Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной \(f(x)=0\). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции \(y=f(x)\). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось \(х\)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение \(f(x)=g(x)\). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Пример 1

Решить графическим методом уравнение \(x^2+3x=5x+3\).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций \(y=x^2+3x\) и \(y=5x+3\). См. рис.1.

Рис. 1

\(y=5x+3\) – красный график; \(y=x^2+3x\) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках \((-1;2)\) и \((3;18)\). Таким образом, решением нашего уравнения будут: \({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3\).

Ответ: \({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3\).


Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными \(f(x,y)=0\). Решением этого уравнения будет множество пар точек \((x,y)\), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости \((xOy)\). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую \((x,y=f(x))\) или \((x=f(y),y)\).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение \(2x-5y=10\). (1) Выражаем \(x=\frac{10+5y}{2}\) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):

Рис. 2

Все точки, принадлежащие этому графику, будут решениями нашего уравнения. Например, при \(x=0\) ⇔ \(y=-2\). Аналогично можно выразить \(y=\frac{2x-10}{5}\). График будет выглядеть так (Рис. 3):

Рис. 3

И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений \(x\) и \(y\). Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных \(x\) и \(y\). Поэтому, если мы вместо \(y\) в уравнении (1) запишем параметр \(a\), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно \(x\) с параметром \(y\) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за \(a\).

Разберем уравнение с параметром \(6x-5a=15\). Будем работать в системе координат \((aOx)\). Выразим \(x=\frac{15+5a}{6}\) – это будет общий вид решения. Для того чтобы проиллюстрировать ответ, построим график \(x(a)\) (Рис. 4).

Рис. 4
Пример 2

Найти все значения параметра \(a\), при которых корни уравнения \(6x-5a=15\) лежат на отрезке \([-5;5]\).

График \(x(a)\) для этого же примера на рисунке 4.

Иногда для решения удобно построить график зависимости \(a(x): a=\frac{6x-15}{5}\). Давайте так и поступим. Построим график (Рис. 5). И красной областью покажем интервал, который нас интересует по условию задачи. Из рисунка видно, что \(a∈[-9;3]\) (при \(x=5\) ⇔\(a=3\); и при \(x=-5\) ⇔\(a=-9\))

Рис. 5

На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.


Пример 3

Определить, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2-3x-2a=0\) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;

Решение:

1 способ решения:

Приведем уравнение к виду \(x^2-3x=2a\). И построим графики \(y=1/2*(x^2-3x)\) (показан красной линией) и \(y=a\) (синяя линия). Обратите внимание, график \(y=a\) – это просто семейство прямых параллельных оси \(x\) в плоскости \((xOy)\) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, \(a=5\), то графики \(y=5\) и \(y=1/2*(x^2-3x)\) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При \(a=-1.125\) оба графика имеют только одну общую точку \((1.5;-1.125)\) – это единственное решение.

Уравнение с параметром. Графический метод решения. При помощи семейства кривых в плоскости (xOy).
Рис. 6

Ответ:
При \(a>-1.115\) уравнение имеет два корня;
При \(a=-1.125\) уравнение имеет один корень;
При \(a<-1.125\) уравнение не имеет корней.


2 способ решения:

Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости \((xOa)\). Для этого выразим \(a=1/2*(x^2-3x).\)

Уравнение с параметром. Графический метод решения. Семейство кривых в плоскости (xOa).
Рис.7

Различным значениям параметра \(a\) можно поставить значения искомого \(x\), для это проведем горизонтальные линии.

Ответ:
При \(a>-1.115\) уравнение имеет два корня;
При \(a=-1.125\) уравнение имеет один корень;
При \(a<-1.125\) уравнение не имеет корней.


