Иррациональные неравенства

1. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge a;\)
2. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le a;\)
3. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)};\)
4. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le g(x);\)
5. Неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge g(x);\)
6. Неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0;\)
7. Неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \le 0;\)

В этом уроке нам понадобятся темы:

1. Линейные, рациональные и дробно-рациональные неравенства;
2. Системы неравенств;
3. Арифметический квадратный корень и корень степени \(n\);
4. ОДЗ;

Также, перед тем, как приступать к иррациональным неравенствам, полезно уметь решать иррациональные уравнения.

Что такое иррациональное неравенство

Неравенство называется иррациональным, если в нем есть хотя бы один арифметический корень от некоторого выражения, зависящего от переменной \(x.\)

Примеры иррациональных неравенств: $$x+\sqrt{x+3} \ge 2;$$ $$(x^2-9)*\sqrt{x^2-4} \lt 0;$$ $$\sqrt{x+3} \le 2\sqrt{5x-8};$$ $$\frac{1}{\sqrt{2x-5}}+x \gt \sqrt{2x-5};$$ $$\sqrt[3]{x+9}\gt 2;$$

Первое, что хочется сделать, когда видишь неравенство с квадратным корнем - это возвести его в квадрат. Но возведение в квадрат очень опасная неравносильная операция, которая требует внимательного применения, так как могут появиться посторонние корни:

• Возводить неравенство в квадрат или в любую другую чётную степень можно только при условии, что обе части неравенства неотрицательны. Необходимо следить за ОДЗ.
• Если левая или правая часть иррационального неравенства отрицательна, то возводить в квадрат строго запрещено.
• В нечетную степень неравенство можно возводить без каких-либо ограничений.

Существует несколько основных типов иррациональных неравенств. Сейчас кратко, для удобства, приведем алгоритмы их решения, а потом подробно и с примерами обсудим решение иррациональных неравенств каждого типа. Если понять логику и разобраться, какие ограничения необходимо накладывать в каждом отдельном случае, то учить алгоритмы не придется.

Алгоритмы решения иррациональных неравенств

Далее \(f(x)\) и \(g(x)\) - это функции, зависящие от переменной \(x;\)
Будьте внимательны, в иррациональных неравенствах даже знак неравенства может кардинальным образом изменить алгоритм решения у одинаковых, на первый взгляд, неравенств. Также у студентов часто возникают сложности с выбором строгого или нестрогого знака неравенства, поэтому мы приведем алгоритмы в некоторых спорных случаях для строгих и нестрогих неравенств по отдельности.

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge a\)

Если \(a \ge 0:\) $$\sqrt{f(x)} \ge a \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge a^2. $$ Если \(a \lt 0:\) $$f(x) \ge 0;$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le a\)

Если \(a \ge 0:\) $$\sqrt{f(x)} \le a \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \le a^2, \\ f(x) \ge 0. \end{cases}$$ Если \(a \lt 0:\) корней нет.

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le g(x)\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \le g(x) \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \le g^2(x), \\ f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}}$$ $${ \small \sqrt{f(x)} \lt g(x) \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \lt g^2(x), \\ f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge g(x)\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \ge g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x) \ge g^2(x) \\ g(x) \ge 0; \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \lt 0; \end{cases} \end{gathered} \right.}$$ $${ \small \sqrt{f(x)} \gt g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x) \gt g^2(x) \\ g(x) \ge 0; \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \lt 0; \end{cases} \end{gathered} \right. }$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \ge g(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}}$$ $${ \small \sqrt{f(x)} \gt \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \gt g(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)}\)

$${ \small \sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \le g(x), \\ f(x) \ge 0. \end{cases}}$$ $${ \small \sqrt{f(x)} \lt \sqrt{g(x)} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \lt g(x), \\ f(x) \ge 0. \end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0\)

$${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ f(x) = 0. \end{gathered} \right. }$$ $${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \gt 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} g(x) \gt 0, \\ f(x) \gt 0; \end{cases}} $$

Иррациональные неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \le 0\)

$${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) \le 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ f(x) = 0. \end{gathered} \right. }$$ $${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \lt 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} g(x) \lt 0, \\ f(x) \gt 0; \end{cases}} $$

Корни нечётной степени

Возведение левой и правой частей неравенства в нечётную степень не накладывает никаких ограничений. Это равносильная операция, например: $${ \small \sqrt[3]{f(x)} \ge g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge g^3(x).}$$ При решении иррациональных неравенств с арифметическими корнями нечётной степени можете смело возводить в нечётную степень, на корни неравенства это никак не повлияет.

