Квадратный корень и его свойства

Квадратный корень – что это?

В школьной программе арифметический квадратный корень изучается в 7-8 классе на уроках алгебры. От того, насколько хорошо ученик усвоил материал, в будущем зависит понимание более сложных тем.
В повседневной жизни без квадратного корня не обойтись при нахождении площадей, решении квадратных уравнений, записи иррациональных чисел, в теории вероятностей и статистике, небесной механике, физике и т.д. Умение извлекать корень и знание его свойств потребуется при решении многих заданий ЕГЭ и ОГЭ.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа \(a\) – это математическая операция, позволяющая получить некоторое действительное число \(b \geqslant 0\), которое при умножении на само себя дает \(a\).

Наглядно проиллюстрировать это позволяет пример: $$ \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4; $$

Число 16 стоит под знаком корня. Нужно найти значение, при возведении которого в квадрат (умножении на себя) получится 16. Это число – 4. Корень квадратный из 16 равен 4.

Аналогичным образом можно вычислить: $$ \sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3; $$ $$ \sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5; $$ $$ \sqrt{1,44}=\sqrt{1,2^2}=1,2; $$ $$ \sqrt{0,04}=\sqrt{0,2^2}=0,2; $$ $$ \sqrt{\frac{1}{36}}=\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2}=\frac{1}{6}. $$

Важно, что квадратный корень существует только от неотрицательных чисел. Если под корнем стоит отрицательное число, то корень не существует. Например, не имеет смысла выражение \(\sqrt{-25}\).

Для любого \(a \geq 0\) из определения квадратного корня следует:

$$(\sqrt{a})^2=a;$$
Пример 1 $$(\sqrt{7})^2=7;$$

Разберем несколько полезных примеров на вычисление корней:

Пример 2 $${\small \sqrt{0}=0;}$$ $${\small \sqrt{1}=1;}$$ $${\small \sqrt{0,09}+\sqrt{0,25}=0,3+0,5=0,8;}$$ $${\small -0,6*\sqrt{25}=-0,6*5=-3;}$$ $${\small 0,49+2*(\sqrt{0,4})^2=0,49+2*0,4=}$$ $${\small =0,49+0,8=1,29;}$$

На экзаменах часто встречаются упражнения на преобразования выражений с квадратными корнями при помощи формул сокращенного умножения. Рассмотрим примеры.

Пример 3 $$(2-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5}=?$$ Воспользуемся формулой квадрата разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). $$(2-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5}=$$ $$=2^2-2*2*\sqrt{5}+5+4\sqrt{5}=$$ $$=4-4\sqrt{5}+5+4\sqrt{5}=9.$$

И воспользуемся формулой разности квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b).\)

Пример 4 $${\small \sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=}$$ $${\small =\sqrt{1*25}=\sqrt{25}=5;}$$

Уравнение \(x^2=a\)

Одна из самых популярных ошибок при решении уравнений у школьников старших классов - неправильное решение уравнения \(x^2=a\), где \(a\) - произвольное число.

Возможно три варианта решения данного уравнения:

При \(a \lt 0\) уравнение не будет иметь корней:

$$x^2=-4, \; корней \; нет.$$

Так как любое число при возведении в квадрат всегда будет давать положительное число.

При \(a=0\) уравнение будет иметь единственное решение:

$$x^2=0;$$ $$x=0.$$

При \(a>0\) решений будет два:

$$x^2=a;$$ $$x=\pm \sqrt{a}.$$ Пример 5 $$x^2=25;$$ $$x_{1}=5;$$ $$x_{2}=-5;$$
Пример 6 $$(x-3)^2=25;$$ $$x-3=\pm5;$$ $$x_{1}=8;$$ $$x_{2}=-2;$$

Нахождение примерного значения квадратного корня

С легкими корнями мы разобрались, а как понять, чему равен, например, \(\sqrt{7}=?\) Найти число, которое, умноженное на само себя, будет давать \(7\) не так-то просто. Если посчитать на калькуляторе, то значение \(\sqrt{7}=2,64575…\)

В математике пользоваться калькулятором нельзя, как тогда посчитать подобные корни? Посчитать точное значение мы не сможем, но оценить примерно не составит труда. Для этого подберем слева и справа от \(\sqrt{7}\) ближайшие корни, которые сможем посчитать:

$$\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9};$$ $$2<\sqrt{7}<3;$$

Видим, что значение \(\sqrt{7}\) лежит между двойкой и тройкой.

Теперь найдем цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат последовательно десятичные числа: \(2.1\); \(2.2\); \(2.3\); … До тех по, пока не получим ближайшее число к \(7\).

$$2.1^2=4.41;$$ $$2.2^2=4.84;$$ $$2.3^2=5.29;$$ $$2.4^2=5.76;$$ $$2.5^2=6.25;$$ $$2.6^2=6.76;$$ $$2.7^2=7.29;$$

Видим, что \(\sqrt{7}\) лежит между \(2.6\) и \(2.7\), ближе к \(2.6\). Подобным образом можно найти и сотые, и тысячные, и до бесконечности. Обычно требуется оценка только целой части, так что не пугайтесь.

Пример 7
Оценить \(\sqrt{2}\); \(\sqrt{15}\); \(\sqrt{87}\) с точностью до целого. $$\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4};$$ $$1<\sqrt{2}<2;$$
$$\sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16};$$ $$3<\sqrt{15}<4;$$
$$\sqrt{81}<\sqrt{87}<\sqrt{100};$$ $$9<\sqrt{87}<10.$$

Свойства корня

Обсудим важные свойства арифметического квадратного корня.

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. Корень из отрицательного числа не существует. Сам квадратный корень тоже всегда больше или равен 0. $$ \sqrt{a} \geqslant 0, $$ $$ a \geqslant 0. $$ Построим график \(y=\sqrt{x}\), чтобы посмотреть, как ведет себя квадратный корень с увеличением \(x\). Из графика видим, что значение корня все время растет. То есть, квадратный корень - это возрастающая функция, которая не существует при отрицательных значениях \(x\).

У корней есть свойства, которые существенно упрощают решение уравнений, если научиться грамотно их применять. Пусть даны некоторые числа \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), тогда корень из произведения \(a\) и \(b\) будет равен произведению корней: $$ \sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}; $$
Пример 8 $$ \sqrt{64*0,04}=\sqrt{64}*\sqrt{0,04}=$$ $$=8*0,2=1,6; $$

Если под корнем неотрицательных множителей больше двух, то формула тоже работает:

$$ \sqrt{a*b*c}=\sqrt{a}*\sqrt{b}*\sqrt{c}; $$

Пример 9 $${\small \sqrt{32*98}=\sqrt{2*16*49*2}=}$$ $${\small =\sqrt{4*16*49}=\sqrt{4}*\sqrt{16}*\sqrt{49}=}$$ $${\small =2*4*7=56;}$$

Аналогичное свойство для частного двух корней: $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}; $$

Пример 10 $$ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6, $$

Вынесение множителя из-под знака корня

Из-под знака корня можно выносить и вносить числа. Пусть есть два числа \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\), тогда можно выполнить следующие преобразования: $$ \sqrt{a^2*b}=a*\sqrt{b}; $$

Пример 11 $$ {\small \sqrt{32}=\sqrt{16*2}=\sqrt{4^2}*\sqrt{2}=4*\sqrt{2};} $$

И в обратную сторону, можно вносить положительный множитель под корень: $$ a*\sqrt{b}=\sqrt{a^2*b}; $$

Пример 12 $$ 3*\sqrt{2}=\sqrt{9*2}=\sqrt{18}; $$

Преобразования выражений с квадратным корнем

Рассмотрим основные задания, встречающиеся с арифметическим квадратным корнем, на примерах:

Пример 13 $$\sqrt{10^8}=10^4=10000;$$
Пример 14 $${\small \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}=}$$ $${\small =\sqrt{25*3}+\sqrt{16*3}-\sqrt{100*3}=}$$ $${\small =\sqrt{25}*\sqrt{3}+\sqrt{16}*\sqrt{3}-\sqrt{100}*\sqrt{3}=}$$ $${\small =5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-10\sqrt{3}=}$$ $${\small =9\sqrt{3}-10\sqrt{3}=-\sqrt{3};}$$
Пример 15 $$\sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p}=$$ $$=\sqrt{4*2p}-\sqrt{2p}+\sqrt{9*2p}=$$ $$=2\sqrt{2p}-\sqrt{2p}+3\sqrt{2p}=4\sqrt{2p};$$
Пример 16 $$(y-\sqrt{x})(y+\sqrt{x})=y^2-x;$$
Пример 17 $$(2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1)=$$ $$=(2\sqrt{5})^2-1^2=4*5-1=19;$$
Пример 18 $$(2\sqrt{3}-7)^2=$$ $$=(2\sqrt{3})^2-2*2\sqrt{3}*7+7^2=$$ $$=12-28\sqrt{3}+49=61-28\sqrt{3};$$
Пример 19 $$\frac{b^2-5}{b-\sqrt{5}}=\frac{(b-\sqrt{5})(b+\sqrt{5})}{b-\sqrt{5}}=$$ $$=b+\sqrt{5};$$

Иррациональность в знаменателе

Пример 20
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби. $$\frac{x}{\sqrt{5}};$$ Домножим и числитель, и знаменатель дроби на \(\sqrt{5}\): $$\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x*\sqrt{5}}{\sqrt{5}*\sqrt{5}}=\frac{x*\sqrt{5}}{5}.$$
Пример 21
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби. $$\frac{4}{\sqrt{3}+1};$$ Домножим и числитель, и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}-1\) (называется сопряженное): $${\small \frac{4}{\sqrt{3}+1}=\frac{4*(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)*(\sqrt{3}-1)}=}$$ $${\small =\frac{4*(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{4*(\sqrt{3}-1)}{2}.}$$
Пример 22
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби. $$\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}};$$ Домножим и числитель, и знаменатель дроби на \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) (называется сопряженное): $${\small \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a*(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})*(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=}$$ $${\small=\frac{a*(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}.}$$