Финансовая математика. Задача 17 (С5)

Финансовая математика. Задачи на кредиты

Необходимая теория при решении задач на проценты и финансовой математики:

  1. Один процент – это одна сотая часть чего-либо. Другими словами, если возьмете, например, 550 арбузов, поделите это количество на 100 одинаковых частей \( \frac{550}{100} = 5,5 \), возьмете одну из этих частей, то есть пять с половиной арбузов – это и будет 1 процент от 550. Если взять 11 арбузов, то это будет уже ровно две части из ста, а значит 2 процента от 550.
  2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно умножить это число на искомый процент и поделить на \(100\). Например: \(23\)% от числа \(720\) находится по формуле \(\frac{23*720}{100}=165,6\). Другими словами число \(165,6\) составляет \(23\) процента от числа \(720\).
  3. Иногда встречается обратная задача. Нужно найти число, процент от которого равен данному числу. Пример: Найти число, \(25\)% от которого равно \(170\). Для решения этой задачи нужно \(170\) умножить на \(100\) и поделить на \(25\), получается \(170*\frac{100}{25}=680\). Таким образом, числом, \(25\)% от которого равно \(170\), будет \(680\).
  4. Чтобы найти сколько процентов первое число составляет от второго, нужно просто поделить первое на второе и умножить на \(100\). Например: найти сколько процентов число 12 составляет от 64. Решение: \(\frac{12}{64}*100=18,75\).
  5. Часто в задачах 17 (С5) на финансовую математику из ЕГЭ по математике встречается ситуация, когда некоторое число, обозначим его за \({P}_{0}\), в первый год (период времени может быть любым – год, месяц, день, час и т.д.) увеличилось на \(a\) процентов. Потом в следующий год число, которое получилось, после первого года увеличилось опять на \(a\) процентов и т.д., в зависимости от количества этапов \(N\). Чтобы посчитать, во что превратится наше исходное число после \(N\) этапов, если оно будет расти каждый этап на \(a\) процентов, нужно воспользоваться формулами (индекс у \(P\) означает год, \({P}_{1}\) – число через 1 год): $$ {P}_{1}={P}_{0} (1+\frac{a}{100}). $$ $$ {P}_{2}={P}_{1} (1+\frac{a}{100})={P}_{0} (1+\frac{a}{100})^2 $$ $$ {P}_{3}={P}_{2} (1+\frac{a}{100})={P}_{0} (1+\frac{a}{100})^3 $$ $$ ….$$ $$ {P}_{N}={P}_{0} (1+\frac{a}{100})^N. $$
  6. Бывают задачи, когда величина процента меняется каждый год (в первый год число выросло на \({a}_{1}\)%, второй год - \({a}_{2}\)%, в \(N\)-й год - \({a}_{N}\)%. Тогда получившееся в конце число можно выразить по формуле: $$ {P}_{N}={P}_{0} (1+\frac{{a}_{1}}{100})(1+\frac{{a}_{2}}{100})…(1+\frac{{a}_{N-1}}{100})(1+\frac{{a}_{N}}{100}). $$
  7. Если каждый год (этап) процент прироста различный, то иногда удобно посчитать средний процент прироста \((q)\): $$ {P}_{0} (1+\frac{{a}_{1}}{100})(1+\frac{{a}_{2}}{100})…(1+\frac{{a}_{N-1}}{100})(1+\frac{{a}_{N}}{100})={P}_{0} (1+\frac{q}{100})^N $$
  8. Часто встречаются задачи на погашение кредита. Представим жизненную ситуацию: человеку нужны деньги, например, на покупку квартиры или машины. Если у него нет необходимой суммы, он может обратиться в банк и одолжить у него деньги. Данная ситуация называется взять в долг (кредит, ипотеку). Как правило, деньги возвращаются банку постепенно, вы просто вносите каждый месяц какую-то необходимую сумму, тем самым гася свой долг перед банком. Деньги в долг не дают бесплатно, за пользование этими деньгами нужно заплатить банку определенный процент от взятой суммы, ведь банк мог просто положить эти деньги на вклад и заработать. Кроме этого, дать деньги кому-либо гораздо рискованнее, чем положить на вклад в хорошем банке, поэтому банк хочет, чтобы клиент ему заплатил за пользование деньгами значительно больше, чем он может заработать просто на вкладе. Вот почему проценты по вкладу всегда значительно ниже, чем проценты по кредиту. На этом банк и зарабатывает.
    В зависимости от условий, на которых предоставляется кредит, нужно будет возвращать деньги либо одинаковыми платежами каждый месяц (аннуитет), либо разными постоянно уменьшающимися платежами (дифференцированные платежи). Банк любезно проводит расчеты по обеим этим схемам и предоставляет график платежей, а вы выбираете, как будет удобно рассчитываться с банком. Обычно сначала начисляются годовые (неделя, месяц) проценты на остаток, а только потом вносятся платежи. Размер платежей зависит от взятого в долг кредита, срока (на сколько лет вы взяли в долг), от процента за пользование деньгами и от схемы, по которой вы будете рассчитываться с банком. Каждый платеж состоит из процентов, которые успели набежать за время между последним и следующим платежом и частицы самого долга.
    Разберемся с каждой схемой выплат по кредиту отдельно:
    • Дифференцированный платеж – долг по кредиту гасится равномерно, каждый год (месяц, неделю) долг (его называют телом кредита, те деньги, которые выдал вам банк, без учета процентов) уменьшается на одну и ту же величину, но так как проценты начисляются в конце каждого года на фактический остаток, то следующие платежи меньше, чем предыдущие. То есть, каждый ваш платеж состоит из процентов, начисленных за прошедший год (месяц, неделю) и из части тела кредита. Давайте разбираться.

