Уравнения с модулем

Содержание:

1. Как раскрывать модуль?
2. Уравнения вида \(|f(x)|=a;\)
3. Алгоритм \(|f(x)|=a;\)
4. Уравнения вида \(|f(x)|=g(x);\)
5. Алгоритм \(|f(x)|=g(x);\)
6. Уравнения с двумя модулями вида \(|f(x)|=|g(x)|;\)
7. Алгоритм \(|f(x)|=|g(x)|;\)
8. Уравнения вида \(|f(x)|+|g(x)|=0;\)
9. Как раскрывать много модулей?
10. Модуль в модуле

Что такое модуль

Прежде чем научиться решать уравнения с модулем, полезно знать, что же такое модуль.

Кратко напомним определение:

Модуль — это функция, которая превращает любое отрицательное число в положительное.

Например: $$|-7|=7;$$ $$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5};$$

Модуль от положительного числа будет равен этому же самому положительному числу.

Например: $$|3|=3;$$ $$|2,6|=2,6;$$ Кстати, \(|0|=0.\)

Записать, как работает модуль, можно при помощи формулы:

$$|a|= \left[ \begin{gathered} a, \qquad a \geq 0, \\ -a, \qquad a \lt 0. \end{gathered} \right.$$

Может возникнуть вопрос: «почему, если \(a<0\), то \(|a|=-a\)?» Все просто: чтобы превратить отрицательное число в положительное, достаточно поставить знак минус перед этим числом, ведь минус на минус дает плюс, и число становится положительным.

Также полезно помнить, что модуль сам по себе всегда не отрицателен.

Как раскрывать модуль

Перед тем как приступить к решению уравнений с модулем, нужно научиться раскрывать модуль. Ничего страшного в этом нет. В принципе, это следует из определения модуля, которые мы дали выше.

Нужно просто запомнить, что если под модулем стоит положительное число или выражение, то модуль превращается в обыкновенные скобки, а если отрицательное, то тоже в скобки, только перед ними нужно поставить знак минус.

Чтобы разобраться, рассмотрим, как это выглядит в общем виде:

$$|f(x)|= \left[ \begin{gathered} (f(x)), \quad если \quad f(x) \ge 0, \\ -(f(x)), \quad если \quad f(x) \lt 0. \end{gathered} \right.$$

А чтобы совсем совсем разобраться, раскроем модуль на реальных примерах:

$$|x+5|= \left[ \begin{gathered} (x+5), \quad если \quad x+5 \ge 0, \\ -(x+5), \quad если \quad x+5 \lt 0. \end{gathered} \right.$$ $$|x^2+3x|= \left[ \begin{gathered} (x^2+3x), \quad если \quad x^2+3x \ge 0, \\ -(x^2+3x), \quad если \quad x^2+3x \lt 0. \end{gathered} \right. $$

Уравнения с модулем

Начнем с самого простого уравнения: $$|x|=5;$$ Из определения модуля логичным выглядит корень \(x_1=5\). Действительно: $$|5|=5;$$ Но также будет верным и корень \(x_2=-5\), потому что модуль превратит отрицательное число в положительное: $$|-5|=5;$$ Итак, уравнение \(|x|=5\) будет иметь два корня!
Ответ: \(x_1=5\) и \(x_2=-5.\)

Аналогично решается уравнение, где под модулем стоит целое выражение, зависящее от \(x\):

Пример 1 $$|2x+5|=1;$$ Чтобы модуль был равен единице, необходимо, чтобы под модулем стояла либо единица, либо минус единица. Ведь модуль все равно минус превратит в плюс. То есть наше уравнение будет иметь решения в двух случаях: $$2x+5=1, \qquad либо \qquad 2x+5=-1;$$

Решим оба уравнения: $$2x+5=1;$$ $$2x=-4;$$ $$x_1=-2;$$ И второе: $$2x+5=-1;$$ $$2x=-6;$$ $$x_2=-3;$$ Ответ: \(x_1=-2\) и \(x_2=-3.\)