Корни чётной степени

Решение иррациональных неравенств с любыми арифметическими корнями чётной степени аналогично решению неравенств с квадратными корнями, за исключением того, что нужно возводить неравенство не в квадрат, а в степень корня, чтобы избавиться от него.

Иррациональные неравенства с квадратным корнем

Итак, любое неравенство, в котором есть переменная \(x\) под знаком корня, называется иррациональным. Корень может быть любой степени, но самый распространенный тип неравенств - с обыкновенным арифметическим квадратным корнем.

В этой главе мы постараемся подробно разобраться, откуда берутся все эти страшные совокупности и системы при решении иррациональных неравенств.

Чтобы избавиться от корня (еще говорят: избавиться от иррациональности), нужно возвести и левую, и правую части неравенства в квадрат. Но возведение в квадрат - это неравносильная операция. Другими словами, могут появиться посторонние корни. Поэтому при возведении в квадрат мы вынуждены накладывать дополнительные условия, которые делают наши преобразования равносильными. А так как все неравенства разные, то и условия всегда разные, что значительно усложняет задачу.

Для того, чтобы действительно научиться решать иррациональные неравенства, надо не учить алгоритмы, приведенные выше, а лучше разобраться, откуда все эти условия возникают. Тогда вы сможете решить любое, даже самое сложное иррациональное неравенство.

Свойства квадратного корня

Прежде чем приступить непосредственно к решению примеров, обсудим некоторые очевидные свойства квадратного корня.

Квадратный корень существует только от положительных чисел, невозможно извлечь корень из отрицательного числа. Поэтому подкоренное выражение всегда должно быть больше или равно нулю. Например, у корня \(\sqrt{x+4}\) будут вот такие ограничения: $$x+4 \ge 0;$$ $$x \ge -4;$$

То, что мы сейчас нашли, еще называют ОДЗ (область допустимых значений) - это такие значения переменной \(x,\) при которых исходная функция, вообще говоря, существует.

При \(x \lt -4\) будет корень от отрицательного числа, что теряет всякий смысл.
Сам арифметический квадратный корень тоже всегда неотрицательный: нельзя посчитать из чего-нибудь корень и получить отрицательное число: $$\sqrt{x+4} \ge 0;$$

В общем виде ограничения, которые преследуют квадратные корни, можно выписать вот так: $$\sqrt{f(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) \ge 0;$$ $$\Downarrow$$ $$\sqrt{f(x)} \ge 0.$$ Про них ни в коем случае нельзя забывать.

Вспомнить все свойства квадратных корней можно в отдельной статье.

Начнем решать иррациональные неравенства с самого простого типа: когда квадратный корень от некоторой функции сравнивается с обыкновенным числом:

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge a\)

Будем разбираться на реальных примерах, так легче всего:
Пример 1 $$\sqrt{x+3} \ge -2;$$ Сразу выпишем ОДЗ: $$x+3 \ge 0;$$ $$x \ge -3.$$ Теперь смотрим на исходное неравенство: в левой части стоит квадратный корень \(\sqrt{x+3}\), а в правой - отрицательное число \((-2).\) И, согласно условию, нам нужно найти такие значения переменной \(x,\) при которых левая часть неравенства больше или равна правой, то есть квадратный корень должен быть больше или равен отрицательного числа.

Стоп! Квадратный корень ведь всегда больше или равен нуля, а значит он автоматически должен быть больше любого отрицательного числа.

Получается, наше исходное неравенство выполняется при любых \(x?\) Нет, оно выполняется при любых \(x,\) удовлетворяющих ОДЗ.

