Понятный учебник по математике

Как сдать ЕГЭ по профильному уровню

Ошибки в ЕГЭ по математике
Задания 13-19

Как решить задание 13

Решение уравнений. Отбор корней.
2 балла

Здесь вам необходимо решить уравнение и часто требуется отобрать корни, входящие в указанные промежуток. Уравнение может быть любого типа: тригонометрическое, логарифмическое, показательное, рациональное или смешанного типа, содержащего одновременно степени, логарифмы и тригонометрические функции. Но чаще всего это уравнения на тригонометрию. Это задание требуется хорошо оформить.

Что нужно знать в задании №13:

1

Решение уравнения нужно начинать с нахождения ОДЗ.
2

Нужно хорошо знать тригонометрические формулы: формулы приведения, двойного угла, основное тригонометрическое тождество, нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус.
3

Знание основных формул для преобразования показательных функций и логарифмов.
4

Умение использовать основные способы решения уравнений. Очень часто нужно использовать замену переменной, сводящей уравнение к квадратному.
5

Отбор корней. Рекомендуем делать отбор при помощи двойного неравенства - долго, но надежно. Если же вы решаете через единичную окружность, то внимательно отмечайте точки и промежутки на окружности, за неправильные промежутки могут снять баллы.

Частые ошибки в задании 13:

1

Вычислительные ошибки, проверяйте свое решение несколько раз.
2

Неумение решать простейшие тригонометрические уравнения.
3

Ошибки при определении знака тригонометрической функции. При использовании формул приведения помните про так называемое «правило лошади».
4

Ошибки при проведении обратной замены.
5

Отбор корней. Без достаточной аргументации этот пункт могут не засчитать.

Процент выполнения задания 13:

Максимальный балл – 23%
Ненулевой балл – 6%

Как решить задание 14 по стереометрии

Задача по стереометрии
2 балла

Считается задачей повышенного уровня сложности. Обычно полностью ее решает очень малый процент экзаменуемых.

Здесь вы можете столкнуться с любыми темами, входящими в курс по стереометрии 10-11 класса: построение сечений, доказательства, нахождение углов, расстояний, площадей и объемов.

Как правило, задача состоит из двух пунктов, за каждый из которых дают 1 балл. Важно помнить, что если вы не можете решить пункт под буквой А (это обычно доказательство), то вы можете использовать его при решении пункта под буквой Б, за это вам дадут 1 балл.

При решении задачи по стереометрии вам поможет отличное знание теории, она подскажет, на что нужно обратить внимание. Например, если требуется доказать перпендикулярность прямой и плоскости, то нужно помнить, что прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярная двум пересекающимся прямым в этой плоскости – значит нужно искать две пересекающиеся прямые, лежащие в указанной плоскости, и перпендикулярные исходной прямой.

Что нужно знать по стереометрии:

1

Построение сечений.
2

Определения, теоремы и свойства:
• Перпендикулярность и параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости; расстояние;
• Расстояния между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми;
• Угол между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями;
3

Площади и объемы. Обязательное знание всех формул площадей и объемов основных фигур.
4

Желательно знание метода координат. Большую часть задач по стереометрии можно решить при помощи этого метода. Он вычислительно достаточно трудоемкий, но часто его очень удобно использовать, как универсальный метод решения задания 14.
5

Знание основных методов нахождения расстояний и углов. Иногда очень удобно найти радиусы, длины сторон, углов через формулы площадей и объемов, применив для одной и той же фигуры, но разными способами.

Частые ошибки в задании 14:

1

Вычислительные ошибки.
2

В использовании метода координат. Нерациональный выбор системы координат, неверное нахождение координат точек.
3

Неумение грамотно доказывать.
4

Непонимание взаимосвязи геометрических элементов.
5

Незнание теории.
6

Ошибки при построении чертежа.
7

Логические ошибки. Например, «предположим, что две точки лежат в одной плоскости» - это нужно доказывать, а не предполагать.

Процент выполнения задания 14:

Максимальный балл – 0,53%
Ненулевой балл – 6,5%

Как решить неравенство в задании 15

Неравенства
2 балла
Теория по заданию №15 ЕГЭ

Чаще всего можно встретить логарифмические или показательные неравенства. Но надо быть готовым и к рациональным неравенствам и неравенствам с модулем или тригонометрии, радикалам и к переменному основанию в логарифмах. Иногда бывают смешанные примеры, то есть, например, в одном неравенстве одновременно можно встретить показательную функцию и модули.

Обычно, чтобы решить 15-й номер нужно преобразовать исходное неравенство к более простому. Нужно избавиться от логарифмов, показательных функций, радикалов и т.д. Для этого очень часто используется метод замены переменной. Обязательно нужно хорошо владеть методом интервалов, без него неравенства решить проблематично. В показательных, логарифмических уравнениях и неравенствах с модулем вам может помочь метод рационализации.