Пример 4

Решить уравнение: \(cos^2⁡x-2 cos⁡x+a=0\)

Сделаем замену \(t=cos⁡x,\) тогда \( t^2-2t+a=0,\) при \(t∈[-1;1].\)

Построим в плоскости \((tOa)\) график нашей функции \(a=2t-t^2:\)

Графический метод решения тригонометрического уравнения с параметром. Задача 18(С6).
Рис.8

Точки пересечения горизонтальных (фиолетовых) прямых с графиком нашей функции соответствуют решениям. Но \(t∈[-1;1]\), покажем это при помощи зеленой области (Рис.8). Таким образом, нас устраивают решения, которые принадлежат кусочку параболы, попавшей в зеленую область. Как видно из рисунка, \(a\) может принимать значения \(a∈[-3;1]\), и каждому значению \(a\) из этой области соответствует единственное решение. Найдем его, решив уравнение \(t^2-2t+a=0;\)

$$ {t}_{1}=\frac{4-\sqrt{4-4a}}{2};$$ $$ {t}_{2}=\frac{4+\sqrt{4-4a}}{2}.$$

\({t}_{2}\) не подходит, так как он не удовлетворяет условию \(t∈[-1;1]\).

Сделаем обратную замену:

$$ cos⁡x=\frac{4-/sqrt{4-4a}}{2};$$ $$ x=±arccos⁡(\frac{4-\sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$

Ответ: При \(a∈[-3;1]\); $$ x=±arccos⁡(\frac{4-\sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$


Пример 5

Решить уравнение \(sin^4⁡x-(a-1) sin^2⁡x-(2a+2)=0.\)

Решение:

Сделаем замену: \(t=sin^2⁡x \) ⇔ \(t^2-(a-1)t-2a-2=0;\)

Обратите внимание: \(t∈[0;1];\)

Выразим \(a=\frac{t^2+t-2}{t+2}=\frac{(t+2)(t-1)}{t+2}=t-1\),при \(t≠-2\).

Таким образом, необходимо решить систему:

$$ \begin{cases} a=t-1, \\t∈[0;1]. \end{cases} $$

Построим решения данной системы на координатной плоскости \((tOa)\).

Задача 18(С6). Подготовка к ЕГЭ по математике. Уравнение с параметром. Графический метод.
Рис. 9

Красной линией показан график \(a=t-1\), а зеленая область показывает интервал, в котором могут лежать корни. Выделенная часть графика соответствует всем возможным корням при \(a∈[-1;0].\) Если \(a\) не принадлежит этому интервалу, то корней нет. Найдем эти решения: $$ t=a+1,$$ $$sin^2⁡x=a+1,$$ $$ 1-cos⁡2x=a+1,$$ $$ cos⁡2x=-a,$$ $$x=±1/2$$ $$ arccos⁡(-a)+πn,n∈Z.$$

Ответ:При \(a∈[-1;0];\) $$ x=±1/2 arccos(-a)+πn,n∈Z.$$

Пример 6

Решить уравнение \(9^{-|x+1|}-3^{1-|x+1|}-a=0.\)

Сделаем замену \(t=3^{-|x+1|}\), получим \(t^2-3t-a=0\), где \(t∈(0;1].\)

Построим график функции \(a(t)=t^2-3t\), при \(t∈(0;1]\) в системе координат \((tOa)\).

Показательные уравнения с параметром. Графический способ. Задача 18(С6).
Рис.10

Зеленой областью покажем допустимый интервал, в котором могут находиться корни. Выделенная часть параболы соответствует корням нашего уравнения при \(a∈[-2;0)\). Таким образом, при \(a<-2\) и \(a≥0\) корней нет.

Решим уравнение \(t^2-3t-a=0\).

При \(a∈[-2;0)\) $$ {t}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2};$$ $$ {t}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2},$$ так как \(t∈(0;1]\), то \({t}_{2}\) не подходит.

Сделаем обратную замену:

$$ 3^{-|x+1|}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2};$$ $$-|x+1|=log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2});$$ $$|x+1|=-log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2});$$ $$x=-1±log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2}).$$

Ответ: \(x=-1±log_3 (\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2})\) при \(a∈[-2;0).\)


Пример 7

Решить уравнение \(\sqrt{a(3^x+1)+9}=2-3^x.\)

Сделаем замену \(t=3^x, t>0\) ⇔ \(\sqrt{a(t+1)+9}=2-t.\)

Данному уравнению равносильна система:

$$ \begin{cases} a(t+1)+9=(2-t)^2, \\ 2-t ≥ 0, \\ t > 0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a=\frac{(t-5)(t+1)}{t+1}, \\ 0 < t ≤ 2. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = t-5, \\ 0 < t <= 2. \end{cases}$$

Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:

Иррациональное уравнение с параметром. Графический метод. Задача 18(С6) ЕГЭ по математике.
Рис.11

При \(a∈(-5;-3]\) ⇔ \(t=a+5,\) сделаем обратную замену 3\(^x=a+5\), ⇔ \(x=log_3 (a+5).\)

При \(a∈(-∞;-5]∪(-3;+∞)\) корней нет.

