Банковские задачи. Дифференцированные (разные) платежи

Представим жизненную ситуацию: человеку нужны деньги, например, на покупку квартиры или машины. Если у него нет необходимой суммы, он может обратиться в банк и одолжить у него деньги. Данная ситуация называется взять в долг (кредит, ипотеку). Как правило, деньги возвращаются банку постепенно, вы просто вносите каждый месяц какую-то сумму, тем самым гася свой долг.

Бесплатно банк вам деньги давать не будет, за пользование этими деньгами нужно заплатить определенный процент от взятой суммы, ведь банк мог просто положить эти деньги на вклад и заработать. Кроме этого, дать деньги кому-либо гораздо рискованнее, чем положить на вклад в хорошем банке, поэтому банк хочет, чтобы клиент ему заплатил за пользование деньгами значительно больше, чем он может заработать просто на вкладе. Вот почему проценты по вкладу всегда значительно ниже, чем проценты по кредиту. На этом банк и зарабатывает.

В зависимости от условий, на которых предоставляется кредит, нужно будет возвращать деньги либо одинаковыми платежами каждый месяц (аннуитет), либо разными, постоянно уменьшающимися платежами (дифференцированные платежи). Банк любезно проводит расчеты по обеим этим схемам и предоставляет график платежей, а вы выбираете, как будет удобно рассчитываться с банком.

Всегда сначала начисляются годовые (неделя, месяц) проценты на остаток, а только потом вносятся платежи. Размер платежей зависит от суммы взятого в долг кредита, срока (на сколько лет вы взяли в долг), от процента за пользование деньгами и от схемы, по которой вы будете рассчитываться с банком. Каждый платеж состоит из процентов, которые успели набежать за время между последним и следующим платежом и части самого долга.

Нам понадобится умение быстро находить процент от заданного числа. Напоминаю, что для этого необходимо перевести процент в десятичный вид и умножить на заданное число. Например, 23% от 3300 находится вот так: $$23 \% \Rightarrow \frac{23}{100}=0,23;$$ $$3300*0,23=759;$$ Получили, что 759 это 23% от 3300.
Тут можно почитать подробнее про то, как считать проценты.

Дифференцированные (разные) платежи

Будем рассматривать кредиты, по которым проценты начисляются раз в месяц, и также раз в месяц вносится платеж сразу после начисления процентов. Кредиты также бывают с начислениями процентов и выплатами раз в год, на логику это никак не влияет.

Детально разберем, что происходит с кредитом. Есть два основных события в течение жизни любого кредита: это начисление процентов, после чего ваш долг перед банком растет, и внесение вами выплаты (платежа по кредиту), после чего ваш долг уменьшается. Как правило, оба этих важных события происходят раз в месяц (но в задачах бывает и раз в год).

Рассмотрим, что будет происходить с кредитом с дифференцированными платежами на всех этапах на реальном примере. Представьте, что мы взяли у банка в долг \(S_0=9000000р.\) под \(r=10 \%\) на 5 месяцев на открытие какого-нибудь бизнеса. Согласно условиям кредита, в конце каждого месяца мы должны вносить платеж банку. Таких платежей будет 5, так как месяцев тоже 5. Рассмотрим, что произойдет с нашим долгом спустя 1 месяц.

