)-kt)}=b.\) В нашей случае наклонной асимптоты не будет.

Подробнее можно посмотреть здесь.

Из полученных данных построим примерный график функции \(p=\frac{t^2+4t-2}{1+t^2}\) :

На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы

$$ \begin{cases} p < \frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \\ t > 0. \end{cases}$$

Если \(p>2\),то \(t>0\) или \(3^(x/2)>0\), а значит и функция \(f(x)\) определена при любых \(x∈R\).

Ответ: \(p∈(2;+∞).\)

Пример 10

Найти при каких значениях параметра \(a\) система $$ \begin{cases} (2+log_{3} {(\frac{1}{9} a+\frac{1}{3}-\frac{2}{9} y)}=log_{3}{(2a+x-y-6)}, \\ \sqrt{x}=2+y. \end{cases}$$ имеет решение?

Решение:

Преобразуем исходную систему:

$$ \begin{cases} a+3-2y=2a+x-y-6, \\ \frac{1}{9} a+\frac{1}{3}-\frac{2}{9} y>0, \\ x=(2+y)^2. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} a=3-2y-(2+y)^2+y+6, \\ a+3-2y>0, \\ x=(2+y)^2. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} a=-y^2-5y+5, \\ a>2y-3, \\ x=(2+y)^2. \end{cases}$$

Построим график полученной системы:

Из рисунка 15 видно, что \(a∈(-19;11.25].\)

Ответ: \(a∈(-19;11.25].\)

Пример 11

Найти значения параметра a, при которых система $$ \begin{cases} x+y-1=0, \\ 2y=\sqrt{ax-1} \end{cases} $$ имеет единственное решение.

Решение:

Из второго уравнения следует, что \(x=\frac{y^2+1}{a}\).

Тогда

$$ \begin{cases} \frac{y^2+1}{a}+y-1=0, \\ y≥0, \\ x=\frac{y^2+1}{a}. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a=\frac{y^2+1}{1-y}, \\ y≥0, \\ x=\frac{y^2+1}{a}. \end{cases} $$

Обратите внимание, что \(y=1\), \(x=0\) не может быть решением системы при любых значениях параметра \(a\).

Исследуем, полученную зависимость \(a=\frac{y^2+1}{1-y}\) на монотонность и найдем экстремумы.

$$ {a}^{'}=\frac{2y(1-y)+(y^2+1)}{1-y}^2 ;$$ $$ {a}^{'}=\frac{-y^2+2y+1}{(1-y)^2} =-\frac{(y-1-\sqrt{2})(y-1+\sqrt{2})}{(1-y)^2} ;$$

Из рисунка 16 видно, что \({y}_{1}=1-\sqrt{2}\) - точка минимума функции \(a=\frac{y^2+1}{1-y};\) Ей соответствует значение \(a=2\sqrt{2}-2\).

\({y}_{2}=1+\sqrt{2}\) - точка максимума. \(a=-2\sqrt{2}-2\).

Найдем асимптоты (см. пример 9):

$$lim_{y→1} {\frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$

Значит \(y=1\) – вертикальная асимптота.

$$lim_{y→∞} {\frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$

Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.

И проверим на наличие наклонных асимптот:

$$ lim_{y→∞} {\frac{a(y)}{y}}=lim_{y→∞} {\frac{(\frac{y^2+1}{1-y})}{y}}=lim_{y→∞} {\frac{y^2+1}{y-y^2 }}=$$ $$=lim_{y→∞} {\frac{1+\frac{1}{y^2}}{-1+\frac{1}{y}}}=-1=k;$$ $$lim_{y→∞} {(a(y)-ky)}=lim_{y→∞} {\frac{y^2+1}{1-y}+y}=lim_{y→∞} {\frac{1+y}{1-y}}=-1;$$

Получим уравнение наклонной асимптоты \(a=-y-1\).

Красным показа график функции \(a=\frac{y^2+1}{1-y};\) Зеленым – показаны найденные асимптоты; Синяя область удовлетворяет условию \(y≥0\);

Выделенная бардовым часть графика указывает на возможные корни исходной системы. По условию задачи необходимо найти такие значения параметра \(a\), чтобы система имела единственное решение. Таким образом, из рисунка следует, что при \(a=-2\sqrt{2}-2\) и \(a ≥ 1\) система будет иметь единственное решение.

Ответ: \(a=-2\sqrt{2}-2\) и \(a≥1\)