Решить это же самое уравнение можно также по правилам раскрытия модуля. Получится одно и то же, но логика решения будет немного отличаться. Давайте попробуем:

Пример 2 $$|2x+5|=1;$$ $$|2x+5|= \left[ \begin{gathered} (2x+5), \quad если \quad 2x+5 \geq 0, \\ -(2x+5), \quad если \quad 2x+5 \lt 0. \end{gathered} \right. $$ Исходя из этого, уравнение принимает вид: $$|2x+5|=1 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} (2x+5)=1, \quad если \quad 2x+5 \geq 0, \\ -(2x+5)=1, \quad если \quad 2x+5 \lt 0; \end{gathered} \right. $$ Мы как бы разбиваем решение уравнения на два случая: при \(2x+5 \geq 0\) и при \(2x+5 \lt 0\). В каждом случае находим корни и потом объединяем их в ответ. $$ \left[ \begin{gathered} 2x+5=1, \quad если \quad 2x \geq -5, \\ -2x-5=1, \quad если \quad 2x \lt -5; \end{gathered} \right. $$ $$ \left[ \begin{gathered} 2x=-4, \quad если \quad x \geq -2,5, \\ -2x=6, \quad если \quad x \lt -2,5; \end{gathered} \right. $$ $$ \left[ \begin{gathered} x_1=-2, \quad если \quad x \geq -2,5, \\ x_2=-3, \quad если \quad x \lt -2,5; \end{gathered} \right. $$ Оба полученных корня удовлетворяют неравенствам. Записываем ответ. Как видите, он будет точно такой же, как и при первом методе решения:
Ответ: \(x_1=-2\) и \(x_2=-3.\)

Второй метод решения мог показаться вам более сложным, но, тем не менее, он необходим при решении некоторых разновидностей уравнений с модулем, которые мы рассмотрим чуть позже в этом уроке. Более того, он гораздо универсальнее, с его помощью можно решить большинство уравнений с модулем.

Пример 3 $$|3x-8|=-2;$$ На первый взгляд уравнение аналогично предыдущему, но это не так. В правой части уравнения стоит \(-2\), а модуль не может быть равен отрицательному числу, модуль всегда положителен. Поэтому такое уравнение не будет иметь решений.

Будьте внимательны: следите за тем, чтобы модуль не был равен отрицательному числу.

Алгоритм решения уравнений вида \(|f(x)|=a\)

В общем виде решение уравнений с одним модулем можно записать так:

Первый способ $$|f(x)|=a;$$ $$При \; a \geq 0 \; \Rightarrow \left[ \begin{gathered} f(x)=a, \\ f(x)=-a. \end{gathered} \right. $$ $$При \; a \lt 0 \; \Rightarrow \; Нет \; решений.$$

Второй способ (универсальный) $$|f(x)|=a \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} f(x)=a, \quad если \quad f(x) \geq 0, \\ -f(x)=a, \quad если \quad f(x) \lt 0. \end{gathered} \right.$$

Решение уравнений вида \(|f(x)|=g(x)\)

А что, если у нас правая часть переменная (зависит от \(x\)), а не просто число: $$|4x-2|=x+7;$$ Тогда решение будет немного сложнее, ведь в зависимости от \(x\) правая часть уравнения может быть как отрицательной, так и положительной. Поэтому, прежде чем избавляться от модуля, надо убедиться, что правая часть будет положительной, только в этом случае у нас будут корни: $$x+7 \geq 0;$$ $$x \geq -7;$$ Если корни уравнения не будут удовлетворять неравенству \(x \geq -7\), то их необходимо будет отбросить.

