Метод рационализации

Метод рационализации (равносильности) необходим для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике. В экзаменационных вариантах попадаются неравенства, которые удобнее и быстрее всего решать именно методом рационализации. Довольно часто можно обойтись и без него, но тогда количество вычислений в решении увеличивается в несколько раз, что повышает вероятность ошибки.

Прежде чем приступить к его изучению нужно обязательно знать следующие темы:

1. Свойства степени и показательные функции
2. Свойства логарифмов
3. Решение показательных уравнений и показательных неравенств
4. Решение логарифмических уравнений и логарифмических неравенств
5. Метод замены переменной
6. Метод интервалов

Когда применяется метод рационализации?

Рационализация удобна, когда перед вами неравенство смешанного типа, то есть когда невозможно сделать замену переменной. Например: $$ \frac{2^{2x+1}-96*0,5^{2x+3}+2}{x+1} \le 0$$ В числителе \(x\) стоит в степени показательной функции, а в знаменателе \(x\) сам по себе. Тут невозможно сделать замену так, чтобы ушли все \(x\). Как же такое решать? Перед вами большая дробь, которая сравнивается с нулем. Очевидно, дробь будет меньше нуля только тогда, когда числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки. Теперь можно рассмотреть две системы.

Первая: $$ \begin{cases} 2^{2x+1}-96*0,5^{2x+3}+2 \ge 0, \\ x+1 \lt 0. \end{cases}$$ И вторая такая же, только с противоположными знаками неравенства: $$ \begin{cases} 2^{2x+1}-96*0,5^{2x+3}+2 \le 0, \\ x+1 > 0. \end{cases}$$

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак неравенства, так как это условия, накладываемые на знаменатель.

Согласитесь, решать две такие системы не очень приятное занятие. Хотя тут это вполне реально. Но что, если неравенства в системах будут значительно сложнее, или множителей будет не два, а больше. Тогда ваше решение будет очень громоздким. И вот тут на помощь приходит метод рационализации, или его еще называют методом равносильности. Он позволяет сократить вычисления в несколько раз.

Чуть ниже мы решим этот пример.

Второй случай, когда целесообразно применять метод рационализации, это когда в основании логарифмической или показательной функции лежит переменное основание. Показательных функций это касается в меньшей степени, а вот в логарифмах встречается часто. Например:

Пример 1 $$\log_{5-x}(x+3) \le 0$$ В основании логарифма стоит \((5-x)\). Любое неравенство начинается с ОДЗ. Для того, чтобы правильно его записать, вспомним ограничения, накладываемые на любой логарифм \(\log_{a}b\): $$ \begin{cases} b > 0, \\ a > 0, \\ a\neq 1. \end{cases}$$ Тогда в нашем примере ОДЗ будет выглядеть так: $$ \begin{cases} x+3 > 0, \\ 5-x > 0, \\ 5-x\neq 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x > -3, \\ x \lt 5, \\ x\neq 4. \end{cases}$$ В итоге ОДЗ: \(x\in(-3;4)\cup(4;5).\)

Значит, во-первых, переменное основание дает нам дополнительные условия в ОДЗ, про которые ни в коем случае нельзя забывать!

А во-вторых, классические логарифмические неравенства решаются при помощи приведения левой и правой части неравенства к одинаковому основанию и вычеркиванию логарифма. Не будем отступать от традиций, воспользовавшись формулой представления любого числа или даже целого выражения, зависящего от \(x\), в виде логарифма с нужным нам основанием \(b=\log_{a}(a^b).\) По этой формуле представим \(0\) из правой части исходного неравенства в виде логарифма с основанием \((5-x):\) $$\log_{5-x}(x+3) \le \log_{5-x}(5-x)^0$$ В зависимости от \(x\) основание логарифмов может быть как больше единицы, так и меньше единицы. При решении логарифмических или показательных неравенств мы всегда смотрим на основание: если оно больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если от нуля до единицы, то обязательно нужно поменять знак неравенства на противоположный.

Проблема в том, что, так как основание переменное, оно может быть абсолютно любым в зависимости от \(x\). А следовательно, мы не знаем, менять нам знак неравенства или нет.

