Исследование функции с помощью производной

Применение производной для исследования функций

В ЕГЭ по математике есть задание на исследование функции при помощи производной. Исследовать функцию - значит, не строя ее график, найти, где она принимает наибольшие и наименьшие значения, где она возрастает, а где убывает. Когда перед глазами график функции, это все легко увидеть. Посмотрите на Рис.1:

Все «холмы» будут наибольшими значениями функции, еще их называют максимумами (точки \(A, \; B, \; C\)), а все «впадины» будут наименьшими значениями функции, их называют минимумами (точки \(M, \; N, \; K\)).

А на промежутках графика от точки \(A\) до точки \(M\), от \(B\) до \(N\) и от \(C\) до \(K\) функция убывает (участки показаны синим цветом). На промежутках: участок до точки \(A\), от \(M\) до \(B\), от \(N\) до \(C\) и участок после точки \(K\), функция возрастает (участки показаны зеленым цветом).

Все вышеперечисленные факты видны из графика функции. А что, если у вас нет графика, а есть только уравнение самой функции? Тогда определить все это поможет производная, график функции нам не понадобится.

Вспомните, как мы вводили определение производной. Производная - это скорость изменения функции, на сколько меняется значение функции на бесконечно малом промежутке \(\Delta x\): $$f^{/}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x} \quad при \quad x \to 0;$$ Если функция растет, то значение функции в следующей точке будет больше, чем в предыдущей (\(f_B-f_A>0\)), а значит производная должна быть положительной. При этом, чем больше выросло значение функции, тем больше будет значение производной.

Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.

Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:

Кроме этого, производная от функции может быть равна нулю. Функция в той точке, где производная равна нулю, будет принимать наибольшее или наименьшее значение в окрестности этой точки. На графике нашей функции (Рис. 1) эти точки выглядят как «холмы» и «впадины».

Обратите внимание, что «холмов» и «впадин» на графике может быть бесконечно много, какие-то из этих «холмов» будут выше, какие-то ниже. Производная равна нулю во всех таких точках. И значения функции во всех таких точках я называю наибольшими и наименьшими, хотя на самом деле это локальные наибольшие и наименьшие значения.

Кстати, ТОЧКАМИ минимума или максимума называют координаты «холмов» и «впадин» по оси \(x\). Еще их называют точками экстремума функции: это общее название для минимумов и максимумов. Поэтому, когда вас просят найти точки экстремума, это значит найти координаты по оси \(x\) и минимумов, и максимумов.

• Производная от функции положительна - функция возрастает;
• Производная от функции отрицательна - функция убывает;
• Производная от функции равна нулю - функция принимает максимальное или минимальное значение в этой точке;

Все вышеперечисленные выводы действуют и в обратную сторону:

• Функция возрастает - производная от функции положительна;
• Функция убывает - производная от функции отрицательна;
• Функция принимает максимальное или минимальное значение в точке - производная от функции равна нулю;

Для успешного выполнения задания №12 из ЕГЭ на исследование функций, необходимо уметь считать производные, без этого никак.

Исследуем теперь некоторую функцию и применим полученные знания на практике: найдем ее точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

Пример 17
Исследуйте функцию при помощи производной на отрезке: $$y=\frac{49}{x}+x+11;$$ Чтобы найти точки экстремума необходимо найти производную функции: $$y^{/}=(\frac{49}{x}+x+11)^{/}=(49*x^{-1}+x+11)^{/}=(49*x^{-1})^{/}+x^{/}+11^{/}=-49*x^{-2}+1;$$ Здесь мы воспользовались определением отрицательной степени: $$x^{-n}=\frac{1}{x^n};$$ Точки минимума и максимума будут там, где производная равна нулю. Поэтому приравниваем найденную производную к нулю: $$y^{/}=-49*x^{-2}+1=0;$$ И найдем корни получившегося уравнения, они же и будут точками экстремума. Для этого избавимся от отрицательной степени и приведем к общему знаменателю: $$\frac{-49}{x^2}+1=0;$$ $$\frac{-49+x^2}{x^2}=0;$$ Разложим разность квадратов: $$\frac{(x-7)(x+7)}{x^2}=0; \qquad (*)$$ Корнями этого уравнения будут: \(x=\pm7\), эти значения \(x\) и будут точками минимума и максимума. Только вот какая именно точка будет минимумом, а какая максимумом? Чтобы в этом разобраться, расставим полученные корни на числовой прямой (отметим ноль из знаменателя, как выколотый):

