Неравенства с параметром
Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:
- Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
- Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
- Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.
Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.
Пример 1
Решить неравенство \((a-2)x>a^2-4\) для любого значения параметра \(a\).
Решение:
Первый случай: Если \(a=2\), получим неравенство \(0*x>0\), которое не имеет решений.
Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.
Второй случай: Если \(a > 2 ⇔ x > \frac{a^2-4}{a-2} ⇔ x > a+2;\)
Третий случай: Если \(a < 2 ⇔ x < \frac{a^2-4}{a-2} ⇔ x < a+2;\)
Ответ:
При \(a=2\) решений нет;
при \(a > 2\) $$ x > a+2;$$ при \(a < 2\) $$x < a+2.$$
Пример 2
Решить неравенство \(ax^2-4x-4>0\) при всех значениях параметра \(a\).
Решение:
Первый случай: Если \(a=0\) , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x<-1\);
Второй случай: Если \(a≠0\), то неравенство будет квадратным.
Для того чтобы решить квадратное неравенство, посчитаем дискриминант: $$ D=16+16a=16(1+a).$$
Получаем, что дискриминант больше нуля при \(a > -1; D < 0\) при \(a < -1;\) \(D = 0\) при \(a = -1.\) Вспоминаем, что при \(a > 0\) ветки параболы направлены вверх, а при \(a < 0\) направлены вниз. Рассмотрим все случаи:
1. \( a > 0,D > 0\)
Найдем корни: $${x}_{1,2}=\frac{4±4\sqrt{1+a}}{2a}=\frac{2±2\sqrt{1+a}}{a};$$
Наш многочлен будет положителен при условии, что $$ x∈(-∞;\frac{2-2\sqrt{1+a}}{a}∪(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a};+∞). $$
2. \(-1 < a < 0, D > 0\)
Многочлен положителен при $$ x∈(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a}; \frac{2-2\sqrt{1+a}}{a}).$$
Обратите внимание! Так как \(a\) отрицательно, то именно \({x}_{1}=\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a}\) будет меньшим корнем.
3. \(a=-1,D=0\)
Решений нет, так как парабола целиком лежит ниже оси \(x\), и только вершина лежит на оси, но равенство 0 нас не устраивает по условию задачи.
4. \(a < -1,D < 0\)
Решений нет, вся парабола ниже оси \(x\).
Ответ:
- При \(a = 0\) \(⇔ \) \(x < -1;\)
- При \(a ≤ -1\) ⇔ решений нет;
- При \(-1 < a < 0 ⇔ x∈(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a}; (\frac{2-2\sqrt{1+a}}{a};)\)
- При \(a > 0 ⇔ x∈(-∞; \frac{2-2\sqrt{1+a}}{a})∪(\frac{2+2\sqrt{1+a}}{a};∞).\)
Пример 3
Найти все значения параметра \(a\), при которых выражение \((a^2-4) x^2+(a+1)x+2 > 0\) при любых \(x\).
Решение:
Первый случай: \( a^2-4=0\) ⇔ \(a=±2;\)
При \(a=2\) неравенство принимает вид: $$ 3x+2>0 ⇔ x>-2/3; $$ Не подходит.
При \(a=-2\) неравенство принимает вид: $$ -x+2>0 ⇔ x<2; $$ Не подходит.
Второй случай: \(a≠±2\);
Получим квадратное неравенство. Для того, чтобы наше неравенство было верным при любых значения \(x\) необходимо, чтобы график нашего выражения (а это парабола) лежал полностью выше оси абсцисс:
Таким образом, ветки параболы должны быть направлены вверх и сама парабола не должна пересекать ось \(x\), т.е. не должно быть корней. Математическим языком эти условия можно записать следующим образом:
$$ \begin{cases} a^2-4 > 0, \\D < 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases}(a-2)(a+2)>0, \\(a+1)^2-4*2*(a^2-4)<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases}(a-2)(a+2)>0, \\-7a^2+2a+33<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases}(a-2)(a+2)>0, \\-7(a-\frac{1+2\sqrt{58}}{7})(a-\frac{1-2\sqrt{58}}{7}) < 0. \end{cases} $$
Тогда решением системы будет пересечение решений каждого из неравенств.
Ответ: \(a∈(-∞; \frac{1-2\sqrt{58}}{7})∪(\frac{1+2\sqrt{58}}{7};+∞) \)
Пример 3
Найти все значения параметра \(a\), при которых неравенство \(1+log_2 (x^2+x+1) ≥ log_2 (ax^2+a)\) имеет решение.
Решение:
Проведем равносильные преобразования, при ОДЗ:
$$ \begin{cases} ax^2+a>0, \\x^2+x+1>0. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>0, \\x∈R. \end{cases} $$
Выполним преобразования, используя свойства логарифма:
$$ log_2 (2)+log_2 (x^2+x+1) ≥ log_2 (ax^2+a),$$ $$ log_2 (2x^2+2x+2)≥log_2 (ax^2+a),$$ $$ 2x^2+2x+2≥ax^2+a,$$ $$(2-a)x^2+2x-a+2≥0.$$С учетом ОДЗ получаем систему:
$$ \begin{cases} (2-a) x^2+2x-a+2≥0, \\a>0. \end{cases} $$
Первый случай: при \(a=2\).
Неравенство примет вид:
$$2x≥0,$$ $$x≥0.$$Второй случай: при \(a≠2\).
Первое неравенство системы квадратное и оно не будет иметь решений при выполнении следующих условий:
$$ \begin{cases} 2-a<0, \\D<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>2, \\4-4(4+a^2-4a)<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>2, \\-4a^2+16a-12<0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a>2, \\-(a-1)(a-3)<0. \end{cases} $$
Из последнего выражения следует, что \(a>3\).
Таким образом, получаем, что при \(a≤3\) исходное неравенство имеет решения. С учетом ОДЗ запишем ответ.
Ответ: (0;3].