Метод интервалов

Нам понадобятся знания по темам:

1. Числовая прямая
2. Строгие и нестрогие неравенства
3. Квадратные уравнения
4. Дробно-рациональные уравнения

Метод интервалов - это основной метод решения рациональных неравенств. А учитывая, что подавляющее большинство неравенств так или иначе сводятся к рациональным, использование метода интервалов значительно облегчает решение практически любого неравенства. Знать его надо обязательно.

Справедливости ради, стоит отметить, что большое количество неравенств также сводятся к линейным. Для их решения тоже можно применять метод интервалов, но это не самая лучшая идея. Линейные неравенства все-таки проще решать без его использования. Именно с линейных неравенств начинается большая тема неравенств в алгебре.

Сначала рассмотрим различные методы решения и узнаем, почему метод интервалов самый удобный. Потом приведем алгоритм метода интервалов в общем виде и разберем его на примерах, а вообще, можно сразу переходить к примерам и разбираться по ним. А в конце, кому интересно, обсудим, почему этот метод действительно работает.

Методы решения неравенств

На самом деле, существует несколько способов решения неравенств. Их полезно рассмотреть, чтобы понять, почему метод интервалов незаменим при решении рациональных неравенств.

Решение неравенств при помощи систем

Пусть нам нужно решить неравенство: $$(x-5)(x+3) \gt 0;$$ Посмотрите внимательно на левую часть: она состоит из двух множителей, произведения двух скобок \((x-5)\) и \((x+3)\). Несложно догадаться, что произведение двух множителей будет больше нуля только в двух случаях:

Когда оба множителя одновременно положительны;
Когда оба множителя одновременно отрицательны;

Другими словами, чтобы решить данное неравенство, нужно решить две системы неравенств: $$ \begin{cases} x-5 \gt 0, \\ x+3 \gt 0. \end{cases} $$ $$ \Downarrow $$ $$ \begin{cases} x \gt 5, \\ x \gt -3. \end{cases} $$ $$ \Downarrow $$ $$ x \gt 5. $$ Или $$ \begin{cases} x-5 \lt 0, \\ x+3 \lt 0. \end{cases} $$ $$ \Downarrow $$ $$ \begin{cases} x \lt 5, \\ x \lt -3. \end{cases} $$ $$ \Downarrow $$ $$ x \lt -3. $$ Объединяя решения обеих систем получаем ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty);$$

Вроде ничего сложного, но и само неравенство, которое мы решали, было очень простым. Тем не менее, нам все равно пришлось решать две системы неравенств, находить пересечения и объединения. А что, если неравенство будет сложнее и множителей будет не два, а, например, три?

Так как нам необходимо следить за знаками каждого множителя, то количество систем и неравенств в этих системах, которые придется решать, вырастет многократно: когда первый множитель положительный, а другие два отрицательны; когда второй множитель положительный, а первый и третий отрицательны, и т.д. Решать такое количество неравенств, даже если они простые, очень тяжело. Поэтому неравенства редко решают системами.

Решение квадратных неравенств при помощи графика

Следующий способ годится только для решения квадратных неравенств. Собственно в этом и есть его главный недостаток.

Решим неравенство: $$x^2-2x-15 \gt 0;$$ Обозначим левую часть за \(f(x)=x^2-2x-15.\)
Внимательный читатель заметил, что если построить график левой части неравенства, то есть функции \(f(x)=x^2-2x-15\), то это будет парабола. Подробнее про графики функций и, в частности, про параболы можно почитать в этой статье.

Сейчас коротко обсудим основные свойства параболы. В общем виде уравнение параболы выглядит так: $$y=ax^2+bx+c;$$ где \(a \neq 0, \;b, \; c\) - любые числа;

• Коэффициент \(a\) отвечает за то, куда направлены ветки параболы:
  если \(a \gt 0\), то ветки параболы смотрят вверх;
  если \(a \lt 0\), то ветки параболы смотрят вниз;
• дискриминант находится по формуле: $$D=b^2-4ac;$$ Если \(D \gt 0\), то парабола пересекает ось \(x\) в двух точках;
  Если \(D \lt 0\), то парабола не пересекает ось \(x\);
  Если \(D = 0\), то парабола касается оси \(x\) в одной точке.

Квадратные неравенства с отрицательным дискриминантом

Отдельно стоит поговорить про квадратные неравенства, в которых получается отрицательный дискриминант. На рисунке 1 (красным и зеленым цветами) показаны параболы с отрицательным дискриминантом - они никогда не пересекают ось \(x.\) Значит она лежит либо целиком выше оси \(x\), либо ниже, а любая точка такой параболы всегда имеет либо только положительные значения, либо только отрицательные, в зависимости от того, куда смотрят ветки параболы:

• Если дискриминант отрицательный и ветки параболы направлены вверх, то квадратная функция имеет только положительные значения;
• Если дискриминант отрицательный и ветки параболы направлены вниз, то квадратная функция имеет только отрицательные значения.

Рассмотрим на примере:
Пример 1 $$x^2-3x+5 \gt 0;$$ Левая часть неравенства - квадратный многочлен, а его график парабола. $$a=1, \; b=-3, \; c=5;$$ $${ \small D=b^2-4ac=}$$ $${ \small =(-3)^2-4*1*5=9-20=-11 \lt 0;}$$ Дискриминант - отрицательный, график параболы не пересекает ось \(x,\) а значит наша парабола лежит либо выше оси \(x,\) либо ниже.

Так как коэффициент перед \(x^2\) больше нуля: \(a=1 \gt 0,\) то ветки параболы смотрят вверх, а значит парабола должна лежать выше оси \(x.\) Абсолютно при любых \(x\) значения любой точки параболы больше нуля, а значит левая часть неравенства положительна всегда. Какое бы значение \(x\) вы бы не подставили в левую часть неравенства, вы всегда будет получать положительное число.

Согласно исходному неравенству, нас просят найти такие \(x,\) при которых левая часть больше нуля. Как мы только что выяснили, это происходит при любых \(x.\)
Ответ: \(x\) - любое.

