Классическая вероятность

Что такое вероятность?

Каждый когда-то задумывался над вопросами: «А какая вероятность выиграть в лотерею?» или «Какая вероятность, что на экзамене выпадет невыученный билет?» и т.д.

Еще в 17-м веке французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма, играя в азартные игры, задумались об оптимальных стратегиях игры в кости, приносивших наибольший выигрыш. Так зародился довольно сложный и большой раздел математики - теория вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий.

Вероятность - это оценка возможности наступления некоторого события. Я открою вам секрет: окружающий нас мир полон случайных событий, во множестве случаев мы не знаем, чем закончится то или иное событие до того, как оно произошло.

Мы будем называть событие случайным, если оно может произойти, а может и не произойти.

Ну, например: представьте, что вы бросаете игральный кубик. До того, как его бросить, никто понятия не имеет, какой гранью он упадет в результате броска. Результат абсолютно случаен. Или вы хотите принять участие в лотерее, купили лотерейный билет, но вы не знаете, выиграете что-то или нет, есть небольшой шанс что-то выиграть. Спойлер: скорее всего, нет, шанс очень-очень маленький. Никогда не участвуйте в лотереях, математически это выгодно только для того, кто эту лотерею проводит, ведь он все посчитал, а вы просто верите в призрачный шанс. Или билет можно тянуть на экзамене, и, дай Бог, чтобы попался именно тот, который вы выучили.

Приводить примеры случайных событий можно до бесконечности.

Равновероятные и неравновероятные события

Несколько событий могут быть равновероятными (их еще называют равновозможными) или неравновероятными. Давайте разбираться.

Равновероятные - это такие события, в которых нет причин думать, что одно из них будет наступать чаще, чем другое. Возвращаясь к примеру с кубиком: нет никаких причин думать, что симметричный идеальный кубик будет выпадать гранью единица чаще, чем любой другой гранью. Появление грани с любой цифрой 1,2,3,4,5 или 6 при броске одинаково возможно. Или подбрасывание монетки: шанс появления орла или решки одинаковый.

Рассмотрим самый простой эксперимент с подбрасыванием монеты. Результатами этого эксперимента могут быть два исхода: выпадение орла или выпадение решки. Если бросать монету много-много раз, то окажется, что орлов и решек примерно поровну. Или, можно сказать, что вероятность выпадения орла 50%.

Неравновероятные события - это события, вероятность появления которых разная. Ну, например: представьте, что у вас есть непрозрачный мешок, наполненный одинаковыми шарами разного цвета: 2 синих шара и 10 красных. Шанс (вероятность) не глядя вытянуть из мешка синий шар гораздо меньше шанса вытянуть красный.

Или еще пример с погодой: в зависимости от того, лето или зима на улице, вероятность, что завтра пойдет снег разная - снег более вероятен зимой, чем летом.

Достоверные или невозможные события

Теперь поговорим про достоверные и невозможные события.

Как понятно из называния, достоверное событие - это значит, что оно точно произойдет, без вариантов. Например, падение монеты вниз при подбрасывании. Очевидно, что если бросить монету вверх, то она обязательно упадет вниз, это точно произойдет. Или достоверным событием будет также, что завтра взойдет солнце, это тоже точно произойдет. Вероятность достоверных событий равна 100% - это факт.

Невозможные события - это такие события, которые точно не произойдут. К вам завтра домой точно не придет в гости король Англии попить чайку. Или при подбрасывании монеты она точно не зависнет в воздухе. Все эти события не могут произойти: вероятность того, что они произойдут 0%.

Кстати, мы будем измерять вероятность не в процентах, а от 0 до 1, так удобнее. Где 0 - это шанс 0%, значит событие точно не произойдет, а 1 - это 100% шанс, событие точно произойдет.