Ответ: При \(a∈(-5;-3]\) ⇔ \( x=log_3 (a+5).\)


Пример 8

Решить неравенство \(9^x-(a-1) 3^x-a≥0\)

Сделаем замену: \(t=3^x,\) ⇔ \(t>0;\)

Получаем

$$ \begin{cases} t^2-(a-1)t-a≥0, \\t>0. \end{cases} $$ $$ t(t+1)≥a(t+1); $$

Заметим, что решение \(t=-1\) не подходит, так как \(t>0\). Поделим наше неравенство на \(t+1\). Так как \(t+1>0\), то знак неравенства не меняется. Будьте внимательны! В случае, когда нам неизвестен знак выражения, на которое мы делим неравенство, необходимо рассмотреть два случая, когда выражение отрицательно (меняем знак неравенства) и когда положительно (не меняем).

$$ \begin{cases} t≥a, \\t>0. \end{cases} $$

Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости \((tOa)\).

Показательно неравенство с параметром. Графический метод. Задача 18(С6) ЕГЭ по математике.
Рис.12

Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.

Получаем, что при \(a≤0\) $$ t∈(0;+∞) ⇔ 3^x>0 ⇔ x∈(-∞;+∞)$$

При \( a>0\) $$ t∈[a;+∞) ⇔ 3^x≥a ⇔ x≥log_3 a.$$

Ответ: при\( a≤0\) $$ x∈(-∞;+∞)$$ при \(a>0\) $$ x≥log_3 a.$$

Пример 9

Найти все значения параметра, при которых функция $$ f(x)=ln{(p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2)} $$ определена при всех \(x∈R.\)

Решение:

Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:

$$ (p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2) > 0.$$

Сделаем замену: \(t=3^{x/2},t > 0\).

Получим

$$ \begin{cases} (p-1)*t^2-4*t+p+2>0, \\ t>0. \end{cases} $$

Если \(p=1\),

$$ \begin{cases} -4t+3>0, \\ t>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} t<0.75, \\ t>0; \end{cases} $$

Сделаем обратную замену: \(0 < 3^{x/2} < 0.75.\) Очевидно, что это неравенство не будет выполняться при всех \(x\), как того требует условие задачи.

Если \(p≠-1,\)

$$ \begin{cases} pt^2-t^2-4t+p+2>0, \\t>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} p(t^2+1)>t^2+4t-2, \\t>0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} p > \frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \\t>0. \end{cases} $$

Теперь нужно построить график функции \(p=\frac{t^2+4t-2}{1+t^2}\). Для этого исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы.

Найдем производную:

$$ p^{'}=\frac{-4(t-2)(t+1/2)}{1+t^2}^2 ;$$
Исследуем производную функции с параметром
Рис.13

Как видно из рисунка 13, точка \((-1/2;-3)\) – точка минимума; а \((2;2)\) – точка максимума.

Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.

График функции будет иметь горизонтальные асимптоты, если \(lim_{t→+∞} p(t)=const\) или \(lim_{t→-∞} p(t)=const.\) Проверим нашу функцию:

$$lim_{t→∞} \frac{t^2+4t-2}{1+t^2}=1.$$

Значит, есть горизонтальная асимптота \(p=1\).

И асимптоты могут быть наклонными: Прямая \(p=kt+b\) будет наклонной асимптотой к нашему графику \( p=\frac{t^2+4t-2}{1+t^2}\), если существуют пределы \(lim_{t→∞} {\frac{p(t)}{t}}=k\) и \(lim_{t→∞} {(p(t)-kt)}=b.\) В нашей случае наклонной асимптоты не будет.

Подробнее можно посмотреть здесь.

Из полученных данных построим примерный график функции \(p=\frac{t^2+4t-2}{1+t^2}\) :

Примерный график функции с параметром
Рис. 14

На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы

$$ \begin{cases} p < \frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \\ t > 0. \end{cases}$$

Если \(p>2\),то \(t>0\) или \(3^(x/2)>0\), а значит и функция \(f(x)\) определена при любых \(x∈R\).