Пример 2 $$-3x^2+4x-7 \gt 0;$$ $$a=-3, \; b=4, \; c=-7;$$ $${ \small D=b^2-4ac=}$$ $${ \small =4^2-4*(-3)*(-7)=16 -84=-68 \lt 0;}$$ Дискриминант опять отрицательный, ветки параболы направлены вниз: \(a=-3 \lt 0\). Значит парабола лежит ниже оси \(x\) и никогда не пересекает ее. При любых значениях переменной \(x\) левая часть неравенства будет отрицательна.

Нас просят найти такие \(x,\) при которых левая часть больше нуля, но это никогда не происходит. Какие бы \(x\) мы не подставили в исходное неравенство всегда слева будем получать отрицательные числа.
Ответ: Нет решений.

Метод интервалов для целых рациональных неравенств

Перед тем, как перейти непосредственно к методу интервалов, сделаем простые рассуждения, касаемо вида неравенств.

В самом общем виде любое рациональное неравенство можно записать так: $$q(x) \gt g(x); \quad q(x) \lt g(x);$$ $$q(x) \ge g(x); \quad q(x) \le g(x).$$ где \(f(x)\) и \(g(x)\) - это некоторые выражения, зависящие от переменной \(x\);
Если перенести правую часть в левую, то все эти неравенства сводятся к виду: $$q(x)-g(x) \gt 0; \quad q(x)-g(x) \lt 0;$$ $$q(x)-g(x) \ge 0; \quad q(x)-g(x) \le 0.$$ Обозначим за \(f(x) = q(x)-g(x)\), тогда можно сказать, что любое рациональное неравенство сводится к виду: $$f(x) \gt 0; \quad f(x)\lt 0;$$ $$f(x)\ge 0; \quad f(x)\le 0.$$

Алгоритм метода интервалов для целых рациональных неравенств

Внимание! Сейчас мы обсудим общий алгоритм решения неравенств при помощи метода интервалов. Он предназначен для тех, кто умеет решать неравенства, но хочет быстро вспомнить, как это делается. А тем, кто хочет научиться пользоваться методом интервалов, лучше начать с примеров и вернуться к алгоритму в конце, если возникнет такая необходимость.

Если в неравенстве нет дробей, в знаменателе которых переменная \(x\), то такое рациональное неравенство называется целым.

• Перекидываем все слагаемые из правой части неравенства в левую так, чтобы справа остался только нуль: $$f(x) \gt 0; \quad f(x)\lt 0;$$ $$f(x)\ge 0; \quad f(x)\le 0.$$
• По возможности, раскладываем левую часть неравенства на множители. Находим корни уравнения \(f(x) = 0\);
• Отмечаем найденные корни на числовой прямой при помощи точек (кружков). Если знак неравенства нестрогий \((\ge \; или \; \le)\), то точки должны быть закрашенными, а если строгий \((\gt \; или \; \lt),\) то точки обязательно выколотые (незакрашенные):

• На числовой прямой на найденных интервалах (между отмеченными точками) определяем, положительна или отрицательна \(f(x).\) Для этого берем произвольное число из любого интервала (мы выберем самый правый интервал) и подставляем в \(f(x)\) вместо переменной \(x\). Если после подстановки значение \(f(x)\) получилось больше нуля, значит на интервале, из которого мы выбрали число, ставим знак \(«+»\). Если \(f(x)\) получилось меньше нуля, то ставим знак \(«-»\).

• Кстати, определять положительна или отрицательна функция \(f(x)\) удобно, разложив ее на множители, ведь именно знаки множителей определяют результат всего произведения. Действительно, если все множители получились положительные, то и их произведение тоже будет положительно.
  Если количество отрицательных множителей нечетно, то результат их произведения будет отрицательным;
  Если количество отрицательных множителей чётно, то их произведение будет положительно;
  Например: $$(+)*(+)*(+)=+;$$ $$(+)*(+)*(+)*(-)=-;$$ $$(-)*(+)*(+)*(-)=+;$$

• Дальше два варианта действий:
  \(A)\) Долгий, но надежный способ
  Аналогичные предыдущему пункту действия необходимо проделать для всех интервалов на числовой прямой: берем число из интервала, подставляем в \(f(x)\), отмечаем знак над выбранным интервалом.
  \(B)\) Быстрый, но надо быть очень внимательными
  Если корни не повторяются, назовем их нечётными, то знаки чередуются, то есть, если на первом интервале стоит знак \(«+»\), то на следующем обязательно будет \(«-».\) Пример такого неравенства: $$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \lt 0;$$

Если корни повторяются, и количество одинаковых корней чётно, то на интервалах слева и справа от этого корня будут одинаковые знаки. Пример неравенства: $$(x-x_1)^3(x-x_2)^2(x-x_3) \ge 0;$$ Корень \(x_2\) - четный, он повторяется два раза, благодаря второй степени над скобкой;
Корни \(x_1, \; x_3\) - нечетные, \(x_1\) повторяется три раза, а \(x_3\) один (смотрим на степень); В этом случае знаки на числовой прямой будут выглядеть как-то так:

• В ответ записываем интервалы согласно расставленным знакам и отмеченным точкам на числовой прямой:
  Если в неравенстве знак строго больше \(«\gt»\), в ответ записываем интервалы с отмеченным знаком \(«+»\), при этом скобки на промежутках указываются круглыми (выколотые точки всегда в круглых скобках);
  Если знак неравенства не строгий \(«\ge»\), в ответ также записываются интервалы со знаком \(«+»\), но скобки на промежутках должны быть квадратными (закрашенные точки всегда в квадратных скобках);
  Если знак неравенства строго меньше \(«\lt»\), в ответе указываются интервалы со знаком \(«-»\), скобки обязательно круглые;
  Если знак неравенства не строго меньше \(«\le»\) в ответ выписываем интервалы со знаком \(«-»\), скобки квадратные.