То есть решением неравенства будет \(x \ge -3.\)
Ответ: \(x \in [-3; +\infty).\)

А что, если справа стоит положительное число:
Пример 2 $$\sqrt{x^2+3x} \gt 2;$$ Запишем ОДЗ, но не будем его решать (позже скажу почему): $$x^2+3x \ge 0;$$ Переходим непосредственно к решению неравенства. Тут логика, как в первом примере, не работает, корень слева вполне может быть меньше \(2\) при каких-то значениях \(x.\)

Поэтому, чтобы решить это неравенство, нужно избавиться от квадратного корня. Единственный способ сделать это - возвести левую и правую часть неравенства в квадрат: $$(\sqrt{x^2+3x})^2 \gt 2^2;$$ Мы действительно можем возвести это неравенство в квадрат, и при этом ничего не нарушится и не появятся никакие посторонние корни. Почему? Да потому, что мы можем возводить в квадрат тогда, когда уверены, что левая и правая части неравенства неотрицательны при условии, что не нарушается ОДЗ.

Слева стоит квадратный корень, он всегда неотрицательный по определению. А справа стоит положительное число \(2.\) ОДЗ мы выше записали. Бояться нечего, значит можем возводить в квадрат.

Тут внимание! Посмотрите на неравенство, которое у нас получилось после возведения в квадрат: выражение, которое стояло под корнем должно быть больше, чем положительное число \(4.\) А что у нас записано в ОДЗ? Что выражение под корнем должно быть больше или равно нуля. Но если мы решаем неравенство, в котором подкоренное выражение должно быть больше \(4\), то логично, что оно автоматически будет и больше \(0.\) Можно сделать вывод, что ОДЗ выполняется автоматически по ходу решения основного неравенства. ОДЗ можно не решать, поэтому я не стал этого делать в начале. Продолжаем решение: $$x^2+3x-4 \gt 0;$$ $$(x+4)(x-1) \gt 0;$$ Решаем методом интервалов:

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le a\)

Пример 3 $$\sqrt{x^2-9} \le -10;$$ Квадратный корень не может быть меньше нуля, а значит тем более не может быть меньше отрицательного числа, какие бы \(x\) вы не подставляли. Это неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет корней.

Пример 4 $$\sqrt{x^2-9} \lt 4;$$ Найдем ОДЗ: $$x^2-9 \ge 0;$$ Раскладываем разность квадратов: $$(x-3)(x+3) \ge 0;$$

Решаем исходное неравенство. Чтобы избавиться от корня, возводим левую и правую части в квадрат. Мы можем это сделать без каких-либо ограничений, помимо ОДЗ, так как левая и правая части неравенства положительны: слева арифметический квадратный корень, справа положительное число: $$(\sqrt{x^2-9})^2 \lt 4^2;$$ $$x^2-9 \lt 16;$$ $$x^2-25 \lt 0;$$ Опять получилась разность квадратов: $$(x-5)(x+5) \lt 0;$$

$$x \in (-5;5);$$
Накладываем ОДЗ. Для удобства отметим на одной числовой прямой решение неравенства сверху, а ОДЗ снизу, и найдем их пересечение:

Ответ: \(x \in (-5; -3] \cup [3; 5).\)

Алгоритм решения: $$\sqrt{f(x)} \le a$$ где \(a\) - некоторое число;
Если \(a \ge 0:\) $$\sqrt{f(x)} \le a; \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \le a^2, \\ f(x) \ge 0. \end{cases}$$ Если \(a \lt 0:\) корней нет.

В иррациональных неравенствах, в которых сравниваются квадратный корень и число, важно следить за выполнением ОДЗ и тем, чтобы сам корень не был меньше нуля.

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}\)

Квадратный корень - это возрастающая функция, то есть чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому, когда сравниваются два арифметических корня, больше будет тот, у которого под корнем стоит большее выражение. При этом ни в коем случае нельзя забывать про ОДЗ.

