Мы уже знакомы с понятием степени с ЦЕЛЫМ показателем, когда в степени стоит целое число n. Давайте разберемся, что такое степень с РАЦИОНАЛЬНЫМ показателем, когда в степени обыкновенная дробь - pq.
Рациональный показатель – это выражение вида pq, где p - некоторое целое число, а q – натуральное число, причем q≥2. Это строгое определение рационального показателя, но, простыми словами, мы будем изучать дробные степени, когда у вас в показателе стоит обыкновенная дробь.
Положительное число a в степени pq является арифметическим корнем степени q из числа a в степени p:
apq=q√ap.Для того, чтобы научиться считать дробные степени, достаточно запомнить формулу из определения. Разберемся на примерах, как это работает, но нам понадобится хорошее знание арифметического корня n-й степени.
И обращаем ваше внимание, что
q√ap=(q√a)p,Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1 823=3√82=(3√8)2=22=4; 2713=3√271=3√27=3; 315=5√3; 7−56=6√7−5=6√175=16√75;
Обратите внимание, что у обыкновенного квадратного корня двойка в показателе не пишется: пишем так √a, а имеем в виду 2√a. 712=√7; 532=√53.
Пусть есть некоторое положительное число a, целое число p и натуральное число q, тогда справедливы следующие соотношения:
1.apq=(a1q)p, 2.apq=ap∗kq∗k, 3.ap=apqq,где k и q – натуральные числа, большие 1.
Давайте попробуем их доказать:
Из определения степени с рациональным показателем следует, что:
apq=q√ap=(p√a)p=(a1q)p,Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:
apq=q√ap=q∗k√ap∗k=ap∗kq∗k,Третья формула, на мой взгляд, очевидна, просто сократите дробь в степени в правой части формулы и получите исходное выражение.
Пример 2 843=(813)4=24=16; 4155=431=43=64; 3−62=3−3=133=127.
Пусть a и b – некоторые положительные числа, а числа mn и cd – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:
Разберем несколько примеров:
Пример 3 3−34∗3−14=3−34−14=3−1=13; 212:214=212−14=214=4√2; (5−12)−4=5(−12)∗(−4)=52=25; (0,125)−23∗8−23=(0,125∗8)−23= =1−23=1; (4,4)13:(0,55)13=(4,40,55)13=813= =3√8=2; 313<312,
Так как основание степени больше единицы 3>1 и 13<12.
(15)13>(15)12,Так как 0<15<1 и 13<12.