Строгие неравенства

Пример 3 $$(x+8)(x-2) \gt 0;$$

• Решаем уравнение \((x+8)(x-2) = 0\) и находим его корни. Левая часть уравнения состоит из произведения двух скобок \((x+8)\) и \((x-2)\). Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x+8=0; \quad или \quad x-2=0;$$ $$x_1=-8; \quad или \quad x_2=2;$$
• Рисуем числовую прямую и на ней отмечаем найденные корни. Так как исходное неравенство строгое \(«\gt»\), то корни отмечаем выколотыми точками (пустыми кружочками), чтобы показать, что \(x_1=-8\) и \(x_2=2\) не являются корнями неравенства, так как при их подстановке в исходное неравенство, мы получим слева нуль, а нуль не больше нуля:

• Корни \(x_1=-8\) и \(x_2=2\) делят числовую прямую на три интервала: $$(-\infty;-8) \cup (-8;2) \cup (2;+\infty);$$ Расставляем знаки \(«+»\) и \(«-»\) над этими интервалами. Для этого сначала выбираем произвольное число из правого интервала \((2;+\infty)\), то есть нужно взять любое число, большее двух. Например, выберем число \(10\) и подставим его в исходное неравенство: $$(x+8)(x-2) \gt 0;$$ Если подставить \(x=10\) в первую скобку, то мы получим положительное число: $$x+8=10+8=18 \gt 0;$$ Если подставить \(x=10\) во вторую скобку, то тоже получим положительное число: $$x-2=10-2=8 \gt 0;$$ Так как левая часть неравенства представляет собой произведение двух скобок \((x+8)\) и \((x-2)\), и при \(x=10\) они обе получились положительными, то их произведение тоже будет положительным. Значит левая часть неравенства положительна при \(x=10\). $$(+)*(+)=(+);$$ На самом деле, если взять вместо \(x\) абсолютно любое число из интервала \((2;+\infty)\), вы тоже получите, что левая часть неравенства положительна, можете проверить.
  Отмечаем \(«+»\) над интервалом \((2;+\infty)\)

• Можно расставить знаки над каждым интервалом аналогично предыдущему пункту, подставляя числа из промежутков в левую часть неравенства. В качестве упражнения рекомендую проделать эту простую работу.
  Но здесь знаки просто чередуются.
  Внимание! Знаки не всегда чередуются, такие случаи мы рассмотрим подробно ниже, когда появятся степени над скобками.

• Согласно исходному неравенству, мы ищем такие \(x\), при которых левая часть неравенства будет положительна. То есть решениями будут интервалы, над которыми стоят знаки \(«+»\).

Выписываем ответ: $$x \in (-\infty; -8) \cup (2;+\infty);$$

Пример 4 $$(x+5)(-x-7)(x-3) \lt 0;$$

• Решаем уравнение \((x+5)(-x-7)(x-3)=0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Тут у нас произведение сразу трех скобок: $$x+5=0 \quad \Rightarrow \quad x=-5;$$ $$-x-7=0 \quad \Rightarrow \quad x=-7;$$ $$x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=3;$$
• Отмечаем все найденные корни на числовой прямой. Все точки будут выколотые, так как неравенство строгое:

• Расставляем знаки. Из правого интервала \((3;+\infty)\) выбираем произвольное число, большее \(3\), и подставляем в каждую скобку левой части исходного неравенства. Пусть \(x=100\): $$x+5=100+5=105 \gt 0;$$ $$-x-7=-100-7=-107 \lt 0;$$ $$x-3=100-3=97 \gt 0;$$ Итак, мы получили, что два множителя положительные и один отрицательный: $$(+)*(-)*(+)=(-);$$ Их произведение будет отрицательным, значит ставим над интервалом \((3;+\infty)\) знак \(«-».\)
• Расставляем все оставшиеся знаки, просто чередуя их:

• Смотрим на исходное неравенство: $$(x+5)(-x-7)(x-3) \lt 0;$$ Нас просят найти такие \(x\), при которых левая часть будет отрицательна. Значит решениями будут интервалы, над которым стоит знак минус.

Ответ: \(x \in (-7;-5) \cup (3;+\infty).\)

Пример 5 $$x^2-5x \gt 0;$$ Преобразуем неравенство, разложив его на множители. Для этого вынесем за скобку общий множитель \(x:\) $$x(x-5) \gt 0;$$

• Решаем уравнение \(x(x-5)=0:\)
  Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Левая часть уравнения состоит из двух множителей \(x\) и скобки \((x-5)\): $$x_1=0;$$ $$x-5=0 \quad \Rightarrow \quad x_2=5;$$
• Отметим на числовой прямой оба найденных корня:

• Расставляем знаки. Из правого интервала выбираем \(x=10\) и подставляем в левую часть неравенства: $$x*(x-5)=$$ $$=10*(10-5)=50 \gt 0;$$ Над интервалом \((5;+\infty)\) ставим знак \(«+»\)
• Расставляем знаки над оставшимися интервалами, чередуя их:

• Знак неравенства больше: \(«\gt»\), поэтому записываем в ответ интервалы со знаком \(«+»\).

Ответ: \(x \in (-\infty;0) \cup (5;+\infty).\)

Пример 6 $$x^2-4 \lt 0;$$ Замечаем разность квадратов \((a^2-b^2=(a-b)(a+b))\) и раскладываем левую часть неравенства на множители: $$(x-2)(x+2) \lt 0;$$ Находим корни: $$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2;$$ $$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2;$$ Отмечаем корни на числовой прямой и расставляем знаки. При \(x=50\) из правого интервала обе скобки положительны, значит их произведение тоже будет положительно. Ставим на правом интервале знак плюс и чередуем знаки:

Знак неравенства \(«\lt»\), значит в ответ выписываем интервал с минусами.
Ответ: \(x \in (-2;2).\)