• Во-первых, мы станем должны банку на \(10 \%\) больше или, если в рублях, то: $${ \small 9000000+9000000*\frac{10}{100}=}$$ $${ \small =9000000+9000000*0,1=}$$ $${ \small =9000000*(1+0,1)=9900000p.}$$ Ничего себе: за месяц наш долг перед банком увеличился на \(900000р.\) и стал \(9900000р.\)
• После того, как проценты начислились и наш долг вырос, необходимо внести выплату, чтобы уменьшить долг. В схеме с дифференцированными платежами выплаты все время разные, но они подчиняются определенной логике: ваш первоначальный долг, который \(S_0=9000000р.\) без учета всяких процентов должен уменьшаться каждый месяц на одну и ту же величину. На какую величину нужно уменьшить \(S_0=9000000р.\) 5 раз, чтобы в конце был 0? $$\frac{S_0}{5}=\frac{9000000}{5}=1800000p.;$$ Таким образом, наш первоначальный долг должен уменьшаться каждый месяц на \(1800000p.\) Внимание! Это не выплаты, это мы сейчас говорим про то, как должен уменьшаться именно долг без учета того факта, что на долг каждый месяц начисляются проценты. Любая выплата в схеме с дифференцированными платежами состоит из двух слагаемых: мы должны погасить ВСЕ проценты, которые успели начислиться за последний месяц, и плюс часть долга. В нашем примере часть долга - это \(1800000р.\) В результате такой выплаты будут погашены все начисленные проценты за последний месяц и долг будет уменьшен на \(1800000р.\) Распишем, чему будет равна первая выплата в конце первого месяца: $$В_1=\underbrace{S_0*0,1}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{5}}_{часть\;долга}=$$ $$=\underbrace{9000000*0,1}_{проценты}+\underbrace{\frac{9000000}{5}}_{часть\;долга}=$$ $$=900000+1800000=2700000p.$$ Тут важно понять, что в каждой выплаты мы гасим все набежавшие проценты за последний месяц плюс одну и ту же часть долга.
• В результате, через месяц после выплаты долг уменьшится на \(\frac{S_0}{5}=1800000p.:\) $${ \small S_1=\underbrace{S_0}_{начальный\;долг}-\underbrace{\frac{S_0}{5}}_{часть \; долга}=}$$ $${ \small =9000000-1800000=7200000p.}$$
• Второй месяц мы начинаем уже с долгом не в \(9000000p.,\) а с \(7200000p.\), ведь мы уменьшили его первой выплатой.
• Во второй месяц все повторяется: начисляются проценты, только теперь они начисляются на \(S_1=7200000p.\) Долг опять растет на \(10 \%:\) $$S_1+S_1*0,1=$$ $$=7200000+7200000*0,1=$$ $$=7200000+720000=7920000p.$$
• После начисления процентов мы вносим выплату, уменьшая наш долг. Выплата состоит из всех начисленных процентов за 2й месяц плюс части долга \(1800000p.\) Проценты начислялись, но мы тут же их погасили и плюс часть долга: $$В_2=\underbrace{S_1*0,1}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{5}}_{часть\;долга}=$$ $$=\underbrace{7200000*0,1}_{проценты}+\underbrace{\frac{9000000}{5}}_{часть\;долга}=$$ $$=720000+1800000=2520000p.$$
• В результате, после второй выплаты долг опять уменьшается на \(1800000p.:\) $${ \small S_2=\underbrace{S_1}_{долг\;после\;1\; месяца}-\underbrace{\frac{S_0}{5}}_{часть \; долга}=}$$ $${ \small =7200000-1800000=5400000p.}$$
• В третий месяц мы входим с долгом банку \(S_2=5400000p.\) А дальше все повторяется: начисляются проценты - мы гасим эти проценты и часть долга. Не будем расписывать долг после начисления процентов, нас это не особо волнует, а сразу распишем выплату и долг после выплаты: $$В_3=S_2*0,1+\frac{S_0}{5}=$$ $$=5400000*0,1+\frac{9000000}{5}=$$ $$=540000+1800000=2340000p.$$
  $$S_3=S_2-\frac{S_0}{5}=$$ $$=5400000-1800000=$$ $$=3600000p.$$
• Четвертый месяц: $$В_4=S_3*0,1+\frac{S_0}{5}=$$ $$=3600000*0,1+\frac{9000000}{5}=$$ $$=360000+1800000=2160000p.$$
  $$S_4=S_3-\frac{S_0}{5}=$$ $$=3600000-1800000=$$ $$=1800000p.$$
• Пятый месяц: $$В_5=S_4*0,1+\frac{S_0}{5}=$$ $$=1800000*0,1+\frac{9000000}{5}=$$ $$=180000+1800000=1980000p.$$
  $$S_5=S_4-\frac{S_0}{5}=$$ $$=1800000-1800000=0p.$$ Обратите внимание, что после пятой выплаты долг стал \(0.\) За пять выплат мы полностью расплатились с банком.

