Метод координат

Подробный разбор, как применять метод координат при решении задач по стереометрии
Задание №14 ЕГЭ

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Выбор системы координат в стереометрии. Задача 14 (С2) ЕГЭ
Примеры выбора системы координат

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны \(4\)):


Пример 1

Куб: Очевидно, что координаты точки \(A\) в начале координат - \((0;0;0)\). т. \(B\) - \((4;0;0)\), т. \(G\) - \((4;4;4)\) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

Координаты вершин куба
Рис. 1. Координаты вершин куба
Пример 2

Давайте рассмотрим правильную пирамиду \(ABCD\):

  • У \(т. A\) координаты \((0;0;0)\), потому что она лежит в начале координат.
  • Координату \(x\) точки \(С\) можно получить, опустив перпендикуляр \(CE\) из \(т.С\) на ось \(OX\). (см. Рис. 2). Получится \(т.E\), указывающая на искомую координату по \(x\) – 2.

    Координату \(y\) точки \(С\) тоже получаем, опустив перпендикуляр \(CF\) на ось \(OY\). Координата \(y\) \(т.С\) будет равна длине отрезка \(AF=CE\). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника \(AFC\): $$ {AC}^2={AE}^2+{CE}^2,$$ $$ 4^2=2^2+{CE}^2,$$ $$ CE=\sqrt{12}. $$ Координата \(z\) точки \(C\), очевидно, равна \(0\), потому что \(т.С\) лежит в плоскости \(XOY\). $$ C (2;\sqrt{12}; 0). $$

Координаты вершин правильной пирамиды
Рис.1. Координаты точки С

И найдем координаты вершины пирамиды (\(т.D\)). (Рис. 3) Координаты \(X\) и \(Y\) у точки \(D\) совпадают с координатами \(X\) и \(Y\) у точки \(H\). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок \(EH=\frac{1}{3}*CE=\frac{1}{3}*\sqrt{12}\) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как \(\frac{1}{3}\)) и равен координате точки \(D\) по \(Y\). Длина отрезка \(IH=2\) будет равна координате точки \(D\) по \(X\). А координата по оси \(Z\) равна высоте пирамиде: $$ {AD}^2={DH}^2+{AH}^2, $$ $$ {DH}=\sqrt{4^2-{\frac{2}{3}*AF}^2}, $$ $$ {DH}=\frac{32}{3}. $$ $$ D (2, \frac{1}{3}*\sqrt{12}, \frac{32}{3}). $$

Координаты вершин пирамиды
Рис. 3. Координаты точки D

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора \(\vec{AB}\) можно определить по формуле: $$ \vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Координаты вектора
Рис. 4. Координаты вектора

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a={x_a,y_a,z_a};$$ $$ b={x_b,y_b,z_b}; $$ тогда угол \(\alpha\) между ними находится по формуле: $$ \cos{\alpha}=\frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*\sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$


Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где \(A,B,C,D\) – какие-то числа.

Если найти \(A,B,C,D\), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);\,L(x_L,y_L,z_L);\,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$\begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \\ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.\end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: \(A,B,C,D\). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем \(D\) приравнять \(1\), если же проходит, то \(D=0\). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на \(D\), от этого уравнение не изменится, но вместо \(D\) будет стоять \(1\), а остальные коэффициенты будут в \(D\) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:


Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);\,P(0;1;0);\,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости \(D=1\): $$\begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\\ A*0+B*1+C*0+1=0, \\ A*1+B*1+C*1+1=0.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\\ B+1=0, \\ A+B+C+1=0.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A-2+3*C+1=0,\\ B=-1, \\ A=-C.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A=-0.5,\\ B=-1, \\ C=0.5.\end{cases}$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$


Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки \(M(x_M;y_M;z_M)\), легко найти расстояние до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0:\) $$ \rho=\frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$


Пример 4

Найдите расстояние от т. \(H (1;2;0)\) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-\sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,\,B=3,\,C=-\sqrt{2},\,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ \rho=\frac{|2*1+3*2-\sqrt{2}*0+4|}{\sqrt{2^2+3^2+{-\sqrt{2}}^2}}. $$ $$ \rho=\frac{12}{\sqrt{16}}=3.$$


Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).


Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма \(ABCFDE\), ребра которой равны 2. Точка \(G\) - середина ребра \(CE\).