И прямо как в методе интервалов в неравенствах расставим знаки производной на числовой прямой. Чтобы определить знак производной, берем любое значение \(x\) из выбранного промежутка и подставляем в производную (*). Например, из самого правого промежутка возьмем \(x=8\), подставляем в (*): $$\frac{(x-7)(x+7)}{x^2}=\frac{(8-7)(8+7)}{8^2}>0;$$ Видим, что производная при \(x=8\) будет положительна, ставим знак \(+\) на нашей числовой прямой. Аналогичным образом расставляем знаки для всех промежутков. Еще раз повторю, действия полностью аналогичны тому, что вы делали, когда учились решать неравенства методом интервалов.

Там, где стоят плюсы, производная положительна, а значит функция на этих промежутках возрастает. Там, где стоят минусы, производная отрицательна, а значит функция убывает. Покажем это при помощи наклонных стрелочек вверх (возрастающая функция) и вниз (убывающая функция) под числовой прямой.

Теперь не составит труда определить, какая именно точка будет минимумом, а какая максимумом. Если функция перед точкой \(x=-7\) сначала растет (мы как-бы поднимаемся в гору), а потом, сразу после точки \(x=-7\), убывает (мы спускаемся с горы), то в этой точке будет максимум (вершина горы).

С точкой \(x=7\) все наоборот: сначала функция убывает (спускаемся с горы), а потом возрастает (поднимаемся в гору). Значит \(x=7\) будет точкой минимума (яма).

Мы исследовали функцию \(y=\frac{49}{x}+x+11\). Теперь мы знаем, что:
На промежутке \(x \in (-\infty;-7)\) функция возрастает;
На промежутке \(x \in (-7;0) \cup (0;7)\) функция убывает;
На промежутке \(x \in (7;+\infty)\) функция опять возрастает;
Точка \(x=-7\) является максимумом функции, а точка \(x=7\) будет минимумом.

Может возникнуть вопрос: «А как же точка \(x=0\)?» Дело в том, что точка \(x=0\) она из знаменателя нашей функции, то есть она выколотая (функция не существует в этой точке). Поэтому на нее не обращаем внимания. В таких точках обычно возникают асимптоты, об этом вы узнаете в более продвинутом курсе. Для ЕГЭ по математике это не понадобится.

Обратите внимание, что мы исследовали функцию при помощи производной без построения графика. То есть мы не знаем, как выглядит график данной функции. Но и без этого смогли сделать очень важные выводы, и теперь имеем представление, как он должен примерно выглядеть: где возрастает, где убывает, где точки экстремума. Это очень помогает, когда функции сложные и построить их графики затруднительно.

Рассмотрим еще один пример, в котором найдем наибольшее и наименьшее значение функции. Обычно наибольшие или наименьшие значения функции просят найти на каком-нибудь промежутке:

Пример 18
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(y=11+48x-x^3\) на отрезке \([-5;10]\).

Находим производную: $$y^{/}=(11+48x-x^3)^{/}=48-3x^2;$$ Приравниваем к нулю и раскладываем на множители: $$48-3x^2=0;$$ $$3(16-x^2)=0;$$ $$3(4-x)(4+x)=0;$$ Отметим корни уравнения на числовой прямой:

Расставляем знаки производной, как в методе интервалов, и отмечаем промежутки возрастания и убывания при помощи стрелочек (там где производная положительна, функция возрастает, там где отрицательна - убывает):

Из рисунка видим, что до \(x=-4\) производная была отрицательна, а значит функция убывает, после точки \(x=-4\) производная положительна, значит функция возрастает. \(x=-4\) будет точкой минимума.

До точки \(x=4\) производная положительна, а сразу после - отрицательна. Значит функция сначала возрастала, потом убывала. \(x=4\) будет точкой максимума.