Само уравнение решается таким же образом, как и уравнения с численной правой частью: $$ \left[ \begin{gathered} 4x-2=x+7, \\ 4x-2=-(x+7). \end{gathered} \right.$$ Решим по-отдельности каждое из полученных уравнений: $$4x-2=x+7;$$ $$4x-x=7+2;$$ $$3x=9;$$ $$x_1=3;$$ И второе уравнение: $$4x-2=-(x+7);$$ $$4x-2=-x-7;$$ $$4x+x=-7+2;$$ $$5x=-5;$$ $$x_2=-1;$$ Оба полученных корня удовлетворяют неравенству \(x \geq -7\), записываем ответ:
Ответ: \(x_1=3\) и \(x_2=-1.\)

Второй способ решения

Снова решим это же уравнение, но воспользовавшись правилами раскрытия модуля: $$|f(x)|=g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \quad если \quad f(x) \geq 0, \\ -f(x)=g(x), \quad если \quad f(x) \lt 0. \end{gathered} \right. $$ В нашем уравнении \(f(x)=4x-2\), а \(g(x)=x+7\): $$|4x-2|=x+7 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} 4x-2=x+7, \quad если \quad 4x-2 \geq 0, \\ -(4x-2)=x+7, \quad если \quad 4x-2 \lt 0. \end{gathered} \right. $$ Решим по-отдельности каждое уравнение с учетом ограничений: $$\begin{cases} 4x-2=x+7, \\ 4x-2 \geq 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4x-x=2+7, \\ 4x \geq 2. \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3x=9, \\ x \geq \frac{1}{2}. \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_1=3, \\ x \geq \frac{1}{2}. \end{cases}$$ Так как \(x_1=3 \ge \frac{1}{2}\), то решением первой системы будет \(x_1=3\). Решим вторую систему: $$\begin{cases} -(4x-2)=x+7, \\ 4x-2 \lt 0. \end{cases}$$ $$\begin{cases} -4x+2=x+7, \\ 4x \lt 2. \end{cases}$$ $$\begin{cases} -5x=5, \\ x \lt \frac{1}{2}. \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_2=-1, \\ x \lt \frac{1}{2}. \end{cases}$$ Ответ: \(x_1=3\) и \(x_2=-1.\)

Внимательный читатель обратил внимание, что в зависимости от того, каким способом решать уравнения с модулем, накладываются разные ограничения. В первом способе мы накладываем ограничение на правую часть уравнения, а во втором способе ограничения накладываются на выражение под модулем.

Значит, в уравнениях с модулем вида \(|f(x)|=g(x)\), если проще решить неравенство \(g(x) \geq 0\), то решаем первым способом, а если проще \(f(x) \geq 0\), то вторым.

Запишем в общем виде, как выглядит алгоритм решения в обоих способах:

Алгоритмы решения уравнений вида \(|f(x)|=g(x)\)

Первым делом уравнение с одним модулем необходимо привести к виду \(|f(x)|=g(x)\). Для этого перекидываем все слагаемые, кроме модуля, в противоположную часть уравнения так, чтобы в одной части уравнения был только модуль, а в другой все остальное. Далее:

Первый способ. Если \(g(x)\) «проще» \(f(x)\): $$|f(x)|=g(x) \Rightarrow \begin{cases} f(x)=\pm g(x), \\ g(x) \geq 0. \end{cases} $$

Второй способ (универсальный). Если \(f(x)\) «проще» \(g(x)\): $$|f(x)|=g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x)=g(x), \\ f(x) \geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} -f(x)=g(x), \\ f(x) \lt 0. \end{cases} \end{gathered} \right. $$

Пример 5 $$|2x^2-6x|=6x-18;$$ Так как \(g(x)=6x-18\) «проще», чем \(f(x)=2x^2-6x\), то будем решать первым способом. Составим систему с условием, что правая часть должна быть положительна: $$\begin{cases} 2x^2-6x=\pm (6x-18), \\ 6x-18 \geq 0. \end{cases}$$ Неравенство \(6x-18 \geq 0\) выполняется при \(x \geq 3\). Запомнили это, теперь решим уравнения: $$2x^2-6x=6x-18;$$ $$2x^2-6x-6x+18=0;$$ $$2x^2-12x+18=0;$$ $$2(x^2-6x+9)=0;$$ Замечаем формулу полного квадрата \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) и сворачиваем по ней наш квадратный многочлен: $$2(x-3)^2=0;$$ $$x_1=3;$$ Второе уравнение: $$2x^2-6x=-(6x-18);$$ $$2x^2-6x=-6x+18;$$ $$2x^2-6x+6x-18=0;$$ $$2x^2-18=0;$$ $$2(x^2-9)=0;$$ Тут замечаем формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): $$2(x-3)(x+3)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x_2=3 \qquad x_3=-3;$$ Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли условию \(x \geq 3\): корень \(x_3=-3\) придется отбросить, он не подходит. Записываем ответ:
Ответ: \(x_1=3.\)