Классическая вероятность

Давайте теперь подробнее рассмотрим эксперимент с подбрасыванием монеты. У него есть два равновероятных исхода: что выпадет орел, и что выпадет решка. То есть, у меня есть два исхода эксперимента, и один из них точно произойдет. Интуитивно, я думаю, понятно, что вероятность выпадения орла \(50 \%=\frac{1}{2}.\) Действительно, меня устраивает 1 исход из 2 равновероятных, можем так и посчитать вероятность выпадения орла: $$P(o)=\frac{1}{2};$$ Вероятность обозначается буквой \(P\) от английского слова Probability.
Аналогично вероятность выпадения решки тоже будет \(\frac{1}{2}:\) $$P(p)=\frac{1}{2};$$

С этим понятно, а давайте теперь рассмотрим другой классический эксперимент с подбрасыванием игрального кубика:
У кубика шесть граней, и вероятность выпадения любой из них одинакова. Это равновероятные события. Тогда какая будет вероятность, что кубик упадет гранью с тройкой? Нас спрашивают вероятность того, что произойдет 1 событие из 6 возможных, значит: $$P(3)=\frac{1}{6};$$ И аналогично, вероятность выпадения любой грани тоже будет \(\frac{1}{6}.\)

Вот мы и пришли к классическому определению вероятности. Вероятность некоторого события - это количество того, что нам нужно, разделить на общее количество. В примере с монеткой, чтобы посчитать вероятность выпадения орла, мы делили 1 событие (выпадение орла) на два возможных (орел или решка). В примере с кубиком нас устраивала одна грань из 6, вот мы и делили 1 на 6.

Формулу для подсчета классической вероятности можно записать вот так: $$P=\frac{N_{то, \; что \; нужно}}{N_{общее \; количество}};$$

Рассмотрим пример с вытаскиванием разноцветных шаров из непрозрачного мешка. Пусть в мешке лежит 2 синих шара и 8 красных. Какая вероятность вытянуть не глядя синий шар?

По формуле классической вероятности нужно разделить количество того, что нам нужно, на общее количество. Всего шаров \(2+8=10,\) нас устраивают 2 из них: $$P(синий)=\frac{N_{то,\; что нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0,2;$$ А вероятность достать красный шар: $$P(красный)=\frac{N_{то,\; что\; нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8;$$

Пример 1
На парковке 25 машин, из них 5 синего цвета, 12 белого, 6 красного и 2 черного. Какая вероятность, что первой с парковки уедет машина красного цвета?

Решение:
Всего машин 25, из них нас устраивает 6 красных. Воспользуемся формулой классической вероятности: $$P(красная)=\frac{N_{то,\; что \;нужно}}{N_{общее \;количество}}=$$ $$=\frac{6}{25}=\frac{6}{25}=0,24;$$ Ответ: \(P(красная)=0,24.\)

Пример 2
На экзамене по физике 40 вопросов. Люба не успела выучить 2 из них. Какая вероятность, что Любе попадется выученный вопрос?

Решение:
Любу устраивает \(40-2=38\) вопросов из 40: $$P(выуч)=\frac{N_{то, \; что \;нужно}}{N_{общее \;количество}}=$$ $$=\frac{38}{40}=0,95;$$ Ответ: \(P(выуч)=0,95.\)

Пример 3
На международной олимпиаде по информатике 160 участников и среди них Иван. Всех участников случайным образом распределили по 5-и аудиториям. В первых четырех разместили по 30 человек, а оставшихся отправили в 5-ю аудиторию. Какая вероятность, что Иван будет писать олимпиаду в 5-й аудитории?

Решение:
Определим количество участников, которых отправили в 5-ю аудиторию. В 1-4й аудиториях по 30 участников в каждой, тогда всего в первых четырех аудиториях разместили \(4*30=120\) человек. В 5-ю аудиторию отправили \(160-120=40\) человек. Ивану нужно оказаться среди этих 40 человек, а всего участников 160: $$P(№5)=\frac{N_{то, \;что \;нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{40}{160}=0,25;$$ Ответ: \(P(№5)=0,25.\)

Пример 4
Студентов поровну распределяют случайным образом по двум автобусам на экскурсию. Всего студентов 26 человек, среди них Елена и Анна. Какая вероятность, что Елена и Анна поедут в одном автобусе?

