• »
  • »
Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

  1. Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
  2. Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
  3. Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.


Пример 1

Решить неравенство \((a-2)x>a^2-4\) для любого значения параметра \(a\).

Решение:

Первый случай: Если \(a=2\), получим неравенство \(0*x>0\), которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если \(a > 2 ⇔ x > \frac{a^2-4}{a-2} ⇔ x > a+2;\)

Третий случай: Если \(a < 2 ⇔ x < \frac{a^2-4}{a-2} ⇔ x < a+2;\)


Ответ:
При \(a=2\) решений нет;
при \(a > 2\) $$ x > a+2;$$ при \(a < 2\) $$x < a+2.$$


Пример 2

Решить неравенство \(ax^2-4x-4>0\) при всех значениях параметра \(a\).

Решение:

Первый случай: Если \(a=0\) , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x<-1\);

Второй случай: Если \(a≠0\), то неравенство будет квадратным.

Для того чтобы решить квадратное неравенство, посчитаем дискриминант: $$ D=16+16a=16(1+a).$$

Получаем, что дискриминант больше нуля при \(a > -1; D < 0\) при \(a < -1;\) \(D = 0\) при \(a = -1.\) Вспоминаем, что при \(a > 0\) ветки параболы направлены вверх, а при \(a < 0\) направлены вниз. Рассмотрим все случаи:

1. \( a > 0,D > 0\)

Найдем корни: $${x}_{1,2}=\frac{4±4\sqrt{1+a}}{2a}=\frac{2±2\sqrt{1+a}}{a};$$

Наш многочлен будет положителен при условии, что $$ x∈(-∞;\frac{2-2\sqrt{1+a}}{a}∪(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a};+∞). $$

2. \(-1 < a < 0, D > 0\)

Многочлен положителен при $$ x∈(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a}; \frac{2-2\sqrt{1+a}}{a}).$$

Обратите внимание! Так как \(a\) отрицательно, то именно \({x}_{1}=\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a}\) будет меньшим корнем.

3. \(a=-1,D=0\)

Решений нет, так как парабола целиком лежит ниже оси \(x\), и только вершина лежит на оси, но равенство 0 нас не устраивает по условию задачи.

4. \(a < -1,D < 0\)

Решений нет, вся парабола ниже оси \(x\).


Ответ:

  1. При \(a = 0\) \(⇔ \) \(x < -1;\)
  2. При \(a ≤ -1\) ⇔ решений нет;
  3. При \(-1 < a < 0 ⇔ x∈(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a}; (\frac{2-2\sqrt{1+a}}{a};)\)
  4. При \(a > 0 ⇔ x∈(-∞; \frac{2-2\sqrt{1+a}}{a})∪(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a};∞).\)

Пример 3

Найти все значения параметра \(a\), при которых выражение \((a^2-4) x^2+(a+1)x+2 > 0\) при любых \(x\).

Решение:

Первый случай: \( a^2-4=0\) ⇔ \(a=±2;\)

При \(a=2\) неравенство принимает вид: $$ 3x+2>0 ⇔ x>-2/3; $$ Не подходит.

При \(a=-2\) неравенство принимает вид: $$ -x+2>0 ⇔ x<2; $$ Не подходит.

Второй случай: \(a≠±2\);

Получим квадратное неравенство. Для того, чтобы наше неравенство было верным при любых значения \(x\) необходимо, чтобы график нашего выражения (а это парабола) лежал полностью выше оси абсцисс:

Таким образом, ветки параболы должны быть направлены вверх и сама парабола не должна пересекать ось \(x\), т.е. не должно быть корней. Математическим языком эти условия можно записать следующим образом:

$$ \begin{cases} a^2-4 > 0, \\D < 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases}(a-2)(a+2)>0, \\(a+1)^2-4*2*(a^2-4)<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases}(a-2)(a+2)>0, \\-7a^2+2a+33<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases}(a-2)(a+2)>0, \\-7(a-\frac{1+2\sqrt{58}}{7})(a-\frac{1-2\sqrt{58}}{7}) < 0. \end{cases} $$

Тогда решением системы будет пересечение решений каждого из неравенств.

Ответ: \(a∈(-∞; \frac{1-2\sqrt{58}}{7})∪(\frac{1+2\sqrt{58}}{7};+∞) \)


Пример 3

Найти все значения параметра \(a\), при которых неравенство \(1+log_2 (x^2+x+1) ≥ log_2 (ax^2+a)\) имеет решение.

Решение:

Проведем равносильные преобразования, при ОДЗ:

$$ \begin{cases} ax^2+a>0, \\x^2+x+1>0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>0, \\x∈R. \end{cases} $$

Выполним преобразования, используя свойства логарифма:

$$ log_2 (2)+log_2 (x^2+x+1) ≥ log_2 (ax^2+a),$$ $$ log_2 (2x^2+2x+2)≥log_2 (ax^2+a),$$ $$ 2x^2+2x+2≥ax^2+a,$$ $$(2-a)x^2+2x-a+2≥0.$$

С учетом ОДЗ получаем систему:

$$ \begin{cases} (2-a) x^2+2x-a+2≥0, \\a>0. \end{cases} $$

Первый случай: при \(a=2\).

Неравенство примет вид:

$$2x≥0,$$ $$x≥0.$$

Второй случай: при \(a≠2\).

Первое неравенство системы квадратное и оно не будет иметь решений при выполнении следующих условий:

$$ \begin{cases} 2-a<0, \\D<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>2, \\4-4(4+a^2-4a)<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>2, \\-4a^2+16a-12<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>2, \\-(a-1)(a-3)<0. \end{cases} $$

Из последнего выражения следует, что \(a>3\).

Таким образом, получаем, что при \(a≤3\) исходное неравенство имеет решения. С учетом ОДЗ запишем ответ.

Ответ: (0;3].


Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.

Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

В статье подробно разобран второй графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами. Детально разобраны несколько примеров.

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.