Пример 6 $$-x^2+|5x+3|-x = 2;$$ Чтобы решить это уравнение, преобразуем его к виду \(|f(x)|=g(x)\). Для этого перекинем слагаемые без модуля из левой части в правую, не забываем при этом менять знаки перед переносимыми слагаемыми: $$|5x+3|=x^2+x-2;$$ Здесь лучше воспользоваться вторым способом решения, потому что \(f(x)=5x+3\) «проще» \(g(x)=x^2+x-2\): $$|f(x)|=g(x) \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x)=g(x), \\ f(x) \geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} -f(x)=g(x), \\ f(x) \lt 0; \end{cases} \end{gathered} \right. $$ $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 5x+3=x^2+x-2, \\ 5x+3 \geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} -(5x+3)=x^2+x-2, \\ 5x+3 \lt 0; \end{cases} \end{gathered} \right. $$ Решим каждую систему по-отдельности: $$ \begin{cases} 5x+3=x^2+x-2, \\ 5x+3 \geq 0; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2-4x-5=0, \\ x \geq -\frac{3}{5}; \end{cases} $$ $$ D=(-4)^2-4*1*(-5)=36;$$ $$ x_{1,2}=\frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2}; $$ $$ \left[ \begin{gathered} x_1=5, \\ x_2=-1; \end{gathered} \right. $$ Второй корень не удовлетворяет неравенству \( x \geq -\frac{3}{5}\), поэтому отбрасываем его.

И не забываем, что нам еще нужно решить вторую систему: $$ \begin{cases} -(5x+3)=x^2+x-2, \\ 5x+3 \lt 0; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+6x+1=0, \\ x \lt -\frac{3}{5}; \end{cases} $$ $$D=6^2-4*1=32;$$ $$x_{1,2}=\frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2}=\frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2}=-3 \pm 2\sqrt{2};$$ $$ \left[ \begin{gathered} x_1=-3 + 2\sqrt{2}, \\ x_2=-3 - 2\sqrt{2}; \end{gathered} \right. $$ Чтобы разобраться, удовлетворяют ли полученные корни неравенству \(x \lt -\frac{3}{5}\), оценим их с учетом, что \(\sqrt{2} \approx 1,4\): $$x_1=-3 + 2\sqrt{2} \approx -3+2*1,4=-3+2,8=-0,2=-\frac{1}{5};$$ $$x_2=-3 - 2\sqrt{2} \approx -3-2*1,4=-3-2,8=-5,8;$$ Первый корень не подходит, а второй записываем в ответ:
Ответ: \(x_1=5\) и \(x_2=-3-2\sqrt{2}.\)

Пример 7 $$3|x+2|+x^2+6x+2=0;$$ Перекинем все лишние слагаемые в правую часть.И разобьем решение уравнения на два случая: при \(x+2 \geq 0\) и при \(x+2 \lt 0\): $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 3*(x+2)=-x^2-6x-2, \\ x+2 \geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} -3(x+2)=-x^2-6x-2, \\ x+2 \lt 0; \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x^2+9x+8=0, \\ x \geq -2; \end{cases} \\ \begin{cases} x^2+3x-4=0, \\ x \lt -2; \end{cases} \end{gathered} \right. $$ $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x=-1\; и \; x=-8, \\ x \geq -2; \end{cases} \\ \begin{cases} x=1\; и \; x=-4, \\ x \lt -2; \end{cases} \end{gathered} \right. $$ Отбрасываем корни квадратных уравнений, которые не удовлетворяют неравенствам: $$ \left[ \begin{gathered} x_1=-1, \\ x_2=-4. \end{gathered} \right. $$ Ответ: \(x_1=-1, \quad x_2=-4.\)

Уравнения с двумя модулями вида \(|f(x)|=|g(x)|\)

Важно! Уравнение должно выглядеть именно так \(|f(x)|=|g(x)|\), никаких слагаемых вне модулей быть не должно.