Здесь можно, конечно, рассмотреть опять две системы, когда основание больше единицы, и когда меньше, с учетом ОДЗ:
Либо первая система (когда основание логарифма больше единицы): $$ \begin{cases} x+3 \le (5-x)^0, \\ 5-x > 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x+3 \le 1, \\ 5-x > 1. \end{cases}$$ $$ \begin{cases} x \le -2, \\ x \lt 4. \end{cases}$$ Решением этой системы будет \(x\le-2\). А с учетом ОДЗ: \(x\in(-3;-2]\).

Либо вторая система (когда основание логарифма меньше единицы): $$ \begin{cases} x+3 \ge (5-x)^0, \\ 0 \lt 5-x \lt 1. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+3 \ge 1, \\ 0 \lt 5-x \lt 1. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ 4 \lt x \lt 5. \end{cases}$$ Решением второй системы будет \(x\in(4;5).\) C учетом ОДЗ: \(x\in(4;5).\)

Так как обе системы нас устраивают, то решением исходного примера будет объединение решений эти двух систем на ОДЗ.
Ответ:\(x\in(-3;-2]\cup(4;5).\)

Даже в таком легком примере пришлось решать две системы плюс еще система с ОДЗ - не очень приятно. Здесь, опять же, выручает метод рационализации.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Перед тем, как приступить к изучению, немного поговорим про равносильные преобразования. Им не уделяют достаточно внимания в школе, кажется, что это очевидная штука. Но это очень важно.

Итак, равносильные преобразования - это преобразования, при которых не меняются корни уравнения или неравенства. Например, перенос слагаемого в неравенстве слева направо от знака неравенства - это ни что иное, как равносильное преобразование. Ведь если перенести слагаемое, не забыв при этом поменять перед ним знак, то корни неравенства или уравнения останутся теми же самыми - они не изменятся, их не станет больше и даже меньше их не будет. Корни уравнения после преобразования будут один в один, как до преобразования.

Вам, возможно, кажется, что я говорю очевидные вещи. Но равносильные преобразования бывают гораздо сложнее. Например, в методе рационализации мы как раз будем делать равносильные преобразования.

Рассмотрим применение метода рационализации для начала на простом примере:

Пример 2 $$\log_{x}(2x+5)>1;$$ ОДЗ: \(x>0, \quad x\neq1.\)
Приводим к одному основанию: $$\log_{x}(2x+5)>\log_{x}(x); \qquad (*)$$

Оказывается, вместо решения логарифмического неравенства с переменным основанием (*), я могу решить равносильное ему обыкновенное неравенство на ОДЗ, и корни будут абсолютно такие же: $$(x-1)((2x+5)-x)>0; \; (**)$$ $$(x-1)(x+5)>0;$$ Давайте попробуем разобраться, почему корни получившегося неравенства будут совпадать на ОДЗ с корнями исходного логарифмического неравенства.

Действительно, если основание логарифмов больше единицы: \(x > 1\), то при избавлении от логарифмов знак неравенства (*) должен сохраниться или, другими словами, левое подлогарифмическое выражение \((2x+5)\) должно быть больше правого \((x)\).

А если основание от нуля до единицы: \(0 \lt x \lt 1\), то знак неравенства меняется на противоположный, и левое выражение под логарифмом \((2x+5)\) должно быть меньше правого \((x)\). (Смотри (*)).

Именно эти два условия и описывает неравенство (**). Посмотрите на него внимательно. Для того, чтобы неравенство было верно, необходимо, чтобы произведение двух скобок: \((x-1)\) и \(((2x+5)-x)\) было больше нуля. Это возможно в двух случаях: если обе скобки положительные, и если обе отрицательные.

Первая скобка положительна при \(x>1\), тогда, чтобы неравенство (**) было верным, необходимо выполнение условия \(2x+5>x\). Один в один случай, когда основания логарифмов больше 1.

И наоборот, если первая скобка отрицательна на ОДЗ при \(0 \lt x \lt 1\), то вторая скобка тоже должна быть отрицательной, чтобы выполнялось неравенство (**), то есть \(2x+5 \lt x\). Случай, когда основания логарифмов меньше единицы, но больше нуля.