Пример 7 $$8x^2-19x-29\gt -2x^2;$$ В правой части неравенства не нуль, поэтому переносим всё в левую часть от знака «больше»: $$8x^2-19x-29+2x^2\gt 0;$$ Приводим подобные слагаемые: $$10x^2-19x-29\gt 0;$$ Решим квадратное уравнение: $$10x^2-19x-29=0;$$ $$a=10; \; b=-19; \; c=-29;$$ $$D=(-19)^2-4*10*(-29)=$$ $$=361+1160=1521=39^2;$$
$$x_1=\frac{-(-19)+39}{2*10}=$$ $$=\frac{19+39}{20}=2,9;$$
$$x_2=\frac{-(-19)-39}{2*10}=$$ $$=\frac{19-39}{20}=-1;$$ Зная корни квадратного многочлена, его можно разложить на множители по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$ где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного многочлена;
В нашем случае \(x_1=2,9\), а \(x_2=-1\): $$10x^2-19x-29\gt 0$$ $$\Downarrow$$ $$10(x-2,9)(x-(-1)) \gt 0;$$ $$\Downarrow$$ $$10(x-2,9)(x+1) \gt 0;$$ Подробнее про разложение на множители квадратного многочлена можно почитать тут.
Отмечаем корни на числовой прямой и расставляем знаки, используя вид неравенства, разложенный на множители: \(10(x-2,9)(x+1) \gt 0.\) Дело в том, что по знакам множителей легко понять знак всего неравенства.
Из правого интервала подставим \(x=15\). Обратите внимание, что в \(10(x-2,9)(x+1)\) три множителя:
число \(10\), оно всегда положительно и дает знак \(«+»\);
скобка \((x-2,9)\) при \(x=15\) положительна;
и скобка \((x+1)\) тоже положительна при \(x=15:\) $$(+)*(+)*(+)=+;$$ На правом интервале на числовой прямо отмечаем знак \(«+»\), остальные знаки чередуем:

Так как знак неравенства «больше», то в ответ записываем интервалы со знаком \(«+»:\)

Ответ: \(x \in (-\infty;-1) \cup (2,9;+\infty).\)

Нестрогие неравенства

Нестрогие неравенства - это неравенства, в которых знак неравенства либо больше-равно \(«\ge»\), либо меньше-равно \(«\le»\).

Например, запись \(x \ge 3\) означает, что нас устраивают не только любые значения \(x\) больше трех, но и \(x=3\) тоже устраивает.

Прежде чем приступить к решению нестрогих неравенств методом интервалов обсудим, что такое отрезок на числовой прямой, и чем он отличается от интервала.

Интервал обозначается при помощи круглых скобок, например, запись \(x \in (-2;3)\) означает, что переменная \(x\) может принимать значения больше \((-2)\), но меньше \((3).\) Любые \(x=0; \; 2; \; -1; \; -1,999; \; \frac{1}{2}; \; -\frac{1}{3}\) лежат в этом интервале.
Но, \(x=-2\) и \(x=3\) интервалу не удовлетворяют! То есть в интервал входит любое число между границами, но ни в коем случае не сами границы. Вы можете бесконечно близко приближаться к границе, но никогда границу не достигаете.

Отрезок обозначается при помощи квадратных скобок, например, запись \(x \in [-5;10]\) означает, что \(x\) может принимать любые значения больше-равные \((-5)\) и меньше-равные \((10)\).
Значения \(x=-5\) и \(x=10\) удовлетворяют отрезку. То есть в отрезок входят любые числа между границами, и сами границы тоже входят.

Пример 8 $$(x-1)(x+7)(x-\frac{1}{3}) \le 0;$$

• Решаем уравнение \((x-1)(x+7)(x-\frac{1}{3})=0.\) Уравнение имеет три корня: $$x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=1;$$ $$x+7=0 \quad \Rightarrow \quad x_2=-7;$$ $$x-\frac{1}{3}=0 \quad \Rightarrow \quad x_3=\frac{1}{3};$$
• Отмечаем корни на числовой прямой. Неравенство нестрогое, значит нас устраивает, когда левая часть неравенства не только меньше нуля, но и равна нулю. То есть все три точки \(x_1=1; \; x_2=-7; \; x_3=\frac{1}{3};\) будут корнями нашего неравенства, так как при подстановке любого из них в неравенство, получается верное тождество. Чтобы показать это на числовой прямой, точки отмечаются закрашенными кружочками, в отличие от строгих неравенств, где точки были выколотыми:

• Три точки делят числовую прямую на 4 промежутка: $${ \small (-\infty;-7] \cup [-7;\frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3};1] \cup [1;+\infty)}$$ Определим знак на самом правом из них: \([1;+\infty)\). Для этого берем произвольное число из этого промежутка больше \(1\), например, \(x=100\), и подставляем его в каждый множитель исходного неравенства: $$(x-1)(x+7)(x-\frac{1}{3}) \le 0;$$ $$x-1=100-1=99 \gt 0;$$ $$x+7=100+7=107 \gt 0;$$ $$x-\frac{1}{3}=100-\frac{1}{3}=99\frac{2}{3} \gt 0;$$ Все три множителя при подстановке \(x=100\) получаются положительными, значит их произведение тоже будет положительным: $$(+)*(+)*(+)=+;$$ Отмечаем над промежутком \([1;+\infty)\) знак \(«+».\) Знаки над оставшимися промежутками просто чередуем:

Мы ищем такие значения \(x\), при которых левая часть неравенства меньше нуля. То есть в ответ записываем промежутки со знаками минус. Но тут кроется главное отличие от строгих неравенств: точки на числовой прямой у нас закрашенные, а закрашенная точка говорит нам, что она обязательно является решением неравенства и должна быть в ответе. Чтобы это продемонстрировать, закрашенные точки всегда обозначаются квадратными скобками.
Ответ: \(x \in (-\infty;-7] \cup [\frac{1}{3};1].\)

Обратите внимание, что бесконечность всегда в круглых скобках!

Будьте внимательны с закрашенными и выколотыми точками, и, как следствие, с круглыми и квадратными скобками. Если что-то из этого перепутать, то все неравенство считается решенным неправильно.

