Числовые неравенства

Неравенства — это важная и обширная тема школьной математики. С неравенствами вы будете сталкиваться каждый год, начиная с 7-го класса, и они обязательно будут на всех важных экзаменах.

Что такое неравенства?

Неравенства нужны для того, чтобы сравнивать числа и выражения. Очевидно, что, например, число \(5\) больше, чем число \(3\). Записать это утверждение можно при помощи знака больше - \(«\gt»\): $$5 \gt 3;$$ Широкая часть знака \(«\gt»\) направлена на то число, которое больше, а узкая направлена на меньшее число.

Верно и обратное утверждение - число \(3\) меньше \(5\), математическим языком это записывается при помощи знака меньше - \(«\lt»\): $$3 \lt 5;$$ Таким образом, запись \(x \gt 4\) означает, что вместо переменной \(x\) можно брать любые значения больше \(4\).

Если, например, \(x=3\), то неравенство \(x \gt 4\) перестает быть верным, ведь \(3\) не больше \(4\).

А вот при \(x=100\) неравенство становится верным: \(100 \gt 4.\)

Координатная прямая и числовые промежутки

Неравенство \(x \gt 4\) удобно изобразить графически при помощи координатной прямой. Тут может возникнуть вопрос, а что такое координатная прямая? Это просто линия, на которой расставлены все числа в порядке возрастания:

Назовем эту линию «ось \(x\)» или «числовая прямая». Стрелочкой показано направление возрастания чисел: слева направо. На оси \(x\) можно отметить абсолютно любые числа (положительные, отрицательные, рациональные и иррациональные), важно, что они всегда идут по порядку, по возрастанию. Чтобы изобразить на оси \(x\) неравенство \(x \gt 4\), нам надо отметить на ней число \(4\). Сделаем это большой красной точкой.

А теперь самое главное, так как \(x \gt 4\), то нас устраивают любые числа, которые находятся справа от \(4\), ведь все числа, которые больше \(4\) находятся именно справа. Покажем это при помощи штриховки на рис.2:

Аналогичным образом мы можем отмечать на числовой прямой любые неравенства: $$x \lt 68;$$

Даже можно отметить выполнение сразу нескольких условий для переменной \(x\). Представьте, что \(x\) одновременно должна быть больше \(2\) и меньше \(14\). Например, число \(8\) с одной стороны больше \(2\), а с другой меньше \(14\). Математическим языком это можно записать двойным неравенством: $$2 \lt x \lt 14;$$ А на числовой прямой такое двойное условие будет выглядеть так (любые числа между \(2\) и \(14):\)

Дробные неравенства тоже можно изобразить на координатной прямой. Например, \(x \lt \frac{1}{3}.\) \(\frac{1}{3}\) на числовой прямой, очевидно, находится между нулем и единицей. Разделим в уме отрезок от \(0\) до \(1\) на три равные части и первая из них будет \(\frac{1}{3}\). А если бы нам нужно было отметить \(\frac{2}{3}\), то мы отсчитали бы две одинаковые части. Графически неравенство \(x \lt \frac{1}{3}\) будет выглядеть так:

Со знаками неравенства и графическим их изображением на числовой прямой разобрались. Но есть еще третий способ записывать неравенства: при помощи знака "принадлежит" \(\in\) и скобок.

Например, неравенство \(x \gt -3\) можно записать в виде луча: \(x \in (-3;+\infty)\).
Знак \(+\infty\) - плюс бесконечность, то есть отсутствие границы справа: любое число большее \(-3\);
А запись \(x \in (-3;+\infty)\) читается как «икс принадлежит от минус трех до плюс бесконечности». Графически это можно изобразить вот так:

Аналогичным образом можно записать неравенство \(x \lt -3\) в виде луча \((-\infty;-3)\). А графически оно будет выглядеть так:

Двойные неравенства записываются при помощи интервалов. Например, двойное неравенство \(-1 \lt x \lt 10\) записывается так: \(x\in (-1;10)\). На числовой прямой оно же будет выглядеть так:

Лучом называют неравенство, если одна из границ - бесконечность, а другая - число. Интервалом называют неравенство, если обе границы это числа. Итак, подведем итог. Неравенства можно записывать тремя способами:

• При помощи знаков неравенства (больше \(x \gt 5\), меньше \(x \lt 5\));
• Графически на числовой (координатной) прямой;
• Лучами: \(x \in (5;+\infty)\) и \(x \in (-\infty;5)\). И интервалами: \(x \in (2;3)\)

Важно понимать, что все три способа записывать неравенства фактически обозначают одно и то же. Зачем же тогда так много видов записи одного и того же?

Знаки неравенств и числовую прямую мы будем использовать при решении более сложных неравенств. А при помощи лучей и интервалов принято записывать ответы.

Строгие и нестрогие неравенства

Все неравенства, о которых мы говорили выше, называются «строгими». В чем же их строгость? Когда мы говорим \(x\) больше \(7\), то подразумеваем, что это неравенство будет верным при условии, что \(x\) принимает любые значения строго большие \(7\): \(8,100,100000\) и даже \(7,00001\), все эти числа больше семи. Но \(x=7\) не удовлетворяет этому неравенству. Так как \(7\) не больше \(7.\)

А что, если мы хотим показать, что \(x\) может принимать значения не только большие \(7\), но и равное \(7\)? Для таких случаев придумали знак «больше или равно», обозначается \(x \geq 7\).

Аналогичным образом существует знак «меньше или равно» \(x \leq 1\), который обозначает, что, если вместо \(x\) подставить значения меньшие единицы или равное единице, то неравенство будет верным.

Неравенства со знаками \(\geq\) или \(\leq\) называются «нестрогими». Пример таких нестрогих неравенств: $$x \geq 12;$$ $$x \leq -1;$$ $$x\geq \frac{1}{6};$$

Часто с нестрогими неравенствами возникает путаница. Скажите, какие из представленных ниже неравенств верные, а какие нет: $$3 \ge 2;$$ $$4 \ge 4;$$ $$5 \gt 5;$$ Первое неравенство будет верным: \(3\) действительно больше \(2.\)
Второе неравенство тоже верное, так как знак неравенства \(«\ge»\) разрешает равенство, а \(4\) равно \(4.\)
А вот третье неравенство неверное, потому что \(5\) не больше \(5,\) а знак неравенства строгий, равенство не допускается.

Нестрогие неравенства тоже можно изобразить графически на числовой прямой. Для того, чтобы различать на рисунке строгие и нестрогие неравенства, придумали обозначать строгие незакрашенной (выколотой) точкой, а нестрогие при помощи закрашенной.

На рисунке \(10\) показано строгое неравенство \(x \gt 8\). На рисунке \(11\): нестрогое \(x \geq 8\). Обратите внимание на точку \(8\): в строгом неравенстве она выколотая, а в нестрогом закрашенная:

Еще один способ записывать нестрогие неравенства: используя квадратные скобки.
Например: Нестрогое неравенство \(x \geq 3\) можно записать в виде \(x \in [3;+\infty);\)
Неравенство \(x \leq -8\) записывается как \(x \in (-\infty; -8].\)

Чтобы во всем этом не путаться, необходимо хорошо запомнить:

Если неравенство нестрогое, то на числовой прямой точка закрашена, а скобка квадратная. Если неравенство строгое, то точка не закрашена, скобка круглая.

На рис.12 показаны все способы записи числовых промежутков: знака неравенства, графически и промежутков.

С обозначениями разобрались, теперь можно приступать к решению самых простых: линейных неравенств.