В случае, если у нас неравенство (**) со знаком меньше, а не больше, как в примере выше, рассуждения будут точно такими же, только произведение двух множителей (скобок) будет меньше нуля, при условии, что они разных знаков: первый множитель отрицательный, второй положительный и наоборот!

Дорешаем пример (**) при помощи метода интервалов:

C учетом ОДЗ получим:
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\).

Метод рационализации для логарифмов в общем виде

Общая схема метода рационализации выглядит так:

Пусть есть некоторое логарифмическое неравенство с одинаковыми, но зависящим от \(x\) основаниями: $$\log_{a(x)}(f(x))>\log_{a(x)}(g(x));$$ Тогда вместо него можно решить равносильное неравенство на ОДЗ: $$ \begin{cases} (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ a(x)>0, \\ a(x)\neq1. \end{cases}$$ Если знак меньше: $$\log_{a(x)}(f(x)) \lt \log_{a(x)}(g(x));$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} (a(x)-1)(f(x)-g(x)) \lt 0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ a(x)>0, \\ a(x)\neq1. \end{cases}$$ Обратите внимание, что все преобразования в методе рационализации делаются на ОДЗ. Не забудьте про него, иначе все пойдет не по плану!

Разберем несколько примеров применения метода рационализации в логарифмических неравенствах без полного решения. Просто посмотрим, как делаются равносильные преобразования, дорешивать до конца не будем.

Пример 3 $$\log_{x-4}(x^2-1)>1;$$ Представим в виде, чтобы слева и справа стоял логарифм с основанием \(x-4\): $$\log_{x-4}(x^2-1)>\log_{x-4}(x-4);$$ Равносильное преобразование: $$ {\small \begin{cases} (x-4-1)(x^2-1—(x-4))>0, \\ x^2-1>0, \\ x-4>0, \\ x-4\neq1. \end{cases}}$$ $${\small \begin{cases} (x-5)(x^2-x+3))>0, \\ x^2-1>0, \\ x-4>0, \\ x-4\neq1. \end{cases}}$$ Далее решаем получившуюся систему неравенств. В качестве тренировки, сделайте это сами.

Пример 4 $$\log_{\frac{25-x^2}{16}}\left(\frac{24+2x-x^2}{14}\right)>1.$$ Выглядит страшно, но на самом деле, все не так сложно. Первым делом представим единицу справа в виде логарифма с таким же основанием:

Метод рационализации в показательных неравенствах

Рационализация бывает удобна не только в логарифмических неравенствах, а также в показательных. Принцип остается тем же самым, в общем виде он выглядит так: $$a(x)^{f(x)} \ge a(x)^{g(x)}$$ $$\Downarrow$$ $$ \begin{cases} (a(x)-1)(f(x)-g(x)) \ge 0, \\ a(x)>0. \end{cases} (*)$$ \(f(x)\), \(g(x)\) - некоторые функции, зависящие от \(x\);
\(a(x\)) - положительное основание показательной функции, в сложных примерах оно тоже может зависеть от \(x\).

Посмотрим, как это работает на простом примере из обыкновенных показательных неравенств:

Пример 7 $$5^{2x-3}\ge5^{x+4}$$ Пример совершенно элементарный, и мы обычно решаем такие без всякой рационализации. Но он удобен для того, чтобы продемонстрировать, как работает метод. Надеюсь, вы помните, что метод рационализации сводится к равносильным преобразованиям. То есть мы заменяем исходное неравенство на другое попроще, без показательных функций, но имеющее абсолютно такие же корни, что и исходное. Сделаем это, воспользовавшись общим видом (*): $$(5-1)((2x-3)-(x+4))\ge0; \qquad (**) $$ Пусть обилие скобок вас не смущает, я их поставил специально, чтобы выделить функции, стоящие в показателях степеней. Можно легко преобразовать: $$ 4*(2x-3-x-4)\ge0;$$ $$4*(x-7)\ge 0;$$ $$x\ge7.$$ Мы решили неравенство. Можно просто запомнить формулу, но лучше понять, почему работает (*).

