Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Кратко вспомним, что такое производная. Подробнее про производную можно почитать в главе «Что такое производная?».

Нарисуем график некоторой функции \(f(x)\). Выберем на этом графике точку \(A\) с координатами \((x_A; f_A)\) и точку \(B\) c координатами \((x_B; f_B)\).

Разница между координатами этих точек по оси \(x\) называется приращением аргумента функции. Приращение обозначается при помощи знака \(\Delta\): $$\Delta x =x_B-x_A;$$ Разница между координатами точек \(A\) и \(B\) по оси \(y\) называется приращением функции: $$\Delta f=f_B-f_A;$$ По определению производная функции - это отношение приращения функции к приращению аргумента, при условии, что \(\Delta x\) стремится к нулю (то есть точки \(A\) и \(B\) находятся очень близко друг к другу): $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{x_B-x_A} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$

Посмотрите на рисунок 1. Достроим отрезок, соединяющий точки \(A\) и \(B\) до прямоугольного треугольника \(ABC\). Согласно определению, производная - это отношение противолежащего катета \(\Delta f\) к прилежащему \(\Delta x\) в треугольнике ABC. Отношение противолежащего катета к прилежащему еще называют тангенсом угла \(\alpha\): $$tg(\alpha)=\frac{BC}{AC}=\frac{f_B-f_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta f}{\Delta x};$$ Формула для тангенса совпадает с формулой для производной. Если точки \(A\) и \(B\) находятся очень близко друг к другу, то можно считать, что \(\Delta x \to 0\), и тогда верно равенство: $$f(x)^{/}=tg(\alpha);$$ Посмотрите внимательно на рисунок 2. Будем сближать точки \(A\) и \(B\). В какой-то момент точки \(A\) и \(B\) будут находиться так близко друг к другу (визуально сольются в одну точку), что отрезок \(AB\) превратится в касательную к графику функции. То есть, угол \(\alpha\), который на рисунке 1 был просто углом между горизонтальным катетом \(AC\) и гипотенузой \(AB\), теперь превращается в угол между касательной и горизонталью.

Производная от функции в точке будет равна тангенсу угла между касательной к графику функции в этой точке и горизонталью.

Рассмотрим вышесказанное еще на одном рисунке (см.Рис.3). Нарисуем график некоторой функции \(f(x)\). Выберем на графике точку \(x_0\), к этой точке проведем касательную. Производная от \(f(x)\) в точке \(x_0\) будет равна тангенсу угла \(\alpha\) - наклона этой касательной к оси \(x\).

Уравнение любой касательной задается уравнением прямой: \(y=kx+b\).
Где \(k\) - это коэффициент наклона. Известный факт, что \(k\) равен тангенсу угла наклона прямой к оси \(x\): $$k=tg(\alpha);$$ Поэтому справедливо равенство: $$k=tg(\alpha)=f^{/}((x);$$

Это и есть геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна коэффициенту наклона касательной, проведенной к этой точке.

Рассмотрим примеры заданий №8 из ЕГЭ по математике на геометрический смысл производной:

Пример 1
На рисунке 4 изображен график функции \(f(x)\) и касательная к этой функции в точке \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Как мы теперь знаем, тангенс угла наклона касательной к горизонтали и будет равен производной функции в точке \(x_0\). Поэтому задача сводится к нахождению тангенса. Достроим касательную до прямоугольного треугольника \(ABH\). На рисунке 4 специально отмечены зеленые точки, чтобы было удобно и стороны треугольника получались целыми (\(AH\) равна 8 клеточкам, а \(BH\) равна 12 клеточкам). (см. рис. ниже).

И найдем значение тангенса \(\alpha:\) $$tg(\alpha)=\frac{BH}{AH}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1,5;$$ $$f^{/}(x_0)=tg(\alpha)=1,5.$$ Ответ: \(1,5.\)

Пример 2
На рисунке изображен график функции \(f(x)\) и касательная к этой функции в точке \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Задание аналогично примеру №1. Но есть один важный момент. Достроим касательную до прямоугольного треугольника, в этом нам помогут темно-зеленые точки.

И найдем тангенс \(\alpha\) - наклон касательной к горизонтальному катету: $$tg(\alpha)=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25;$$ И вот здесь скрывается одна из самых популярных ошибок. Посмотрите на рисунок: касательная - это прямая, идущая сверху вниз (убывает). У таких прямых коэффициент наклона всегда отрицательный: $$k=-tg(\alpha);$$ Значит и производная в точке \(x_0\) тоже должна быть отрицательна: $$f^{/}(x_0)=k=-tg(\alpha)=-0,25;$$ В примере №1 касательная шла снизу вверх (возрастала). Коэффициент наклона у нее был положительный. Будьте с этим внимательны, следите за знаком коэффициента наклона.
Ответ: \(-0,25.\)

Пример 3
На рисунке представлен график функции \(f(x)\). Прямая проходит через начало координат и касается графика функции в точке с абсциссой \(x=7\). Найдите производную функции в этой точке.