Еще раз проговорим главное отличие строгих неравенств от нестрогих:

1. Если знак неравенства нестрогий: больше-равно \(«\ge»\), либо меньше-равно \(«\le»,\) то на числовой прямой точки должны быть закрашенными, а в ответ такие точки записываются в квадратных скобках;
2. Если знак неравенства строгий: больше \(«\gt»\), либо меньше \(«\lt»,\) то на числовой прямой точки должны быть выколотыми, а в ответ такие точки записываются в круглых скобках;

Расстановка знаков на числовой прямой

Во всех примерах выше мы расставляли знаки на числовой прямой следующим образом: находили знак на правом промежутке, а остальные расставляли автоматически, чередуя их.

Но оказывается, что знаки далеко не всегда чередуются, на соседних промежутках они могут быть одинаковыми. Теоретически на всех промежутках может стоять только знак плюс.

Универсальный метод расстановки знаков на числовой прямой

Чтобы не думать о том, когда чередуются знаки, а когда нет, можно для каждого промежутка на числовой прямой определять знак так же, как мы это делали только для правого промежутка. То есть берем произвольное число из рассматриваемого промежутка, подставляем это число в левую часть неравенства, если она получилась положительная, ставим знак плюс, если отрицательная - минус. И так для каждого промежутка расставляем знаки.

Это достаточно универсальный метод расстановки знаков. Но он может занимать много времени, если промежутков на числовой прямой получилось много. И необходимо быть очень внимательными в расчетах.

Пример 9 $$-x^2-4x \le -5;$$ Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы справа был нуль: $$-x^2-4x+5\le 0;$$ Решим уравнение: $$-x^2-4x+5=0;$$ $$a=-1; \; b=-4; \; c=5;$$ $$D=(-4)^2-4*(-1)*5=$$ $$=16+20=36;$$
$$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{36}}{2*(-1)}=$$ $$=\frac{4+6}{-2}=-5;$$
$$x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{36}}{2*(-1)}=$$ $$=\frac{4-6}{-2}=1;$$ Разложим левую часть неравенства на множители по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$ где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного многочлена;
Наше неравенство приобретает вид: $$-1*(x-(-5))(x-1) \le 0;$$ $$-(x+5)(x-1) \le 0;$$

Обратите внимание на знак минуса перед скобками. Он появляется, так как коэффициент \(a\) перед \(x^2\) равен \((-1).\) Это одна из самых распространенных ошибок при разложении квадратного многочлена: забывают про коэффициент \(a\) перед скобками.

Корни нашли, на множители разложили - отмечаем на числовой прямой найденные корни. Точки будут закрашенными, так как неравенство нестрогое:

Расставляем знаки на промежутках. Для этого из каждого промежутка берем любое число и подставляем в левую часть неравенства: $$-(x+5)(x-1) \le 0;$$

1. Из промежутка \([1;+\infty)\) подставим \(x=100\): $$x+5=100+5=105 \gt 0;$$ $$x-1=100-1=99 \gt 0;$$ И не забываем про знак минус перед скобками, он тоже влияет на знак всей левой части неравенства. Произведение минуса и двух положительных множителей даст отрицательное число: $$(-)*(+)*(+)=-;$$ Над правым промежутком ставим знак \(«-».\)
2. Аналогичным образом выбираем, например, \(x=0\) из центрального промежутка \((-5;1).\) Нуль же больше \((-5)\) и меньше \(1\), а значит лежит между ними: $$x+5=0+5=5 \gt 0;$$ $$x-1=0-1=-1 \lt 0;$$ Первая скобка получается положительная, вторая отрицательная, и опять не забываем про минус перед скобками. Произведение двух отрицательных множителей и одного положительного дает \(«+»\): $$(-)*(+)*(-)=+$$ Над центральным промежутком ставим знак \(«+».\)
3. Осталось определить знак левого промежутка. Пусть \(x=-100:\) $$x+5=-100+5=-95 \lt 0;$$ $$x-1=-100-1=-101 \lt 0;$$ Получили обе скобки отрицательные и еще минус перед скобками - три отрицательных множителя при умножении дают минус: $$(-)*(-)*(-)=-;$$ Над левым промежутком ставим знак \(«-».\)

Все знаки на числовой прямой расставлены, знак неравенства меньше-равно нуля, значит нам нужны промежутки со знаком минус. И так как точки закрашенные, не забываем включить их в ответ при помощи квадратных скобок:
Ответ: \(x \in (-\infty;-5] \cup [1;+\infty).\)

И рассмотрим еще один пример, где знаки не будут чередоваться:

Пример 10 $$(2x+1)^3(x+1)^2(x-1) \gt 0;$$ Решаем уравнение: $$(2x+1)^3(x+1)^2(x-1)=0;$$ $$(2x+1)^3=0$$ $$\Downarrow$$ $$2x+1=0$$ $$\Downarrow$$ $$x_1=-\frac{1}{2};$$ Или $$(x+1)^2=0$$ $$\Downarrow$$ $$x+1=0$$ $$\Downarrow$$ $$x_2=-1;$$ Или $$x-1=0$$ $$\Downarrow$$ $$x_3=1;$$ Получили три точки, отмечаем их на числовой прямой. Неравенство строгое, поэтому все точки выколотые:

Расставляем знаки на промежутках:

1. Промежуток \((1;+\infty)\). Подставим \(x=100\) в каждый множитель. И не забываем про степени над скобками: $$(2x+1)^3=$$ $$=(2*100+1)^3=201^3 \gt 0;$$ Считать до конца необязательно, и так понятно, что скобка положительна. Нас ведь интересуют только знаки множителей, а не их абсолютные значения. $$(x+1)^2=$$ $$=(100+1)^2=101^2 \gt 0;$$ Во вторую скобку можно было даже не подставлять, так как она в квадрате, а квадрат всегда положительный, независимо от того, что мы возводим в квадрат. $$x-1=100-1=99 \gt 0;$$ Все три множителя получились положительные, их произведение тоже будет положительное: $$(+)*(+)*(+)=+;$$ На промежутке \((1;+\infty)\) ставим знак \(«+».\)
2. Промежуток \((-\frac{1}{2};1)\). Подставим \(x=0:\) $$(2x+1)^3=$$ $$=(2*0+1)^3=1^3 \gt 0;$$
   $$(x+1)^2 \gt 0;$$
   $$x-1=0-1=-1 \lt 0;$$ $$(+)*(+)*(-)=-;$$
   