Решение:
Так как студентов распределяют поровну, то в каждом автобусе в итоге окажется по 13 человек.

Секрет этой задачи в том, что к ней нужно подойти с правильной стороны. Представим, что Елену первую из всех распределили в 1й автобус. На самом деле, нам абсолютно не важно, в какой, а важно только, что Елена уже сидит в каком-то автобусе, и кроме нее там осталось 12 свободных мест. То есть, Ане нужно оказаться среди этих 12 человек, которые займут места в автобусе с Еленой.

Нас устраивает 12 человек из 25. Почему 25? Потому что Елена уже сидит в автобусе, мы ее не считаем \(26-1=25.\) $$P(Е+А)=\frac{N_{то,\; что\; нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{12}{25}=0,48;$$ Ответ: \(P(Е+А)=0,48.\)

Пример 5
В эксперименте монету бросают два раза. Найдите вероятность, что выпадет два орла подряд.

Решение:
Чтобы решить задачу, распишем все возможные исходы подбрасывания монеты: $$OO \quad OP \quad PO \quad PP;$$ Всего получилось 4 варианта развития событий. Любой из этих 4х вариантов равновероятен. Нас устраивает только один вариант из четырех: $$P(ОО)=\frac{N_{то, \; что \; нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{1}{4}=0,25;$$ Ответ: \(P(ОО)=0,25.\)

Пример 6
Игральный кубик бросают 2 раза. Найдите вероятность, что в сумме выпадет 6 очков. Ответ округлите до сотых.

Решение:
Рассмотрим, сколько вариантов нас устраивает: $$1+5$$ $$5+1$$ $$4+2$$ $$2+4$$ $$3+3;$$ Всего получилось 5 вариантов, и они все равновероятны.
Обратите внимание, что вариант \(3+3\) мы считаем ровно 1 раз. Это ни в коем случае не два варианта.

А сколько всего может быть исходов при броске двух кубиков? Бросим сначала первый кубик, а потом второй. Пусть на первом кубике выпала грань с единицей, а на втором может выпасть любая из шести граней: $$1+1$$ $$1+2$$ $$1+3$$ $$1+4 $$ $$1+5 $$ $$1+6;$$ А если на первом выпала 2-ка, то возможны такие варианты: $$2+1$$ $$2+2$$ $$2+3$$ $$2+4 $$ $$2+5$$ $$2+6;$$ Каждой грани на первом кубике соответствует по шесть вариантов на втором: $$6*6=36;$$ Всего 36 различных исходов при броске двух кубиков. А нас устраивает только 5 из них: $$P(6\;очков)=\frac{N_{то, \; что \; нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{5}{36}\approx0,14;$$ Ответ: \(P(6\;очков)\approx0,14.\)

Пример 7
На конкурсе исполнителей выступают участники из разных стран - по одному из каждой страны. Найдите вероятность, что представитель Канады будет выступать после исполнителей из Финляндии и Австралии. Ответ округлите до сотых.

Решение:
Обратите внимание, что в условии не сказано, что участники из Канады, Финляндии и Австралии будут выступать подряд. Между исполнителями из этих стран могут выступать и другие участники. Нам важна лишь последовательность указанных стран.

Рассмотрим возможные варианты: $$КФА$$ $$KАФ$$ $$ФКА$$ $$ФАК$$ $$АФК$$ $$AКФ;$$ Любой из этих 6 вариантов равновероятен. Нас устраивают всего два варианта: \(ФАК \; АФК.\) $$P(К)=\frac{N_{то, \; что \; нужно}}{N_{общее \; количество}}=$$ $$=\frac{2}{6}\approx0,33;$$ Ответ: \(P(К)\approx0,33.\)