Квадратные уравнения с параметром
Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) - любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Исследование квадратного многочлена
Проведем анализ уравнения. Для этого рассмотрим квадратный трехчлен: $$f(x)=ax^2+bx+x,a≠0.$$ График этой функции - парабола. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) корни нашего уравнения, другими словами, они являются нулями функции \(f(x)\). И пусть \(x_1≤x_2\). Знания, которые могут потребоваться:- Может пригодиться, что абсциссу вершины параболы можно найти по формуле: \(x_0=\frac{-b}{2a},\) а \(f(x_0)\) – значение функции в вершине. Отметим, что вершина параболы будет точкой минимума или максимума функции \(f(x)\) в зависимости от того, куда направлены ветки параболы.
- Важно помнить особенности дискриминанта:
- \(D>0\) – парабола пересекает ось \(x\) в двух точках: \(x_1\) и \(x_2\). В этих точках \(f(x)=0\). Или, другими словами, при дискриминанте большем нуля у нас будет два корня квадратного уравнения.
- \(D=0\) – парабола пересекает ось \(x\) в одной точке (один корень). Это означает, что вершина параболы лежит на оси \(x\).
- \(D<0\) – парабола не пересекает ось (корней нет), значит, она лежит полностью либо выше, либо ниже оси \(x\).
- Если \(a>0\), ветки параболы направлены вверх. Если \(a<0\), ветки параболы направлены вниз.
Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:
- Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2<γ\).
- Только один из корней принадлежит какому-то промежутку \((γ;β):\)
2 случая: \(γ<x_1<β≤x_2;\) или \(x_1≤γ<x_2<β.\) - Некоторое число \(∝\) лежит между корнями: \((x_1<γ<x_2)\).
- И т.д. Условия могут быть различными.
Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: \(x_1≤x_2<γ\). Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.
- Очевидно, что \(D≥0\), для того, чтобы корни существовали (либо один, либо два корня - то и то нас устраивает – именно поэтому знак неравенства больше либо равно).
- Чтобы некоторое число лежало вне отрезка \((x_1,x_2)\), необходимо рассмотреть два случая: ветки параболы направлены вверх \((a>0)\); ветки параболы направлены вниз \((a<0)\).
- \(a>0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
- \(a<0\). Значит, между корнями функция принимает положительные значения, а вне этого отрезка – отрицательные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)<0\).
Используем небольшую хитрость, чтобы описать оба этих условия: \(a*f(γ)>0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).
В итоге получаем:
если \(a*f(γ)<0\), то \(γ∈(x_1,x_2)\), если \(a*f(γ)>0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0<γ\), то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число \(γ\) лежит справа от отрезка \((x_1,x_2)\) и соответственно удовлетворяет условию задачи \(x_1≤x_2<γ\).
Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием \(x_1≤x_2<γ\) необходимо решить следующую систему:
$$\begin{cases} D≥0,\\ a*f(γ)>0, \\x_0<γ.\end{cases}$$То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что \(γ∉(x_1,x_2)\). И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от \(γ\). Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.
Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)
При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?
Решение:
1 случай:
Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.
2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac{1}{3}.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac{1}{3};0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):
Ответ: \(a ∈ {-3} ∪(-\frac{1}{3};0)∪(0;+∞)\).
Пример 2
Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).
Решение:
1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).
2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:
$$\begin{cases} (a+1)*f(-2) ≥ 0, \\(a+1)*f(2) ≥ 0, \\D≥0, \\-2 < x_0 < 2.\end{cases}$$\(x_0=\frac{a^2+2a}{2(a+1)}\) -вершина параболы.
$$ f(-2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(-2)-a-1=2a^2+7a+3; $$ $$ f(2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(2)-a-1=-2a^2-a+3; $$ $$ D=(a^2+2a)^2+4(a+1)^2=(a^2+2a+2)^2=(1+(a+1)^2 )^2>0.$$Подставляем полученные выражения в систему:
$$ \begin{cases} (a+1)(2a^2+7a+3) ≥ 0, \\(a+1)(-2a^2-a+3) ≥ 0,\\ -2 < \frac{a^2+2a}{2(a+1)} < 2. \end{cases} $$ Или $$ \begin{cases} 2(a+1)(a+3)(a+0,5) ≥ 0,\\ -2(a+1)(a-1)(a+1,5) ≥ 0,\\ \frac{(a-1-\sqrt{5})(a-1+\sqrt{5})}{2(a+1)} < 0,\\ \frac{(a+3-\sqrt{5})(a+3+\sqrt{5})}{2(a+1)} > 0.\end{cases} $$
Ответ: \([-3;-1,5]∪[-0,5;1]\).
Пример 3
Решить уравнение \(\sqrt{x-5}=x+a\), где \(a\) параметр.
Решение:
После равносильных преобразований получим систему:
$$ \begin{cases} x-5=(x+a)^2, \\x≥-a; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2+(2a-1)x+(a^2+5)=0, \\x≥-a. \end{cases} $$
Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:
$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$Для этого найдем дискриминант, вершину параболы и \(f(-a)\). $$ D=(2a-1)^2-4(a^2+5)=-4a-19;$$ $$ {x}_{0}=-\frac{2a-1}{2}=\frac{1-2a}{2}; $$ $$ f(-a)=a+5.$$
Из второго неравенства системы следует, что нас устраивают случаи, когда \({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}\) (нас будет устраивать только один корень \({x}_{2}\)) и \(-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}\) (под условие системы будут подходить оба корня), где \({x}_{1},{x}_{2}\)- нули \(f(x)\).
Обратим внимание, что коэффициент при \(x^2\) положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.
Первый случай: \({x}_{1} < -a ≤ {x}_{2}\) (см. таблицу)
$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$Таким образом, при \(a ≤ -5\) мы имеем одно решение:
$$ x=\frac{1-2a+\sqrt{-4a-19}}{2}. $$Второй случай: \(-a ≤ {x}_{1} ≤ {x}_{2}\) (см. таблицу)
$$ \begin{cases} f(-a)≥0, \\D≥0, \\{x}_{0}>-a; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a+5≥0, \\-4a-19≥0, \\ \frac{1-2a}{2}>-a; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a≥-5, \\a≤-\frac{19}{4}, \\ 1>0. \end{cases} $$
Получаем, что при \(a∈[-5;-4.75]\) уравнение имеет два решения:
$$ {x}_{1,2}=\frac{1-2a±\sqrt{-4a-19}}{2}. $$Ответ: при \(a≤-5\) $$ x=\frac{1-2a+\sqrt{-4a-19}}{2};$$ при \(a∈[-5;-4.75]\) $$ {x}_{1,2}=\frac{1-2a±\sqrt{-4a-19}}{2}; $$ при \(a>-4.75\) решений нет.