Что такое модуль

Модуль — это математическая операция, которая превращает отрицательные числа в положительные. Обозначается при помощи двух вертикальных черточек: \(|…|\). Проще всего понять, что делает функция модуля, на примерах:

Пример 1 $$|-2|=2;$$ $$|-123|=123;$$ $$|-35453443|=35453443;$$ $$|-4,56|=4,56;$$ $$\left|-\frac{2}{7}\right|=\frac{2}{7};$$

Посмотрите на примеры: если взять модуль от любого отрицательного числа, вы всегда будете получать положительное.

А что, если взять модуль от положительного числа? Оказывается, не будет ничего: какое число было, такое оно и останется. Модулем от положительного числа будет то же самое положительное число:

Пример 2 $$|5|=5;$$ $$\left|\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6};$$

Так как модуль всегда равен положительному числу, он сам по себе тоже всегда положителен. Значение модуля не может быть отрицательным.

Кстати, модуль от ноля будет просто ноль:

$$|0|=0;$$

В общем виде определение модуля числа можно записать в виде формул:

$$ |a|= \left[ \begin{gathered} a, \qquad при \quad a \geq 0, \\ -a, \qquad при \quad a \lt 0. \end{gathered} \right.$$

Глядя на это определение, у вас может возникнуть вопрос: почему \(|a|=-a \;при \; a \le 0\)? Все очень просто, если \(a\) отрицательное, то как превратить отрицательное число в положительное? Правильно, поставить перед ним еще минус (минус на минус дает плюс), именно это мы и сделали.

Вот и все, теперь вы знаете, что такое модуль от числа. Зачем же нужна такая странная математическая операция, которая только и умеет, что превращать отрицательные числа в положительные?

Модуль широко используется для обозначения, например, абсолютного значения величин. В физике знаки плюса и минуса нужны для указания направления. Например, знак минус перед скоростью означает, что тело движется в одну сторону, а знак плюс - в другую. Если же вам нужно просто значение величины скорости, без указания направления, то используется модуль.

Кроме алгебраического, полезно еще знать и геометрическое определение модуля. Представьте, что автомобиль переместился из начальной координаты \(x_1\) в конечную координату \(x_2\) (См. Рис.1).

Тогда расстояние, которое проехал автомобиль будет равно разности координат: $$S=x_2-x_1;$$ А что, если автомобиль ехал влево, и конечная координата будет меньше начальной? Тогда расстояние, которое он проехал, будет отрицательным? Такого быть не может, расстояние всегда положительно. Поэтому в такой ситуации ставят знак модуля, чтобы расстояние было положительным независимо от того, какая координата больше, начальная или конечная: $$S=|x_2-x_1|;$$

Таким образом, модуль с геометрической точки зрения — это расстояние между двумя точками на числовой прямой.

Например:
\(S=|2-5|=|-3|=3\) — это расстояние между точками с координатами \(5\) и \(2\) на числовой прямой;
\(S=|7-0|=|7|=7\) — расстояние между точками с координатами \(7\) и \(0\).

Глядя на последний пример, можно сделать вывод, что модуль от числа \(a\) — это расстояние от точки с координатой \(a\) до нуля.

Рассмотрим теперь разные интересные примеры на вычисления модуля:

Пример 3 $$|3-12|=|-9|=0;$$ $$|2*(-3)|=|-6|=6;$$ $$|0|=0;$$ $$|-2*(-5)|=|10|=10;$$ $$|7|^2=7^2=49;$$ $$|-3|^2=3^2=9;$$ $$|-5|^3=5^3=125;$$

Иррациональные примеры с модулем:

Пример 4

Раскрыть модуль:

$$|2-\sqrt{3}|=?$$

Под знаком модуля тут стоит иррациональное выражение (иррациональное, потому что есть корень, который без помощи калькулятора мы не можем посчитать). Но зато мы можем оценить примерно, чему равен \(\sqrt{3}\approx1,73\). Кто не помнит, что такое квадратный корень и как считать его приблизительное значение, загляните сюда. Оценим знак подмодульного выражения:

$$2-\sqrt{3} = 2-1,73 >0;$$

Выражение под модулем будет положительным, поэтому модуль можно просто убрать:

$$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3};$$
Пример 5

Раскрыть модуль:

$$|\sqrt{8}-4|=?$$

Оценим знак выражения под модулем.

$$\sqrt{8}=\sqrt{4*2}=2\sqrt{2}\approx 2*1,4=2,8;$$ $$\sqrt{8}-4 \approx 2,8-4=-1,2<0;$$