Кажется, что уравнение более сложное, чем рассмотренные выше. Но на самом деле, уравнения с двумя модулями решаются еще проще, чем с одним. Выведем алгоритм решения:

Вспомните свойства модуля: $$|x|^2=x^2;$$ Возведем обе части уравнения \(|f(x)|=|g(x)|\) в квадрат: $$|f(x)|^2=|g(x)|^2;$$ Воспользуемся свойством модуля \(|f(x)|^2=f^2(x)\): $$f^2(x)=g^2(x);$$ Перенесем все в левую часть уравнения: $$f^2(x)-g^2(x)=0;$$ Перед нами формула разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): $$(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$f(x)-g(x)=0, \quad либо \quad f(x)+g(x)=0;$$ $$f(x)=-g(x), \quad либо \quad f(x)=g(x);$$ $$ \left[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \\ f(x)=-g(x). \end{gathered} \right. $$

Алгоритм решения уравнений с двумя модулями вида \(|f(x)|=|g(x)|\)

$$|f(x)|=|g(x)| \Rightarrow \left[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \\ f(x)=-g(x). \end{gathered} \right. $$

Обратите внимание, что в решении стоит знак совокупности, а не системы, тем самым мы показываем, что нас устраивают и решения первого уравнения, и решения второго — объединение решений.

Пример 8 $$|x+5|=|2x-3|;$$ Воспользуемся алгоритмом (\(f(x)=x+5\), а \(g(x)=2x-3\)): $$ \left[ \begin{gathered} x+5=2x-3, \\ x+5=-(2x-3); \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x-2x=-3-5, \\ x+2x=3-5; \end{gathered} \right. $$ $$ \left[ \begin{gathered} -x=-8, \\ 3x=-2; \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x_1=8, \\ x_2=-\frac{2}{3}. \end{gathered} \right. $$ Ответ: \(x_1=8, \quad x_2=-\frac{2}{3}.\)

Пример 9 $$|x^2+2x+1|=|x^2+8x+11|;$$ Здесь \(f(x)=x^2+2x+1\), а \(g(x)=x^2+8x+11\): $$ \left[ \begin{gathered} x^2+2x+1=x^2+8x+11, \\ x^2+2x+1=-(x^2+8x+11); \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x^2+2x+1-x^2-8x-11=0, \\ x^2+2x+1+x^2+8x+11=0; \end{gathered} \right. $$ $$ \left[ \begin{gathered} -6x-10=0, \\ 2x^2+10x+12=0; \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x_1=-\frac{5}{3}, \\ x_2=-2, \\ x_3=-3. \end{gathered} \right. $$ Ответ: \(x_1=-\frac{5}{3}, \quad x_2=-2, \quad x_3=-3.\)

Сумма двух модулей

Иногда встречаются хитрые уравнения с двумя модулями вида: $$|f(x)|+|g(x)|=0;$$ Если попытаться перенести одно из слагаемых в правую часть, то получится: $$|f(x)|=-|g(x)|;$$ Вы ведь помните, что модуль всегда положительный или ноль? А вот если перед модулем поставить знак минус, то такая конструкция будет всегда отрицательной или ноль. И на первый взгляд кажется, что наше уравнение не имеет решений, так как правая часть получается отрицательной, а левая положительной. Но если получится найти такое значение \(x\), при котором оба модуля (а значит и подмодульных выражения) одновременно будут равны нулю, то равенство станет верным. Поэтому алгоритм решения таких уравнений выглядит так: $$|f(x)|+|g(x)|=0 \Rightarrow \begin{cases} f(x)=0, \\ g(x)=0. \end{cases} $$ Еще раз обращаю внимание на знак системы: ищем такие \(x\), при которых оба уравнения в системе равны нулю ОДНОВРЕМЕННО.