Чтобы полностью представить картину, как выглядят дифференцированные платежи, посмотрите внимательно на выплаты банку, которые мы делали в течение этих 5 месяцев: $${ \small В_1=900000+1800000=2700000p.}$$ $${ \small В_2=720000+1800000=2520000p.}$$ $${ \small В_3=540000+1800000=2340000p.}$$ $${ \small В_4=360000+1800000=2160000p.}$$ $${ \small В_5=180000+1800000=1980000p.}$$ Они все время уменьшаются! Каждая следующая выплата меньше предыдущей. Почему так происходит?

Дело в том, что каждая выплата состоит, как мы уже выяснили, из двух слагаемых: проценты + часть долга. Часть долга во всех выплатах одинаковая, согласно идее дифференцированных платежей. А вот слагаемое, отвечающее за проценты, разное, потому что проценты всегда начисляются не на исходный долг, а на долг, оставшийся с предыдущего месяца. А так как долг все время уменьшается, то и начисляемые проценты тоже будут начисляться все меньше и меньше. Для наглядности на рис.1 показан график выплат с течением времени:

Кроме этого, интересно посмотреть, сколько мы всего отдадим денег банку за 5 месяцев. Для этого нужно просто сложить все наши выплаты. Другими словами, посчитаем общую выплату: $${ \small B_{общ}=B_1+B_2+B_3+B_4+B_5=}$$ $${ \small =2700000+2520000+2340000+}$$ $${ \small +2160000+1980000=11700000p.}$$ Таким образом, получается, когда мы брали кредит, банк нам выдал на руки \(9000000p.\) А мы за 5 месяцев банку отдали \(11700000p.\) То есть, переплата по кредиту составила: $${ \small Переплата=B_{общ}-S_0=}$$ $${ \small =11700000-9000000=2700000p.}$$ Ничего себе - мы банку заплатили 2700000р. за то, что пользовались его деньгами 5 месяцев.

Подведем итог. Каждая выплата в кредите с дифференцированными платежами обязательно состоит из ВСЕХ процентов, на которые вырос ваш долг перед банком за последний месяц (если проценты и выплаты ежемесячные) и части долга.

Этот момент необходимо хорошо понимать. В результате такой выплаты проценты, которые набежали за месяц, тут же выплачиваются, и плюс к погашенным процентам, вносится часть долга, чтобы уменьшить сумму долга перед банком.

Дифференцированные платежи в общем виде

Пусть \({S}_{0}\) рублей – сумма, которую вы взяли в кредит под \(q \%\) на \(N\) месяцев. Тогда по схеме с дифференцированными выплатами каждый месяц начальный долг должен уменьшаться равномерно на одну и ту же величину – значит, каждый следующий месяц долг должен быть меньше на величину: $$\frac{{S}_{0}}{N};$$ Действительно, если долг \(S_0\) уменьшить \(N\) раз на величину \(\frac{S_0}{N},\) то через \(N\) месяцев долг будет полностью погашен.
Распишем выплаты:

