урок 4. Задание №9 ЕГЭ

Степень с рациональным показателем

Цели урока:
1. Что такое степень с дробным показателем
2. Свойства степени с рациональным показателем
3. Как ее посчитать
4. Разбор примеров из задания №9 ЕГЭ

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида \(\frac{p}{q}\), где \(p\)-некоторое целое число, а \(q\) – натуральное число, причем \(q\ge2\).


Определение

Положительное число \(a\) в рациональной степени \(\frac{p}{q}\) является арифметическим корнем степени \(q\) из числа \(a\) в степени \(p\):

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. $$

Обращаем ваше внимание, что

$$ \sqrt[q]{p}=(\sqrt[p]{a})^p,$$

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.


Пример 1 $$ 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$ $$ 3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}; $$ $$ 5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3};$$ $$ 7^{-\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{7^{-5}}.$$

Теорема

Пусть есть некоторое положительное число \(a\) и целое число \(p\), тогда справедливы следующие соотношения:

$$1.\; a^{\frac{p}{q}}=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$ $$2.\; a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{p*k}{q*k}},$$ $$ 3.\;a^p= a^{\frac{pq}{q}}, $$

где \(k\) и \(q\) – натуральные числа большие 1.


Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[p]{a})^p=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=\sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{\frac{p*l}{q*k}}, $$

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.


Пример 2 $$a)\;8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$ $$б)\;4^{\frac{15}{5}}=4^{\frac{3}{1}}=4^3=64;$$ $$в)\;3^{-\frac{6}{2}}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}.$$

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть \(a\) и \(b\) – некоторые положительные числа, а числа \(m\) и \(n\) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

$$ 1. \;a^m*a^n=a^{m+n}. $$

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

$$2. \; a^m:a^n=a^{m-n}.$$

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

$$3. \; (a^m)^n=a^{m*n}.$$

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

$$4. \; (a*b)^n=a^n*b^n.$$

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

$$ 5.\; (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}.$$

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число \(a>1\) и рациональные числа \(n\) и \(m\).

$$6.\;$$

При \(n \gt 0\) \(a^n \gt 1\),

При \(n \lt 0\) \(0 \lt a^n \lt 1\).

$$7.$$

Если же \(a \gt 1\) и \(n \gt m\), то

$$ a^n>a^m.$$

Если \( 0 \lt a \lt 1 \) и \(n \gt m\), то

$$ a^n \lt a^m.$$

Разберем несколько примеров:

Пример 3 $$ 3^{-\frac{3}{4}}*3^{-\frac{1}{4}}=3^{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=3^{-1}=\frac{1}{3};$$ $$ 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3};$$ $$ (5^{-\frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-\frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$ $$ (0,125)^{-\frac{2}{3}}*8^{-\frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-\frac{2}{3}}=1^{-\frac{2}{3}}=1; $$ $$ (4,4)^{\frac{1}{3}}:(0,55)^{\frac{1}{3}}=(\frac{4,4}{0,55})^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2;$$ $$ 3^{\frac{1}{3}} \lt 3^{\frac{1}{2}},$$

Так как основание степени больше единицы \(3 \gt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\).

$$ (\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}} \gt (\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}, $$

Так как \(0 \lt \frac{1}{5} \lt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\)

Описание урока

От успешной сдачи государственного экзамена по математике зависит поступление в высшее учебное заведение. Степень с рациональным показателем – важная тема, изучение которой необходимо для успешной подготовки к ЕГЭ. От того, насколько хорошо она освоена, зависит в будущем, насколько легко будет решать уравнения и производить более сложные операции с числами. Задание номер 15 строится на умении работать с такими степенями. Чтобы понимать, о чём идёт речь, стоит ознакомиться с определением степени с рациональным показателем и её основными свойствами, которые пригодятся и при работе с функциями.

Степенью числа А, рациональный показатель которого равен p делённому на q, называют выражение, где под корнем степени q находится возведённое в степень p число A. Чтобы более наглядно рассмотреть это явление, разберём пример. Допустим, число 3 возводится в степень 2/4. Тогда изначальное выражение приобретёт следующий вид: корень четвертой степени от 3 в квадрате. 3 во второй степени - 9. Корень четвертой степени из 9 сложно рассчитать без помощи калькулятора, но существуют примеры, где корень n-ой степени из подкоренного выражения легко извлекается.

Важно запомнить, что число А не должно быть меньше 0, а число q не равно 1.

Свойства степени с рациональным показателем

Знание свойств степеней с показателем, равным рациональному числу, облегчает работу с уравнениями и функциями, где содержатся такие выражения. Внимательно их изучив, можно достаточно быстро выполнять задания, что немаловажно в процессе написания ЕГЭ.

Одно из основных свойств: произведение двух степеней с одинаковым основанием равно основанию в степени, равной сумме степеней двух множителей.

При делении степеней с рациональным показателем из показателя делимого вычитают показатель делителя. У степени с рациональным показателем есть и другие свойства, которые также присущи степени с обыкновенным показателем. Их легко запомнить, а чтобы примеры помогли внимательнее рассмотреть свойства, посмотрите видео, в котором о них рассказывается подробнее.

Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В данном уроке разбираем, что такое квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Теория для решения заданий 17 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Как решать номер 18 (С6) из ЕГЭ по математике профильного уровня. Разбор основных методов и типов решения задач с параметром. Графический и аналитические методы.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.