Пример 10 $$|x^2-25|+|x^2+3x-10|=0;$$ Сумма двух модулей: это уравнение будет иметь корни только в том случае, когда подмодульные выражения одновременно равны нулю: $$ \begin{cases} x^2-25=0, \\ x^2+3x-10=0; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2=25, \\ x^2+3x-10=0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=\pm 5, \\ x=-5, \; и \; x=2. \end{cases} $$ Итак, мы получили, что корнями первого уравнения будут \(x=\pm 5\), а корнями второго: \(x=-5\) и \(x=2\). Видим, что у обоих уравнений будет одинаковый корень \(x=-5\), его мы и записываем в ответ.

На всякий случай проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение: $$|(-5)^2-25|+|(-5)^2+3*(-5)—10|=0;$$ $$|25-25|+|25-15—10|=0;$$ $$|0|+|0|=0;$$ $$0=0.$$ Действительно, \(x=-5\) является корнем.
Ответ: \(x=-5.\)

Как раскрывать много модулей в уравнениях?

Рассмотрим сложные уравнения с двумя или более модулями и их различными комбинациями. Тут нет какого-то универсального алгоритма, но, как правило, такие уравнения решаются при помощи обычного раскрытия всех модулей в уравнении. Раскрывать сразу несколько модулей удобно при помощи метода интервалов. Кто не помнит, что такое метод интервалов, рекомендую сначала изучить его, прежде чем приступать к уравнениям с большим количеством модулей.

Пример 11 $$|2x-8|-|x+5|=12;$$ Это уравнение отличается от уравнений с двумя модулями, которые мы рассмотрели выше. Дело в том, что помимо модулей тут есть еще число \(12\) . Чтобы решить его, нам придется раскрывать модули. Если рассматривать каждый модуль по-отдельности, то мы получим 4 системы уравнений: когда оба подмодульных выражения положительны; оба отрицательны; одно положительно, другое отрицательно; и наоборот.

Рассматривать 4 системы совсем не хочется, поэтому на помощь нам приходит метод интервалов, который мы использовали для решения неравенств.

Разберем алгоритм решения по шагам:

• Приравниваем выражения, стоящие внутри знака модуля, к нулю: $$2x-8=0, \quad \Rightarrow \quad x=4;$$ $$x+5=0, \quad \Rightarrow \quad x=-5;$$
• Отметим найденные \(x=4\) и \(x=-5\) на числовой прямой:

• Мы получили три промежутка: \((-\infty;-5)\), \([-5;4]\), \((4;+\infty)\). На каждом из них определим знаки подмодульных выражений. Для этого выбираем произвольное число из каждого промежутка и подставляем в \((2x-8)\) и \((x+5)\).

  Например, из самого правого промежутка \((4;+\infty)\) возьмем число \(10\): $$2x-8=2*10-8=12 >0,$$ значит напротив модуля \(|2x-8|\) на рис.2. ставим \("+"\); $$x+5=10+5=15>0,$$ выражение под вторым модулем тоже будет положительным на этом промежутке, напротив \(|x+5|\) тоже ставим \("+"\).

  На промежутке \((4;+\infty)\) оба модуля будут раскрываться со знаком \("+"\).
  Аналогичным образом расставляем знаки на \((-\infty;-5)\) и \([-5;4]\). Все, что мы делаем, один в один метод интервалов.