      Другими словами, пусть \({S}_{0}\) рублей – сумма, которую вы взяли в кредит под \(q\)% на \(N\) лет. Тогда, по этой схеме, каждый год долг должен уменьшаться равномерно на одну и ту же величину – значит, каждый следующий год долг должен быть меньше на величину \(\frac{{S}_{0}}{N}\) – равномерно раскидали долг на (\N\) лет.

      через год долг будет \({S}_{1}={S}_{0}-\frac{{S}_{0}}{N}=\frac{{S}_{0} (N-1)}{N};\)

      через 2 года - \({S}_{2}=\frac{{S}_{0} (N-2)}{N};\)

      3 года - \({S}_{3}=\frac{{S}_{0} (N-3)}{N}\);

      $$ ….;$$

      \((N-2)\) лет - \({S}_{N-2}={S}_{0}*\frac{2}{N};\)

      \((N-1)\) лет - \({S}_{N-1}={S}_{0}*\frac{1}{N}\);

      \((N)\) лет –\({S}_{N}= 0\).

      Все правильно, долг в конце \(N-го\) года должен быть равен 0. Ведь мы все должны будем выплатить.

      Теперь посчитаем выплаты, которые нужно вносить ежегодно:

      То есть каждый год вы должны вносить одинаковую часть долга - \(\frac{{S}_{0}}{N}\) рублей плюс проценты, которые набежали за этот год на остаток: \(\frac{q}{100}*{S}_{N}\), где \({S}_{N}\)- оставшаяся сумма на конец текущего года. Проценты у нас начисляются только на сумму оставшегося долга с прошлого платежа. Выпишем в ряд проценты (переплату), которые вы будете платить каждый год:

      $$ \frac{q}{100} {S}_{0}; $$ $$ \frac{q}{100}*\frac{{S}_{0} (N-1)}{N}; $$ $$ \frac{q}{100}*\frac{{S}_{0} (N-2)}{N}; $$ $$ …....; $$ $$\frac{q}{100}*\frac{2{S}_{0}}{N}; $$ $$\frac{q}{100}*\frac{{S}_{0}}{N}.$$

      Для того, чтобы получить полную переплату по кредиту, нужно сложить все проценты, которые вы платили каждый год. Для этого нужно знать формулу суммы членов арифметической прогрессии.

      $$ SUM=\frac{{a}_{1}+{a}_{N}}{2}*N; $$ $$ П=\frac{q}{100} {S}_{0}+\frac{q}{100}*\frac{{S}_{0} (N-1)}{N}+…..+\frac{q}{100}*\frac{2{S}_{0}}{N}+ \frac{q}{100}*\frac{{S}_{0}}{N}=$$ $$=\frac{q}{100} {S}_{0}*(1+\frac{N-1}{N}+\frac{N-2}{N}+\frac{N-3}{N}+…+\frac{2}{N}+\frac{1}{N}).$$

      В скобках получилась арифметическая прогрессия с 1-м членом \(1=\frac{N}{N}\) и последним (N-м) членом \(\frac{1}{N}\). Найдя сумму арифметической прогрессии, можно получить формулы для расчета переплаты по кредиту \((П)\) и полной величины выплат \((В)\), которая включает в себя еще саму сумму кредита:

      $$ П=\frac{q}{100}*\frac{(N+1)}{2} {S}_{0}.$$ $$ В={S}_{0}+П={S}_{0} (1+\frac{q*(N+1)}{200}).$$

    • Аннуитет – как уже было сказано, это оплата кредита равными платежами.

