Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) - любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Проведем анализ уравнения. Для этого рассмотрим квадратный трехчлен: $$f(x)=ax^2+bx+x,a≠0.$$ График этой функции - парабола. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) корни нашего уравнения, другими словами, они являются нулями функции \(f(x)\). И пусть \(x_1≤x_2\). Знания, которые могут потребоваться:
  • Может пригодиться, что абсциссу вершины параболы можно найти по формуле: \(x_0=\frac{-b}{2a},\) а \(f(x_0)\) – значение функции в вершине. Отметим, что вершина параболы будет точкой минимума или максимума функции \(f(x)\) в зависимости от того, куда направлены ветки параболы.
  • Важно помнить особенности дискриминанта:
    1. \(D>0\) – парабола пересекает ось \(x\) в двух точках: \(x_1\) и \(x_2\). В этих точках \(f(x)=0\). Или, другими словами, при дискриминанте большем нуля у нас будет два корня квадратного уравнения.
    2. \(D=0\) – парабола пересекает ось \(x\) в одной точке (один корень). Это означает, что вершина параболы лежит на оси \(x\).
    3. \(D<0\) – парабола не пересекает ось (корней нет), значит, она лежит полностью либо выше, либо ниже оси \(x\).
  • Если \(a>0\), ветки параболы направлены вверх. Если \(a<0\), ветки параболы направлены вниз.

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

  • Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2<γ\).
  • Только один из корней принадлежит какому-то промежутку \((γ;β):\)
    2 случая: \(γ<x_1<β≤x_2;\) или \(x_1≤γ<x_2<β.\)
  • Некоторое число \(∝\) лежит между корнями: \((x_1<γ<x_2)\).
  • И т.д. Условия могут быть различными.


Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: \(x_1≤x_2<γ\). Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.

  1. Очевидно, что \(D≥0\), для того, чтобы корни существовали (либо один, либо два корня - то и то нас устраивает – именно поэтому знак неравенства больше либо равно).
  2. Чтобы некоторое число лежало вне отрезка \((x_1,x_2)\), необходимо рассмотреть два случая: ветки параболы направлены вверх \((a>0)\); ветки параболы направлены вниз \((a<0)\).
    • \(a>0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
    • \(a<0\). Значит, между корнями функция принимает положительные значения, а вне этого отрезка – отрицательные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)<0\).

Используем небольшую хитрость, чтобы описать оба этих условия: \(a*f(γ)>0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ)<0\), то \(γ∈(x_1,x_2)\),

если \(a*f(γ)>0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).


Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0<γ\), то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число \(γ\) лежит справа от отрезка \((x_1,x_2)\) и соответственно удовлетворяет условию задачи \(x_1≤x_2<γ\).

Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием \(x_1≤x_2<γ\) необходимо решить следующую систему:

$$\begin{cases} D≥0,\\ a*f(γ)>0, \\x_0<γ.\end{cases}$$

То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что \(γ∉(x_1,x_2)\). И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от \(γ\). Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.

Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)

Необходимые и достаточные условия расположения нулей квадратичной функции
Пример 1

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?


Решение:

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.


2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac{1}{3}.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac{1}{3};0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Ответ: \(a ∈ {-3} ∪(-\frac{1}{3};0)∪(0;+∞)\).


Пример 2

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).


Решение:

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

$$\begin{cases} (a+1)*f(-2) ≥ 0, \\(a+1)*f(2) ≥ 0, \\D≥0, \\-2 < x_0 < 2.\end{cases}$$

\(x_0=\frac{a^2+2a}{2(a+1)}\) -вершина параболы.

$$ f(-2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(-2)-a-1=2a^2+7a+3; $$ $$ f(2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(2)-a-1=-2a^2-a+3; $$ $$ D=(a^2+2a)^2+4(a+1)^2=(a^2+2a+2)^2=(1+(a+1)^2 )^2>0.$$

Подставляем полученные выражения в систему:

$$ \begin{cases} (a+1)(2a^2+7a+3) ≥ 0, \\(a+1)(-2a^2-a+3) ≥ 0,\\ -2 < \frac{a^2+2a}{2(a+1)} < 2. \end{cases} $$ Или $$ \begin{cases} 2(a+1)(a+3)(a+0,5) ≥ 0,\\ -2(a+1)(a-1)(a+1,5) ≥ 0,\\ \frac{(a-1-\sqrt{5})(a-1+\sqrt{5})}{2(a+1)} < 0,\\ \frac{(a+3-\sqrt{5})(a+3+\sqrt{5})}{2(a+1)} > 0.\end{cases} $$
метод интервалов

Ответ: \([-3;-1,5]∪[-0,5;1]\).


Пример 3

Решить уравнение \(\sqrt{x-5}=x+a\), где \(a\) параметр.

Решение:

После равносильных преобразований получим систему:

$$ \begin{cases} x-5=(x+a)^2, \\x≥-a; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2+(2a-1)x+(a^2+5)=0, \\x≥-a. \end{cases} $$

Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$

Для этого найдем дискриминант, вершину параболы и \(f(-a)\). $$ D=(2a-1)^2-4(a^2+5)=-4a-19;$$ $$ {x}_{0}=-\frac{2a-1}{2}=\frac{1-2a}{2}; $$ $$ f(-a)=a+5.$$

Из второго неравенства системы следует, что нас устраивают случаи, когда \({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}\) (нас будет устраивать только один корень \({x}_{2}\)) и \(-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}\) (под условие системы будут подходить оба корня), где \({x}_{1},{x}_{2}\)- нули \(f(x)\).

Обратим внимание, что коэффициент при \(x^2\) положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.

Первый случай: \({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}\) (см. таблицу)

$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$

Таким образом, при \(a ≤ -5\) мы имеем одно решение:

$$ x=\frac{1-2a+\sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Второй случай: \(-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}\) (см. таблицу)

$$ \begin{cases} f(-a)≥0, \\D≥0, \\{x}_{0}>-a; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a+5≥0, \\-4a-19≥0, \\ \frac{1-2a}{2}>-a; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a≥-5, \\a≤-\frac{19}{4}, \\ 1>0. \end{cases} $$

Получаем, что при \(a∈[-5;-4.75]\) уравнение имеет два решения:

$$ {x}_{1,2}=\frac{1-2a±\sqrt{-4a-19}}{2}. $$

Ответ: при \(a≤-5\) $$ x=\frac{1-2a+\sqrt{-4a-19}}{2};$$ при \(a∈[-5;-4.75]\) $$ {x}_{1,2}=\frac{1-2a±\sqrt{-4a-19}}{2}; $$ при \(a>-4.75\) решений нет.


Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.

При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет. Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром.

Применение графического метода для решения задачи с параметром 18(С6) ЕГЭ по профильной математике. Подробно разбираем как решать уравнения и неравенства с параметром при помощи графиков.

В статье подробно разобран второй графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами. Детально разобраны несколько примеров.

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.