  • Докажите, что прямые \(AD\) и \(BG\) перпендикулярны.
  • Найдите расстояние между прямыми \(AD\) и \(BG\).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Метод координат. Расстояние от точки до плоскости. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми.
Рис. 5(a). Правильная призма. Скрещивающиеся прямые

Для этого необходимо определить координаты точек \(A\), \(D\), \(B\) и \(G\). (Рис. 5(a)). Координаты точки \(G\) по осям \(x\) и \(y\) совпадают с координатами точки \(C\) (см. рис. 5(б)).

Нижняя грань призмы
Рис. 5(б). Нижняя грань призмы
$$ т.A\,(0;0;0),\,D\,(2;0;2),\,B(2;0;0),\,G(1;\sqrt{3};1).$$

Определим координаты векторов \(\vec{AD}\) и \(\vec{BG}\):

$$\vec{AD}=(2-0;0-0;2-0)=(2;0;2),$$ $$\vec{BG}=(1-2;\sqrt{3}-0;1-0)=(-1;\sqrt{3};1).$$
  • Мы нашли координаты прямых (векторов). Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми. Если косинус получится равен 0, это будет значить, что прямые перпендикулярны.

    $$ \cos{\alpha}=\frac{x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}*\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}}=$$ $$ =\frac{2*(-1)+0*\sqrt{3}+2*1}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}*\sqrt{{-1}^2+{\sqrt{3}}^2+1^2}}= $$ $$ =\frac{0}{\sqrt{8}*\sqrt{5}}=0. $$

    Косинус равен 0 при \(\alpha=90^0\). Пункт а) доказан.


  • Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми необходимо провести плоскость, проходящую через одну из прямых параллельно первой прямой.

    Выполним параллельный перенос прямой \(DA\) в точку \(B\). (см. Рис.5(а)). Мы получим прямую \(BH\), где точка \(H\) лежит на продолжении ребра \(FD\), потому что \(BH\), очевидно, лежит в плоскости грани \(ABD\), как прямая параллельная \(AD\), и проходящая через точку \(B\).

    Искомая плоскость, проходящая через прямую \(BG\), и параллельная прямой \(AD\), будет проходить через три точки: \(B\), \(G\) и \(H\). Координаты точек \(B\) и \(G\) мы уже ранее находили. Найдем координаты точки \(H\). Так как \(ADHE\) параллелограмм по построению, то \(DH=AB\):

    $$ H\,(4;0,2).$$

    Уравнение плоскости получим из системы уравнений, подставив в общее уравнение плоскости найденные координаты точек \(B\), \(G\) и \(H\).

    $$\begin{cases} A*2+B*0+C*0+1=0,\\ A*1+B*\sqrt{3}+C*1+1=0, \\ A*4+B*0+C*2+1=0.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A=-0.5,\\ B=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \\C=0.5,\\ D=1.\end{cases}$$

    Уравнение плоскости:

    $$ -0.5x-\frac{1}{\sqrt{3}}y+0.5z+1=0. $$

    Осталось только найти расстояние от любой точки на прямой \(AD\) до найденной плоскости, это и будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми \(AD\) и \(BG\). Очевидно, на прямой \(AD\) удобнее всего выбрать точку \(A(0;0;0)\).

    $$ \rho=\frac{|-0.5*0-\frac{1}{\sqrt{3}}*0+0.5*0+1|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{6}{5}}. $$

Ответ: \(\rho=\sqrt{\frac{6}{5}}\).


Угол между плоскостями

Иногда в задачах по стереометрии просят найти угол между плоскостями. В этом случае вам нужно найти уравнения этих плоскостей и воспользоваться формулой.

Пусть даны два уравнения плоскостей:

$$ A*x+B*y+C*z+D=0, $$ $$ A_1*x+B_1*y+C_1*z+D=0. $$

Тогда угол между этими плоскостями можно найти по формуле:

$$ \cos{\alpha}=\frac{|A*A_1+B*B_1+C*C_1|}{\sqrt{{A}^2+{B}^2+{C}^2}*\sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}}.$$
Пример 6

Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями:

$$ 3*x+2*y+3*z-6=0, $$ $$ x-y+2*z+1=0. $$

Решение:

Исходя из заданных уравнений плоскостей, найдём коэффициенты \(A; B; C\):

$$ A=3; ,\ B=2; \, C=3, $$ $$ A=1; ,\ B=-1; ,\ C=2.$$

И теперь подставим в формулу для нахождения угла между плоскостями:

$$ \cos{\alpha}=\frac{|3*1+2*(-1)+3*2|}{\sqrt{3^2+2^2+{3}^2}\sqrt{1^2+{(-1)}^2+2^2}}=\frac{7}{2\sqrt{33}} $$

Ответ: \(\cos{\alpha}=\frac{7}{2\sqrt{33}}\)