Ответ: \(p∈(2;+∞).\)


Пример 10

Найти при каких значениях параметра \(a\) система $$ \begin{cases} (2+log_{3} {(\frac{1}{9} a+\frac{1}{3}-\frac{2}{9} y)}=log_{3}{(2a+x-y-6)}, \\ \sqrt{x}=2+y. \end{cases}$$ имеет решение?

Решение:

Преобразуем исходную систему:

$$ \begin{cases} a+3-2y=2a+x-y-6, \\ \frac{1}{9} a+\frac{1}{3}-\frac{2}{9} y>0, \\ x=(2+y)^2. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} a=3-2y-(2+y)^2+y+6, \\ a+3-2y>0, \\ x=(2+y)^2. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} a=-y^2-5y+5, \\ a>2y-3, \\ x=(2+y)^2. \end{cases}$$

Построим график полученной системы:

График системы уравнений с параметром
Рис. 15

Из рисунка 15 видно, что \(a∈(-19;11.25].\)

Ответ: \(a∈(-19;11.25].\)


Пример 11

Найти значения параметра a, при которых система $$ \begin{cases} x+y-1=0, \\ 2y=\sqrt{ax-1} \end{cases} $$ имеет единственное решение.

Решение:

Из второго уравнения следует, что \(x=\frac{y^2+1}{a}\).

Тогда

$$ \begin{cases} \frac{y^2+1}{a}+y-1=0, \\ y≥0, \\ x=\frac{y^2+1}{a}. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a=\frac{y^2+1}{1-y}, \\ y≥0, \\ x=\frac{y^2+1}{a}. \end{cases} $$

Обратите внимание, что \(y=1\), \(x=0\) не может быть решением системы при любых значениях параметра \(a\).

Исследуем, полученную зависимость \(a=\frac{y^2+1}{1-y}\) на монотонность и найдем экстремумы.

$$ {a}^{'}=\frac{2y(1-y)+(y^2+1)}{1-y}^2 ;$$ $$ {a}^{'}=\frac{-y^2+2y+1}{(1-y)^2} =-\frac{(y-1-\sqrt{2})(y-1+\sqrt{2})}{(1-y)^2} ;$$
Промежутки монотонности
Рис. 16

Из рисунка 16 видно, что \({y}_{1}=1-\sqrt{2}\) - точка минимума функции \(a=\frac{y^2+1}{1-y};\) Ей соответствует значение \(a=2\sqrt{2}-2\).

\({y}_{2}=1+\sqrt{2}\) - точка максимума. \(a=-2\sqrt{2}-2\).

Найдем асимптоты (см. пример 9):

$$lim_{y→1} {\frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$

Значит \(y=1\) – вертикальная асимптота.

$$lim_{y→∞} {\frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$

Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.

И проверим на наличие наклонных асимптот:

$$ lim_{y→∞} {\frac{a(y)}{y}}=lim_{y→∞} {\frac{(\frac{y^2+1}{1-y})}{y}}=lim_{y→∞} {\frac{y^2+1}{y-y^2 }}=$$ $$=lim_{y→∞} {\frac{1+\frac{1}{y^2}}{-1+\frac{1}{y}}}=-1=k;$$ $$lim_{y→∞} {(a(y)-ky)}=lim_{y→∞} {\frac{y^2+1}{1-y}+y}=lim_{y→∞} {\frac{1+y}{1-y}}=-1;$$

Получим уравнение наклонной асимптоты \(a=-y-1\).

Использование асимптот в уравнениях с параметром
Рис. 17

Красным показа график функции \(a=\frac{y^2+1}{1-y};\) Зеленым – показаны найденные асимптоты; Синяя область удовлетворяет условию \(y≥0\);

Выделенная бардовым часть графика указывает на возможные корни исходной системы. По условию задачи необходимо найти такие значения параметра \(a\), чтобы система имела единственное решение. Таким образом, из рисунка следует, что при \(a=-2\sqrt{2}-2\) и \(a ≥ 1\) система будет иметь единственное решение.

Ответ: \(a=-2\sqrt{2}-2\) и \(a≥1\)


Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Решение показательных и логарифмических уравнений с параметром

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a

Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.