Чтобы во всем разобраться, нужно вспомнить, как решаются показательные неравенства. Первым делом приводим к одинаковому основанию: у нас в примере №7 слева и справа основание 5, поэтому с этим все хорошо. Дальше мы смотрим, больше ли основание единицы, если да, то просто вычеркиваем основание, сохраняем знак неравенства и сравниваем степени. А если меньше, то не забываем поменять знак неравенства на противоположный.

В нашем примере основание \(5>1\) поэтому решение всего неравенства сводится к решению \(2x-3 \ge x+4\). Обратите внимание на (**): оно представляет из себя произведение двух скобок \((5-1)\) и \(((2x-3)-(x+4))\), а произведение будет больше нуля когда? Когда множители либо оба положительны, либо оба отрицательны.

Так как очевидно \((5-1)>0\), то второй множитель \(((2x-3)-(x+4))\) тоже должен быть больше нуля, чтобы все неравенство было верным. Или, другими словами, должно выполняться: \(2x-3 \ge x+4\), что то же самое, если бы мы решали без всякой рационализации. Можно вообще все показательные неравенства решать рационализацией. Она дает вам право не обращать внимания на основание (больше или меньше единицы). Посмотрим еще простой пример:

Пример 8 $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+2}\ge\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x-4};$$ Сразу по формуле (*) применим метод рационализации: $${ \small (\frac{1}{2}-1)((x+2)-(-2x-4))\ge0;}$$ Опять две скобки, но в этот раз первая скобка будет отрицательная \(\frac{1}{2}-1 \lt 0\), а значит для того, чтобы все произведение было больше равно нуля, вторая скобка \((x+2)-(-2x-4)\) тоже должна быть меньше равна нуля. Или, другими словами, должно выполняться \(x+2\le-2x-4\).

Это все эквивалентно обычному методу решения показательных неравенств с избавлением от основания. Здесь основания слева и справа одинаковые и меньше единицы, значит вычеркиваем их и меняем знак неравенства: \(x+2\le-2x-4\). В методе рационализации у нас тоже все свелось к точно такому же неравенству.

Примеры №7 и 8 обычно не решают методом рационализации. Давайте разберем пример, в котором рационализация сильно упрощает решение:

Пример 9 $$ (x+2)^{3-7x} \ge (x+2)^{6-5x}$$ Обратите внимание, что здесь уже появляется ОДЗ, так как показательная функция определена только для положительного основания.
ОДЗ: $$x+2>0;$$ $$x>-2;$$ Следим, чтобы основание показательной функции было одинаково слева и справа. У нас все так. Вот только теперь мы не знаем, основание больше единицы или меньше, ведь при различных значениях \(x\) может быть и так, и так. Можно, конечно, рассмотреть два случая: когда основание больше единицы и когда меньше. Но придется решать две системы, а это долго. Воспользуемся методом рационализации по формуле (*), аналогично, как мы делали примеры №7 и 8: $${\small (x+2-1)((3-7x)-(6-5x))\ge0;}$$ Раскроем скобки внутри скобок и приведем подобные слагаемые. $$(x+1)(-2x-3)\ge0;$$ Решим неравенство методом интервалов:

Получаем, что \(x\in[-\frac{3}{2};-1]\). Проверяем, чтобы все удовлетворяло ОДЗ. У нас весь промежуток подходит.
Ответ:\(x\in[-\frac{3}{2};-1]\).

Теперь разберем более общий случай применения метода рационализации. Дело в том, что часто встречаются смешанные неравенства, и в них кроме показательной функции бывают логарифмические, тригонометрические, линейные и т.д. В общем, намешана вся школьная программа. В таких случаях нам тоже может помочь рационализация.

Общее правило рационализации

Оказывается, любое выражение типа $$a^{f(x)}-a^{g(x)}$$ будет иметь абсолютно такой же знак, что и выражение $$(a-1)(f(x)-g(x)). \qquad (***)$$ Это означает, что вместо неравенства \(a^{f(x)}-a^{g(x)}>0\) можно решить неравенство \((a-1)(f(x)-g(x))>0\). Корни у этих неравенств будут абсолютно одинаковые. Со знаком меньше аналогично.