Пример 5 $$\sqrt{x^2+6x} \ge \sqrt{x-6};$$ ОДЗ: $$\begin{cases} x^2+6x \ge 0, \\ x-6 \ge 0; \end{cases}$$ Пока не будем решать ОДЗ. Перейдем к решению исходного неравенства. Так как слева и справа стоят квадратные корни, то обе части неравенства неотрицательны, значит, чтобы избавиться от корней, можно возводить в квадрат, при условии выполнения ОДЗ: $$(\sqrt{x^2+6x})^2 \ge (\sqrt{x-6})^2;$$ $$x^2+6x \ge x-6;$$

Внимание! Посмотрите на неравенство после возведения в квадрат, согласно ему, мы ищем такие значения переменной \(x\), чтобы левая часть \((x^2+6x)\) была больше или равна правой части \((x-6).\) Этот факт может существенно упростить нам решение: дело в том, что по ОДЗ и \((x^2+6x),\) и \((x-6)\) должны быть неотрицательны, но решать оба этих неравенства в ОДЗ необязательно. Если \((x-6) \ge 0\), то автоматически выполняется и \((x^2+6x) \ge 0,\) так как согласно неравенству \(x^2+6x \ge x-6 \ge 0.\)

Короче говоря, исходное неравенство сводится при помощи равносильного преобразования (возведение в квадрат и накладывание условия на \((x-6 \ge 0)\)) к системе: $$\sqrt{x^2+6x} \ge \sqrt{x-6};$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} x^2+6x \ge x-6, \\ x-6 \ge 0; \end{cases}$$ Корни этой системы полностью совпадают с корнями исходного неравенства. Остается только решить: $$\begin{cases} x^2+5x+6 \ge 0, \\ x \ge 6; \end{cases}$$ Найдем корни квадратного многочлена: $$D=5^2-4*1*6=25-24=1;$$ $$x_1=\frac{-5+\sqrt{1}}{2*1}=\frac{-5+1}{2}=-2;$$ $$x_2=\frac{-5-\sqrt{1}}{2*1}=\frac{-5-1}{2}=-3;$$ И разложим его на множители, тогда система принимает вид: $$\begin{cases} (x+2)(x+3) \ge 0, \\ x \ge 6; \end{cases}$$ Решение первого неравенства в системе: $$x \in (-\infty;-3] \cup [-2;+\infty);$$ Решение второго неравенства: $$x \in [6;+\infty);$$ Отметим их на числовой прямой и найдем пересечение:

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \le g(x)\)

Мы уже разобрали выше, как решать неравенства, в которых сравниваются квадратный корень и число, а что, если вместо числа будет функция, зависящая от \(x\)? Решение становится немного сложнее. Давайте разбираться на примерах:

Пример 7 $$\sqrt{2x-1} \le x-2;$$ На всякий случай, выпишем ОДЗ, оно тут совсем простое: $$2x-1 \ge 0;$$ Нам нужно избавиться от корня, единственный способ - это возвести все неравенство в квадрат. Но правая часть неравенства зависит от переменной \(x,\) а значит при некоторых \(x\) она может быть отрицательной, и тогда возводить в квадрат нельзя. Еще раз напоминаю, что возводить в квадрат неравенства можно только, если вы уверены, что обе части неравенства положительны. А тут это не так. Значит нельзя возводить в квадрат? Можно, если потребовать выполнение \(x-2 \ge 0.\)

С учетом ОДЗ, исходное неравенство при \(x-2 \ge 0\) сводится к системе: $$\sqrt{2x-1} \le x-2$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} 2x-1 \le (x-2)^2, \\ 2x-1 \ge 0, \\ x-2 \ge 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x-1 \le x^2-4x+4, \\ 2x \ge 1, \\ x \ge 2. \end{cases}$$ $$\begin{cases} x^2-6x+5 \ge 0, \\ x \ge 0,5, \\ x \ge 2. \end{cases}$$ $$\begin{cases} (x-1)(x-5) \ge 0, \\ x \ge 0,5, \\ x \ge 2. \end{cases}$$ Отметим на числовой прямой решение всех трех неравенств в системе и найдем их пересечение. Чтобы не запутаться, сделаем это разными цветами:

Ответ: \(x \in [-1;-0,6) \cup (0;1].\)

Алгоритм решения: $${ \small \sqrt{f(x)} \lt g(x); \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f(x) \lt g^2(x), \\ f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}}$$

Иррациональные неравенства вида \(\sqrt{f(x)} \ge g(x)\)

Иррациональные неравенства \(\sqrt{f(x)} \ge g(x)\) отличаются от предыдущих только знаком неравенства. Но алгоритм решения у них совершенно разный.
Давайте будем разбираться на примерах.

