Показательные уравнения
Что такое показательные уравнения
Решение уравнений – навык, который необходим каждому школьнику, нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.
Одна из разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(x\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$где \(a\) и \(b\) - некоторые числа, а \(f(x)\) и \(g(x)\) - какие-то выражения, зависящие от \(x\). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
$$2^x=8;$$ $$ 2^x=2^{2x+1};$$ $$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$Внимательно посмотрите на уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении показательных уравнений необходимо помнить об основных свойствах степени и знать, что такое степень с рациональным показателем.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
$$ 7x+2=16;$$ $$x^2-4x+5=0;$$Итак, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость: на наш взгляд, показательные уравнения – одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с простейших степенных уравнений и разберем несколько примеров:
Пример 1 $$ 2^x=8;$$Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(x,\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Это несложно:
$$ 2^3=2*2*2=8; $$Если \(x=3\), то мы получим верное равенство, а значит, мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Пример 2 $$ 3^{4x-1}=\frac{1}{9};$$Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
$$\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2};$$Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$Заметим, что слева и справа стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные: слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
$$ 4x-1=-2;$$Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
$$4х=-2+1;$$ $$4x=-1;$$ $$x=-\frac{1}{4}.$$Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Пример 3 $$125^x=25;$$
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую части, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
$$ (5^3)^x=5^2;$$Воспользуемся одним из свойств степени \((a^n)^m=a^{n*m}\):
$$ 5^{3*x}=5^2;$$И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания, и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять их степени:
$$ 3*x=2;$$ $$ x=\frac{2}{3};$$И еще один пример:
Пример 4 $$2^x=-4;$$Те, кто хорошо знаком со свойствами степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры наподобие примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Алгоритм решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
$$ a^x=b;$$где \(a,b\) какие-то положительные числа (\(a \gt 0, \; b \gt 0\)).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
$$ a^x=a^m;$$Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
$$x=m.$$Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени, и сложное показательное уравнение решено. Осталось только понять, как делать такие преобразования. Опять разберем на примерах:
Пример 5 $$2^x=16;$$
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4:\)
$$2^x=2^4;$$Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$Пример 6 $$5^{-x}=125;$$ $$\Downarrow$$ $$5^{-x}=5*5*5;$$ $$\Downarrow$$ $$5^{-x}=5^3;$$ $$\Downarrow$$ $$–x=3;$$ $$\Downarrow$$ $$x=-3.$$
Пример 7 $$27^{4x}=81;$$ $$\Downarrow$$ $$(3*3*3)^{4x}=3*3*3*3;$$ $$\Downarrow$$ $$(3^3)^{4x}=3^4;$$ $$\Downarrow$$ $$3^{12x}=3^4;$$ $$\Downarrow$$ $$12x=4;$$ $$\Downarrow$$ $$x=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.$$
Здесь мы заметили, что \(27=3^3\) и \(81=3^4.\)
Пример 8 $$7^x=1;$$
Как единицу в правой части уравнения представить в виде степени с основанием \(7?\) Вспоминаем, что любое число в нулевой степени всегда равно единице: $$7^0=1;$$ Подставляем в исходное уравнение: $$7^x=7^0;$$ $$x=0;$$
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается? Например:
Пример 9 $$ 3^x=2;$$
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но, тем не менее, мы должны это сделать. Оказывается, произвольное положительное число \(b\) \((b>0)\) можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа \(a\) \((a>0, \; a \neq 1)\) по формуле с использованием логарифма:
$$ b=a^{log_{a}(b)};$$Эта очень важная формула, рекомендую ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по этой формуле представим \(2ку\) в виде \(3ки\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2:\)
$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$Подставим данное преобразование в наш пример:
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
$$x=log_{3}(2).$$Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Рассмотрим еще аналогичный пример:
Пример 10 $$ 7^{2x}=5;$$ $$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$ $$2x=log_{7}(5);$$ $$x=\frac{1}{2}*log_{7}(5).$$
Те, кто хорошо знают свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
$${\small x=\frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{\frac{1}{2}})=log_{7}(\sqrt{5});}$$Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
Итак, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: $$a^x=b,$$ где \(a \gt 0; \; b \gt 0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложные. Например, в ЕГЭ по профильной математике №14 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все, на первый взгляд, сложные уравнения при помощи, обычно, не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям вида: \(a^x=b\), где \(a \gt 0; \; b \gt 0\). Рассмотрим теперь сложные показательные уравнения:
Пример 11 $$81*3^{4x-10}-9^{x+1}=0;$$
Для того, чтобы решить это уравнение, необходимо привести его к стандартному виду: \(a^{f(x)}=a^{g(x)}.\) Для начала перенесем \(9^{x+1}\) в правую часть:
$$81*3^{4x-10}=9^{x+1};$$Слева в уравнении стоит произведение двух множителей: \((81)\) и \(3^{4x-10}.\) Множитель \((81)\) все портит: в показательном уравнении в стандартном виде должны сравниваться ДВЕ показательные функции, никаких лишних множителей быть не должно. Заметим, что \(81=3^4:\)
$$3^4*3^{4x-10}=9^{x+1};$$При умножении двух показательных функций с одинаковым основанием их степени складываются \((a^n*a^m=a^{n+m}):\)
$$3^{4+(4x-10)}=9^{x+1};$$ $$3^{4x-6}=9^{x+1};$$Приводим к одному основанию левую и правую части уравнения:
$$3^{4x-6}=(3^2)^{x+1};$$ $$3^{4x-6}=3^{2(x+1)};$$ $$3^{4x-6}=3^{2x+2};$$Вот теперь у нас слева и справа стоят степени с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
$$4x-6=2x+2;$$ $$4x-2x=6+2;$$ $$2x=8;$$ $$x=4;$$Решение показательных уравнений при помощи замены
Рассмотрим уравнение:
Пример 12 $$ 9^x-5*3^x+6=0;$$Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^{n*m}\).