3. Промежуток \((-1;-\frac{1}{2})\). Подставим \(x=-\frac{3}{4}:\) $$(2x+1)^3=$$ $$=(2*\left(-\frac{3}{4}\right)+1)^3=$$ $$=\left(-\frac{3}{2}+1\right)^3=\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \lt 0;$$
   $$(x+1)^2 \gt 0;$$
   $$x-1=-\frac{3}{4}—1=-\frac{7}{4} \lt 0;$$ $$(-)*(+)*(-)=+;$$
   
4. Промежуток \((-\infty;-1)\). Подставим \(x=-100:\) $$(2x+1)^3=(2*(-100)+1)^3=$$ $$=(-199)^3 \lt 0;$$
   $$(x+1)^2 \gt 0;$$
   $$x-1=-100-1=-101 \lt 0;$$ $$(-)*(+)*(-)=+;$$
   

Посмотрите, у нас получилось, что знаки не чередуются.
Знак неравенства \(«\gt»\), значит в ответ записываем промежутки, над которыми стоит знак плюс:
Ответ: $$ { \small x \in (-\infty;-1) \cup (-1;-\frac{1}{2}) \cup (1;+\infty).}$$

Продвинутый способ расстановки знаков на числовой прямой

Как понять без подстановок, когда можно чередовать знаки на числовой прямой, а когда нет? И как расставлять знаки, если они не чередуются?

Общий алгоритм выглядит так:

• Подстановкой определяем знак правого интервала. Для этого берем произвольное число из правого промежутка, подставляем в левую часть неравенства, смотрим положительная она или отрицательная;
• В следующем промежутке справа налево знак будет меняться на противоположный, если корень, который разделяет этот промежуток, встречается в неравенстве нечётное количество раз. И не меняется, если чётное. Например, в неравенстве: $${ \small (x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4 \ge 0;}$$ Корень \(x=1\) встречается только один раз. Значит в промежутках, разделенных корнем \(x=1,\) должны быть разные знаки
  Корень \(x=2\) - два раза, так как над скобкой стоит вторая степень: \((x-2)^2=(x-2)(x-2)\). В промежутках, между которыми корень \(x=2,\) знаки должны быть одинаковые;
  Корень \(x=3\) - три раза: \((x-3)^3=(x-3)(x-3)(x-3).\) Знаки меняются;

Расставляем знаки на числовой прямой. Для этого подставим \(x=100\) из промежутка \((2;+\infty)\) в каждый множитель левой части неравенства: $${\small (4x-1)^2=(4*100-1)^2=399^2 \gt 0;}$$ $${\small(x-2)^3=(100-2)^3=98^3 \gt 0;}$$ $${\small x+3 = 100+3=103 \gt 0;}$$ Все три множителя получились положительные, а значит их произведение тоже будет положительным: $$(+)*(+)*(+)=+;$$ Над правым промежутком отмечаем знак \(«+»\).
Остальные знаки расставляем исходя из продвинутого алгоритма, двигаясь справа налево:

• При переходе справа налево из правого промежутка через корень \(x=2\) знак должен поменяться с \(«+»\) на \(«-»\). Так как корень \(x=2\) нечетный, у множителя, из которого этот корень, нечётная степень;
• При переходе через корень \(x=\frac{1}{4}\) знак НЕ меняется, то есть остается \(«-»\). Так как корень \(x=\frac{1}{4}\) - корень с чётной степенью;
• И при переходе через корень \(x=-3\) знак должен поменяться с \(«-»\) на \(«+».\) Корень \(x=-3\) тоже встречается нечетное количество раз;

Знак неравенства \(«\ge»\), а значит нам нужны промежутки со знаком \(«+»\). Скобки квадратные, так как точки закрашенные.

Обратите внимание на точку \(x=\frac{1}{4}\). Это закрашенная точка, но слева и справа от нее стоят промежутки со знаком минус, то есть они не удовлетворяют неравенству. А сама точка \(x=\frac{1}{4}\) будет корнем! Потому что при \(x=\frac{1}{4}\) левая часть неравенства равна нулю, что является решением, так как знак неравенства допускает равенство нулю.

Такие отдельные точки записываются в фигурных скобках: \(\{\frac{1}{4}\}\). А на числовой прямой их можно обозначать петелькой.

И запомните, что все закрашенные точки всегда должны быть в ответе.
Ответ: \(x \in (-\infty;-3] \cup \{\frac{1}{4}\} \cup [2;+\infty).\)

Дробно-рациональные неравенства

Если в неравенстве есть деление на выражения, зависящие от переменной \(x\), то такое неравенство будет называться дробно-рациональным. Например: $$\frac{1}{x}+3 \gt x;$$ $$x+\frac{20}{x+6} \lt 6;$$ $$\frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x} \ge 0;$$ Рассмотрим общий алгоритм решения таких неравенств, а потом подробно рассмотрим его применение на примерах.