Подмодульное выражение получилось отрицательным, значит модуль должен превратить его в положительное. Это можно осуществить при помощи знака минус: берем все выражение под модулем в скобки и ставим перед ними минус:

$$|\sqrt{8}-4|=-(\sqrt{8}-4)=-\sqrt{8}+4=4-\sqrt{8};$$
Пример 6

Найдите значение выражения:

$$|a|+|b|=? \quad при \quad a=1-\sqrt{2}; \; b=3-\sqrt{2};$$

Оценим значения \(a\) и \(b\):

$$1-\sqrt{2} \approx 1-1,4=-0,4<0;$$ $$3-\sqrt{2} \approx 3-1,7=1,3>0;$$

Подставим значения \(a\) и \(b\) в исходное выражение, при этом первый модуль будет раскрываться со знаком минус, а второй с плюсом:

$$|a|+|b|=|1-\sqrt{2}|+|3-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})+3—\sqrt{2}=-1+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=2;$$ Ответ: \(|a|+|b|=2.\)

Свойства модуля

Модуль от произведения двух множителей равен произведению модулей от этих множителей:

$$|a*b|=|a|*|b|;$$
Пример 7 $$|2*3|=|2|*|3|=2*3=6;$$ $$|4*(-5)|=|4|*|-5|=4*5=20;$$

Модуль от частного двух чисел равен частному их модулей:

$$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|};$$
Пример 8 $$\left|\frac{6}{-3}\right|=\frac{|6|}{|-3|}=\frac{6}{3}=2;$$ $$\left|\frac{-18}{-9}\right|=\frac{|-18|}{|-9|}=\frac{18}{9}=2;$$
Можно выносить константу (число \(a \geq 0\)) из-под знака модуля: $$|a*f(x)|=a*|f(x)|;$$

Эта формула может быть полезна, когда под модулем стоит некоторая переменная или выражение, зависящее от переменной. В таком случае знак переменной мы не знаем, а вот если под модулем еще есть числа, то их можно вынести за знак модуля:

Пример 9 $$|3*x|=3*|x|;$$

Модуль в степени
Если возвести модуль в четную степень, то знак модуля можно убрать. Четная степень сама по себе превращает любое число или выражение в положительное, поэтому модуль теряет свой смысл:

$$|x|^2=x^2;$$ $$|x|^6=x^6;$$

Если же возводить в нечетную степень, то знак модуля ни в коем случае убирать нельзя. Будьте внимательны.

$$|x|^3=|x^3|;$$

Модуль суммы двух чисел будет меньше или равен суммы модулей этих чисел:

$$|a+b| \leq |a|+|b|;$$

Если немного подумать, эта формула логична: числа \(a\) и \(b\) могут быть как положительными, так и отрицательными, если, например, они имеют разные знаки, то при их сложении под знаком модуля они будут вычитаться. А если сложить модули этих чисел по-отдельности, то никакого вычитания не будет — всегда будет сложение. Если же числа \(a\) и \(b\) одного знака, то левая часть неравенства будет равна правой. Посмотрим на примерах, так станет понятнее:

\(a>0, \quad b<0:\) $$|5-2| \leq |5|+|-2|;$$ $$3 \leq 5+2;$$ $$3 \leq 7;$$
\(a>0, \quad b>0:\) $$|6+4| \leq |6|+|4|;$$ $$10 \leq 6+4;$$ $$10=10;$$
\(a<0, \quad b<0;\) $$|-7-2| \leq |-7|+|-2|;$$ $$|-9| \leq 7+2;$$ $$9 = 9;$$

Разобрали все возможные случаи, и во всех случаях формула верна.

Запишем свойства модуля в одном месте:

$$ |a|=\begin{cases} a, \qquad a \geq 0, \\ -a, \qquad a \le 0. \end{cases}$$ $$|0|=0;$$ $$|x| \geq 0;$$ $$|-a|=|a|;$$ $$|a*b|=|a|*|b|;$$ $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|};$$ $$|a*x|=a*|x|, \; a \ge 0;$$ $$|x|^2=x^2;$$ $$|x|^3=x^3;$$ $$|a+b| \geq |a|+|b|;$$

График модуля

Чтобы лучше понимать, как ведет себя модуль, полезно построить график линейной функции под знаком модуля:

$$y=|x|;$$

Построение выполним по точкам:

$$y(x=0)=|0|=0;$$ $$y(x=1)=|1|=1;$$ $$y(x=2)=|2|=2;$$ $$y(x=-1)=|-1|=1;$$ $$y(x=-2)=|-2|=2;$$

Отметим найденные точки на координатной плоскости:

График похож на галочку, симметричную относительно оси \(y\). Именно это и делает модуль: симметрично отображает график, в данном случае, относительно вертикальной оси. Ось \(y\) служит как будто зеркалом, в котором отражается правая часть графика. Почему так? Все просто: модуль, стоящий у \(x\), превращает любые отрицательные \(x\) в положительные, поэтому функция \(y=|x|\) при отрицательных значениях \(x\) будет иметь точно такие же значения, что и при положительных, отсюда и симметрия.