Подставим в исходное уравнение:
Обратим внимание, что во всем уравнении все \(x\) «входят» в одинаковую функцию: \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x.\) Напоминаю, что \(t=3^x \gt 0,\) так как показательная функция всегда положительна по определению.
$$t^2-5t+6=0;$$Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
$$D=5^2-4*6=25-24=1;$$ $$t_{1}=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3;$$ $$t_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2;$$Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену, и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
$$ 3^x=3;$$ $$3^x=3^1;$$ $$x=1.$$И второй корень:
$$ 3^x=2;$$ $$3^x=3^{log_{3}(2)};$$ $$x=log_{3}(2).$$Ответ: \(x_{1}=1; \; x_{2}=log_{3}(2).\)
И еще один пример на замену:
Пример 13 $$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
$${ \small 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=}$$ $${ \small=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=}$$ $${ \small=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;}$$Подставим в исходное уравнение:
$${\small 3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;}$$Теперь показательные функции одинаковые, и можно сделать замену:
$$t=3^{2x^2-3x+1}, \quad t \gt 0;$$ $$3*t^2-10t+3=0;$$ $$D=100-36=64;$$ $$t_{1}=\frac{-(-10)+\sqrt{64}}{2*3}=3;$$ $$t_{2}=\frac{-(-10)-\sqrt{64}}{2*3}=\frac{1}{3};$$Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$ $$ 2x^2-3x+1=1;$$ $$x(2x-3)=0;$$ $$x_1=0; \quad x_2=\frac{3}{2}.$$И второе значение \(t\):
$$3^{2x^2-3x+1}=\frac{1}{3};$$ $$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$ $$2x^2-3x+1=-1;$$ $$2x^2-3x+2=0;$$ $$D=9-16=-7 \lt 0;$$Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.
Ответ: \(x_{1}=0; \; x_{2}=\frac{3}{2}.\)
Однородные показательные уравнения
Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно, одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:
Пример 14 $$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наше уравнение на \(3^x\):
$$ {\small 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} \qquad |:3^x}$$ $$ { \small \frac{7^{x+1}}{3^x}+\frac{3*7^{x}}{3^x}=\frac{3^{x+2}}{3^x}+\frac{3^{x}}{3^x};}$$Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$ $$ a^n*a^m=a^{n+m};$$ $$ \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n;$$Разберем каждое слагаемое:
$$ {\small \frac{7^{x+1}}{3^x}=\frac{7*7^x}{3^x}=7*\frac{7^x}{3^x}=7*\left(\frac{7}{3}\right)^x;}$$ $$ \frac{3*7^{x}}{3^x}=3*\frac{7^x}{3^x}=3*\left(\frac{7}{3}\right)^x;$$ $$ \frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*\frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$ $$ \frac{3^{x}}{3^x}=1;$$Теперь подставим получившееся преобразование в исходное уравнение:
$$ 7*\left(\frac{7}{3}\right)^x+3*\left(\frac{7}{3}\right)^x=9+1;$$Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену. Пусть \(t=(\frac{7}{3})^x\):
$$7t+3t=10;$$ $$10t=10;$$ $$t=1;$$Сделаем обратную замену:
$$\left(\frac{7}{3}\right)^x=1;$$Вспоминаем, что \(1=\left(\frac{7}{3}\right)^0\):
$$\left(\frac{7}{3}\right)^x=\left(\frac{7}{3}\right)^0;$$ $$x=0.$$Ответ: \(x=0\).
Пример 15 $$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$
Первым делом, нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и, в идеале, с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$ $$a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ $${(a^n)}^m=a^{n*m};$$Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны - отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
$${ \small 0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-(x+1)}=}$$ $${ \small ={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;}$$И последнее слагаемое со степенью:
$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
$$2^x*(4+2+8)=28;$$ $$14*2^x=28;$$ $$2^x=\frac{28}{14}=2;$$ $$2^x=2^1;$$ $$x=1.$$Ответ: \(x=1.\)
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И рассмотрим другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше.
Пример 16 $$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательные функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2ка\), \(5ка\) и \(10ка\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$И перекинем с помощью деления все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
$$\frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=\frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^{n+m}\) и \(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\):
$$1=\frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$ $$1=\frac{5^{2x+3}}{5^x};$$ $$1=5^{2x+3-x};$$ $$1=5^{x+3};$$ $$5^0=5^{x+3};$$ $$x+3=0;$$ $$x=-3.$$ Ответ: \(x=-3\).Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше, и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом. Чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!