Пример 10 $$(x+1)*(5^x-5^{2x-4})\le0;$$ Кроме показательных функций \(5^x\), у нас еще есть линейный множитель \((x+1)\). Замену тут не сделать. Попробуем применить метод рационализации.

Выражение \(5^x-5^{2x-4}\) полностью совпадает по знаку с выражением \((5-1)(x-(2x-4))\). Попробуем разобраться почему. Будет немного запутанно, но стоит разобраться.

Действительно, так как основание у нас одинаковое и больше единицы, то если степень у \(5^x\) будет больше степени у \(5^{2x-4}\), то есть \(x>2x-4\), то \(5^x>5^{2x-4}\) и все выражение \(5^x-5^{2x-4}>0\). Вспомните свойства показательной функции: если основание больше единицы, то показательная функция будет возрастающей (с увеличением степени растет вся функция). Поэтому \(5^x-5^{2x-4}\) будет положительно тогда, когда $$x>2x-4$$ $$\Downarrow$$ $$x-(2x-4)>0$$ $$\Downarrow$$ $$(5-1)(x-(2x-4))>0. $$ И \(5^x-5^{2x-4}\) будет отрицательно тогда, когда $$ x \lt 2x-4$$ $$\Downarrow$$ $$x-(2x-4) \lt 0$$ $$\Downarrow$$ $$(5-1)(x-(2x-4)) \lt 0 $$ А скобка \((5-1)\) в данном случае ни на что не влияет, она всегда положительна.

А если бы выражение было такое: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x-\left(\frac{1}{5}\right)^{2x+7}\). То, согласно (***), его можно заменить на \((\frac{1}{5}-1)(x-(2x+7))\). Произведение двух множителей, где первая скобка \((\frac{1}{5}-1)\) всегда отрицательна. И опять при одних и тех же \(x\) у них будут одинаковые знаки.

Только в этот раз основание \(\frac{1}{5}\) у показательных функций меньше единицы. А значит показательная функция будет убывающей (с увеличением степени сама функция падает). Значит \(\left(\frac{1}{5}\right)^x-\left(\frac{1}{5}\right)^{2x+7}>0\) будет больше нуля тогда, когда $$x \lt 2x+7$$ $$\Downarrow$$ $$x-(2x+7) \lt 0$$ $$\Downarrow$$ $$(\frac{1}{5}-1)(x-(2x+7))>0.$$ И наоборот: $$\left(\frac{1}{5}\right)^x-\left(\frac{1}{5}\right)^{2x+7} \lt 0$$ $$\Downarrow$$ $$(\frac{1}{5}-1)(x-(2x+7) \lt 0.$$

И еще раз вернемся к нашему примеру №10 $$(x+1)*(5^x-5^{2x-4})\le0;$$ Вторую скобку заменим согласно нашим рассуждениям по формуле (***): $$(x+1)(5-1)(x-(2x-4))\le0;$$ Приведем подобные $$4*(x+1)(-x+4)\le0;$$ И решим методом интервалов получившееся простейшее неравенство:
Ответ: \(x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).\)

Рассмотрим пример посложнее.

Пример 11 $$\frac{(2^{x+1}-4^{x-3})*(x-2)}{7^{2x}-1}\ge0;$$ Постараемся по максимуму привести к одинаковым основаниям. Выпишем для удобства отдельно: $$4^{x-3}=\left(2^{2}\right) ^{x-3}=2^{2*(x-3)};$$ $$1=7^0;$$ Подставим в исходное неравенство: $$\frac{(2^{x+1}-2^{2(x-3)})*(x-2)}{7^{2x}-7^0}\ge0;$$ Теперь воспользуемся формулой (***): $$2^{x+1}-2^{2(x-3)}$$ $$\Downarrow$$ $$(2-1)((x+1)-2(x-3))=$$ $$=1*(-x+7)=7-x;$$
$$7^{2x}-7^0$$ $$\Downarrow$$ $$(7-1)(2x-0)=6*2x=12x;$$ И подставим: $$\frac{(7-x)*(x-2)}{12x}\ge0;$$ Наше страшное исходное неравенство при помощи формул рационализации превратилось в обыкновенное неравенство из 8-го класса, которое решается методом интервалов.

Ответ: \(x\in(-\infty;0)\cup[2;7].\)

Пример 12 $$ \frac{2^{2x+1}-96*0,5^{2x+3}+2}{x+1} \le 0$$ Рассмотрим пример, про который мы говорили в самом начале статьи. Выпишем отдельно числитель и постараемся разложить его на множители. Для этого выпишем и приведем показательные функции к одинаковому основанию: $$0,5^{2x+3}=2^{-1*(2x+3)}=\frac{1}{2^{2x+3}}=$$ $$=\frac{1}{2^2*2^{2x+1}}=\frac{1}{4*2^{2x+1}};$$ Подставим в числитель исходного неравенства: $$ 2^{2x+1}-96*\frac{1}{4*2^{2x+1}}+2$$ Теперь у нас есть одинаковые показательные функции: \(2^{2x+1}\). Сделаем замену, пусть \(t=2^{2x+1}:\) $$ t-96*\frac{1}{4*t}+2;$$ Приводим к общему знаменателю: $$ \frac{4t^2+8t-96}{4*t};$$ Разложим квадратный многочлен на множители через дискриминант: $$ \frac{4(t+6)(t-4)}{4*t};$$ И сделаем обратную замену, напоминаю, что \(t=2^{2x+1}:\) $$ \frac{4(2^{2x+1}+6)(2^{2x+1}-4)}{4*2^{2x+1}};$$ Это мы разложили числитель исходного неравенства на множители, подставим наше разложение в неравенство: $$\frac{4(2^{2x+1}+6)(2^{2x+1}-4)}{4*2^{2x+1}*(x+1)} \le 0;$$ Тут важно отметить один факт, что показательная функция по определению всегда положительна. А для нас это означает, что множители \(2^{2x+1}+6>0\) и \(2^{2x+1}>0\), а значит их можно просто вычеркнуть, так как они абсолютно не влияют на знак всего выражения: $$\frac{(2^{2x+1}-4)}{(x+1)} \le 0;$$ А теперь воспользуемся методом рационализации: $$2^{2x+1}-4=2^{2x+1}-2^2$$ $$\Downarrow$$ $$(2-1)(2x+1-2)=2x-1; $$ Подставим рационализацию в неравенство: $$\frac{2x-1}{x+1} \le 0;$$ Ну вот, мы свели исходное неравенство к простейшему, которое легко решается методом интервалов.
Ответ: \(x\in(-1;\frac{1}{2}];\)

Формулы метода рационализации

Для логарифмов $$\log_{a(x)}(f(x))>\log_{a(x)}(g(x))$$ $$\Downarrow$$ $$\log_{a(x)}(f(x))-\log_{a(x)}(g(x))>0;$$ Вместо этих неравенств можно решить равносильную им систему на ОДЗ: $$ \begin{cases} (a(x)-1)(f(x)-g(x))>0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ a(x)>0, \\ a(x)\neq1. \end{cases}$$ Если знак неравенства меньше: $$\log_{a(x)}(f(x)) \lt \log_{a(x)}(g(x))$$ $$\Downarrow$$ $$\log_{a(x)}(f(x))-\log_{a(x)}(g(x)) \lt 0; $$ $$ \begin{cases} (a(x)-1)(f(x)-g(x)) \lt 0, \\ f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ a(x)>0, \\ a(x)\neq1. \end{cases}$$ Любой логарифм совпадает по знаку с системой: $$ \log_{q(x)}(p(x)) \ge 0$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} (q(x)-1)(p(x)-1)\ge 0, \\ p(x)>0, \\ q(x)>0, \\ q(x)\neq1. \end{cases} $$

В показательных неравенствах принцип очень похож: $$a(x)^{f(x)} - a(x)^{g(x)}$$ $$\Downarrow$$ $$\begin{cases} (a(x)-1)(f(x)-g(x)), \\ a(x)>0. \end{cases}$$