Разбор первой части
ЕГЭ по математике
Задания 1-12

Простые задачи, требующие базовых знаний по математике:

Задачи из реальной жизни на определение стоимости и массы товара в магазине, на время прибытия поезда, расчет стоимости подписки и т.д. Нужно уметь округлять числа и считать проценты.

Простая задача на извлечение информации из графика. Как правило, не требует особых специальных навыков. Требуется понимание, что такое график или диаграмма, и логика.

Простые задачи на минимальное знание геометрии.

В заданиях на координатную плоскость необходимо уметь находить расстояние между двумя точками по их координатам. Знать формулы площадей всех стандартных фигур: прямоугольник, треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, круг.

В заданиях, где дана квадратная решетка, нужно уметь искать расстояния по клеткам. Будьте внимательны – если прямая идет не по ребрам клеток, а пересекает их, то расстояние ищется при помощи теоремы Пифагора.

Задачи на теорию вероятности. Может встретиться, как очень простая задача, так и довольно сложная – иногда, но редко, бывает, что четвертая задача одна из самых сложных в первой части ЕГЭ. Как правило, это задача решается очень просто и ее нужно обязательно брать. Примерно половина задач на вероятность решаются, исходя из знания, что вероятность – это количество благоприятных событий, деленая на все возможные. Например, у вас есть мешок с одинаковыми шарами различных цветов: 3 зеленых, 5 синих, 2 красных. Нужно найти какая вероятность того, что вы вытащите красный шар. Всего шаров - 3 зеленых + 5 синих + 2 красных = 10, из них вам надо вытянуть красный (по условию их всего 2), значит вас устраивает 2 шара из 10, или другими словами – 2 шара, это количество благоприятных событий, а всего событий 10. Значит нужно 2/10=0,2 – это и есть искомая вероятность. Вероятность всегда меньше единицы! В задачах остальных типов нужно уметь проявить логику и знать формулы суммы и произведения вероятностей (когда что применяется). Вероятности двух событий умножаются, когда вам нужно, чтобы события произошли одновременно. Складываются, когда вас устраивает и первое событие и второе.

Самые простые уравнения, требующие минимум преобразований. Но уравнения могут быть на различные темы: линейные, квадратные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические. Здесь вам понадобятся начальные знания по каждой из этих тем. Применяя простейшие преобразования эти уравнения легко решаются. Настоятельно рекомендуем читать внимательно задание и делать проверку – подставлять получившееся корни в исходное уравнение, если получается верное равенство, значит все правильно, и можно смело записывать ответ в бланк, если нет, то вы где-то ошиблись.

Несложная задача по планиметрии. Нужно хорошо выучить теорию за 8 -11 класс, тогда с большой долей вероятности эта задача не вызовет проблем. Иногда попадаются задачи на окружности – нужно знать, что вписанные углы, опирающиеся на одинаковые дуги, равны и свойства касательной и секущей. Вы видите, что у вас задача на окружности, и сразу перебираете в голове теорию, связанную с окружностями и ищите то, о чем у вас теория – одинаковые углы, касательные и т.п. И так нужно делать со всей теорией. Между прочим, такой подход помогает не только в простых задачах по планиметрии, но и в стереометрии, и в 16 номере.

Здесь встречаются задачи в основном на анализ графиков при помощи производных. Необходимо хорошо понимать, что такое производная и уметь ее считать.

Производная всегда показывает, как быстро меняется значение функции с увеличением аргумента (х). Она берется от функции при помощи известных приемов и формул, и если значение производной от этой функции на некотором числовом промежутке положительна, то значит сама функция на этом промежутке возрастает (с увеличением значения аргумента (х) увеличивается и значение функции (y)). Если отрицательна, то функция убывает (с увеличением аргумента (х) значение функции уменьшается (y)). И, если значение производной при некотором значении х равно 0, то наша функция при этом х принимает максимальное, либо минимальное значение – экстремум. Само значение х, при котором производная равно 0, называется «точкой экстремума». Не путайте: значения х – «точки экстремума», значения y – «экстремум».

Иногда бывают задачи на нахождение тангенса угла наклона касательной к графику. Здесь нужно просто помнить, что тангенс угла наклона – это просто производная от функции в данной точке, к которой проведена касательная. Чем больше по модулю значение производной в данной точке, тем больше коэффициент наклона и тем круче идет касательная. Обычно, вам дана часть графика и касательная к нему в какой-то точке – нужно просто по клеточкам посчитать тангенс угла наклона касательной к горизонту, это и будет значение производной функции в данной точке.