      Поясним на примере в общем виде. Пусть \({S}_{0}\) – сумма кредита, \(a\) – ежегодный постоянный платеж; \(q\) – годовые проценты по кредиту. Каждый год сначала начисляется процент \(q\), а потом вносится платеж \(a.\) Через год сумма задолженности поле начисления процентов будет:

      $$ {S}_{0}*(1+\frac{q}{100}) $$

      После этого происходит оплата, и сумма на счете станет:

      $$ {S}_{1}={S}_{0}*(1+\frac{q}{100})-a; $$

      Через 2 года сумма после начисления процентов и ежегодной выплаты (обозначим \(b=1+\frac{q}{100}\)): $$ {S}_{2}={S}_{1}*b-a=({S}_{0} b-a)b-a={S}_{0} b^2-(1+b)a;$$

      Через 3 года:

      $$ {S}_{3}={S}_{0} b^3-(1+b+b^2 )a={S}_{0} b^3-\frac{b^3-1}{b-1}*a. $$

      Иногда в задачах сказано, что кредит гасится, например, тремя платежами, а это значит, что \({S}_{3}=0\).

      Проведя аналогичные рассуждения для \(N\) лет, можно вывести следующие формулы:

      $$ {S}_{N}=b^N {S}_{0}-\frac{b^N-1}{b-1} a;$$ $$ a=\frac{b^N (b-1)}{b^N-1} {S}_{0}; $$ $$ {S}_{0}=\frac{b^N-1}{b^(N+1)-b^N} a; $$ $$ N={log}_{b}{\frac{x}{x-{S}_{0} (b-1)}}; $$

Разбор примеров по финансовой математике

Пример 1

Николай выиграл в лотерею \(20 000$\) и решил отложить эти деньги на пенсию. Для этого он вложил их в акции, которые стоят \(20t\) тысяч долларов в конце каждого года \((t=1,2,3,4…)\). Через несколько лет Николай хочет продать свои акции и положить вырученные деньги на счет в банке под \(12\)% годовых (начисление процентов происходит в начале следующего года). В каком году Николаю нужно продать акции, чтобы через 30 лет у него была максимальная сумма.

Решение:

Посчитаем, какую сумму накопит Николай, если продаст акции в конце k-го года:

$$ {S}_{k}=20k*(1+\frac{12}{100})^{30-k}=20k*1.12^{30-k}$$

Предположим, что год \(k\) – это год, когда нужно продать акции, чтобы сумма на счете через 30 лет была наибольшей. Тогда, если Николай по ошибке продаст свои ценные бумаги в \(k+1\) год, то его накопления будут уже меньше, чем, если бы он продал в k-й год. Посчитаем сумму, если продать в k+1 год:

$$ {S}_{k+1}=20(k+1)*(1+\frac{12}{100})^{30-k-1}=20(k+1)*1.12^{29-k} $$

Исходя из наших предположений \({S}_{k}-{S}_{k+1}>0\).

$$ 20k*1.12^{30-k}-20(k+1)*1.12^{29-k}>0 $$ $$ 20*1.12^{29-k} (k*1.12-k-1)>0 $$ $$ 0.12k>1 $$ $$ k>\frac{100}{12} $$ $$ k>8\frac{ 1}{3} $$

Получим следующую последовательность итоговых сумм, в зависимости от года продажи:

$$ {S}_{1}<{S}_{2}<{S}_{3}<⋯<{S}_{7}<{S}_{8}<{S}_{9} $$ $$ {S}_{9}>{S}_{10}>⋯>{S}_{29}>{S}_{30} $$

Наибольшей суммой будет \({S}_{9}\), поэтому нужно продать в конце 9 года.

Ответ: 9.


Пример 2

31 декабря Николай решил взять в банке кредит на сумму \(5 000 000\) под \(12\)% годовых. Кредит выплачивается ежегодно одинаковыми платежами (аннуитет), после того, как банк начислит проценты на остаток 31 декабря (долг увеличится на \(12\)%). Какой ежегодный платеж должен производить Николай, чтобы расплатиться с банком за три платежа?

Решение:

Обозначим за \(a\) ежегодный платеж.

Через год долг вырастет на \(12\)% и будет составлять: \(5000000*(1+\frac{12}{100})=5000000*1.12\)

Сразу после этого Николай вносит на счет \(a\) рублей, тогда долг будет составлять:

$$ {S}_{1}=5000000*1.12-a $$

Аналогичная операция после внесения второго платежа:

$$ {S}_{2}=(5000000*1.12-a)*1.12-a; $$

И третий платеж:

$$ {S}_{3}=((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a $$

Согласно условию, Николай должен погасить долг за три платежа, значит после третьего платежа сумма долга должна равняться нулю:

$$ {S}_{3}=0; $$ $$ ((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a=0; $$ $$ 5000000*1.12^3-1.12(1.12a+a)-a=0; $$ $$ a=\frac{5000000*1.12^3}{3.3744}=2 081 744.9 (рублей) $$

Ответ: 2 081 744.9(рублей)


Пример 3

Дмитрий берет в банке кредит на некоторую сумму на срок 25 месяцев. Каждый месяц 1го числа сумма долга возрастает на \(q\)%, 2го числа каждого месяца Дмитрий должен гасить часть долга так, чтобы он каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем (дифференцированный платеж). После погашения всей суммы кредита выяснилось, что Дмитрий заплатил на \(40\)% больше суммы, взятой в кредит. Найдите \(q\).

Решение:

Обозначим за \(S\) начальную сумму, которую Дмитрий получил в банке.

В первый месяц на эти деньги начислят проценты \(\frac{q}{100}*S\). После этого Дмитрий должен погасить часть долга, выплатив начисленные проценты плюс \(\frac{S}{25}\), только в таком случае долг будет уменьшаться равномерно каждый месяц. Суммарная выплата за первый месяц будет:

$$ \frac{q}{100}*S+\frac{S}{25} $$

За второй месяц Дмитрий заплатит \((S-\frac{S}{25})*\frac{q}{100}+\frac{S}{25};\)

За третий: \((S-\frac{2S}{25})*\frac{q}{100}+\frac{s}{25};\)

\(…..;\)

За 24-й: \((S-\frac{24S}{25})*\frac{q}{100}+\frac{s}{25};\)

За 25-й: \(\frac{s}{25}\).

Просуммируем получившуюся последовательность выплат:

$$ \frac{S}{25}*25+\frac{q}{100}*S*(\frac{24}{25}+\frac{23}{25}+⋯+\frac{2}{25}+\frac{1}{25}). $$

По условию выплаченная сумма больше взятого кредита на \(40\)%:

$$ \frac{S}{25}*25+\frac{q}{100}*S*(\frac{24}{25}+\frac{23}{25}+⋯+\frac{2}{25}+\frac{1}{25})-S=0.4S; $$ $$ \frac{q}{100} (\frac{24}{25}+\frac{23}{25}+⋯+\frac{2}{25}+\frac{1}{25})=0.40 $$

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$$ \frac{q}{100}*\frac{1+\frac{1}{25}}{2}*25=0.4,$$ $$ \frac{13}{100}*q=0.4,$$ $$ q=3.08% $$

Отмети, что эту же задачу можно решить гораздо короче, если знать полученные ранее формулы (\(П\) – переплата; \(В\) – полная сумма выплат):

$$ П=\frac{q}{100}*\frac{N+1}{2} S.$$ $$ В=S+П=S(1+\frac{q*(N+1)}{200}).$$

Подставим известные значения в формулу для переплаты:

$$ 0.4S=\frac{q}{100}*\frac{25+1}{2}*S,$$ $$q=3.08%.$$

Ответ: \(q=3.08\)%.


Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Применение графического метода для решения задачи с параметром 18(С6) ЕГЭ по профильной математике. Подробно разбираем как решать уравнения и неравенства с параметром при помощи графиков.

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Как решать номер 18 (С6) из ЕГЭ по математике профильного уровня. Разбор основных методов и типов решения задач с параметром. Графический и аналитические методы.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.