Условие задачи может выглядеть немного запутанным, но на самом деле, смысл точно такой же, как и в предыдущих примерах: надо при помощи касательной определить значение производной в точке. Нарисуем касательную согласно условию задачи, для этого соединим начало координат с красной точкой на графике:

Из прямоугольного треугольника \(AOH\) найдем тангенс угла наклона нарисованной касательной к оси \(x\): $$f^{/}(x_0)=tg(\alpha)=\frac{AH}{HO}=\frac{7}{7}=1;$$ Наклон касательной в этом примере положительный, значит производная тоже будет положительна.
Ответ: \(1.\)

Пример 4
На рисунке изображен график функции \(f(x)\) и касательная к нему в точке \(x_0=6\). Найдите значение производной функции \(g(x)=x^2+4*f(x)\).

Попробуем посчитать сразу производную от функции \(g(x)\): $$g^{/}(x)=(x^2+4*f(x))^{/}=2x+4*f^{/}(x);$$ В точке \(x_0=6\) производная будет равна: $$g^{/}(x_0)=2x_0+4*f^{/}(x_0)=2*6+4*f^{/}(x_0)=12+4*f^{/}(x_0);$$ Чтобы до конца досчитать производную нам необходимо узнать, чему равна производная от функции \(f^{/}(x_0)\). По условию дан еще график функции \(f(x)\), и касательная к этому графику как раз в точке \(x_0=6\).

Задача сводится к нахождению производной в точке при помощи касательной, проведенной к этой точке. Аналогично предыдущим примерам. Достроим касательную до прямоугольного треугольника и найдем тангенс угла наклона касательной к оси \(x\) (к горизонтали):

Так как наклон касательной отрицательный, то и производная должна быть отрицательной: $$f^{/}(x_0)=-tg(\alpha)=-\frac{AH}{BH}=-\frac{2}{16}=-\frac{1}{8}=-0,125;$$ Подставим найденное значение производной от \(f(x)\) в производную от \(g(x)\): $$g^{/}(x_0)=12+4*f^{/}(x_0)=12+4*(-0,125)=12-0,5=11,5;$$ Ответ: \(11,5.\)

Пример 5
На рисунке изображен график ПРОИЗВОДНОЙ функции: \(f^{/}(x)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная, проведенная к функции \(f(x)\), параллельна прямой \(y=-2x-5\).

Обратите внимание, что нам дано уравнение не касательной, а некоторой прямой. Из курса алгебры 8-го класса известно, что если две прямые параллельны, то у них будут одинаковые коэффициенты наклона. По условию касательная параллельна прямой \(y=-2x-5\), коэффициент наклона которой равен \(2\). Значит коэффициент наклона нашей касательной тоже должен быть равен \(2\).

Согласно определению производной, она должна быть равна коэффициенту наклона касательной, значит наша производная тоже должна быть равна \(2\): $$f^{/}(x_0)=k=2;$$ На рисунке перед вами график ПРОИЗВОДНОЙ, а не функции. По этому графику нужно найти в какой точке ЗНАЧЕНИЕ производной равно \(2\):

Из рисунка видно, что абсцисса этой точки \(x_0=7\).
Ответ: \(7.\)

Пример 6
На рисунке дан график функции \(f(x)\). Определите количество точек, в которых касательные к графику этой функции параллельны прямой \(y=-4\).

Уравнение любой прямой в общем виде задается формулой: $$y=kx+b;$$ Где \(k\) - это коэффициент наклона прямой, а \(b\) - свободный член.

Уравнение прямой в условии задачи выглядит так \(y=-4\). Сопоставьте это уравнение с общим видом прямой, и увидите, что у прямой из условия \(k=0\), а \(b=-4\).

Мы получили, что коэффициент наклона прямой из условия равен нулю! Значит у любой прямой, которая будет ей параллельна, коэффициент наклона тоже будет равен нулю. А раз коэффициент наклона ноль, то и производная тоже должна быть ноль.

Переформулируем условие задачи: необходимо найти на графике функции \(f(x)\) точки, в которых производная равна нулю.

Производная равна нулю в точках минимума и максимума: в «вершинах» и «впадинах». Нам остается только посчитать их количество на графике. Я их отметил красными точками:

Пример 7
На рисунке дан график производной функции \(f^{/}(x)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная, проведенная к графику функции \(f(x)\), будет параллельна оси \(x\).

Если прямая параллельна оси \(x\), то ее коэффициент наклона будет равен нулю: $$k=0;$$ $$f^{/}(x_0)=k=0;$$ На графике производной необходимо найти точки, в которых значение производной будет равно нулю. То есть те точки, в которых график производной пересекает ось абсцисс. Такая точка всего одна, ее координата \(x=-8\).