Что нужно знать при решении неравенств:

1

Идеальное владение методом интервалов.
2

Метод замены переменной.
3

Метод рационализации. Особенно в случае переменного основания у логарифма или показательной функции.
4

Знание основных логарифмических, показательных и тригонометрических формул.
5

Нахождения ОДЗ. Внимательно следить за преобразованиями. Важно, чтобы ОДЗ не сужалось при применении формул.
6

Уметь раскрывать модуль и избавляться от радикала.

Частые ошибки при решении неравенств:

1

Вычислительные ошибки.
2

Неумение раскладывать на множители. В том числе многочлены третьей степени.
3

Ошибки при преобразованиях дробей и приведению к общему знаменателю.
4

Потеря промежутков при использовании метода интервалов.
5

Забывают поменять знак неравенства при умножении всего неравенства на минус единицу.
6

Незнание метода интервалов. В частности, учащиеся забывают знаменатель.

Процент выполнения задания 15:

Максимальный балл – 5%
Ненулевой балл – 15%

Как решить планиметрию в задании 16

Планиметрия
3 балла

Одна из самых сложных задач ЕГЭ по математике профильного уровня. Как правило, можно встретить два основных типа задачи по планиметрии:

Задача состоит из двух пунктов A и B, под A нужно что-то доказать, под B – что-то найти. Здесь важно помнить, что, если даже вы не смогли доказать пункт A, то можете решать пункт B, использую пункт A, как доказанный – за это вам дадут 1 балл. Иногда даже проще начинать решение с пункта B, школьникам обычно проще что-то найти, чем доказать.

И второй тип – это задачи с многовариантностью. Здесь нет разделения на пункты, и с первого взгляда, кажется, что дана одна цельная задача, но это не так. В условии может быть не сказано четко, что дано, и нужно рассмотреть все варианты. Например:

не сказано какой стороны треугольника касается окружность;
не дано внешним или внутренним образом касаются две окружности;
не дано через какую именно вершину проходит прямая;
точка делит сторону в каком-то отношении, и не сказано от какой вершины;
дана касательная, и не сказано внешняя или внутренняя;
даны стороны треугольника, но не сказано какие именно

Надо быть внимательным, если вы не заметите многовариантности, то получите половину баллов.

Что нужно знать, чтобы решить планиметрию:

1

Отличное знание теории (аксиомы, теоремы, свойства, признаки, формулы). Желательно уметь доказывать теоремы. Именно теория будет служить вам проводником и подсказывать, в каком направлении двигаться при решении задачи.
2

Знание основных методов решений задач по планиметрии. Метод площадей, удвоения медианы, вспомогательной окружности, подобия, введения вспомогательного неизвестного, замены.
3

Очень важно уметь качественно и грамотно нарисовать чертеж к задаче. Более 50% успеха – это именно чертеж.
4

Настоятельно рекомендуем выучить ВСЕ формулы нахождения площади треугольника.
5

Практика и еще раз практика. Чем больше вы решите задач по планиметрии до экзамена, тем больше у вас шансов. Геометрии учатся своими руками.

Частые ошибки при решении планиметрии:

1

Абсолютно неверное понимание логики доказательства задач по планиметрии.
2

Незнание теории.
3

Невнимательное чтение условия.
4

Ошибки при построении чертежа.
5

Пропуск шагов решения. Все выкладки должны быть строго доказаны, либо при помощи известной теории, с указанием ссылки, либо самостоятельным грамотным доказательством. Ничего нельзя предполагать или «очевидно видеть» из рисунка.

Процент выполнения задания 16:

Максимальный балл – 0,4%
Ненулевой балл – 1,5%

Как решить финансовую математику в задании 17

Финансовая математика или задача на оптимизацию
3 балла
Вся необходимая теория по финансовой математике

На наш взгляд третья по уровню сложности задача во второй части ЕГЭ. Здесь вам будет представлена экономическая текстовая задача, как правило, на вклады и кредиты, но может встретиться задача на оптимальный выбор. Для решения задачи на кредиты необходимо четкое понимание дифференцированных и аннуитететных платежей.

Обязательно нужно уметь выводить нужные формулы– ни в кое случае нельзя пользоваться готовыми формулами из учебников, все нужно самостоятельно выводить, а для этого нужно хорошо разбираться в алгоритме расчета обоих видов платежей. Кроме этого здесь часто встречается задача на кредиты не в классическом виде, а с добавлением каких-то нюансов – без умения выводить и понимания формул тут точно никуда.

В задачах на оптимальный выбор нужно хорошо уметь пользоваться графиками для анализа функций и считать достаточно сложные производные.

Что нужно знать в финансовой математике:

1

Что такое процент и как его считать.
2

Дифференцированные и аннуитетные платежи по кредиту.
3

Умение делать расчет выплат по кредиту по любой схеме выплат.
4

Понимание схем выплат.
5

Уметь считать сумму членов арифметической прогрессии.
6

Для задач на оптимальный выбор – знание производной сложной функции.