Пример 9 $$\sqrt{x+2} \gt -x;$$ ОДЗ: $$x+2 \ge 0;$$ В левой части неравенства стоит квадратный корень, который всегда больше либо равен нуля при условии, что он существует. Правая часть неравенства может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от переменной \(x.\)

От нас требуется найти такие значения \(x,\) при которых левая неотрицательная часть неравенства будет больше, чем правая часть, которая может быть любого знака. Разобьем решение на два случая, когда правая часть неравенства положительна и когда отрицательна:

1. \(-x \ge 0.\) В таком случае, обе части неравенства будут положительны, и можно возвести неравенство в квадрат. Чтобы не забыть еще и про ОДЗ, запишем все виде системы: $$\begin{cases} (\sqrt{x+2})^2\gt (-x)^2, \\ -x \ge 0, \\ x+2 \ge 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} x+2\gt x^2, \\ x \le 0, \\ x+2 \ge 0. \end{cases}$$

Внимание! Посмотрите на первое и третье неравенства в системе: третье неравенство \(x+2 \ge 0\) - это ОДЗ, но его решать необязательно, оно выполняется автоматически, так как согласно первому неравенству: \(x+2 \gt x^2 \ge 0.\) \((x+2)\) должна быть больше квадрата, а квадрат всегда неотрицательный.

Таким образом, третье неравенство можно выкинуть из системы. Вы скажете, зачем его выкидывать, оно же элементарное. В этом примере - да, оно решается очень просто, но есть неравенства с гораздо более сложными условиями, и избавление хотя бы от одного из них в разы облегчает решение всего примера. Чтобы научиться решать сложные задачи, нужно научиться проделывать аналитическую работу над каждым примером и замечать такие вещи.

Итак, наша система теперь выглядит так: $$\begin{cases} x+2\gt x^2, \\ x \le 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} -x^2+x+2\gt 0, \\ x \le 0. \end{cases}$$ Находим нули квадратного многочлена: $$D=1^2-4*(-1)*2=1+8=9;$$ $$x_1=\frac{-1+\sqrt{9}}{2*(-1)}=\frac{-1+3}{-2}=-1;$$ $$x_2=\frac{-1-\sqrt{9}}{2*(-1)}=\frac{-1-3}{-2}=2;$$ И раскладываем на множители, не забываем про \(«-»\) перед \(x^2:\) $$\begin{cases} -(x+1)(x-2)\gt 0, \\ x \le 0. \end{cases}$$ Решаем методом интервалов, отмечаем на числовой прямой оба неравенства и находим пересечение решений:

И рассмотрим второй случай, когда правая часть исходного неравенства отрицательна:

2. \(-x \lt 0.\) $$\sqrt{x+2} \gt -x;$$ В этом случае мы получаем неравенство, в котором квадратный корень в левой части должен быть больше отрицательной правой части. Но это выполняется при любых \(x,\) удовлетворяющих ОДЗ.

Случай с отрицательной правой частью можно записать в виде еще одной системы: $$\begin{cases} x+2 \ge 0, \\ -x \lt 0. \end{cases}$$ При отрицательной правой части неравенства оно верно при любых \(x\) на ОДЗ. $$\begin{cases} x \ge -2, \\ x \gt 0. \end{cases}$$ Нарисуем оба неравенства на числовой прямой и найдем их пересечение:

Решаем вторую систему: $$\begin{cases} (x+5)(3x+4) \ge 0, \\ 4(x-1) \lt 0; \end{cases}$$

Объединяем решения обеих систем и записываем ответ:
Ответ: \(x \in (-\infty; -5] \cup [-\frac{4}{3};4).\)

Алгоритм решения: $${ \small \sqrt{f(x)} \gt g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x) \gt g^2(x), \\ g(x) \ge 0; \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \lt 0; \end{cases} \end{gathered} \right. }$$

Иррациональные неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0\)

Левая часть иррационального неравенства представляет собой произведение двух множителей: функции и квадратного корня. Произведение будет больше нуля только в том случае, если оба множителя имеют одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Так как квадратный корень всегда больше либо равен нулю, то у первого множителя \(g(x))\) просто нет выбора - он тоже должен быть положительным, чтобы неравенство выполнялось. При этом нужно внимательно следить, чтобы найденные \(x\) удовлетворяли ОДЗ.

Кроме этого, знак неравенства нестрогий, то есть нас устраивают значения \(x,\) при которых левая часть равна нулю. Произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит значения \(x,\) при которых либо функция \(g(x),\) либо корень \(\sqrt{f(x)}\) равны нулю на ОДЗ, тоже будут корнями неравенства.

Используя наши выводы, решим пример:

Пример 11 $$x*\sqrt{x-1} \ge 0;$$

Левая часть неравенства - это произведение двух множителей: \(x\) и \(\sqrt{x-1}.\) Так как \(\sqrt{x-1} \ge 0\) при любых \(x\) на ОДЗ, то для того, чтобы левая часть исходного неравенства была больше-равна нуля, необходимо, чтобы первый множитель \(x\) был больше нуля, либо же равен нулю на ОДЗ: $$\begin{cases} x \ge 0, \quad первый \; множитель\\ x-1 \ge 0 \quad ОДЗ; \end{cases}$$ Кроме этого, нас устраивает, когда сам корень равен нулю, ведь тогда все произведение будет равно нулю независимо от того, чему равен \(x:\) $$\sqrt{x-1}=0;$$ Запишем все виде совокупности: $$x*\sqrt{x-1} \ge 0$$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x \ge 0, \\ x-1 \ge 0; \end{cases} \\ \sqrt{x-1}=0; \end{gathered} \right. $$ $$\Downarrow$$ $$\left[ \begin{gathered} x \ge 1; \\ x=1; \end{gathered} \right. $$ $$\Downarrow$$ $$x \in [1;+\infty);$$ Ответ: \(x \in [1;+\infty).\)

И рассмотрим иррациональное неравенство со строгим знаком:
Пример 12 $$(-x^2-4x+5)\sqrt{x^2-9} \gt 0;$$ Сразу обращаем внимание на знак неравенства - он строгий. А значит, нам не будут подходить значения \(x,\) при которых левая часть равна нулю.

Так как квадратный корень всегда больше или равен нуля, то для того, чтобы решить неравенство, множитель \((-x^2-4x+5)\) должен быть строго больше нуля на ОДЗ: $$(-x^2-4x+5)\sqrt{x^2-9} \gt 0$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} -x^2-4x+5 \gt 0, \\ x^2-9 \gt 0; \end{cases} $$ Обратите внимание на строгие знаки неравенства. Несмотря на то, что ОДЗ: \(x^2-9 \ge 0\), в системе мы пишем строгий знак (вместо \(«\ge»\) пишем \(«\gt»\)), потому что, если корень будет равен нулю, то и вся левая часть неравенства будет равна нулю, а нас это не устраивает.
Решаем систему: $$\begin{cases} -x^2-4x+5 \gt 0, \\ x^2-9 \gt 0; \end{cases} $$ В первом неравенстве в системе раскладываем квадратный многочлен на множители через дискриминант: $${ \small D=(-4)^2-4*(-1)*5=36;}$$ $${ \small x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{36}}{2*(-1)}=\frac{4+6}{-2}=-5;}$$ $${ \small x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{36}}{2*(-1)}=\frac{4-6}{-2}=1;}$$ Во втором неравенстве замечаем формулу разности квадратов. $$\begin{cases} -(x+5)(x-1) \gt 0, \\ (x-3)(x+3) \gt 0; \end{cases} $$ Отмечаем на числовой прямой решения обоих неравенств и находим пересечения. Не забываем про знак минус перед скобками первого неравенства и про выколотые точки:

Алгоритм решения: $${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ f(x) = 0. \end{gathered} \right. }$$ $${ \small g(x)*\sqrt{f(x)} \gt 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} g(x) \gt 0, \\ f(x) \gt 0; \end{cases}} $$

Иррациональные неравенства вида \(g(x)*\sqrt{f(x)} \le 0\)

