Метод координат

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны \(4\)):

Пример 1

Куб: Очевидно, что координаты точки \(A\) в начале координат - \((0;0;0)\). т. \(B\) - \((4;0;0)\), т. \(G\) - \((4;4;4)\) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

Пример 2

Давайте рассмотрим правильную пирамиду \(ABCD\):

• У \(т. A\) координаты \((0;0;0)\), потому что она лежит в начале координат.

• Координату \(x\) точки \(С\) можно получить, опустив перпендикуляр \(CE\) из \(т.С\) на ось \(OX\). (см. Рис. 2). Получится \(т.E\), указывающая на искомую координату по \(x\) – 2.

  Координату \(y\) точки \(С\) тоже получаем, опустив перпендикуляр \(CF\) на ось \(OY\). Координата \(y\) \(т.С\) будет равна длине отрезка \(AF=CE\). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника \(AFC\): $$ {AC}^2={AE}^2+{CE}^2,$$ $$ 4^2=2^2+{CE}^2,$$ $$ CE=\sqrt{12}. $$ Координата \(z\) точки \(C\), очевидно, равна \(0\), потому что \(т.С\) лежит в плоскости \(XOY\). $$ C (2;\sqrt{12}; 0). $$

И найдем координаты вершины пирамиды (\(т.D\)). (Рис. 3) Координаты \(X\) и \(Y\) у точки \(D\) совпадают с координатами \(X\) и \(Y\) у точки \(H\). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок \(EH=\frac{1}{3}*CE=\frac{1}{3}*\sqrt{12}\) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как \(\frac{1}{3}\)) и равен координате точки \(D\) по \(Y\). Длина отрезка \(IH=2\) будет равна координате точки \(D\) по \(X\). А координата по оси \(Z\) равна высоте пирамиде: $$ {AD}^2={DH}^2+{AH}^2, $$ $$ {DH}=\sqrt{4^2-{\frac{2}{3}*AF}^2}, $$ $$ {DH}=\frac{32}{3}. $$ $$ D (2, \frac{1}{3}*\sqrt{12}, \frac{32}{3}). $$

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора \(\vec{AB}\) можно определить по формуле: $$ \vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

$$ т.A\,(0;0;0),\,D\,(2;0;2),\,B(2;0;0),\,G(1;\sqrt{3};1).$$

Определим координаты векторов \(\vec{AD}\) и \(\vec{BG}\):

$$\vec{AD}=(2-0;0-0;2-0)=(2;0;2),$$ $$\vec{BG}=(1-2;\sqrt{3}-0;1-0)=(-1;\sqrt{3};1).$$

• Мы нашли координаты прямых (векторов). Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми. Если косинус получится равен 0, это будет значить, что прямые перпендикулярны.

  $$ \cos{\alpha}=\frac{x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}*\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}}=$$ $$ =\frac{2*(-1)+0*\sqrt{3}+2*1}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}*\sqrt{{-1}^2+{\sqrt{3}}^2+1^2}}= $$ $$ =\frac{0}{\sqrt{8}*\sqrt{5}}=0. $$

  Косинус равен 0 при \(\alpha=90^0\). Пункт а) доказан.

  
  

• Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми необходимо провести плоскость, проходящую через одну из прямых параллельно первой прямой.

  Выполним параллельный перенос прямой \(DA\) в точку \(B\). (см. Рис.5(а)). Мы получим прямую \(BH\), где точка \(H\) лежит на продолжении ребра \(FD\), потому что \(BH\), очевидно, лежит в плоскости грани \(ABD\), как прямая параллельная \(AD\), и проходящая через точку \(B\).

  Искомая плоскость, проходящая через прямую \(BG\), и параллельная прямой \(AD\), будет проходить через три точки: \(B\), \(G\) и \(H\). Координаты точек \(B\) и \(G\) мы уже ранее находили. Найдем координаты точки \(H\). Так как \(ADHE\) параллелограмм по построению, то \(DH=AB\):

  $$ H\,(4;0,2).$$

  Уравнение плоскости получим из системы уравнений, подставив в общее уравнение плоскости найденные координаты точек \(B\), \(G\) и \(H\).

  $$\begin{cases} A*2+B*0+C*0+1=0,\\ A*1+B*\sqrt{3}+C*1+1=0, \\ A*4+B*0+C*2+1=0.\end{cases}$$ $$\begin{cases} A=-0.5,\\ B=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \\C=0.5,\\ D=1.\end{cases}$$

  Уравнение плоскости:

  $$ -0.5x-\frac{1}{\sqrt{3}}y+0.5z+1=0. $$

  Осталось только найти расстояние от любой точки на прямой \(AD\) до найденной плоскости, это и будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми \(AD\) и \(BG\). Очевидно, на прямой \(AD\) удобнее всего выбрать точку \(A(0;0;0)\).

  $$ \rho=\frac{|-0.5*0-\frac{1}{\sqrt{3}}*0+0.5*0+1|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{6}{5}}. $$

Ответ: \(\rho=\sqrt{\frac{6}{5}}\).

Угол между плоскостями

Иногда в задачах по стереометрии просят найти угол между плоскостями. В этом случае вам нужно найти уравнения этих плоскостей и воспользоваться формулой.

Пусть даны два уравнения плоскостей:

$$ A*x+B*y+C*z+D=0, $$ $$ A_1*x+B_1*y+C_1*z+D=0. $$

Тогда угол между этими плоскостями можно найти по формуле:

$$ \cos{\alpha}=\frac{|A*A_1+B*B_1+C*C_1|}{\sqrt{{A}^2+{B}^2+{C}^2}*\sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}}.$$
Пример 6

Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями:

$$ 3*x+2*y+3*z-6=0, $$ $$ x-y+2*z+1=0. $$

Решение:

Исходя из заданных уравнений плоскостей, найдём коэффициенты \(A; B; C\):

$$ A=3; ,\ B=2; \, C=3, $$ $$ A=1; ,\ B=-1; ,\ C=2.$$

И теперь подставим в формулу для нахождения угла между плоскостями:

$$ \cos{\alpha}=\frac{|3*1+2*(-1)+3*2|}{\sqrt{3^2+2^2+{3}^2}\sqrt{1^2+{(-1)}^2+2^2}}=\frac{7}{2\sqrt{33}} $$

Ответ: \(\cos{\alpha}=\frac{7}{2\sqrt{33}}\)