Частые ошибки при решении задач по финансовой математике:

1

Невнимательное или неверное чтение условия.
2

Неправильная модель расчета.
3

Непонимание алгоритма выплат по кредиту.
4

Необоснованность выводов.
5

Самая частая ошибка – использование готовых формул!
6

Неумение считать сумму арифметической прогрессии.
7

Вычислительные ошибки.
8

Неумение брать производную (задача на оптимизацию).

Процент выполнения задания 17:

Максимальный балл – 7%
Ненулевой балл – 5%

Как решить параметр в задании 18

Уравнение или неравенство с параметром
4 балла
Вся необходимая теория по параметрам

Еще одна очень сложная задача, ориентированная на школьников высокого уровня подготовки по математике.

Нужно решить уравнение, неравенство или систему с параметром. Как правило, задача сводится к более простому виду после преобразований – нужно искать закономерности. Существует несколько основных способов решения задач с параметром, и два основных это аналитический и графический методы. Часто бывает, что можно решить, используя любой из этих методов, но использование одного из них может быть неразумно в виду сложности вычислений. Поэтому нужно обязательно освоить оба, чтобы найти самый простой путь решения.

Для того, чтобы аналитически осилить это задание, необходимо уметь анализировать функцию: монотонность, четность, ограниченность, непрерывность и т.д. Уметь применять различные методы преобразования выражений, особенно замену переменной. Очень важно уметь проводить анализ квадратного многочлена - как выглядит парабола, куда направлены ветки, есть ли пересечения с осью абсцисс, расположение вершины, варианты расположения корней квадратного многочлена в зависимости от параметра.

Для графического метода нужно уметь хорошо строить графики различного уровня сложности. И увидеть, что в данном задание можно применить графический метод.

Самое главное – логика, построить правильную логическую цепочку рассуждений, применяя аналитические методы.

Что нужно знать, чтобы решить параметр:

1

Решение уравнений, неравенств, систем различного вида, на различные темы и разного уровня сложности.
2

Анализ функции. Монотонность, четность/нечетность, ограниченность, область определения, область значений.
3

Анализ квадратного многочлена.
4

Умение грамотно находить ОДЗ.
5

Метод геометрической интерпретации. Построение графиков
6

Вид уравнений всех стандартных функций: парабола, прямая, гипербола, окружность, корень и т.д.
7

Замена переменной.

Частые ошибки при решении параметра:

1

Логика рассуждений.
2

ОДЗ.
3

Отсутствие ограничений при замене переменной.
4

Вычислительные ошибки.
5

Неумение строить графики.
6

И самое главнное - большинство школьников просто не умеет решать задания такого уровня.

Процент выполнения задания 18:

Максимальный балл – 0,4%
Ненулевой балл – 2,6%

Как решить задание 19

Олимпиадная задача. Теория чисел
4 балла

Задание олимпиадного уровня, рассчитанное на учеников, учащихся в классах с углубленным и олимпиадным уклоном. Материал необходимый для решения этого номера проходят еще, начиная с 7го класса. Здесь недостаточно знаний формул и теории, задание рассчитано на определенное умение самостоятельно математически моделировать ситуацию. Вспомните, что такое НОК и НОД, разложение числе на десятки сотни и т.д., признаки делимости, четность/нечетность. Подготовка к этому номеру занимает достаточно много времени, и если вы планируете его решить на полный балл, то начните готовиться заранее.

19 задание, как правило, состоит из 3 пунктов. Пункты А и Б часто можно решить, даже не готовясь к 19 номеру - обычно там достаточно подобрать пример, подтверждающий или опровергающий высказывание. За каждый дают по 1 баллу. Пункт В значительно сложнее - здесь необходимо предоставить развернутое доказательство с длинной логической цепочкой рассуждений (2 балла). Настоятельно рекомендуем всегда пытаться решать 19 номер - пункты А и Б бывают очень легкими и очевидными.

Что нужно знать в задании 19:

1

Теория чисел. НОК, НОД, четность, нечетность, десятичная запись числа, признаки делимости.
2

Деление с остатком.
3

Среднее арифметическое и среднее геометрическое.
4

Арифметическая и геометрическая прогрессии.
5

Различные методы решения уравнений.
6

Разложение на множители.

Частые ошибки в задании 19:

1

Неверная логика рассуждений.
2

Пропуск логических шагов.
3

Ответы «Да», «Нет» без приведения обоснования.

Процент выполнения задания 19:

Максимальный балл – 0,8%
Ненулевой балл – 40%

Полезные ссылки на теорию

Дифференцированные платежи по кредиту. Экономические задачи в ЕГЭ

Подробно разбираем финансовые задачи из ЕГЭ на дифференцированные (разные) выплаты по кредиту в банке. Математическая модель схемы с разными выплатами и примеры решения основных типов задач.

Первая часть ЕГЭ по математике

Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Метод координат в стереометрии. Задача №14 ЕГЭ

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Репетитор по математике и физике в Видном

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Курсы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ Видное

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.

Ошибки в ЕГЭ по математике Задания 13-19