Алгоритм метода интервалов для дробно-рациональных неравенств

• Находим ОДЗ;
• Переносим все слагаемые в левую часть неравенства так, чтобы в правой части остался нуль;
• Преобразуем левую часть: приводим к общему знаменателю и приводим подобные слагаемые. Цель - превратить всё выражение слева в большую единую дробь. То есть нужно привести исходное неравенство к виду, где слева стоит дробь, а справа нуль: $$\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0; $$ знак неравенства, конечно, может быть любым;
• По возможности, раскладываем на множители и числитель, и знаменатель дроби. Ни в коем случае не избавляемся от знаменателя;
• Находим нули числителя и знаменателя дроби: такие значения \(x\), при которых равны нулю и числитель, и знаменатель дроби. Другими словами, просто решаем два уравнения: $$f(x)=0; \qquad g(x)=0;$$
• Отмечаем найденные нули числителя и знаменателя на числовой прямой. При этом не забываем, что делить на нуль нельзя, а значит знаменатель дроби все-таки не может равняться нулю. Поэтому нули знаменателя (значения \(x,\) при которых знаменатель равен нулю) отмечаем на числовой прямой обязательно выколотыми точками.
  Нули числителя отмечаем закрашенными или выколотыми точками в зависимости от того, нестрогий или строгий знак неравенства соответственно.
  Кратко:
  Если неравенство строгое, то все точки выколотые;
  Если неравенство нестрогое, то нули числителя закрашенные, а знаменателя - выколотые;
• Расставляем знаки \(«+»\) и \(«-»\) над числовой прямой аналогично тому, как мы это делали для целых рациональных неравенств. Отдельно определяем знак числителя и отдельно знаменателя на правом промежутке, исходя из этого находим знак всей дроби: если числитель и знаменатель дроби получаются одного знака, то вся дробь будет положительна, а если разного, то отрицательная. Зная знак дроби на правом промежутке, можно воспользоваться продвинутым методом расстановки знаков. Либо же можно определить знак на всех промежутках аналогично тому, как мы определили его на правом промежутке. (См. глава: расстановка знаков)
• Выписываем ответ согласно расставленным знакам на числовой прямой и отмеченным точкам. Если знак неравенства \(«\lt»\) или \(«\le»,\) то нас устраивают промежутки с минусами, а если \(«\gt»\) или \(«\ge»,\) то с плюсами. Помните, что если точка закрашенная, она должна быть в ответе в квадратной скобке, если выколотая, то в круглой.

Подробно рассмотрим работу алгоритма на примерах:

Пример 12 $$\frac{2x+6}{-x-7} \ge 0;$$

• Находим ОДЗ: $$-x-7 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -7;$$
• Находим нули и числителя, и знаменателя: $$2x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=-3;$$ $$-x-7=0 \quad \Rightarrow \quad x_2=-7;$$
• Отмечаем найденные нули числителя и знаменателя на числовой прямой. Нули из числителя отмечаем закрашенными точками (так как знак неравенства нестрогий), а нули из знаменателя всегда выколотые.
  \(x=-3\) - закрашенная; \(x=-7\) - выколотая:

• Числовая прямая получается разбита на три промежутка: $${ \small (-\infty; -7) \cup (-7;-3]\cup [-3;+\infty);}$$ Определяем знак на правом промежутке \([-3;+\infty)\). Выберем произвольное значение \(x\) больше \((-3)\), например, пусть \(x=100\). И подставим его в числитель и знаменатель левой части исходного неравенства: $$2x+6=2*100+6=206 \gt 0;$$ $$-x-7=-100-7=-107 \lt 0;$$ Числитель дроби получился положительный, а знаменатель отрицательный. При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное: $$\frac{(+)}{(-)}=(-);$$ Над правым промежутком ставим знак \(«-»\). Чтобы определить знаки на оставшихся промежутках, можно, аналогично правому промежутку, выбрать числа из каждого из них, подставить в левую часть неравенства и определить знак.
  А можно просто прочередовать знаки, так как нули из числителя и знаменателя повторяются только по одному разу. См. Продвинутый метод расстановки знаков.

Знак неравенства больше-равно \(«\ge»\), значит в ответ записываем промежутки со знаком плюс. Закрашенные точки - в квадратных скобках; выколотые - в круглых. Кроме этого, не забываем проверить, чтобы все решения удовлетворяли ОДЗ: \(x \neq -7.\) Эта точка у нас и так выколотая - все в порядке, записываем ответ:
Ответ: \(x \in (-7;-3].\)

Пример 13 $$\frac{x^2(x-1)^2}{2x-4} \lt 0;$$

• Находим ОДЗ: $$2x-4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2;$$
• Находим нули: $$x^2(x-1)=0;$$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin{gathered} x=0, \\ x-1=0; \end{gathered} \right. $$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin{gathered} x_1=0, \\ x_2=1; \end{gathered} \right. $$ И из знаменателя: $$2x-4=0 \; \Rightarrow \; x_3=2;$$
• Отмечаем точки на координатной прямой. Знак неравенства строгий, значит все точки будут выколотые:

• Расставляем знаки (метод подстановки).
  На промежутке \((2;+\infty)\) выбираем \(x=100\) и подставляем в каждый множитель левой части неравенства: $$x^2=100^2 \gt 0;$$
  $$(x-1)^2=$$ $$=(100-1)^2=99^2 \gt 0;$$
  $$2x-4=$$ $$=2*100-4=196 \gt 0;$$ Числитель состоит из произведения двух положительных множителей, знаменатель тоже положительный, значит вся дробь положительная: $$\frac{(+)*(+)}{(+)}=(+);$$ Ставим знак \(«+».\)
  На промежутке \((1;2)\) берем \(x=1,5\) и подставляем: $$x^2=1,5^2 \gt 0;$$
  $$(x-1)^2=$$ $$=(1,5-1)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \gt 0;$$
  $$2x-4=$$ $$=2*\frac{3}{2}-4=3-4 = -1\lt 0;$$ $$\frac{(+)*(+)}{(-)}=(-);$$ Ставим знак \(«-».\)
  Промежуток \((0;1)\), пусть \(x=0,5:\) $$x^2=0,5^2=0,25 \gt 0;$$
  $$(x-1)^2=(0,5-1)^2=$$ $$=(-0,5)^2=0,25 \gt 0;$$
  $$2x-4=2*0,5-4=$$ $$=1-4=-3 \lt 0;$$ $$\frac{(+)*(+)}{(-)}=(-);$$ Ставим знак \(«-».\)
  Промежуток \((-\infty;0)\), пусть \(x=-10:\) $$x^2=(-10)^2=100 \gt 0;$$
  $$(x-1)^2=(-10-1)^2=$$ $$=(-11)^2=121 \gt 0;$$
  $$2x-4=2*(-10)—4=$$ $$=-20-4=-24 \lt 0;$$ $$\frac{(+)*(+)}{(-)}=(-);$$ Ставим знак \(«-».\)
  Знаки можно расставить гораздо быстрее.Продвинутый метод расстановки знаков:
  На промежутке \((2;+\infty)\) определяем знак при помощи подстановки. Выше мы уже его посчитали - \(«+».\)
  При переходе через точку на соседний промежуток знак меняется, если нуль, соответствующий этой точке, повторяется в неравенстве нечётное количество раз, и не меняется, если чётное. Нули \(x_1=0\) и \(x_2=1\) получились из скобок с четной степенью, значит они повторяются по два раза: знак при переходе через эти точки не меняется. А нуль \(x_3=2\) получился из скобки в первой степени, значит этот корень не повторяется: знак при переходе через \(x_3=2\) должен измениться на противоположный.

В неравенстве знак меньше, значит в ответ записываем промежутки со знаком минус. Внимательно проверяем, чтобы решение удовлетворяло ОДЗ: \(x \neq 2:\)
Ответ: \(x \in (-\infty;0) \cup (0;1) \cup (1;2).\)

Обратите внимание на запись ответа в предыдущем примере. Хотя все три промежутка идут подряд, их нельзя объединить в один, так как их разделяют выколотые точки.

Пример 14 $$\frac{x^2(x^2-16)}{x^2-9} \le 0;$$ Выпишем ОДЗ: $$x^2-9 \neq 0;$$ $$\Downarrow$$ $$x \neq \pm 3;$$
Прежде чем применять метод интервалов, разложим на множители разность квадратов в скобках. Напомню формулу разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b);$$ $$\frac{x^2(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)} \le 0;$$ Всегда старайтесь разложить на множители так, чтобы в скобках были линейные слагаемые (\(x\) без степени). Это может существенно упростить решение. Находим нули: $$x^2=0 \; \Rightarrow \; x_1=0;$$ $$(x-4)=0 \; \Rightarrow \; x_2=4;$$ $$(x+4)=0 \; \Rightarrow \; x_3=-4;$$ $$(x-3)=0 \; \Rightarrow \; x_4=3;$$ $$(x+3)=0 \; \Rightarrow \; x_5=-3;$$ Отмечаем найденные нули на числовой прямой. Точки \(x_1; \; x_2; \; x_3; \;\) будут закрашенные, так как неравенство нестрогое и они из числителя. Точки \(x_4=3; \; x_5=-3\) будут выколотые, потому что они из знаменателя:

Расставляем знаки. Подставляем \(x=100\) из правого промежутка: $$x^2=100^2 \gt 0;$$ $$x-4=100-4=96 \gt 0;$$ $$x+4=100+4=104 \gt 0;$$ $$x-3=100-3=97 \gt 0;$$ $$x+3=100+3=103 \gt 0;$$ Все множители и в числителе, и в знаменателе получились положительные, значит вся дробь тоже будет положительной: $$\frac{(+)*(+)*(+)}{(+)*(+)}=(+);$$ Расставляем все оставшиеся знаки. При переходе через все точки они будут чередоваться, кроме \(x_1=0:\)

Знак неравенства меньше-равно, значит в ответ записываем промежутки с минусами и отдельно стоящую точку \(x=0\), так как она закрашенная. Внимательно проверяем, чтобы решение удовлетворяло ОДЗ: \(x \neq \pm 3:\)
Ответ: \(x \in [-4;3) \cup (3;4] \cup \{0\}.\)

Пример 15 $$\frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2} \le \frac{2x}{2x-x^2};$$ ОДЗ: $$ \left[ \begin{gathered} x^2-4 \neq 0, \\ x+2 \neq 0, \\ 2x-x^2 \neq 0; \end{gathered} \right. $$ $$\Downarrow$$ $$ \left[ \begin{gathered} x \neq \pm 2, \\ x \neq 0; \end{gathered} \right. $$
Преобразуем неравенство: раскладываем знаменатели на множители, перекидываем все в левую часть и приводим к общему знаменателю.

Расставляем знаки, процесс полностью аналогичен всем предыдущим примерам:

Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{9}{2}] \cup (-2;0) \cup (0;2).\)

Как работает метод интервалов

А теперь, после того, как мы полностью изучили метод интервалов, порешали примеры, давайте разберемся, а почему он все-таки работает? Алгоритм решения это хорошо, но понимание сути очень поможет вам решать нестандартные неравенства.

Чтобы воспользоваться методом интервалов, мы всегда приводим неравенство к виду (знак неравенства может быть любым):

Кратко, метод интервалов сводится к:

1. нахождению нулей левой части неравенства;
2. расстановке их на числовой прямой;
3. нахождению знаков на каждом промежутке.

Нулями функции мы называем значения \(x\), при которых равны нулю либо числитель, либо знаменатель левой части неравенства. Чем же интересны эти точки и почему они так важны? Разобраться в этом на помогут графики функции.

Левая часть неравенства - это некоторая функция, график которой мы всегда можем построить \(y=f(x)\). Для примера построим график произвольной функции \(f(x):\)

Посмотрите внимательно на график, функция несколько раз пересекает ось \(x.\) Точки пересечения с осью \(x\) - это и есть нули нашей функции, которые мы все время ищем, ведь в этих точках значение функции равно \(0.\)

А что происходит, когда функция пересекает горизонтальную ось? Меняется знак этой функции: например, сначала она была выше оси \(x\) (положительна), а как только пересекла ось \(x\), она становится ниже оси \(x\) (отрицательной). Именно эти знаки мы расставляем на числовой прямой.

Вот почему так важны нули. Ведь в них меняется знак функции: с положительной на отрицательную, с отрицательной на положительную. И эти рассуждения справедливы для любой непрерывной функции.

Стоп! Но на числовой прямой знаки не всегда чередуются. Да, это правда, в некоторых случаях функция, достигнув оси \(x\), не пересекает ее, а как бы отскакивает от нее и остается с таким же знаком, с каким и была. Другими словами, бывает так, что функции касаются оси \(x.\) В таком случае не происходит смены знака функции. Вот поэтому знаки на соседних промежутках иногда повторяются. Посмотрите на рисунок. Тут функция целых три раза касается оси \(x\), но ни разу ее не пересекает, поэтому на числовой оси промежутки будут иметь одинаковые знаки.