• Через месяц мы должны выплатить банку все начисленные проценты за этот месяц \(S_0*\frac{q}{100}\) и часть долга \(\frac{S_0}{N}:\) $$B_1=\underbrace{S_0*\frac{q}{100}}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{N}}_{часть\;долга};$$ Через месяц после выплаты долг будет: $${S}_{1}={S}_{0}-\frac{{S}_{0}}{N}=$$ $$=\frac{S_0*N}{N}-\frac{S_0}{N}=\frac{{S}_{0} (N-1)}{N};$$
• Выплата через 2 месяца: $$B_2=\underbrace{S_1*\frac{q}{100}}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{N}}_{часть\;долга}=$$ $$=\frac{{S}_{0} (N-1)}{N}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{N};$$ Долг после 2-го месяца будет: начальный долг \(S_0\) за вычетом уже двух частей \(\frac{S_0}{N}:\) $${S}_{2}={S}_{0}-2*\frac{{S}_{0}}{N}=$$ $$=\frac{S_0*N}{N}-\frac{2*S_0}{N}=$$ $$=\frac{{S}_{0} (N-2)}{N};$$
• Выплата через 3 месяца: $$B_3=\underbrace{S_2*\frac{q}{100}}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{N}}_{часть\;долга}=$$ $$=\frac{{S}_{0} (N-2)}{N}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{N};$$ Долг через 3 месяца после выплаты: $${S}_{3}={S}_{0}-3*\frac{{S}_{0}}{N}=$$ $$=\frac{S_0*N}{N}-\frac{3*S_0}{N}=$$ $$=\frac{{S}_{0} (N-3)}{N};$$
• \(…..;\)
• Выплата через \(N-2\) месяца: $${ \small B_{N-2}=\underbrace{S_{N-3}*\frac{q}{100}}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{N}}_{часть\;долга}=}$$ $${ \small =\frac{{S}_{0}*(N-(N-3))}{N}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{N}=}$$ $${ \small =\frac{{S}_{0}*3}{N}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{N};}$$ Долг через \(N-2\) месяца после выплаты: $${S}_{N-2}={S}_{0}-(N-2)*\frac{{S}_{0}}{N}=$$ $$=\frac{S_0*N}{N}-\frac{(N-2)*S_0}{N}=$$ $$=\frac{{S}_{0} (N-(N-2))}{N}=\frac{{S}_{0}*2}{N};$$
• Выплата через \(N-1\) месяца: $${ \small B_{N-1}=\underbrace{S_{N-2}*\frac{q}{100}}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{N}}_{часть\;долга}=}$$ $${ \small =\frac{{S}_{0}*2}{N}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{N};}$$ Долг через \(N-1\) месяца после выплаты: $${S}_{N-1}={S}_{0}-(N-1)*\frac{{S}_{0}}{N}=$$ $$=\frac{S_0*N}{N}-\frac{(N-1)*S_0}{N}=$$ $$=\frac{{S}_{0} (N-(N-1))}{N}=\frac{{S}_{0}}{N};$$
• Выплата через \(N\) месяцев: $$B_{N}=\underbrace{S_{N-1}*\frac{q}{100}}_{проценты}+\underbrace{\frac{S_0}{N}}_{часть\;долга}=$$ $$=\frac{{S}_{0}}{N}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{N};$$ Долг через \(N\) месяцев после выплаты: $${S}_{N}={S}_{0}-(N)*\frac{{S}_{0}}{N}=0;$$

Все правильно, долг в конце \(N-го\) года должен быть равен 0. Ведь мы все выплатили.

Для того, чтобы получить полную выплату по кредиту, нужно сложить все выплаты, которые мы платили каждый месяц. Сложим все выплаты: $${ \small B_{общ}=В_1+В_2+…+В_{N-1}+B_{N}=}$$ $${ \small =\underbrace{S_0*\frac{q}{100}+{\color{Green}{\frac{S_0}{N}}}}_{выплата \; 1}+}$$ $${ \small +\underbrace{\frac{{S}_{0} (N-1)}{N}*\frac{q}{100}+{\color{Green}{\frac{S_0}{N}}}}_{выплата \; 2}+}$$ $${ \small +\underbrace{\frac{{S}_{0} (N-2)}{N}*\frac{q}{100}+{\color{Green}{\frac{S_0}{N}}}}_{выплата \; 3}+}$$ $${ \small +…+}$$ $${ \small \underbrace{\frac{{S}_{0} *2}{N}*\frac{q}{100}+{\color{Green}{\frac{S_0}{N}}}}_{выплата \; N-1}+}$$ $${ \small+\underbrace{\frac{{S}_{0}*1}{N}*\frac{q}{100}+{\color{Green}{\frac{S_0}{N}}}}_{выплата \; N}} $$ Упростим получившееся выражение.

Обратите внимание, что зеленых слагаемых \(\frac{S_0}{N}\) будет ровно \(N\) штук, так как всего выплат \(N\) и в каждой есть это слагаемое.
Черные слагаемые с процентами объединяет общий множитель \(S_0*\frac{q}{100},\) вынесем его за скобки: $${ \small В_{общ}={\color{Green}{N*\frac{S_0}{N}}}+S_0*\frac{q}{100}*}$$ $${ \small *(1+\frac{N-1}{N}+\frac{N-2}{N}+..+\frac{2}{N}+\frac{1}{N})}$$ В скобках получилась сумма членов арифметической прогрессии: каждое слагаемое на \(\frac{1}{N}\) меньше предыдущего. Единица тоже член этой прогрессии, ее можно представить в виде: $$1=\frac{N}{N};$$