Точки экстремума мы нашли, но в условии задачи нас просят найти наибольшие и наименьшие значения функции. Для этого подставим найденные точки экстремума в исходную функцию. Не в производную, а в саму функцию, которая написана в условии! $$y(-4)=11+48x-x^3=11+48*(-4)-(-4)^3=11-192+64=-117;$$ $$y(4)=11+48x-x^3=11+48*4-4^3=11+192-64=139;$$ Кроме этого, необходимо проверить значения функции в точках на границах данного в условии отрезка \([-5;10]\): $$y(-5)=11+48x-x^3=11+48*(-5)-(-5)^3=11-240+125=-104;$$ $$y(10)=11+48x-x^3=11+48*10-10^3=11+480-1000=-509;$$ Среди найденных значений выбираем наибольшее значение функции на промежутке \(x\in[-5;10]\): $$y(4)=139;$$ И наименьшее: $$y(10)=-509;$$ Как видите, наибольшее значение будет в точке максимума \(x=4\), а вот наименьшее значение будет не в точке минимума \(x=-4\), а в правой границе отрезка: в точке \(x=10\)! Поэтому очень важно при нахождении наибольших или наименьших значений всегда проверять значение функции на конце отрезка.

Давайте разберемся, как такое может быть. Почему минимальное значение у нас получилось не в точке минимума, а в границе отрезка.

Чтобы разобраться, нарисуем схематичный график нашей исходной функции. Рисовать будем не по точкам, как вы привыкли, а нарисуем примерно, используя информацию, которую мы выяснили при помощи производной:
на отрезке \(x \in [-5;-4)\) функция убывает;
точка \(x=-4\) будет минимумом со значением \(y(-4)=-117\);
на отрезке \(x \in (-4;4)\) функция возрастает до точки максимума \(x=4\) со значением \(y(4)=139\);
и затем на отрезке \(x \in (4;10)\) функция убывает до значения \(y(10)=-509\).

Как мы уже обсуждали, в точках, где производная равна нулю, будут локальные минимумы и максимумы. Это значит, что в некоторой окрестности точки экстремума (и слева, и справа от нее), функция будет принимать наибольшее или наименьшее значение, только в окрестности этой точки. И совсем необязательно это будет наибольшее или наименьшее значение всей функций. Что мы и видим на схематичном графике на рисунке 10: наименьшее значение будет в границе отрезка \(x=10\), а не в точке минимума.

Алгоритм исследования функции при помощи производной

• Находим производную от функции;
• Приравниваем производную функции к нулю. Находим корни получившегося уравнения, и, если возможно, раскладываем на множители;
• Рисуем числовую прямую, на ней отмечаем найденные корни;
• Расставляем \((+)\) над теми промежутками, где производная положительна, и \((-)\) там, где производная отрицательна. Аналогично методу интервалов в неравенствах;
• Там где производная положительная, функция возрастает, а там, где отрицательная - убывает, отмечаем промежутки возрастания и убывания при помощи наклонных стрелочек вверх и вниз;
• Точки на числовой прямой, в которых производная существует, будут экстремумами функции;
• Если перед точкой экстремума функция возрастала, а после убывала, то эта точка будет максимумом функции, а если наоборот, то минимумом. Если в условии задачи требовалось найти именно ТОЧКИ минимума и максимума, то на этом решение закончено.
• Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции, необходимо подставить концы данного отрезка, на котором исследуется функция, и найденные точки минимума и максимума в исходную функцию, и выбрать самое большое или самое маленькое значение соответственно.

Основные виды заданий на производную в ЕГЭ

Разберем задания из ЕГЭ по математике с самыми часто встречающимися функциями.

Пример 19
Найдите точку максимума функции \(y=-\frac{x}{x^2+441}\).

Первым делом находим производную от функции. Здесь нам понадобится формула производной от частного двух функций \((\frac{f(x)}{g(x)})^{/}=\frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2}:\) $$y^{/}=(-\frac{x}{x^2+441})^{/}=-\frac{x^{/}*(x^2+441)-x*(x^2+441)^{/}}{(x^2+441)^2}=$$ $$=-\frac{1*(x^2+441)-x*2x}{(x^2+441)^2}=-\frac{x^2+441-x*2x}{(x^2+441)^2}=-\frac{-x^2+441}{(x^2+441)^2}=$$ $$=\frac{x^2-441}{(x^2+441)^2}=\frac{(x-21)(x+21)}{(x^2+441)^2};$$ Приравниваем к нулю: $$\frac{(x-21)(x+21)}{(x^2+441)^2}=0;$$ Корнями получившегося уравнения будут \(x=\pm21\). Знаменатель будет всегда положительный. Отметим корни на числовой прямой, определим знаки производной и стрелочками покажем промежутки возрастания и убывания самой функции:

Точка \(x=-21\) будет точкой максимума, а точка \(x=21\) - точкой минимума. В задании требовалось найти только точку максимума, можем записать ответ.

Ответ: Точка максимума \(x=-21\).

Пример 20
Найдите наименьшее значение функции \(y=3x—ln(x+3)^3\) на интервале \([-2,5;0].\)

Ищем производную, но перед этим вынесем степень из-под логарифма (свойства логарифма): $$y^{/}=(3x-ln(x+3)^3)^{/}=(3x-3*ln(x+3))^{/}=3-3*\frac{1}{x+3}=\frac{3x+9-3}{x+3}=\frac{3x+6}{x+3};$$ Приравниваем производную к нулю и находим корни на заданном отрезке: $$\frac{3x+6}{x+3}=0;$$ $$x=-2;$$ На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:

В точке \(x=-2\) будет минимум функции. Точка \(x=-3\) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.

Чтобы определить наименьшее значение, подставим в исходную функцию найденную точку минимума и концы отрезка \(x\in[-2,5;0]\): $$y(-2)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2)-ln(-2+3)^3=-6-0=-6;$$ $$y(-2,5)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2,5)-ln(-2,5+3)^3=-7,5-ln(0,5)^3;$$ $$y(0)=3x—ln(x+3)^3=3*0-ln(0+3)^3=ln(3)^3;$$

Обратите внимание, что значение функции в точках \((-2,5)\) и \((0)\) получились "плохие": мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.

Кстати, подставлять в этом примере границы отрезка необязательно еще и по другой причине: на промежутке \([-2,5;-2)\) функция убывает, а на промежутке \((-2;0]] возрастает. Минимальное значение на указанном промежутке может быть только в точке минимума.

Пример 21
Найдите наименьшее значение функции \(y=x*\sqrt{x}-9x+25\) на интервале \([1;50].\)

Производную от данной функции можно посчитать, воспользовавшись формулой производной от произведения \((f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/}:\) $$y^{/}=(x*\sqrt{x}-9x+25)^{/}=(x\sqrt{x})^{/}-(9x)^{/}+25^{/}=x^{/}*\sqrt{x}+x*(\sqrt{x})^{/}-9=$$ $$=1*\sqrt{x}+x*\frac{1}{2\sqrt{x}}-9=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}*\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-9=\sqrt{x}+\frac{1}{2}*\sqrt{x}-9=\frac{3}{2}*\sqrt{x}-9;$$ Есть другой вариант взятия производной, на мой взгляд, он легче. Для это мы представим квадратный корень в виде степени: $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}};$$ $$y^{/}=(x*\sqrt{x}-9x+25)^{/}=(x*x^{\frac{1}{2}}-9x+25)^{/}=(x^{frac{3}{2}-9x+25)^{/}=\frac{3}[2}*x^{\frac{1}{2}}-9=\frac{3}{2}*\sqrt{x}-9;$$ Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения на указанном интервале: $$\frac{3}{2}*\sqrt{x}-9=0;$$ $$\sqrt{x}=9*\frac{2}{3};$$ $$\sqrt{x}=6;$$ $$x=36;$$ На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:

Точка \(x=36\) будет точкой минимума. Подставляем в исходную функцию и находим наименьшее значение: $$y(36)=x*\sqrt{x}-9x+25=36*\sqrt{36}-9*36+25=216-324+25=-83;$$ Ответ:\(-83.\)