Задача на базовые знания по стереометрии. Обычно просят посчитать объем или площадь боковой поверхности фигуры. Иногда встречаются простые задачи на нахождение углов и расстояний. Ничего доказывать и аргументировать не нужно. Как правило, если на рисунке видно, что прямые перпендикулярны, значит они перпендикулярны, но лучше, конечно, это для себя обосновать.

Нужно уметь проводить стандартные математические операции, знать формулы сокращенного умножения, свойства степеней с рациональным показателем, квадратного корня, корня n-степени, логарифмов и основные формулы тригонометрических функций.

Часто здесь можно встретить задачи на формулы из химии или физике. Знание химии или физики для этого вам необязательно – формула будет дана. Необходимо подставить имеющиеся значения в данную формулу и решить получившееся уравнение или неравенство. Кстати, оно может быть абсолютно любым: логарифмических, показательным, тригонометрическим, иррациональным или обычным рациональным. Поэтому все уравнения на указанные темы нужно хорошо знать. Важный совет! Настоятельно рекомендуем вам сначала максимально упростить исходную формулу. И выразить неизвестную величину в общем виде (без подстановки чисел). И только потом подставлять известные значения.

К сожалению, в школьной программе довольно мало времени уделяется текстовым задачам. Процент их выполнения очень низкий.

Здесь могут быть задачи на движение или движение по реке, совместную работу, проценты, сплавы и растворы, оптимальный выбор и на числа. Нужно уметь по тексту задачи составлять уравнения и решать их. Как правило, это рациональные и линейные уравнения.

В задачах на движение необходимо знать формулу расстояния через скорость и время S=V*t. И иметь представление, как влияет течение на скорость движения: если плот, то скорость его движения равна скорости течения; если лодка плывет против течения, то из собственной скорости лодки нужно вычесть скорость течения; если плывет по течению, то скорость течения прибавляется.

Задачи на работу. Здесь нужно знать, что такое производительность труда. Поясним на примере. Пусть Денис делает домашнее задание за 5 часов, при этом каждый час он решает одно и тоже количество задач. Тогда получается, что за один час он решит пятую всех задач, за два часа две пятых. Обозначим все домашнее задание за 1, тогда за час Денис делает 1/5 домашнего задания – это есть его производительность. Таким образом, в задачах на работу часто всю работу обозначают за 1. В общем виде формула для производительности выглядит так: P=A/t, где A – полная, работа которую нужно выполнить, а t- время.

Задачи на проценты. Нужно хорошо понимать, что такое процент. Пусть у нас есть какая-то величина, поделим ее на 100 одинаковых частей, тогда одна часть из этих ста будет называться одним процентом (1%), соответственно пять частей – 5%. Обычно такие задачи решаются через пропорции.

Задачи на сплавы и растворы. При решении задач на растворы или сплавы, нужно понимать, что если у вас есть A литров некоего вещества и B литров воды, то общий объем раствора этого вещества в воде будет А+В литров. А в одном литре раствора будет содержаться A/(A+B) литров некоего вещества. Это отношение также называют концентрацией.

Задачи на числа. Эти задачи встречаются крайне редко. Но тут полезно помнить, что любое число можно разложить на слагаемые. Например, трехзначное число abc можно представить в виде 100a+10b+c.

Для того, чтобы найти минимум или максимум функции необходимо уметь брать производные, приравнять производную к нулю и найти х, решив уравнение. Обычно эти задачи бывают двух типов: найти точки минимума или максимума находим х и смотрим, какие будут точками минимума, а какие максимума, либо найти минимальное или максимальное значение данной функции, для этого нужно найденные значения х подставить в исходную функцию. Школьники часто путают, что именно просят найти – нужно быть внимательным. Помните, что если производная положительна, то функция возрастает на данном промежутке, если отрицательна – убывает, а там, где она равна нулю – это точки минимума (меняется знак с минуса на плюс) или максимума (с плюса на минус). В случае, когда у вас указан отрезок значений х, на котором нужно решить задачу, необходимо еще проверить значения и на концах этого отрезка и сравнить их с локальными значениями минимума или максимума. Довольно часто бывает, что именно на концах отрезка функция принимает наименьшее или наибольшее значение