Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна \(0\): $$(const)^{/}=0;$$ Пример 1 $$(5)^{/}=0;$$

Производная от \(x\) Производная просто от \(x\) равна \(1\): $$x^{/}=1;$$

Производная от степени $$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$ Пример 2 $$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$ $$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$ $$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$ $$(x^{\frac{1}{3}})^{/}=\frac{1}{3}*x^{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}*x^{\frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня $$(\sqrt{x})^{/}=\frac{1}{2\sqrt{x}};$$ Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени: $$(\sqrt{x})^{/}=(x^{\frac{1}{2}})^{/}=\frac{1}{2}*x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}};$$

Производная от синуса $$\sin(x)^{/}=\cos(x);$$

Производная от косинуса $$\cos(x)^{/}=-\sin(x);$$

Производная от тангенса $$tg(x)^{/}=\frac{1}{\cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса $$tg(x)^{/}=\frac{-1}{\sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты $$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции $$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$ Пример 3 $$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма $$(ln(x))^{/}=\frac{1}{x};$$

Производная от логарифма $$(\log_{a}(x))^{/}=\frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной $$(\alpha*f(x))^{/}=\alpha*(f(x))^{/};$$ Пример 4 $$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$ $$(10\sin(x))^{/}==10*(\sin(x))^{/}=10*\cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций $$(f(x) \pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} \pm (g(x))^{/};$$ Пример 5 $$(2x^4+x^3)^{/}=?$$ Тут \(f(x)=2x^4\), а \(g(x)=x^3\). Тогда по формуле производной от суммы: $$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$ Пример 6 $$(ln(x)+\cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(\cos(x))^{/}=\frac{1}{x}-\sin(x);$$ Пример 7 $$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций $$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$ Пример 8 $$(x^2*\sin(x))^{/}=?$$ $$(x^2*\sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*\sin(x)+x^2*(\sin(x))^{/}=2x*\sin(x)+x^2*\cos(x);$$ Пример 9 $$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=\frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{/}=\frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$ Пример 10 $$\left(\frac{x^3}{sin(x)}\right)^{/}=\frac{(x^3)^{/}*\sin(x)-x^3*(\sin(x))^{/}}{(\sin(x))^2}=\frac{3x^2*\sin(x)-x^3*\cos(x)}{(\sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11 $$(5x^3+2\cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2\cos(x))^{/}=$$ $$=5*(x^3)^{/}+2*(\cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-\sin(x))=15x^2-2\sin(x);$$

Пример 12 $$\left(-\frac{3x^2}{2x^4+5x}\right)^{/}=-\frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$ $$=-\frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-\frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13 $$(2x\sqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*\sqrt{x}+2x*(\sqrt{x})^{/}=$$ $$=2*\sqrt{x}+2x*\frac{1}{2\sqrt{x}}=2*\sqrt{x}+\frac{2x}{2\sqrt{x}}=2*\sqrt{x}+\sqrt{x}=3\sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция - это функция не от аргумента \(x\), а от какой-то другой функции: \(f(g(x))\). Например, функция \(\sin(x^2)\) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени \((x^2)\). Так как под синусом стоит аргумент не \(x\), а \(x^2\), то такая функция будет называться сложной. Еще примеры сложных функций:

• $$ln(3x^4);$$ Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: \((3x^4)\).
• $$\cos(ln(x));$$ Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: \((ln(x))\).
• $$e^{2x^2+3};$$ Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: \((2x^2+3)\).
• $$(\sin(x))^3;$$ Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: \(\sin(x)\).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так: $$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$ Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14 $$((\cos(x))^4)^{/}=?$$ Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле \((x^n)^{/}=n*x^{n-1}\). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле \(\cos(x)^{/}=-\sin(x)\): $$((\cos(x))^4)^{/}=\underset{\text{внешняя производная}}{\underbrace{4*(\cos(x))^3}}*\underset{\text{внутренняя производная}}{\underbrace{(\cos(x))^{/}}}=$$ $$=4*(\cos(x))^3*(-\sin(x))=-4*(\cos(x))^3*\sin(x);$$

Пример 15 $$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$ Внешняя функция - это экспонента \((e^x)^{/}=e^x\), а внутренняя функция - квадратный многочлен \((2x^3+5)\): $$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16 $$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$ Внешняя функция - это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле \((ln(x))^{/}=\frac{1}{x}\), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: \((x^n)^{/}=n*x^{n-1}\). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто \(x\), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена: $$ln((2x^2+3)^6)=\frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$ $$=\frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=\frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$ $$=\frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=\frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=\frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись \(f(x)\) означает, что функция берется от аргумента \(x\). Например: $$f(x)=x^3+sin(x);$$ На месте аргумента \(x\) может стоять все что угодно, например выражение \(2x+3\). Обозначение такой функции будет \(f(2x+3)\), а сама функция примет вид: $$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$ То есть, везде вместо аргумента \(x\) мы пишем \(2x+3\).

И несколько важных замечаний про \(\Delta f(x)\) и \(\Delta x\). Напомню, что значок \(\Delta\) означает изменение некоторой величины. \(\Delta x\) - изменения координаты \(x\) при переходе от одной точки на графике функции к другой; \(\Delta f(x)\) - разница координат \(y\) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем \(\Delta x\) для двух близких точек на графике функции \(O\) и \(B\): $$\Delta x=x_B-x_O;$$ Отсюда можно выразить \(x_B\): $$x_B=x_O+\Delta x;$$ Абсцисса (координата точки по оси \(x\)) точки \(B\) получается путем сложения абсциссы точки \(O\) и \(\Delta x\).

Кстати, функцию \(f(x)=x^3+sin(x)\) от аргумента \(x_B=x_O+\Delta x\) можно расписать:

И распишем \(\Delta f\): $$\Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+\Delta x)-f(x_O);$$ Тогда определение производной можно записать в виде: $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x_O+\Delta x)-f(x_O)}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$ За \(x_O\) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается \(x_O\) - это абсцисса начальной точки, а \(x_O+\Delta x\) - абсцисса конечной точки. Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от \(f(x)=x^2\), воспользовавшись определением производной: $$f^{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$ Распишем числитель \(f(x+\Delta x)-f(x)\) с учетом, что \(f(x)=x^2\): $$f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^2-x^2=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2;$$ Подставим в определение производной: $$f^{/}(x)=\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\frac{\Delta x*(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x+\Delta x;$$ Напоминаю, что \(\Delta x\) это бесконечно малая величина: $$(\Delta x)^2 \ll 0;$$ Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции: $$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени: $$f(x)=x^3;$$ Воспользуемся определением производной: $$f^{/}(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$ $$f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^3-x^3=(x+\Delta x-x)((x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)*x+x^2)=$$ $$=\Delta x*(x^2+2x*\Delta x+(\Delta x)^2+x^2+x*\Delta x+x^2)=\Delta x*(3x^2+3x\Delta x);$$ $$f^{/}(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\Delta x*(3x^2+3x\Delta x)}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x;$$ Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым \(3x\Delta x\) можно пренебречь: $$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$ Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней: $$(x^4)^{/}=4x^3;$$ $$(x^5)^{/}=5x^4;$$ $$…$$ $$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$ Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.