Processing math: 100%
To main content
урок 4. Математика ОГЭ и ЕГЭ

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Мы уже знакомы с понятием степени с ЦЕЛЫМ показателем, когда в степени стоит целое число n. Давайте разберемся, что такое степень с РАЦИОНАЛЬНЫМ показателем, когда в степени обыкновенная дробь - pq.

Рациональный показатель – это выражение вида pq, где p - некоторое целое число, а q – натуральное число, причем q2. Это строгое определение рационального показателя, но, простыми словами, мы будем изучать дробные степени, когда у вас в показателе стоит обыкновенная дробь.

Положительное число a в степени pq является арифметическим корнем степени q из числа a в степени p:

apq=qap.

Для того, чтобы научиться считать дробные степени, достаточно запомнить формулу из определения. Разберемся на примерах, как это работает, но нам понадобится хорошее знание арифметического корня n-й степени.

И обращаем ваше внимание, что

qap=(qa)p,

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 823=382=(38)2=22=4; 2713=3271=327=3; 315=53; 756=675=6175=1675;

Обратите внимание, что у обыкновенного квадратного корня двойка в показателе не пишется: пишем так a, а имеем в виду 2a. 712=7; 532=53.

Пусть есть некоторое положительное число a, целое число p и натуральное число q, тогда справедливы следующие соотношения:

1.apq=(a1q)p, 2.apq=apkqk, 3.ap=apqq,

где k и q – натуральные числа, большие 1.


Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

apq=qap=(pa)p=(a1q)p,

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

apq=qap=qkapk=apkqk,

Третья формула, на мой взгляд, очевидна, просто сократите дробь в степени в правой части формулы и получите исходное выражение.

Пример 2 843=(813)4=24=16; 4155=431=43=64; 362=33=133=127.

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть a и b – некоторые положительные числа, а числа mn и cd – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

  1. При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели складываются: amnacd=amn+cd 325385=325+85=3105=32=9; 213443=213(22)43= =213283=213+83= =293=23=8;
  2. При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели вычитаются: amn:acd=amncd 583:523=58323=563=52=25;
  3. При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются: (amn)cd=amncd (913)32=91332= =912=291=9=3;
  4. Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей: (ab)mn=amnbmn (278)23=2723823= =3272382=(327)2(38)2= =3222=94=36;
  5. Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел: (ab)mn=amnbmn
  6. И еще два очень важных свойства степеней. Они пригодятся при решении показательных уравнений и неравенств:
    Пусть есть некоторое положительное основание a>1 и рациональные степени n и m: Приn>0:an>1; Приn<0:0<an<1;
  7. Если же a>1 и n>m, то: an>am; Если 0<a<1 и n>m, то: an<am.

Разберем несколько примеров:

Пример 3 334314=33414=31=13; 212:214=21214=214=42; (512)4=5(12)(4)=52=25; (0,125)23823=(0,1258)23= =123=1; (4,4)13:(0,55)13=(4,40,55)13=813= =38=2; 313<312,

Так как основание степени больше единицы 3>1 и 13<12.

(15)13>(15)12,

Так как 0<15<1 и 13<12.


Метод рационализации (равносильности) помогает значительно сократить решение показательных и логарифмических неравенств. Рационализация часто встречается в задании 14 ЕГЭ по математике.

Как решать показательные неравенства. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Однородные степенные неравенства.

Как решать неравенства с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в логарифмических неравенствах. Сужение ОДЗ.

Как решать уравнения с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в уравнениях. Разбираем основные методы.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Урок по теме: что такое степень с целым показателем и ее свойства. Разбор преобразования сложных степенных выражений на примерах. Отрицательная степень.

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.

Занятия с автором учебника