• Итак, у нас получилось три промежутка, и на каждом мы знаем, как раскрываются модули. Осталось разбить задачу на три случая (три системы): смотрим на рис.2 и раскрываем модули с учетом расставленных знаков: $$ \begin{cases} x \lt -5 , \\ -(2x-8)+(x+5)=12; \end{cases} \qquad \begin{cases} -5 \leq x \leq 4, \\ -(2x-8)-(x+5)=12; \end{cases} \qquad \begin{cases} x > 4, \\ (2x-8)-(x+5)=12; \end{cases} $$

Решаем каждую систему по-отдельности: $$ \begin{cases} x > 4, \\ (2x-8)-(x+5)=12; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4, \\ 2x-8-x-5=12; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4, \\ x=25; \end{cases} \Rightarrow x=25. $$ $$ \begin{cases} -5 \leq x \leq 4, \\ -(2x-8)-(x+5)=12; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5 \leq x \leq 4, \\ -2x+8-x-5=12; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -5 \leq x \leq 4, \\ x=-3; \end{cases} \Rightarrow x=-3. $$ $$ \begin{cases} x \lt -5 , \\ -(2x-8)+(x+5)=12; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \lt -5 , \\ -2x+8+x+5=12; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \lt -5 , \\ x=1; \end{cases} \Rightarrow Корнет \; нет. $$ Ответ: \(x_1=25, \quad x_2=-3.\)

Уравнение с двумя модулями свелось к решению трех систем уравнений. Неприятно, но это лучше, чем решать четыре системы без использования метода интервалов. В уравнениях с еще большим количеством модулей разница в решениях с использованием метода интервалов и без него становится существенной. Например, если перед вами уравнение уже с тремя различными модулями, то в большинстве случаев придется решать восемь систем уравнений, но при использовании метода интервалов решение иногда сводится всего лишь к четырем. Количество систем сокращается в связи с тем, что некоторые условия при раскрытии модулей в лоб противоречат друг другу и не дают решений.

Модуль в модуле

Как решать уравнения, когда один модуль вложен в другой? Общий вид таких уравнений: $$|f(x)+|g(x)||=q(x);$$ На самом деле, алгоритм решения тут такой же, как и в обычных уравнениях с модулями: раскроем их по-очереди, сначала внутренний, потом внешний. $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) \geq 0, \\ |f(x)+g(x)|=q(x); \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \lt 0, \\ |f(x)-g(x)|=q(x); \end{cases} \end{gathered} \right.$$ Теперь каждую систему решаем, раскрывая внешний модуль: $$ \begin{cases} g(x) \geq 0, \\ \begin{cases} q(x) \geq 0, \\ \left[\begin{gathered} f(x)+g(x)=q(x), \\ f(x)+g(x)=-q(x); \end{gathered}\right. \end{cases} \\ q(x) \lt 0 \Rightarrow нет \; решений. \\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} g(x) \lt 0, \\ \begin{cases} q(x) \geq 0, \\ \left[\begin{gathered} f(x)-g(x)=q(x), \\ f(x)-g(x)=-q(x); \end{gathered}\right. \end{cases} \\ q(x) \lt 0 \Rightarrow нет \; решений. \\ \end{cases} $$

Алгоритм решения в общем виде выглядит, мягко говоря, не очень. Но на большинстве реальных примеров все будет значительно проще, ведь алгоритм приведен в самом общем виде. При решении таких уравнений лучше всего «подстраиваться» под пример, то есть искать оптимальные пути решения, иначе решение в лоб может быть очень громоздким. Рассмотрим пример с модулем в модуле:

Пример 12 $$|-7+|x||=5;$$ То, что в правой части уравнения стоит просто пятерка, значительно упрощает нам жизнь: теперь не нужно рассматривать случаи, когда правая часть уравнения отрицательна. Кроме этого, такое уравнение проще решить, раскрыв сначала внешний модуль, а не внутренний, как мы делали в общем виде: $$ \left[ \begin{gathered} -7+|x|=5, \\ -7+|x|=-5; \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} |x|=12, \\ |x|=2; \end{gathered} \right. $$ У нас получилось два простейших уравнения с модулем: $$ \left[ \begin{gathered} x_1=12, \\ x_2=-12, \\ x_3=2, \\ x_4=-2; \end{gathered} \right. $$ Всего получилось четыре решения, записываем ответ:
Ответ: \(x_1=12, \quad x_2=-12, \quad x_3=2, \quad x_4=-2.\)