Произведение двух множителей может быть меньше нуля, только если оба множителя будут разных знаков. Так как квадратный корень всегда неотрицательный, то решение неравенства сводится, во-первых, к нахождению \(x,\) при которых \(g(x) \lt 0\) на ОДЗ, а во-вторых, когда произведение \(g(x)\) и \(\sqrt{f(x)}\) равно нулю, так как знак неравенства нестрогий: $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) \le 0, \\ f(x) \ge 0; \end{cases} \\ f(x) = 0. \end{gathered} \right. $$

Пример 13 $$(x+7)*\sqrt{x^2-4} \le 0;$$ $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+7 \le 0, \\ x^2-4 \ge 0; \end{cases} \\ x^2-4 = 0. \end{gathered} \right. $$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x \le -7, \\ (x-2)(x+2) \ge 0; \end{cases} \\ x= \pm 2. \end{gathered} \right. $$ Отметим на числовой прямой неравенства из системы и найдем их пересечения:

$$ \left[ \begin{gathered} x \in (-\infty; -7]; \\ x= \pm 2. \end{gathered} \right. $$ Ответ: \(x \in (-\infty; -7] \cup \{-2\} \cup \{2\}.\)

Пример 14 $$(x^2-3x+2)*\sqrt{x} \lt 0;$$ $$ \begin{cases} x^2-3x+2 \lt 0, \\ x \gt 0; \end{cases} $$ Все знаки неравенства должны быть строгими, равенство нулю не допускается.
Разложим квадратный многочлен на множители: $$D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1;$$ $$x_1=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2*1}=\frac{3+1}{2}=2;$$ $$x_2=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2*1}=\frac{3-1}{2}=1;$$ $$ \begin{cases} (x-2)(x-1) \lt 0, \\ x \gt 0; \end{cases} $$ Отметим на числовой прямой оба неравенства и найдем пересечения:

Иррациональные неравенства с корнями чётной и нечётной степени

Алгоритм решения иррациональных неравенств с корнями любой чётной степени ничем не отличается от решения неравенств с квадратными корнями. Но чтобы избавиться от корня степени \(n,\) необходимо возводить все неравенство в степень этого корня \(n.\) Также нужно помнить, что возведение неравенства в чётную степень - это неравносильная операция. Обязательно нужно следить, чтобы не появились лишние корни, аналогично, как мы это делали для квадратных корней.

А вот если вы столкнулись с неравенством, в котором корень нечётной степени, то решение становится гораздо проще. Дело в том, что на корни нечётной степени не накладываются никакие ограничения: корень нечётной степени можно посчитать из отрицательного числа, и значение самого корня тоже может быть отрицательным. Значит мы можем возводить неравенство в нечётную степень, не накладывая никаких ограничений. Возведение неравенства в нечётную степень - это равносильная операция.

Пример 15 $$\sqrt[3]{x^3+2x+1} \ge x;$$ Чтобы избавиться от кубического корня, возводим левую и правую части неравенства в куб. Никаких дополнительных условий и ограничений: $$x^3+2x+1 \ge x^3;$$ $$2x+1 \ge 0;$$ $$2x \ge -1;$$ $$x \ge -\frac{1}{2};$$ Ответ: \(x \in [-\frac{1}{2};+\infty).\)

Пример 16 $$\sqrt[5]{x^2+x-1} \lt \sqrt[5]{x+3};$$ Возводим в пятую степень: $$(\sqrt[5]{x^2+x-1})^5 \lt (\sqrt[5]{x+3})^5;$$ $$x^2+x-1 \lt x+3;$$ $$x^2-4 \lt 0;$$ $$(x-2)(x+2) \lt 0;$$ $$x \in (-2;2);$$ Ответ: \(x \in (-2;2).\)

Замена переменной в иррациональных неравенствах

Метод замены переменной один из самых популярных методов решения уравнений и неравенств. В иррациональных неравенствах его используют, когда есть несколько одинаковых арифметических корней. С его помощью решим сложное иррациональное неравенство:

