Степень с рациональным показателем и ее свойства
Мы уже знакомы с понятием степени с ЦЕЛЫМ показателем, когда в степени стоит целое число \(n\). Давайте разберемся, что такое степень с РАЦИОНАЛЬНЫМ показателем, когда в степени обыкновенная дробь - \(\frac{p}{q}\).
Рациональный показатель – это выражение вида \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - некоторое целое число, а \(q\) – натуральное число, причем \(q\ge2\). Это строгое определение рационального показателя, но, простыми словами, мы будем изучать дробные степени, когда у вас в показателе стоит обыкновенная дробь.
Положительное число \(a\) в степени \(\frac{p}{q}\) является арифметическим корнем степени \(q\) из числа \(a\) в степени \(p:\)
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. $$Для того, чтобы научиться считать дробные степени, достаточно запомнить формулу из определения. Разберемся на примерах, как это работает, но нам понадобится хорошее знание арифметического корня n-й степени.
И обращаем ваше внимание, что
$$ \sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]{a})^p,$$Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1 $$ 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$ $$ 27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27^1}=\sqrt[3]{27}=3;$$ $$ 3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}; $$ $$ 7^{-\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{7^{-5}}=\sqrt[6]{\frac{1}{7^5}}=\frac{1}{\sqrt[6]{7^{5}}};$$
Обратите внимание, что у обыкновенного квадратного корня двойка в показателе не пишется: пишем так \(\sqrt{a}\), а имеем в виду \(\sqrt[2]{a}.\) $$ 7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7};$$ $$ 5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3}.$$
Пусть есть некоторое положительное число \(a\), целое число \(p\) и натуральное число \(q\), тогда справедливы следующие соотношения:
$$1.\; a^{\frac{p}{q}}=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$ $$2.\; a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{p*k}{q*k}},$$ $$ 3.\;a^p= a^{\frac{pq}{q}}, $$где \(k\) и \(q\) – натуральные числа, большие 1.
Давайте попробуем их доказать:
Из определения степени с рациональным показателем следует, что:
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[p]{a})^p=(a^{\frac{1}{q}})^p,$$Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=\sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{\frac{p*k}{q*k}}, $$Третья формула, на мой взгляд, очевидна, просто сократите дробь в степени в правой части формулы и получите исходное выражение.
Пример 2 $$8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$ $$4^{\frac{15}{5}}=4^{\frac{3}{1}}=4^3=64;$$ $$3^{-\frac{6}{2}}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}.$$
Свойства степени с рациональным показателем
Пусть \(a\) и \(b\) – некоторые положительные числа, а числа \(\frac{m}{n}\) и \(\frac{c}{d}\) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:
- При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели складываются: $$ \mathbf {a^{\frac{m}{n}}*a^{\frac{c}{d}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{c}{d}}} $$ $$ 3^{\frac{2}{5}}*3^{\frac{8}{5}}=3^{\frac{2}{5}+\frac{8}{5}}=3^{\frac{10}{5}}=3^2=9; $$ $$ 2^{\frac{1}{3}}*4^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{1}{3}}*(2^2)^{\frac{4}{3}}=$$ $$=2^{\frac{1}{3}}*2^{\frac{8}{3}}=2^{\frac{1}{3}+\frac{8}{3}}=$$ $$=2^{\frac{9}{3}}=2^3=8;$$
- При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели вычитаются: $$\mathbf {a^{\frac{m}{n}}:a^{\frac{c}{d}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{c}{d}}}$$ $$ 5^{\frac{8}{3}}:5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{8}{3}-\frac{2}{3}}=5^{\frac{6}{3}}=5^2=25;$$
- При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются: $$\mathbf {(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{c}{d}}=a^{\frac{m}{n}*\frac{c}{d}}}$$ $$ (9^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}=9^{\frac{1}{3}*\frac{3}{2}}=$$ $$=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9^1}=\sqrt{9}=3;$$
- Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей: $$\mathbf {(a*b)^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}*b^{\frac{m}{n}}}$$ $${\small (27*8)^{\frac{2}{3}}=27^{\frac{2}{3}}*8^{\frac{2}{3}}=}$$ $${\small =\sqrt[3]{27^2}*\sqrt[3]{8^2}=(\sqrt[3]{27})^2*(\sqrt[3]{8})^2=}$$ $${\small =3^2*2^2=9*4=36;}$$
- Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел: $$ \mathbf {\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}=\frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}}}$$
-
И еще два очень важных свойства степеней. Они пригодятся при решении показательных уравнений и неравенств:
Пусть есть некоторое положительное основание \(a>1\) и рациональные степени \(n\) и \(m:\) $$При \quad n \gt 0: \quad a^n \gt 1;$$ $$При \quad n \lt 0: \quad 0 \lt a^n \lt 1;$$ - Если же \(a \gt 1\) и \(n \gt m\), то: $$ a^n>a^m;$$ Если \( 0 \lt a \lt 1 \) и \(n \gt m\), то: $$ a^n \lt a^m.$$
Разберем несколько примеров:
Пример 3 $${\small 3^{-\frac{3}{4}}*3^{-\frac{1}{4}}=3^{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=3^{-1}=\frac{1}{3};}$$ $${\small 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2};}$$ $${\small (5^{-\frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-\frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25;}$$ $${\small (0,125)^{-\frac{2}{3}}*8^{-\frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-\frac{2}{3}}=}$$ $${\small =1^{-\frac{2}{3}}=1;}$$ $${\small (4,4)^{\frac{1}{3}}:(0,55)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{4,4}{0,55}\right)^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=}$$ $${\small =\sqrt[3]{8}=2;}$$ $$ 3^{\frac{1}{3}} \lt 3^{\frac{1}{2}},$$
Так как основание степени больше единицы \(3 \gt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\).
$$ \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{3}} \gt \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}}, $$Так как \(0 \lt \frac{1}{5} \lt 1\) и \(\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}\).