Пример 22
Найдите точку максимума функции \(y=(x^2-10x+10)*e^{5-x};\)

Используем формулу произведения суммы \((f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/}\): $$y^{/}=((x^2-10x+10)*e^{5-x})^{/}=(x^2-10x+10)^{/}*e^{5-x}+(x^2-10x+10)*(e^{5-x})^{/}=$$ $$=(2x-10)*e^{5-x}+(x^2-10x+10)*e^{5-x}*(-1);$$ Минус единица в конце появилась из-за производной от экспоненты. Так как у нее в степени стоит не просто \(x\), а выражение \(5-x\), то это сложная функция и производная от нее: \((e^{5-x})^{/}=e^{5-x}*(5-x)^{/}=e^{5-x}*(-1).\) Приравниваем производную к нулю: $$(2x-10)*e^{5-x}+(x^2-10x+10)*e^{5-x}*(-1)=0;$$ Выносим общий множитель: $$e^{5-x}*(2x-10-1*(x^2-10x+10))=0;$$ $$e^{5-x}*(2x-10-x^2+10x-10)=0;$$ $$e^{5-x}*(-x^2+12x-20)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Экспонента равняться нулю не может, поэтому получаем: $$-x^2+12x-20=0;$$ $$D=144-80=64;$$ $$x_{1}=\frac{-12+8}{-2}=2;$$ $$x_{2}=\frac{-12-8}{-2}=10;$$ Разложим квадратный многочлен на множители: $$-(x-2)(x-10)=0;$$ Отметим на числовой прямой нули производной, определим знаки производной и покажем промежутки возрастания и убывания функции:

\(x=2\) будет точкой минимума, а \(x=10\) точкой максимума. Записываем ответ:
Ответ: \(x=10.\)

Пример 23
Найдите наименьшее значение функции \(y=e^{2x}-14*e^{x}-2\) на интервале \([0;2].\)

Считаем производную: $$y^{/}=(e^{2x}-14*e^{x}-2)^{/}=(e^{2x})^{/}-(14*e^{x})^{/}-(2)^{/}=$$ $$=e^{2x}*2-14*e^{x}=2*e^{2x}-14*e^{x};$$ Приравниваем производную к нулю: $$2*e^{2x}-14*e^{x}=0;$$ $$2*e^{x}(e^{x}-7)=0;$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$e^{x}=0;$$ Корней нет, показательная функция не может быть равна нулю. $$e^{x}-7=0;$$ $$e^{x}=7;$$ Получилось показательное уравнение, его решением будет: $$x=ln(7);$$ Нарисуем числовую прямую, отметим на ней получившийся корень, определим знаки производной и покажем промежутки возрастания и убывания функции:

\(x=ln(7)\) будет точкой минимума, подставим ее в исходную функцию: $$y=e^{2*ln(7)}-14*e^{ln(7)}-2=7^2-14*7-2=49-98-2=-51;$$ Ответ: \(-51.\)

Пример 24
Найдите точку минимума функции \(y=\sqrt{x^2+6x+12}.\)

Квадратный корень - это возрастающая функция, чем меньше подкоренное выражение, тем меньше сам корень. То есть, в точке, где минимум у подкоренного выражения \((x^2+6x+12)\), будет и минимум у всей функции \(y=\sqrt{x^2+6x+12}\). Возьмем производную от функции \(y=x^2+6x+12\):

Пример 25
Найдите наибольшее значение функции \(y=3^{-7-6x-x^2}\).

Показательная функция - это возрастающая функция, чем больше степень, тем больше будет вся функция. Найдем наибольшее значение степени \((-7-6x-x^2)\): $$(-7-6x-x^2)^{/}=-6-2x;$$ Приравниваем производную к нулю:

В точке \(x=-3\) функция будет принимать наибольшее значение, найдем его: $$y(-3)=3^{-7-6x-x^2}=3^{-7-6*(-3)-(-3)^2}=3^{-7+18-9}=3^2=9;$$ Ответ: \(9.\)