Пример 17 $$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}-\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \lt \frac{3}{2};$$ Пусть \(t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}};\) Обратим сразу внимание на то, что \(t\) равняется квадратному корню, а корень не может быть отрицательным. Значит сразу можем ограничить значения, которые может принимать переменная \(t:\) $$t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \ge 0;$$ Тогда \(\frac{1}{t}=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}.\)
Подставляем в исходное неравенство и запишем все в виде системы, чтобы не потерять ограничения для \(t\): $$\begin{cases} t-\frac{1}{t} \lt \frac{3}{2}, \\ t \ge 0; \end{cases}$$ Перекидываем все слагаемые в левую часть и приводим к общему знаменателю: $$\begin{cases} \frac{2t^2-3t-2}{t} \lt 0, \\ t \ge 0; \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{2(t-2)(t+\frac{1}{2})}{t} \lt 0, \\ t \ge 0; \end{cases}$$ Решаем методом интервалов, не забываем про знаменатель и про то, что \(t \ge 0:\)

$$t \in (0;2);$$ Чтобы сделать обратную замену, запишем полученный промежуток для \(t\) в виде системы: $$\begin{cases} t \gt 0, \\ t \lt 2; \end{cases}$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \gt 0, \\ \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \lt 2; \end{cases}$$ Чтобы не тащить всю систему за собой, решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство: $$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \gt 0;$$ Корень строго больше нуля при любых \(x\) на ОДЗ, и когда подкоренное выражение не равно нулю: $$\frac{x-1}{x+1} \gt 0$$

$$x \in (-\infty;-\frac{5}{3}) \cup [1;+\infty);$$ Находим пересечение решений первого и второго случаев и записываем ответ:

Иррациональные неравенства с несколькими корнями

Главное правило, которое нужно запомнить при решении иррациональных неравенств: можно возводить в квадрат, только если левая и правая часть неравенства положительны. Иначе, кроме ОДЗ, нужно накладывать дополнительные ограничения.

В неравенствах с несколькими арифметическими корням важно следить за этим правилом.

В каждом случае решение таких неравенств индивидуально, какого-то общего алгоритма тут нет. Надо просто внимательно избавляться от иррациональности и следить за всеми необходимыми ограничениями. Рассмотрим на примере:

Пример 18 $$3\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2} \gt 1;$$ Левая часть неравенства может быть отрицательной. Перекинем отрицательный корень в правую часть, тогда обе части неравенства будут положительны: $$3\sqrt{x-1} \gt 1+\sqrt{x+2};$$ $$\begin{cases} (3\sqrt{x-1})^2 \gt (1+\sqrt{x+2})^2, \\ x-1 \ge 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} 9(x-1) \gt 1+2\sqrt{x+2}+x+2, \\ x \ge 1. \end{cases}$$ $$\begin{cases} 8x-12 \gt 2\sqrt{x+2}, \\ x \ge 1. \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4x-6 \gt \sqrt{x+2}, \\ x \ge 1. \end{cases}$$ Остался еще один квадратный корень. Придется еще раз возводить в квадрат: $$4x-6 \gt \sqrt{x+2};$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} x+2 \lt (4x-6)^2, \\ x+2 \ge 0, \\ 4x-6 \ge 0. \end{cases}$$
$$\begin{cases} x+2 \lt (4x-6)^2, \\ x+2 \ge 0, \\ 4x-6 \ge 0, \\ x \ge 1. \end{cases}$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} x+2 \lt 16x^2-48x+36, \\ x \ge -2, \\ x \ge \frac{3}{2}, \\ x \ge 1. \end{cases}$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} 16x^2-49x+34 \gt 0, \\ x \ge \frac{3}{2}. \end{cases}$$ Разложим квадратный многочлен на множители: $${ \small D=(-49)^2-4*16*34=225;}$$ $${ \small x_1=\frac{-(-49)+\sqrt{225}}{2*16}=\frac{49+15}{32}=2;}$$ $${ \small x_1=\frac{-(-49)-\sqrt{225}}{2*16}=\frac{49-15}{32}=\frac{17}{16};}$$ $$\begin{cases} 16(x-2)(x-\frac{17}{16}) \gt 0, \\ x \ge \frac{3}{2}. \end{cases}$$ На числовой прямой отметим оба неравенства и найдем пересечение:

$$x \in (2;+\infty);$$ Ответ: \(x \in (2;+\infty).\)