Чтобы это посчитать, нам понадобится формула суммы членов арифметической прогрессии: $$SUM=\frac{{a}_{1}+{a}_{N}}{2}*N; $$ где \(N\) - количество членов прогрессии;
\(a_1\) - первый член арифметической прогрессии;
\(a_N\) - N-й член арифметической прогрессии;

В нашем случае: $$a_1=1=\frac{N}{N};$$ $$a_N=\frac{1}{N};$$ Подставим формулу суммы в общую выплату: $$В_{общ}={\color{Green}N*\frac{S_0}{N}}+$$ $$S_0*\frac{q}{100}*\left(\frac{\frac{N}{N}+\frac{1}{N}}{2}\right)*N=$$ $$={\color{Green}{S_0}}+S_0*\frac{q}{100}*\frac{N+1}{2};$$

Вот мы и получили формулу для подсчета общей выплаты по кредиту с дифференцированными платежами. Давайте разберемся, из чего она состоит: зеленое слагаемое \(S_0\) - это сам кредит, который вам выдал банк в самом начале, а черное слагаемое - это начисленные проценты за все время кредита или, другими словами, переплата по кредиту: $${ \small В_{общ}=\underbrace{{\color{Green}{S_0}}}_{кредит}+\underbrace{S_0*\frac{q}{100}*\frac{N+1}{2}}_{переплата}}$$

Разбор задач на дифференцированные платежи

Пример 1
Дмитрий берет в банке кредит на некоторую сумму на срок 15 месяцев. Каждый месяц 1го числа сумма долга возрастает на \(q\)%, 2го числа каждого месяца Дмитрий должен гасить часть долга так, чтобы он каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем (дифференцированный платеж). После погашения всей суммы кредита выяснилось, что Дмитрий заплатил на \(40\)% больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Решение:
Обозначим за \(S_0\) начальную сумму, которую Дмитрий получил в банке.

В первый месяц на эти деньги начислят проценты \(S_0*\frac{q}{100}\). После этого Дмитрий должен погасить начисленные проценты плюс часть долга \(\frac{S_0}{15}\), только в таком случае долг будет уменьшаться равномерно каждый месяц. Распишем выплаты:

• Первая выплата: $$В_1=S_0*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{15};$$ Долг после 1-й выплаты, в конце 1-го месяца: $$S_1=S_0-\frac{S_0}{15}=$$ $$=\frac{15*S_0}{15}-\frac{S_0}{15}=\frac{14S_0}{15};$$
• Вторая выплата: $$В_2=\frac{14S_0}{15}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{15};$$ Долг после 2-й выплаты, в конце 2-го месяца (вычитаем уже две частицы долга): $$S_2=S_0-2*\frac{S_0}{15}=$$ $$=\frac{15*S_0}{15}-\frac{2*S_0}{15}=\frac{13S_0}{15};$$
• Третья выплата: $$В_3=\frac{13S_0}{15}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{15};$$ Долг после 3-й выплаты, в конце 3-го месяца: $$S_3=S_0-3*\frac{S_0}{15}=$$ $$=\frac{15*S_0}{15}-\frac{3*S_0}{15}=\frac{12S_0}{15};$$
• …
• Четырнадцатая выплата. Обратите внимание, что проценты в 14-й месяц (предпоследний) будут начисляться на долг, равный двум частям долга: $$В_{14}=\frac{2*S_0}{15}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{15};$$ Долг после 14-й выплаты, в конце 14-го месяца: $$S_{14}=S_0-14*\frac{S_0}{15}=$$ $$=\frac{15*S_0}{15}-\frac{14*S_0}{15}=\frac{S_0}{15};$$
• Пятнадцатая (последняя) выплата. Перед последним месяцем мы должны банку последнюю часть долга, на нее начисляются проценты, гасим проценты и гасим саму эту последнюю часть: $$В_{15}=\frac{S_0}{15}*\frac{q}{100}+\frac{S_0}{15};$$ Долг после 15-й выплаты, в конце 15-го месяца: $$S_{15}=S_0-15*\frac{S_0}{15}=0;$$

Пример 3
В декабре был выдан полугодовой кредит. В таблице представлен график его погашения: